intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST
Báo xấu
85
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm nhằm giúp các bạn hệ thống kiến thức về kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm, từ đó, tạo cơ sở để học và ôn thi Đại học môn Toán học một cách tốt nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 06. KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 1) Khái niệm về phân thức đơn giản Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau mx + n mx + n n ( , b 2 − 4ac < 0 ) k k ; ; ; ax + b ( ax + b) n ax + bx + c (ax + bx + c) 2 2 Ví dụ 1: [ĐVH]. Các phân thức sau được gọi là phân thức đơn giản 1 2 2 5 5 ; ; ; ; x +1 3x − 1 (2 x + 3) 4 x 2 + 3 x + 10 (2 x 2 + x + 4)3 1 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Các phân thức sau chưa được gọi là phân thức đơn giản ; ... x2 − 1 2x2 + x − 3 2) Quy tắc đồng nhất P( x) Xét phân thức . Ta xét một số trường hợp có thể xảy ra Q( x)  TH1: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) ...( x − xn ) P( x) P( x) A A2 A3 An Khi đó luôn được phân tích được dưới dạng = 1 + + + ... + Q( x) Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 x − xn  → P( x) ≡ A1 ( x − x2 )( x − x3 ) .. ( x − xn ) + A2 ( x − x1 )( x − x3 ) ...( x − xn ) + ... An ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xn −1 ) Bằng phép đồng nhất hệ số tương ứng ta tìm được các giá trị A1; A2… Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp gán các giá trị đặc biệt. Ví dụ 1: [ĐVH]. Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản 2x − 1 x2 + x + 1 a) b) 3x + 2x − 5 2 ( x x2 − 4 ) Hướng dẫn giải 2x −1 2x −1 A B a) Ta có 2 = = +  → 2 x − 1 ≡ A(3 x − 5) + B( x − 1), (*) 3 x + 2 x − 5 ( x − 1)(3x + 5) x − 1 3x − 5 + Phương pháp hệ số bất định:  1 2 = 3 A + B  A = − 2 Đồng nhất hệ số tương ứng của (*) ta được  ⇔ −1 = −5 A − B B = 7  2 2x −1 −1 7 Khi đó 2 = + 3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5) + Phương pháp gán giá trị đặc biệt: 1 Cho x = 1 ⇒ −2 A = 1 ⇔ A = − 2 1 7 Cho x = 2 ⇒ A + B = 3 ⇔ B = 3 − A = 3 + = 2 2 2x −1 −1 7 Khi đó 2 = + 3 x + 2 x − 5 2( x − 1) 2(3 x − 5) x2 + x + 1 x2 + x + 1 → x 2 + x + 1 ≡ A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x − 2 ) + Cx ( x + 2 ) A B C b) = = + +  x ( x − 4 ) x ( x + 2 )( x − 2 ) x x + 2 x − 2 2 1 +) Cho x = 0 ⇒ −4 A = 1 ⇔ A = − . 4 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 7 +) Cho x = 2 ⇒ 8C = 7 ⇔ C = . 8 3 +) Cho x = −2 ⇒ −8B = 3 ⇔ B = − . 8 x + x + 1 −1 2 3 7 Khi đó = − + x ( x − 4) 2 4 x 8 ( x + 2 ) ( − 2) 8 x  TH2: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( x − xk ) ...( x − xn ) m P ( x) A A2  B B2 Bm  An Khi đó = 1 + + 1 + + ... m  + ... + Q ( x) x − x1 x − x2  x − xk ( x − xk ) 2 ( x − xk )  x − xn Ví dụ 2: [ĐVH]. Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản x2 − x + 5 3x + 1 a) b) x 2 ( x + 3) ( x + 1) ( x 2 + 4 x + 4 ) Hướng dẫn giải x − x+5 A B 2 C Ax + B C a) Ta có 2 = + 2+ = + → x 2 − x + 5 ≡ ( Ax + B ) ( x + 3) + Cx 2 x ( x + 3) x x x+3 x 2 x+3 17 +) Cho x = −3 ⇒ 9C = 17 ⇔ C = . 9 5 +) Cho x = 0 ⇒ 3B = 5 ⇔ B = . 3 17 5− +) Cho x = 1 ⇒ 5 = 4 ( A + B ) + C ⇔ A + = 5 9 ⇒ A = −8 3 4 9 x2 − x + 5 8 5 17 Khi đó, 2 =− + 2 + x ( x + 3) 9 x 3x 9( x + 3) 3x + 1 A B C = + + → 3x + 1 ≡ A ( x + 2 ) + B ( x + 2 )( x + 1) + C ( x + 1) 2 b) Ta có ( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 x + 2 ( x + 2 ) 2 2 +) Cho x = −2 ⇒ −C = −5 ⇔ C = 5. +) Cho x = −1 ⇒ A = −2. +) Cho x = 0 ⇒ 1 = 4 A + 2 B + C ⇔ −8 + 2 B + 5 = 1 ⇒ B = 2 3x + 1 −2 2 5 Khi đó, = + + ( x + 1) ( x + 4 x + 4 ) x + 1 ( x + 2 ) ( x + 2 )2 2  TH3: Q( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ...( ax 2 + bx + c ) ...( x − xn ) ; b 2 − 4ac < 0 P( x) A1 A2 mx + n An Khi đó = + + 2 + ... + , đồng nhất ta thu được các hệ số tương ứng. Q ( x) x − x1 x − x2 ax + bx + c x − xn Ví dụ 3: [ĐVH]. Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản 2 x2 − x + 1 x−3 a) b) x ( x 2 + x + 2) x3 − 1 Hướng dẫn giải 2 x2 − x + 1 Bx + C → 2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 2 ) + ( Bx + C ) x A a) Ta có = +  x( x 2 + x + 2) x x 2 + x + 2 1 +) Cho x = 0 ⇒ 2 A = 1 ⇔ A = . 2 3 +) Lại có, A + B = 2 ⇒ B = , (đồng nhất hệ số của x2) 2 3 +) Ta cũng có A + C = −1 ⇒ C = − , (đồng nhất hệ số của x) 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 x2 − x + 1 1 3 x −1 Khi đó, = + x( x + x + 2) 2 x 2 x 2 + x + 2 2 x−3 x−3 Bx + C → 2 x 2 − x + 1 ≡ A ( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) A b) Ta có 3 = = + 2  x − 1 ( x − 1) ( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 2 2 + Cho x = 1 ⇒ 3 A = 2 ⇔ A = . 3 4 + Lại có, A + B = 2 ⇒ B = , (đồng nhất hệ số của x2) 3 1 + Ta cũng có A − C = 1 ⇒ C = − , (đồng nhất hệ số tự do) 3 x−3 2 4x −1 Khi đó, 3 = + x − 1 3 ( x − 1) 3 ( x 2 + x + 1) 3) Áp dụng vào bài toán tìm nguyên hàm Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau 2x + 1 x2 + x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 3x2 − x − 2 x2 − 4 x + 3 Hướng dẫn giải 2x + 1 2x + 1 a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx 3x 2 − x − 2 ( x − 1)(3 x + 2) 2x + 1 A B Xét = +  → 2 x + 1 ≡ A(3 x + 2) + B ( x − 1) ( x − 1)(3 x + 2) x − 1 3x + 2 3 + Cho x = 1 ⇒ 5 A = 3 ⇔ A = 5 1 + Cho x = 0 ⇒ 2 A − B = 1 ⇔ B = 2 A − 1 = 5 2x + 1  3 1  3 1 Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  +  dx = ln x − 1 + ln 3x + 2 + C. ( x − 1)(3x + 2)  5( x − 1) 5(3 x + 2)  5 15 x2 + x − 2 x2 + x − 2 b) Ta có I 2 = ∫ dx = ∫ dx x − 4x + 3 2 ( x − 1)( x − 3) x2 + x + 2 A B Xét = +  → x 2 + x + 2 ≡ A( x − 3) + B ( x − 1) ( x − 1)( x − 3) x − 1 x − 3 +) Cho x = 1 ⇒ −2 A = 4 ⇔ A = −2 +) Cho x = 3 ⇒ 2 B = 14 ⇔ B = 7 x2 + x − 2  −2 7  Khi đó, I 2 = ∫ 2 dx = ∫  +  dx = 7 ln x − 3 − 2ln x − 1 + C. x − 4x + 3  x −1 x − 3  Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau x2 + 3 x − 1 2x − 1 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx x3 + 1 x 2 ( x + 1) Hướng dẫn giải x + 3x − 1 2 x + 3x − 1 2 a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx x +1 3 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 + 3x − 1 A Bx + C Xét = + 2  → x 2 + 3 x − 1 ≡ A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 x − x + 1 2 +) Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1 +) Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 1 ⇒ B = 2 +) Đồng nhất hệ số tự do ta được A + C = −1 ⇒ C = 0 x 2 + 3x − 1  −1 2x  (2 x − 1) + 1 Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  + 2  dx = − ln x + 1 + ∫ 2 dx = x +1 3  x +1 x − x +1 x − x +1 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1 dx−  d ( x − x + 1) 2 dx  2 = − ln x + 1 + ∫ 2 +∫ 2 = − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫ = x − x +1 x − x +1  1  2  3  2 x−  +   2   2  2  2x −1  − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + arctan  +C 3  3  2x −1 A B C  b) Ta có I 2 = ∫ 2 dx = ∫  + 2 +  dx x ( x + 1) x x x +1 2x − 1 A B C Xét 2 = + 2+  → 2 x − 1 ≡ Ax( x + 1) + B ( x + 1) + Cx 2 x ( x + 1) x x x +1 +) Cho x = −1 ⇒ 3 A = −3 ⇔ A = −1 +) Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 1 ⇒ B = 2 +) Đồng nhất hệ số tự do ta được A + C = −1 ⇒ C = 0 x2 + 3x − 1  −1 2x  (2 x − 1) + 1 Khi đó, I1 = ∫ dx = ∫  + 2  dx = − ln x + 1 + ∫ 2 dx = x +1 3  x +1 x − x +1 x − x +1  1 dx−  d ( x − x + 1) 2 dx  2 = − ln x + 1 + ∫ 2 +∫ 2 = − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + ∫ = x − x +1 x − x +1  1  3 2 2 x−  +   2  2  2  2x −1  − ln x + 1 + ln x 2 − x + 1 + arctan  +C 3  3  Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau x x2 + x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx x −1 3 x ( x 2 − 9) Hướng dẫn giải x x a) Ta có I1 = ∫ dx = ∫ dx x3 − 1 ( x − 1)( x 2 + x + 1) x A Bx + C Xét = +  → x ≡ A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ( x − 1)( x 2 + x + 1) x − 1 x 2 + x + 1 1 +) Cho x = 1 ⇒ 3 A = 1 ⇔ A = 3 1 +) Đồng nhất hệ số của x2 ta được A + B = 0 ⇒ B = − 3 1 +) Đồng nhất hệ số tự do ta được A − C = 0 ⇒ C = 3 1 3 (2 x + 1) − x 1 1 x −1 1 1 2 2 dx = Khi đó, I1 = ∫ 3 3( x − 1) 3 ∫ x 2 + x + 1 dx = − dx = ln x − 1 − ∫ x −1 3 3 x2 + x + 1 1 d ( x 2 + x + 1) 1 2x + 1 = ln x − 1 − ln ( x 2 + x + 1) + 1 dx 1 1 = ln x − 1 − ∫ 2 + ∫ arctan +C 3 6 x + x +1 2  1  3 2 2 3 3 3 x+  +   2  2  x2 + x + 2 x2 + x + 2 b) Ta có I 2 = ∫ dx = ∫ x( x + 3)( x − 3) dx x( x 2 − 9) x2 + x + 2 A B C Xét = + +  → x 2 + x + 2 ≡ A( x 2 − 9) + Bx( x − 3) + Cx( x + 3) x( x + 3)( x − 3) x x + 3 x − 3 2 + Cho x = 0 ⇒ −9 A = 2 ⇔ A = − 9 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  5. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 7 +) Cho x = 3 ⇒ 18C = 14 ⇔ C = 9 4 +) Cho x = −3 ⇒ −18B = 8 ⇔ B = − 9 x2 + x + 2  2 4 7  2 4 7 Khi đó, I 2 = ∫ dx = ∫  − − +  dx = − ln x − ln x + 3 + ln x − 3 + C . x( x − 9) 2  9 x 9( x + 3) 9( x − 3)  9 9 9 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Tính các nguyên hàm, tích phân sau: 0 2 x3 − 6 x 2 + 9 x + 9 3 3x 2 + 3 x + 3 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx −1 x 2 − 3x + 2 2 x − 3x + 2 3 2x + 3 x −1 c) I 3 = ∫ 2 dx d) I 4 = ∫ dx x ( x − 1) ( x + 2) 2 (2 x + 3) 1 − 2 x2 x +1 e) I 5 = ∫ dx f) I 6 = ∫ dx ( x + 1)( x 2 + x + 4) 2 x( x + 4 x + 5) 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1