intTypePromotion=1
ADSENSE

Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

969
lượt xem
65
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để hệ thống kiến thức về Toán học nói chung và Nguyên hàm lượng giác nói riêng mời các bạn tham khảo tài liệu Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1. Với các bạn ôn thi đại học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG sin 2 x + cos 2 x = 1 1 = 1 + tan 2 x  Các hằng đẳng thức lượng giác: cos 2 x 1 2 = 1 + cot 2 x sin x tan x.cot x = 1 cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x  Công thức góc nhân đôi: sin 2 x = 2sin x.cos x 1 + cos 2 x cos 2 x = 2  Công thức hạ bậc hai: 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b.cos a  Công thức cộng: cos ( a ± b ) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau) Chú ý: sin 2a = 2sin a.cos a - Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi:  cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − 1 = 1 − 2sin a 2 2 2 2 sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a - Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:  cos3a = 4cos a − 3cos a 3 1 cos a.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1  Công thức biến đổi tích thành tổng: sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ] 2 1 sin a.cos b = [sin( a + b) + sin(a − b)] 2 sin ( − x ) = − sin x Chú ý:  cos ( − x ) = cos x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a+b a −b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos .cos 2 2  Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a −b cos a + cos b = 2cos .cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin .sin 2 2  2t  sin x = x  1+ t2 sin x 2t  Công thức biến tính theo t = tan ⇒  ⇒ tan x = = 2  1− t 2 cos x 1 − t 2 cos x =  1+ t2  Một số các công thức cần nhớ nhanh sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) ; sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) 1 3 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 2 4 4 3 5 3 sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 4 8 8  π  π  π  π sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −  ; sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +   4  4  4  4 cos(a − b) 2 1 + tan a.tan b = ; tan x + cot x = cos a.cos b sin 2 x II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG dx 1  I1 = ∫ sin x dx = − cos x + C  I8 = ∫ = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a 2 1 dx  I 2 = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C  I9 = ∫ = − cot x + C a sin 2 x dx 1  I 3 = ∫ cos x dx = sin x + C  I10 = ∫ = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) 2 a 1 sin x dx  I 4 = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C  I11 = ∫ tan x dx = ∫ = − ln cos x + C a cos x 1 − cos2 x x sin 2 x cos x dx  I 5 = ∫ sin 2 x dx = ∫ dx = − +C  I12 = ∫ cot x dx = ∫ = ln sin x + C 2 2 4 sin x 1 + cos 2 x x sin 2 x  1   I 6 = ∫ cos 2 x dx = ∫ dx = + +C  I13 = ∫ tan 2 x dx = ∫  2 − 1 dx = tan x − x + C 2 2 4  cos x  dx  1   I7 = ∫ = tan x + C  I14 = ∫ cot 2 x dx = ∫  2 − 1 dx = − cot x − x + C cos 2 x  sin x  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx c) I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx Hướng dẫn giải: 1 − cos 4 x 1 1 1  x 1 a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx = ∫ dx = ∫ (1 − cos 4 x ) dx =  x − sin 4 x  + C = − sin 4 x + C. 2 2 2 4  2 8 1 + cos8 x 1 1 1  x 1 b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx = ∫ dx = ∫ (1 + cos8 x ) dx =  x + sin 8 x  + C = + sin 8 x + C. 2 2 2 8  2 16 c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: 1 + cos 2 x  1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 2 x 1 − cos 2 x 2 cos 2 x.sin 4 x = cos 2 x.( sin 2 x ) = 2   = . . = . = 2  2  2 2 2 4 2 1 1 1 = sin 2 2 x.(1 − cos 2 x ) = sin 2 2 x − sin 2 2 x.cos 2 x 8 8 8 1 1 1 1 − cos 4 x 1 Khi đó I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx = ∫ sin 2 2 x dx − ∫ sin 2 2 x.cos 2 x dx = ∫ dx − ∫ sin 2 2 x d ( sin 2 x ) = 8 8 8 2 16 1 1 1 sin 3 2 x 1 1 1 = x − sin 4 x − . + C  → I 6 = x − sin 4 x − sin 3 2 x + C. 16 64 16 3 16 64 48 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx a) I 7 = ∫ sin 3 x.cos x dx b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3 x dx c) I 9 = ∫ sin 3x + sin x Hướng dẫn giải: 1 a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được sin 3 x.cos x = ( sin 4 x + sin 2 x ) 2 ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) dx =  − cos4x − cos 2 x  + C = − cos4 x − cos 2 x + C. 1 1 1 1 1 1 1 T ừ đó I 7 = ∫ 2 2 2 4 2  8 4 ( cos5 x + cos x ) dx =  sin 5 x + sin x  + C = sin 5 x + sin x + C. 1 1 1 1 1 b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3x dx = ∫ 2 25  10 2 dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) c) I 9 = ∫ =∫ =∫ = ∫ 2 =− ∫ sin 3x + sin x 2sin 2 x.cos x 2 4sin x.cos x 4 sin x.cos x2 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x 1 (1 − t ) + t 2 2 1 dt 1  dt dt  Đặt cos x = t  → I9 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 dt = −  ∫ 2 + ∫ 4 t 1 − t 2  dt 1 ∫t 2 = − + C1 t 1  1 1 1+ t  Mà  → I 9 = −  − + ln  + C. dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1  dt dt  1 1 + t 4  t 2 1− t  ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2 1 1 1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta được I 9 = −  − + ln  + C. 4  cos x 2 1 − cos x  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x.cos 4 x sin 3 x a) I1 = ∫ sin x.sin 2 x.cos5 x dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx tan 2 x + cot 2 x 3sin 4 x − sin 6 x − 3sin 2 x Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos3 x.cos 3x dx b) I 2 = ∫ cos 2 x.cos 2 x dx c) I 3 = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x)dx Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x cos 2 x dx b) I 2 = ∫ sin 3x cos x dx c) I 3 = ∫ (2sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x)dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2