Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1
lượt xem 67
download
Để hệ thống kiến thức về Toán học nói chung và Nguyên hàm lượng giác nói riêng mời các bạn tham khảo tài liệu Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1. Với các bạn ôn thi đại học thì đây là tài liệu hữu ích.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 1
- Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG sin 2 x + cos 2 x = 1 1 = 1 + tan 2 x Các hằng đẳng thức lượng giác: cos 2 x 1 2 = 1 + cot 2 x sin x tan x.cot x = 1 cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x Công thức góc nhân đôi: sin 2 x = 2sin x.cos x 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 Công thức hạ bậc hai: 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b.cos a Công thức cộng: cos ( a ± b ) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b (Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau) Chú ý: sin 2a = 2sin a.cos a - Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − 1 = 1 − 2sin a 2 2 2 2 sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a - Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba: cos3a = 4cos a − 3cos a 3 1 cos a.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 Công thức biến đổi tích thành tổng: sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ] 2 1 sin a.cos b = [sin( a + b) + sin(a − b)] 2 sin ( − x ) = − sin x Chú ý: cos ( − x ) = cos x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a+b a −b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos .cos 2 2 Công thức biến đổi tổng thành tích: a+b a −b cos a + cos b = 2cos .cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin .sin 2 2 2t sin x = x 1+ t2 sin x 2t Công thức biến tính theo t = tan ⇒ ⇒ tan x = = 2 1− t 2 cos x 1 − t 2 cos x = 1+ t2 Một số các công thức cần nhớ nhanh sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) ; sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) 1 3 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 2 4 4 3 5 3 sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 4 8 8 π π π π sin x + cos x = 2 sin x + = 2 cos x − ; sin x − cos x = 2 sin x − = − 2 cos x + 4 4 4 4 cos(a − b) 2 1 + tan a.tan b = ; tan x + cot x = cos a.cos b sin 2 x II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG dx 1 I1 = ∫ sin x dx = − cos x + C I8 = ∫ = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a 2 1 dx I 2 = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C I9 = ∫ = − cot x + C a sin 2 x dx 1 I 3 = ∫ cos x dx = sin x + C I10 = ∫ = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) 2 a 1 sin x dx I 4 = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C I11 = ∫ tan x dx = ∫ = − ln cos x + C a cos x 1 − cos2 x x sin 2 x cos x dx I 5 = ∫ sin 2 x dx = ∫ dx = − +C I12 = ∫ cot x dx = ∫ = ln sin x + C 2 2 4 sin x 1 + cos 2 x x sin 2 x 1 I 6 = ∫ cos 2 x dx = ∫ dx = + +C I13 = ∫ tan 2 x dx = ∫ 2 − 1 dx = tan x − x + C 2 2 4 cos x dx 1 I7 = ∫ = tan x + C I14 = ∫ cot 2 x dx = ∫ 2 − 1 dx = − cot x − x + C cos 2 x sin x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx c) I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx Hướng dẫn giải: 1 − cos 4 x 1 1 1 x 1 a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx = ∫ dx = ∫ (1 − cos 4 x ) dx = x − sin 4 x + C = − sin 4 x + C. 2 2 2 4 2 8 1 + cos8 x 1 1 1 x 1 b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx = ∫ dx = ∫ (1 + cos8 x ) dx = x + sin 8 x + C = + sin 8 x + C. 2 2 2 8 2 16 c) Sử dụng liên tiếp các công thức hạ bậc hai cho sin2x và cos2x ta được: 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 2 x 1 − cos 2 x 2 cos 2 x.sin 4 x = cos 2 x.( sin 2 x ) = 2 = . . = . = 2 2 2 2 2 4 2 1 1 1 = sin 2 2 x.(1 − cos 2 x ) = sin 2 2 x − sin 2 2 x.cos 2 x 8 8 8 1 1 1 1 − cos 4 x 1 Khi đó I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx = ∫ sin 2 2 x dx − ∫ sin 2 2 x.cos 2 x dx = ∫ dx − ∫ sin 2 2 x d ( sin 2 x ) = 8 8 8 2 16 1 1 1 sin 3 2 x 1 1 1 = x − sin 4 x − . + C → I 6 = x − sin 4 x − sin 3 2 x + C. 16 64 16 3 16 64 48 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx a) I 7 = ∫ sin 3 x.cos x dx b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3 x dx c) I 9 = ∫ sin 3x + sin x Hướng dẫn giải: 1 a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được sin 3 x.cos x = ( sin 4 x + sin 2 x ) 2 ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = − cos4x − cos 2 x + C = − cos4 x − cos 2 x + C. 1 1 1 1 1 1 1 T ừ đó I 7 = ∫ 2 2 2 4 2 8 4 ( cos5 x + cos x ) dx = sin 5 x + sin x + C = sin 5 x + sin x + C. 1 1 1 1 1 b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3x dx = ∫ 2 25 10 2 dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) c) I 9 = ∫ =∫ =∫ = ∫ 2 =− ∫ sin 3x + sin x 2sin 2 x.cos x 2 4sin x.cos x 4 sin x.cos x2 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x 1 (1 − t ) + t 2 2 1 dt 1 dt dt Đặt cos x = t → I9 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 = − ∫ 4 (1 − t ) .t 2 2 dt = − ∫ 2 + ∫ 4 t 1 − t 2 dt 1 ∫t 2 = − + C1 t 1 1 1 1+ t Mà → I 9 = − − + ln + C. dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1 dt dt 1 1 + t 4 t 2 1− t ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2 ∫ 1 + t + ∫ 1 − t = 2 ln 1 − t + C2 1 1 1 1 + cos x Thay t = cosx vào ta được I 9 = − − + ln + C. 4 cos x 2 1 − cos x Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
- Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x.cos 4 x sin 3 x a) I1 = ∫ sin x.sin 2 x.cos5 x dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx tan 2 x + cot 2 x 3sin 4 x − sin 6 x − 3sin 2 x Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos3 x.cos 3x dx b) I 2 = ∫ cos 2 x.cos 2 x dx c) I 3 = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x)dx Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x cos 2 x dx b) I 2 = ∫ sin 3x cos x dx c) I 3 = ∫ (2sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x)dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề Thi Thử ĐH Môn TOÁN Lần I - THPT Chuyên Lê Quý Đôn [2009 - 2010]
12 p | 248 | 98
-
Đề Thi Thử ĐH Môn TOÁN Khối A B - THPT Chuyên Nguyễn Huệ - HN [2009 - 2010]
7 p | 178 | 76
-
Đề thi và đáp án kỳ thi thử ĐH môn Toán khối A-B (2009-2010)_THPT Nguyễn Trung Thiên Hà Tĩnh
5 p | 232 | 63
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác - Phần 2
3 p | 492 | 55
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm của các hàm vô tỉ - Thầy Đặng Việt Hùng
5 p | 365 | 55
-
Đề thi thử ĐH môn Toán lần 1 khối A, B năm 2011 trường thpt Nguyễn Đức Cảnh
6 p | 185 | 53
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng
1 p | 249 | 35
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Phương pháp từng phần tìm nguyên hàm - Thầy Đặng Việt Hùng
3 p | 257 | 33
-
Đề thi thử ĐH môn Toán lần 2 khối A năm 2011 trường thptTrần nguyên Hãn
5 p | 141 | 31
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng
3 p | 196 | 30
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng
4 p | 210 | 28
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 6) - Thầy Đặng Việt Hùng
4 p | 172 | 23
-
Thi thử ĐH môn Toán khối A-B năm 2010_THPT Nguyễn Huệ
7 p | 110 | 17
-
Đề thi thử ĐH môn Toán khối D lần 1 năm 2014 - Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
7 p | 238 | 12
-
Luyện thi ĐH môn Toán: Kỹ thuật đồng nhất tìm nguyên hàm
5 p | 84 | 9
-
Đề thi thử ĐH môn Toán lần 1 năm 2011 trường thpt Nguyễn Đức Cảnh
5 p | 82 | 7
-
Đề thi thử ĐH môn Toán - THPT Nguyễn Trung Thiên lần 1 (2010-2011)
6 p | 45 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn