zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm của các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

366
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm của các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm của các hàm vô tỉ thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm của các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 09. NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] 1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp xdx I1 = ∫ x ±a 2 = x 2 ± a + C. dx du I2 = ∫ x ±a2 = ln x + x 2 ± a + C  → ∫ u ±a 2 = ln u + u 2 ± a + C x 2 a I3 = ∫ x 2 ± a dx = 2 x ± a ± ln x + x 2 ± a + C. 2 dx x du u I4 = a −x 2 ∫2 = arcsin + C  a → a −u 2 2 = arcsin + C a ∫ Chứng minh: xdx 1 d ( x 2 ± a) d ( x 2 ± a) I1 = ∫ x ±a 2 2 = x ±a 2 = ∫ 2 x ±a 2 = x 2 ± a + C. ∫ dx xdx xdx dx dt dx + dt d ( x + t ) I2 = ∫ x2 ± a . Đặt t = x 2 ± a ⇒ dt = x2 ± a = t  → = = t x x+t = x+t dx dx d (x + t) Khi đó, I 2 = ∫ x2 ± a = ∫ t = x+t∫ = ln x + x 2 ± a + C I3 = ∫ x 2 ± a dx.  xdx u = x ± a ⇒ du = 2 x 2 dx ( x 2 ± a) ∓ a Đặt  dv = dx ⇒ v = x x 2 ± a  → I = x x2 ± a − ∫ x2 ± a = x x2 ± a − ∫ x2 ± a dx =  dx x 2 a = x x2 ± a − ∫ x 2 ± adx ± a x2 ± a ∫ = x x 2 ± a − I 3 ± a ln x + x 2 ± a ⇒ I 3 = 2 x ± a ± ln x + x 2 ± a + C. 2 dx dx = a cos tdt I4 = ∫ a2 − x2 . Đặt x = a sin t ⇒   a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2 2 dx a cos t dt x  → I4 = ∫ a 2 − x 2 a cos t ∫ = dt = t + C = arcsin + c. a ∫ Một số ví dụ minh họa: dx d ( x + 2) I1 = ∫x + 4 x + 10 2 = ( x + 2) + 6 2 ∫ = ln x + 2 + x 2 + 4 x + 10 + C.  1 dx+  dx dx  2 2x + 1 I2 = ∫ 2− x− x 2 = ∫ 9  1 2 = ∫ 2 2 = arcsin 3 + C. 3  1 −x+    −x+  4  2 2  2  5 dx+  dx 1 dx 1  4 1 5 5 7 I3 = ∫ 2 x + 5x + 7 2 = 2 ∫ 5 7 = 2 ∫ 2 = 2 ln x + + x 2 + x + + C . 4 2 2 x2 + x +  5  31 2 2 x+  +  4  16 2) Một số các dạng nguyên hàm vô tỉ thường gặp mx + n Dạng 1: Nguyên hàm I = ∫ ax 2 + bx + c dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Cách giải: Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được m bm mx + n ( 2ax + b ) + n − ( 2ax + b ) dx  bm  2a dx = m dx I= ∫ax 2 + bx + c dx = 2a ∫ ax 2 + bx + c 2a ∫ +n − ax 2 + bx + c   2a  ∫ ax 2 + bx + c = m d (ax 2 + bx + c)  bm  dx m = ∫ a 2 ax + bx + c  2 +n −  2a  ax + bx + c a 2 ∫ = ax 2 + bx + c + J dx Trong đó, J = ∫ ax 2 + bx + c thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên. Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau 2x + 3 x −1 a) I1 = ∫ x2 − 2 x + 4 dx b) I 2 = 2 x2 − x + 1 dx ∫ Hướng dẫn giải: (2 x − 2) + 5 (2 x − 2) dx dx d ( x 2 − 2 x + 4) dx a) I1 = ∫ x2 − 2 x + 4 dx = ∫ x2 − 2x + 4 +5 x2 − 2 x + 4 ∫=2 2 x2 − 2 x + 4 ∫+5 x2 − 2x + 4 ∫ = d ( x − 1) = 2 x2 − 2 x + 4 + 5 ∫ ( x − 1) + 3 2 = 2 x 2 − 2 x + 4 + 5ln x − 1 + x 2 − 2 x + 4 + C. 1 3 (4 x − 1) − x −1 4 dx = 1 (4 x − 1)dx − 3 dx b) I 2 = ∫ 2 x2 − x + 1 dx = 4 ∫ 2 x2 − x + 1 4 2 x2 − x + 1 4 ∫ 2x2 − x + 1 = ∫  1 dx−  1 d (2 x 2 − x + 1) 3 dx 1 3  4 = ∫ 2 2 2x2 − x + 1 4 2 − ∫ x 1 = 2 2x2 − x + 1 − 4 2 2 ∫ = x − + 2  1  7 2 2 x−  +  4  16 1 3 1 x 1 = 2x2 − x + 1 − ln x − + x 2 − + + C. 2 4 2 4 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 2x −1 x2 − 2 x + 2 1) ∫ x − 2x + 2 2 2) ∫ x2 − x + 1 dx 3) ∫ x2 − 2x dx x 2 − 3x + 4 2x + 1 3x − 2 4) ∫ x − x +1 2 dx 5) ∫ x + x −1 2 dx 6) ∫ x − 3x + 2 2 dx x2 + 2 x − 1 ( 2 x − 3) dx (2x 2 ) − 3 x + 1 dx 7) ∫ x2 + x − 2 dx 8) ∫ 2 − 2x − x2 9) ∫ x2 − 4 dx Dạng 2: Nguyên hàm I = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c Cách giải: 1 dt 1 n Đặt mx + n = ⇒ mdx = − 2 ; x = − t t mt m  du  u ±a 2 ∫ = ln u + u 2 ± a + C → Thay vào ta được I = g (t )dt  ∫ .  du u   a −u 2 2 a ∫ = arcsin + C Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau dx dx a) I1 = ∫ ( x + 1) x + 2 x + 2 2 b) I 2 = ( 2 x + 3) x 2 + 3 x − 1 ∫ Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Hướng dẫn giải:  1 dt dt  x = −1 1  t 2 t2 ∫ ∫ a) Đặt x + 1 = ⇒   → I1 = − t =− = t  dx = − dt 1 1  2 2 1  1 1  1   t2  − 1 + 2  − 1 + 2  − 1 + 2  − 1 + 2 t t   t  t  t  t  2 dt 1  1  1 − ∫ 1+ t2 = − ln t + t 2 + 1 = − ln x +1 +   +  x +1 x +1 + 1 + C.  1 1 dt x= − 1  2t 2 2t 2 1 dt dt b) Đặt 2 x + 1 = ⇒  t  dx = − dt  → I2 = − 1  1 1 2 ∫ =− 2 1 9t 2 =− ∫ ∫ 1 − 9t 2 − 4t =  1 1 − −t  2t 2  −  + 3 −  − 1 4 4 t  2t 2   2t 2   2 d t +  1 dt 1 dt 1  9 1  9t + 2  =− 3 ∫ 1 2 4 =− 3 13  2  ∫ 2 =− 3  2 ∫ = − arcsin  3  13   + C. −t − t 13   2  2 9 9 − t +    − t +  81  9   9   9  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: dx 2x −1 dx 1) ∫ ( x − 1) x − 2x + 2 2 2) ∫ x − x +1 2 dx 3) ∫ ( x − 1) x 2 + 3x + 2 dx dx dx dx 4) ∫ ( 2 x + 1) x − 2x + 2 2 dx 5) ∫ ( x + 2) x − 4x − 3 2 dx 6) ∫x x + 2 x2 − 1 4 dx Ax + B Dạng 3: Nguyên hàm I = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c dx Cách giải: Ta phân tích tử số chứa (mx + n) như sau: A An Ax + B ( mx + n ) + B −  An  m dx = A dx dx ∫ ∫ ∫ ∫ ( mx + n ) I= dx = m +B−  ( mx + n ) ax + bx + c 2 ( mx + n ) ax + bx + c 2 m ax + bx + c  2 m  ax 2 + bx + c dx dx Các nguyên hàm I1 = ∫ ax + bx + c 2 và I 2 = ∫ ( mx + n ) ax 2 + bx + c đã xét đến ở phần trên. Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau ( 3 x − 4 ) dx ( 2 x + 1) dx a) I1 = ∫ (2 − x ) x2 − 1 b) I 2 = ∫ ( x + 1) x2 − 4 Hướng dẫn giải: ( 3x − 4 ) dx = 2 − 3 ( 2 − x ) dx = 2 dx dx a) Ta có I1 = ∫ (2 − x) x −1 (2 − x) x −1 2 2 ∫( 2 − x ) x2 − 1 −3 ∫ ∫ x −12 = 2 J − 3ln x + x 2 − 1  1  x =2− dx 1  t Xét J = (2 − x) x −1 ∫2 . Đặt 2 − x = ⇒  t  dx = dt  t2 dt t2 dt 1 dt 1 dt 1 2 4 1 ⇒J= 1  ∫ 1 2 = ∫ 3t 2 − 4t + 1 = 3 4 1 = 3 ∫ ∫ 2 = 3 ln t − 3 + t2 − t + + C 3 3 t2 − t +  2 1  2 −  − 1 3 3 t −  − t  t  3 9 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 2 4 1 Khi đó ta được I1 = ln t − + t 2 − t + − 3ln x + x 2 − 1 + C . 3 3 3 3 ( 2 x + 1) dx 2 ( x + 1) − 1 dx dx b) Ta có I 2 = ∫ ( x + 1) x −4 2 = ∫ ( x + 1) x −4 2 dx = 2 ∫ x −4 2 + ∫ ( x + 1) x −4 2 = 2ln x + x 2 − 4 + K  1 x = −1 dx 1  t Xét K = ∫ ( x + 1) x − 4 2 . Đặt x + 1 = ⇒  t  dx = − dt  t2 dt dx t2 dt 1 dt 1 dt ⇒K = ∫ ( x + 1) x − 4 2 =− 1 1  2 ∫ =− 1 − 2t − 3t 2 =− 3 ∫ ∫ 1 2 =− 3∫ 4  1 2 = − t − t2  − 1 − 4 3 3 − t +  t t  9  3  1 d t +  1  3 1  3t + 1  =− 3 ∫ 2 2 =− 3 arcsin   2 +C   2  1   − t +   3  3 1  3t + 1  Khi đó, I 2 = 2ln x + x 2 − 4 − arcsin   + C. 3  2  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( 2 x + 3) dx ( 2 x − 1) dx ( x + 2 ) dx 1) ∫ ( x + 1) x + 2x + 2 2 2) ∫ ( x − 1) x 2 − 3x + 2 3) ∫ ( x + 1) x2 − 2 x + 3 ( 2 x − 3) dx ( x + 2 ) dx 4) ∫ ( 2 x − 1) x2 + 2 5) ∫ (1 − x ) x 2 + 1 dx Dạng 4: Nguyên hàm I = ∫ ( x + a )( x + b) Cách giải: dx dx 1 x+a + x+b dx 2dt Cách 1: Đặt t = x + a + x + b ⇒ dt = + = dx  → = 2 x + a 2 x + b 2 ( x + a )( x + b) ( x + a)( x + b) t Khi đó, I = ∫ dx ( x + a)( x + b) = 2dt t ∫ = 2ln t + C = 2ln ( x + a + x + b + C. ) dx dx dx Cách 2: Ta có I = ∫ ( x + a )( x + b) = ∫ x 2 + ( a + b ) x + ab = ∫ a+b 2 ( a + b) 2  x+  + ab −  2  4  a+b dx+   2  a+b = ∫ a+b 2 (a + b)2 = ln x + 2 + ( x + a )( x + b) + C   x +  + ab −  2  4 Bình luận: Thoạt nhìn, ta tưởng hai cách giải cho hai đáp án khác nhau, nhưng không phải vậy. ( ) ( ) ( ) 2 Thật vậy, 2ln x + a + x + b = ln x+a + x+b = ln x + a + x + b + 2 ( x + a)( x + b) = a+b (  = ln 2 x + a + b + 2 ( x + a)( x + b) = ln  x +  2 )  + ( x + a )( x + b)  + ln 2    a+b  ′   a+b  ′ Và rõ ràng, ln  x + + ( x + a )( x + b)  + ln 2  = ln  x + + ( x + a )( x + b)     2     2  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Như vậy, thực chất hai cách giải đều cho cùng một phép toán, có chăng, đó là sự khác biệt trong việc tính đạo hàm cuối cùng để kiểm tra!!! dx Dạng 5: Nguyên hàm I = ∫ x+a ± x+b Cách giải: Các nguyên hàm dạng này được giải đơn giản bằng phép trục căn thức. Thật vậy, I = dx ∫ x+a + x+b = x+a ∓ x+b a −b dx = 1 ∫ a −b x + a dx ∓ (∫ ∫ x + b dx ) Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau dx dx dx a) I1 = ∫ x2 − 4 x + 3 b) I 2 = x+2 + x−3 ∫ c) I 3 = ∫ 2x + 1 − 2x + 5 Hướng dẫn giải: dx a) I1 = ∫ x2 − 4 x + 3 dx dx d ( x − 2) Cách 1: I1 = ∫ = ∫ = ∫ = ln x − 2 + x 2 − 4 x + 3 + C. x2 − 4 x + 3 ( x − 2) 2 −1 ( x − 2) 2 −1 dx Cách 2: I1 = ∫ ( x − 1)( x − 3) . 1 1 1  1  x −1 + x − 2  dx 2dt Đặt t = x − 1 + x − 3 ⇒ dt =  +  dx =   dx ⇔ = 2  x −1 x −3  2  ( x − 1)( x − 3)  ( x − 1)( x − 3) t dx dt Khi đó, I1 = ∫ ( x − 1)( x − 3) =2 t ∫ = 2ln t + C = 2ln x − 1 + x − 3 + C. b) I 2 = ∫ dx x+ 2 + x−3 = x+2 − x−3 ∫ ( x + 2) − ( x − 3) dx = 5 ∫ ( 1 x + 2 − x − 3 dx = ) 2 15 ( ( x + 2)3 − ( x − 3)3 + C . ) c) I 3 = 2x + 1 + 2x + 5 ∫ ( 2 x + 1) − ( 2 x + 5) dx = − 4 ∫ ( 1 2 x + 1 + 2 x + 5 dx = − ) 1 6 ( (2 x + 1)3 + (2 x + 5)3 + C. ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 1 2 0 dx dx dx 1) ∫ 0 x +1 + x 2) ∫ 1 x +1 + x −1 3) ∫ −1 x+4+ x+2 2 2 2 1 x x x3 4) ∫ 0 2+ x + 2− x dx 5) ∫ 1 x+2 + 2− x dx 6) ∫ x+ 0 x2 + 1 dx 1 3 dx dx 7) ∫ x+9 − x dx 8) ∫ x − 5x + 6 2 9) ∫ ( x + 3)( x + 5) 0 LUYỆN TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 1 x +1 dx 1) ∫1+ x +1 dx 2) ∫x x−2 dx 3) ∫1+ 3 x +1 dx x x 4) ∫ x+4x 5) ∫ x−3x dx 6) ∫ x( x + 1) dx dx dx dx 7) ∫ x + x + 24 x 3 8) ∫ 3 (2 x + 1)2 − 2 x + 1 9) ∫ x2 + 6 x + 8 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020

576 tài liệu

913 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.