zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

149
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm của hàm hữu tỉ thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P2 Thầy Đặng Việt Hùng P ( x) Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI (tiếp theo) Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 TH2: Q(x) = 0 có nghiệm kép P( x) Khi đó Q(x) được biểu diễn dưới dạng Q( x) = ( ax + b )  →I = ∫ 2 dx ( ax + b )2  1  dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau   du = − 1 + C  ∫ u 2 u m bm mx + n ( ax + b ) + n −  bm  →I = ∫ dx = ∫ a a dx = m dx dx Nếu P ( x) = mx + n  ( ax + b ) 2 ( ax + b ) 2 ∫ +n − a ax + b  ∫ a  ( ax + b ) 2 bm n− m d ( ax + b ) a d ( ax + b ) = m ln ax + b −  na − bm  . 1 + C = 2∫ a ∫ ( ax + b )2 a 2 +   a ax + b  a 2  ax + b Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Chú ý:  t −b x = Ngoài cách giải đã nêu trên, dạng nguyên hàm này có cách giải tổng quát là đặt t = ax + b  → a dt = adx Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2dx dx dx a) I1 = ∫x 2 − 2x + 1 b) I 2 = ∫ 6 x2 + 9 x + 1 c) I 3 = 25 x − 10 x + 1 2 ∫ Hướng dẫn giải: 2dx dx d ( x − 1) 2 2 a) I1 = 2 ∫ x − 2x + 1 =2 ∫ ( x − 1) 2 =2 ∫ ( x − 1) 2 =− x − 1 + C  → I1 = − x −1 + C. dx dx 1 d (3x + 1) 1 1 b) I 2 = ∫ 2 6 x + 9 x + 1 ∫ (3 x + 1)2 3 ∫ (3 x + 1) 2 = = =− + C  → I2 = − + C. 3(3 x + 1) 3(3 x + 1) dx dx 1 d (5 x − 1) 1 1 c) I 3 = ∫ =∫ = ∫ =− + C  → I3 = − + C. 25 x − 10 x + 1 2 (5 x − 1) 2 5 (5 x − 1) 2 5(5 x − 1) 5(5 x − 1) Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2x −1 4x2 − 3 1 − 5x a) I 4 = ∫ 4x + 4x + 1 2 dx b) I 5 = ∫ 4 x 2 + 12 x + 9 dx c) I 6 = ∫ 9x 2 − 24 x + 16 dx Hướng dẫn giải: 2x − 1 2x −1 a) I 4 = ∫ 4x 2 + 4x + 1 dx = ∫ ( 2 x + 1) 2 dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Cách 1: 2 x = t − 1 2x −1 t − 2 dt 1  dt 2dt  1 1 Đặt t = 2 x + 1  →  dt = 2dx  → I4 = ∫ ( 2 x + 1) 2 dx = ∫ 2 =  t 2 2 t ∫ − 2  t  2 ∫ = ln t + + C t 1 1  → I 4 = ln 2 x + 1 + + C. 2 2x + 1 Cách 2: ( ) 1 2x −1 (8 x + 4 ) − 2 1 (8 x + 4 ) dx − 2 dx 1 d 4x + 4x + 1 2 d ( 2 x + 1) I4 = ∫4x + 4x + 1 2 dx = 4 4x + 4x + 1 2 ∫ dx = 4 4 x2 + 4 x + 1 ∫ ∫ ( 2 x + 1) 2 = 4 ∫ 4x + 4x + 1 2 − ∫ ( 2 x + 1)2 2 ( 1 d 4x + 4x + 1 ) d ( 2 x + 1) 1 1 1 1 = 4 ∫ 4x + 4x + 1 2 − ( 2 x + 1) 4 2 ∫ = ln 4 x 2 + 4 x + 1 + 2x + 1 + C = ln 2 x + 1 + 2 2x + 1 + C. 4x2 − 3  12 x + 12  dx d ( 2 x + 3) 6 b) I 5 = ∫ dx = ∫ 1 − 2  dx = ∫ dx − 12 ∫ = x − 6∫ =x+ + C. 4 x + 12 x + 9  4 x + 12 x + 9  ( 2 x + 3) ( 2 x + 3) 2x + 3 2 2 2 1 − 5x 1 − 5x c) I 6 = ∫ 9x 2 − 24 x + 16 dx = ∫ ( 3x − 4 ) 2 dx Cách 1: t+4 5(t + 4)  1− x = 1 − 5x dt 1 5t + 17 ∫ ∫ ∫ Đặt t = 3 x − 4  → 3  → I6 = dx = 3 =− dt  dt = 3dx ( 3 x − 4 ) 2 t 2 3 9 t 2 1 17  1 17  5 17 = −  5ln t −  + C  → I 6 = −  5ln 3 x − 4 −  + C = − ln 3 x − 4 + + C. 9 t  9 3x − 4  9 9(3x − 4) Cách 2: 5 17 − ( 3x − 4 ) − 1 − 5x 3 dx = − 5 dx 17 dx 5 d ( 3 x − 4 ) 17 d ( 3x − 4 ) I6 = ∫ ( 3x − 4 ) 2 dx = ∫ 3 ( 3x − 4 ) 2 ∫− 3 3x − 4 3 ( 3 x − 4 ) 2 =− 9 ∫ 3x − 4 − ∫ 9 ( 3x − 4 )2 ∫ 5 17 1 5 17 = − ln 3x − 4 + . + C  → I 6 = − ln 3x − 4 + + C. 9 9 3x − 4 9 9 ( 3x − 4 ) TH3: Q(x) = 0 vô nghiệm 2  b  4ac − b 2 ≡ ( mx + n ) + k 2 2 Khi đó, Q(x) được biểu diễn dưới dạng Q( x) = ax + b + c = a  x + 2  +  2a  4a  1  dx = a d ( ax + b ) Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng các biến đổi sau   du 1 u ∫  u + a 2 2 = arctan   + C a a Nếu P(x) = αx + β thì ta có phân tích sau: α bα ( 2ax + b ) + β − I =∫ 2 αx + β dx = ∫ 2a 2a dx = α ( 2ax + b ) dx dx +  β − bα  dx ax + bx + c ax + bx + c 2 ∫ 2a ax + bx + c 2   ∫ 2 2a  ax + bx + c bα ( α d ax + bx + c 2  ) bα  dx α β− 2a dx = ∫ dx +  β −  ∫ = ln ax + bx + c + ∫ 2 2a ax + bx + c 2  2a   2 b  4ac − b 2 2a a  2 b  4ac − b 2 a x +  +  x +  +  2a  4a  2a  4a 2 bα  b   bα  β− dx+  2β −   2a  2ax + b ln ax 2 + bx + c +  α 2a α 2a  = 2a ln ax 2 + bx + c + a ∫  2 b  4ac − b 2 = 2a 4ac − b 2 arctan 4ac − b 2 + C. x+  +  2a  4a 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Nhận xét: Nhìn vào biểu thức của bài toán tổng quát trên có thể ban đầu làm cho các bạn phát hoảng, nhưng đừng quá bận tâm đến nó, bạn chỉ cần nắm được ý tưởng thực hiện của nó là phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu số, rồi tách thành hai bài toán nhỏ hơn đều thuộc dạng đơn giản đã học. Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx dx a) I1 = ∫x 2 + 2x + 3 4x + 4x + 2 c) I 3 = b) I 2 = ∫ 9 x + 24 x + 20 22 ∫ Hướng dẫn giải: dx dx d ( ) x + 1 1  x +1 a) I1 = 2 ∫ = = ∫ = arctan  ∫  + C. x + 2x + 3 ( x + 1) + 2 ( x + 1) + 2 ( ) 2 2 2 2  2  dx dx 1 d ( 2 x + 1) 1 b) I 2 = ∫ =∫ = ∫ = arctan ( 2 x + 1) + C. 4x + 4x + 2 ( 2 x + 1) + 1 2 ( 2 x + 1) + 1 2 2 2 2 2 dx dx d ( 3x + 4 ) 1  3x + 4  c) I 3 = ∫ 9x 2 + 24 x + 20 = ∫ ( 3x + 4 ) 2 +4 = ∫ ( 3x + 4 ) 2 +22 = arctan  2  2   + C. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3x + 5 4x −1 2 x4 − x a) I 4 = ∫ 2 x + x + 10 2 dx b) I 5 = ∫ 6x + 9x + 4 2 dx c) I 6 = ∫ x2 + 2x + 7 dx Hướng dẫn giải: 3 17 ( 4 x + 1) + 3x + 5 4 dx = 3 ( 4 x + 1) dx + 17 dx a) I 4 = ∫ 2 x + x + 10 2 dx = ∫ 4 2 x + x + 10 2 ∫ 4 2 x + x + 10 4 2 x + x + 10 2 2 ∫ d (2x 2 + x + 10 ) + 17 = 3 4 ∫2 x + x + 10 2 dx x 3 8 ∫ = ln 2 x 2 + x + 10 + 17 ( dx 2 ) ∫ x2 + + 5 4 8  1  79 2  x + 4  + 16    1 dx+   4x + 1  3 ( = ln 2 x 2 + x + 10 + 4 17 8  )  4 ∫ 2 3 = ln 2 x 2 + x + 10 + . 4 17 4 8 79 ( arctan   79  )  + C. 1   79  2  x +  +    4   4   4x + 1  3 Vậy I 4 = ln 2 x 2 + x + 10 + 4 ( 17 2 79 arctan  )  79   + C. 1 4x − 1 (12 x + 9 ) − 4 1 (12 x + 9 ) dx dx b) I 5 = ∫ 2 dx = ∫ 3 dx = ∫ 2 dx − 4∫ 2 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 2 3 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 1 d (6x + 9x + 4) d ( 3 x + 1) 2 = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − ∫ dx 1 4 = ∫ dx − 4∫ 6x + 9x + 4 ( 3x + 1) + 3 3 3 ( 3 x + 1)2 + 3 2 ( ) 2 2 3  3x + 1   3x + 1  = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − . → I 5 = ln ( 6 x 2 + 9 x + 4 ) − 1 4 1 1 4 arctan   + C  arctan   + C. 3 3 3  3  3 3 3  3  2 x4 − x  25 x − 7  2 x3 25 x − 7 c) I 6 = 2 ∫ x + 2x + 7  ∫ dx =  2 x 2 − 4 x + 1 + 2 x + 2x + 7   dx = 3 − 2x2 + x + 2 x + 2x + 7 dx ∫ 25 25 x − 7 ( 2 x + 2 ) − 32 25 ( 2 x + 2 ) dx dx Đặt J = 2 ∫ x + 2x + 7 dx = 2 2 x + 2x + 7 ∫ dx = 2 x + 2x + 7 2 dx − 32 2 ∫ x + 2x + 7 ∫ Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( 25 d x + 2 x + 7 2 ) d ( x + 1) = ∫ dx − 32 dx ∫ ( x + 1) = 25 ( ) ln x 2 + 2 x + 7 − 32 ∫ x2 + 2 x + 7 ( x + 1)2 + ( ) 2 2 2 +6 2 6 x +1  x +1 25 2 ( ln x 2 + 2 x + 7 − 32 6 )arctan 6  → I6 = 2 x3 3 25 − 2 x 2 + x + ln x 2 + 2 x + 7 − 2 32 6 (arctan   6   + C.) Tổng kết: Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải quyết bài toán là xử lý mẫu số. P ( x) 1 A B  ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 )  → 2 =  +  ax + bx + c a  x − x1 x − x2  P ( x) du 1 u ax 2 + bx + c = ( mx + n ) + k 2  →∫ 2 Nếu = arctan + C ax + bx + c 2 u +α 2 α α 2 du 1 ax 2 + bx + c = ( mx + n )  →∫ 2 = − + C 2 u u III. MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1; x2; x3 Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Ta có cách giải truyền thống là phân tích và đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy) P ( x) A B C Ta có Q( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 )  → = + + Q ( x) x − x1 x − x2 x − x3 Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C. Bài toán quy về nguyên hàm có mẫu số là bậc nhất đã xét ở trên. Chú ý: Để việc đồng nhất được, thì ta vẫn phải tuân thủ nguyên tắc là biến đổi sao cho bậc của tử số phải nhỏ hơn bậc của mẫ u s ố . Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx 6 x2 + x − 2 3x 4 − x 2 + 3x − 7 a) I1 = ∫ ( ( x − 2) x2 − 9 ) b) I 2 = x x2 − 1 ∫ ( dx ) c) I 3 = x x2 + x − 2 dx∫ ( ) Hướng dẫn giải: dx dx a) I1 = ∫ ( ( x − 2) x − 9 2 = ) ∫ ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) 1 A B C Ta có = + +  → 1 ≡ A( x 2 − 9) + B( x − 2)( x − 3) + C ( x − 2)( x + 3) ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) x − 2 x + 3 x − 3  1 A = − 5 0 = A + B + C    1 ⇔ 0 = −5B + C ⇔ B = 1 = −9 A + 6 B − 6C  30   1 C = 6  Nhận xét: Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời gian cho việc tính toán, suy nghĩ: dx 1 ( x + 3) − ( x − 3) 1 dx 1 dx I1 = ∫ = ∫ ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) 6 ( x − 2 )( x + 3)( x − 3) dx = ∫ 6 ( x − 2 )( x − 3) dx − 6 ( x − 2 )( x + 3) ∫ Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến! 6 x2 + x − 2 6 x2 + x − 2 b) I 2 = ∫ ( x x2 − 1 dx ) = ∫ x ( x + 1)( x − 1) dx Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 6 x2 + x − 2 A B C Cách 1: Ta có = + +  → 6 x 2 + x − 2 ≡ A( x 2 − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) x ( x + 1)( x − 1) x x + 1 x − 1  A = 2  5  6 = A + B + C  3   3 2  3 5 ⇔ 1 = − B + C ⇔  B =  −2 = − A  2 → I2 =  + 2  x x +1 x −1  2 2 ∫ + 2  dx = 2ln x + ln x + 1 + ln x − 1 + C .   5   C = 2 6 x2 + x − 2 ( ) 2 3 x 2 − 1 + ( x − 1) + 1 ( 3x 2 ) − 1 dx ( x − 1) dx + dx Cách 2: I 2 = ∫ x(x 2 −1 ) dx = ∫ x −x3 dx = 2 ∫ x −x3 dx + ∫ x −x 3 ∫x 3 −x = ( d x3 − x ) dx + dx dx =2 ∫ ∫ x( x + 1) + ∫ x( x − 1)( x + 1) = 2ln x −x +J +K 3 x −x3 ( x + 1) − x dx 1 1  x Với J = ∫ x( x + 1) = ∫ x( x + 1) dx =  −  x x +1 ∫  dx = ln x − ln x + 1 = ln x +1 dx ( x + 1) − x dx dx x − ( x − 1) 1 ( x + 1) − ( x − 1) K= ∫ x( x − 1)( x + 1) = ∫ x( x − 1)( x + 1) dx = x( x − 1) − ∫ ( x + 1)( x − 1) = ∫ x( x − 1) dx − 2 ( x + 1)( x − 1) ∫ dx = ∫ x − ( x − 1) 1 ( x + 1) − ( x − 1)  1 1 1  1 1  x −1 1 x −1 = ∫ x( x − 1) dx − ∫ 2 ( x + 1)( x − 1) dx =  −  dx −  x −1 x   ∫ − 2  x −1 x +1   dx = ln x ∫ − ln 2 x +1 x x −1 1 x −1 Từ đó ta được I 2 = 2ln x3 − x + ln + ln − ln + C. x +1 x 2 x +1 Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, các em hãy tìm lời giải khác thông minh hơn nhé! 3x 4 − x 2 + 3x − 7   3x − 3 + 8 x − 3x + 7  dx = 3 x − 3 x + J 2 2 c) I 3 = ∫ ( x x2 + x − 2 dx =  ) ∫ x x2 + x − 2  2 ( )   8 x 2 − 3x + 7 8 x 2 − 3x + 7 Với J = ∫ ( x x2 + x − 2 dx = ) ∫ x ( x − 1)( x + 2 ) dx 8 x 2 − 3x + 7 A B C Ta có = + +  → 8 x 2 − 3 x + 7 ≡ A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1) x ( x − 1)( x + 2 ) x x − 1 x + 2  7 8 = A + B + C A = − 2  7 15    −   4 7 15 ⇔ −3 = A + 2 B − C ⇔  B = 4    →J =  2 +  x 2 ∫ + 2  dx = − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C. x −1 x + 2  2 7 = −2 A C = 15    2 3x 2 7 15 V ậy I 3 = − 3 x − ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C. 2 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 4x −1 3x + 7 3x 2 + 1 a) I 7 = ∫ dx b) I8 = ∫ dx c) I 9 = ∫ dx x + 2x + 1 2 4x + 4x + 1 2 9 x2 + 6 x + 1 Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 4 x 2 − 3x + 1 2 x 2 + 3x + 2 3 − 2x a) I10 = ∫ dx b) I11 = ∫ dx c) I12 = ∫ dx 4x2 − 4x + 1 x2 − 4 x + 4 x − 6x + 9 2 Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 − 3x 3x + 1 dx a) I13 = ∫ dx b) I14 = ∫ dx c) I15 = ∫ x − 4x + 5 2 x + x+2 2 2x − x + 1 2 Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 x +1 4x + 1 a) I16 = ∫ dx b) I17 = ∫ dx c) I18 = ∫ dx x −x+4 2 4x + x + 1 2 x − x +1 2 Bài 5: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: dx 2x +1 x2 + x + 1 a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x( x 2 − 1) ( x + 1)( x 2 − 9) ( x + 2)( x 2 + 4 x + 3) Bài 6: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 5x + 2 x +1 x2 a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx (1 + x)(4 − x 2 ) x( x 2 − 4) ( x 2 − 1)( x + 2) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.