intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Thành Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST
Báo xấu
143
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm của hàm hữu tỉ thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học môn Toán: Nguyên hàm của hàm hữu tỉ (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng P ( x) Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên hàm có bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số. I. MẪU SỐ LÀ BẬC NHẤT Khi đó Q(x) = ax + b.  Nếu bậc của P(x) lớn hơn thì ta chia đa thức. P( x) k k d (ax + b) k  Khi P(x) là hằng số (bậc bằng 0) thì ta có I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln ax + b + C. Q( x) ax + b a ax + b a Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4 x +1 2x + 1 x2 + x + 4 a) I1 = ∫ 2x − 1 dx b) I 2 = ∫ x −1 dx c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx d) I 4 = ∫ x+3 Hướng dẫn giải: 4 4 d (2 x − 1) a) Ta có I1 = ∫ 2x −1 dx = 2 ∫ 2x − 1 = 2ln 2 x − 1 + C. x +1 x −1+ 2  2  dx b) I 2 = ∫ x −1 dx = ∫ x −1 dx = 1 +  ∫  dx = dx + 2 x −1  ∫ x −1 ∫ = x + 2ln x − 1 + C. 1 5 − (3 − 4x ) + 2x + 1 2 dx =  − 1 + 5  1 5 dx 1 5 d (3 − 4x ) c) I 3 = ∫ 3 − 4x dx = 2 ∫ 3 − 4x  ∫   2 2 (3 − 4x )   dx = − x + 2 2 3 − 4x =− x− 2 ∫8 3 − 4x ∫ 1 5 1 5 = − x − ln 3 − 4 x + C  → I 3 = − x − ln 3 − 4 x + C. 2 8 2 8 x +x+4 2  10  d ( x + 3) x 2 d) I 4 = ∫ x+3 = ∫ x − 2 +  x +3  dx = ∫( ) x − 2 dx + 10 ∫ x + 3 = 2 − 2 x + 10ln x + 3 + C. Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x3 − x + 7 3 x3 + 3 x 2 + x + 2 4 x 4 + 3x 2 + x + 2 a) I 5 = ∫ dx b) I 6 = ∫ dx c) I 7 = ∫ dx 2x + 5 x −1 2x + 1 Hướng dẫn giải: 49 x3 − x + 7 1 2 5 21 a) Chia tử số cho mẫu số ta được = x − x+ − 8 2x + 5 2 4 8 2x + 5  49  x3 − x + 7 1 2 5 21  1 5 21  49 dx Khi đó I 5 = ∫ dx = ∫  x − x + − 8  dx = ∫  x 2 − x +  dx − ∫ 2x + 5 2 4 8 2x + 5  2 4 8  8 2x + 5   1 x3 5 x 2 21 49 d ( 2 x + 5 ) x 3 5 x 2 21x 49 = . − . + x− ∫ = − + − ln 2 x + 5 + C. 2 3 4 2 8 16 2x + 5 6 8 8 16 3x + 3x + x + 2 3 2  9  b) Ta có I 6 = ∫ dx = ∫  3 x 2 + 6 x + 7 +  dx = x + 3x + 7 x + 9ln x − 1 + C. 3 2 x −1  x −1  5 4 x 4 + 3x 2 + x + 2 1 c) Chia tử số cho mẫu số ta được = 2 x3 − x 2 + 2 x − + 2 2x +1 2 2x + 1 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  5  4 x 4 + 3x 2 + x + 2  3 1   1 5 dx Khi đó I 7 = ∫ dx = ∫  2 x − x + 2 x − + 2  dx = ∫  2 x 3 − x 2 + 2 x −  dx + ∫ 2 2x + 1  2 2x + 1   2 2 2x + 1   x 4 x3 1 5 d ( 2 x + 1) x 4 x 3 1 5 = 2. − + x 2 − x + ∫ = − + x 2 − x + ln 2 x + 1 + C. 4 3 2 4 2x + 1 2 3 2 4 II. MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c. Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x). TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2  Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số. P( x) P ( x) 1 A B   Nếu P(x) bậc nhất thì ta có phân tích Q( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )  → = =  +  Q( x) a ( x − x1 )( x − x2 ) a  x − x1 x − x2  Đồng nhất hệ số ở hai vế ta được A, B. Từ đó, quy về bài toán nguyên hàm có mẫu số là hàm bậc nhất đã xét ở trên.  Nếu P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta chia đa thức, quy bài toán về hai trường hợp có bậc của P(x) như trên để giải. Chú ý:  Việc phân tích đa thức thành nhân tử với các phương trình bậc hai có hệ số a khác 1 phải theo quy tắc ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − 1)(3 x − 1) : dung '. Ví dụ: 3x − 4 x + 1 = 2  1 ( x − 1)  x −  : sai.  3  Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây). Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx 2dx a) I1 = ∫x − 2x − 3 2 dx b) I 2 = ∫ 2 −3 x + 4 x − 1 2x + 3 3x + 4 c) I 3 = 2∫ x − 3x − 4 dx d) I 4 = ∫ 2 5x + 6x + 1 dx Hướng dẫn giải: dx dx 1 ( x + 1) − ( x − 3) 1  dx dx  1 x − 3 a) I1 = 2 ∫x − 2x − 3 dx =∫ = ∫ ( x + 1)( x − 3) 4 ( x + 1)( x − 3) ∫ dx =  4 x−3∫ −  = ln x +1 4 x +1 + C. 2dx dx dx −2 (3 x − 1) − 3( x − 1) b) I 2 = ∫ = −2 ∫ 2 = −2 ∫ ( x − 1)(3 x − 1) 4 ∫ ( x − 1)(3 x − 1) = dx −3 x + 4 x − 1 2 3x − 4 x + 1 1  dx dx  1 1 d (3 x − 1) 1 1 1 3x − 1 = − ∫ 2  x − 1 ∫ 3x − 1  −3  = − ln x − 1 + ∫ = − ln x − 1 + ln 3 x − 1 + C = ln + C. 2 2 3x − 1 2 2 2 x −1 2x + 3 c) I 3 = 2∫ x − 3x − 4 dx  Cách 1: 2x + 3 2x + 3 A B Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó 2 = = + x − 3 x − 4 ( x + 1)( x − 4 ) x + 1 x − 4  1  A=− 2 = A + B  Đồng nhất ta được 2 x + 3 ≡ A ( x − 4 ) + B ( x + 1)  5 → ← → 3 = −4 A + B  B = 11  5  1 11  2x + 3  −5  1 dx 11 dx 1 11 T ừ đó I 3 = 2 ∫ x − 3x − 4 dx =  ∫ + 5  dx = −  x + 1 x − 4  ∫ + ∫ 5 x +1 5 x − 4 = − ln x + 1 + ln x − 4 + C . 5 5   Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 11 Vậy I 3 = − ln x + 1 + ln x − 4 + C. 5 5  Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 2x + 3 2x − 3 + 6 (2 x − 3)dx dx d x 2 − 3x − 4 ( dx ) I3 = 2∫x − 3x − 4 dx = 2 ∫ x − 3x − 4 dx = 2 ∫ x − 3x − 4 +6 2 ∫ x − 3x − 4 = x − 3x − 4 2 ∫ +6 ( x + 1)( x − 4)∫ 6 ( x + 1) − ( x − 4) 6  dx dx  6 x−4 = ln x 2 − 3x − 4 + ∫ ∫ dx = ln x 2 − 3 x − 4 +  − ∫  = ln x − 3 x − 4 + ln + C. 2 5 ( x + 1)( x − 4) 5 x−4 x +1 5 x +1 Nhận xét: Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến đổi logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả. Thật vậy, theo cách 2 ta có: 6 x−4 6 6 1 11 ln x 2 − 3 x − 4 + ln = ln x − 4 + ln x + 1 + ln x − 4 − ln x + 1 + C = − ln x + 1 + ln x − 4 . 5 x +1 5 5 5 5 Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cũng không cần dùng đến giấy nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được! 3x + 4 3x + 4 d) I 4 = ∫ 2 dx = ∫ dx 5x + 6x + 1 ( x + 1)(5 x + 1)  Cách 1:  1  A=− 3x + 4 A B 3 = 5 A + B  4 Ta có = +  → 3 x + 4 ≡ A(5 x + 1) + B ( x + 1) ← →  → ( x + 1)(5 x + 1) x + 1 5 x + 1 4 = A + B  B = 17  4 3x + 4  1 17  1 dx 17 dx T ừ đó I 4 = ∫ dx = ∫  −  dx = − ∫ 4 x + 1 4 ∫ 5x + 1 + + ( x + 1)(5 x + 6)  4( x + 1) 4(5 x + 1)  1 17  → I 4 = − ln x + 1 + ln 5 x + 1 + C . 4 20  Cách 2: Do mẫu số có đạo hàm là 10x + 6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 3 22 3x + 4 (10 x + 6 ) + (10 x + 6 ) I4 = ∫ 2 dx = ∫ 10 2 10 dx = 3 22 dx 5x + 6x + 1 5x + 6x + 1 ∫ 10 5 x + 6 x + 1 2 dx + ∫ 2 10 5 x + 6 x + 1 3 d ( 5 x + 6 x + 1) 22 2 dx 3 22 (5 x + 1) − 5( x + 1) = ∫ + ∫ = ln 5 x 2 + 6 x + 1 − ∫ dx 10 5x + 6x + 1 2 10 (5 x + 1)( x + 1) 10 40 (5 x + 1)( x + 1) 3 22  dx 5dx  3 11 x +1 = ln 5 x 2 + 6 x + 1 −  ∫ −∫  = ln 5 x + 6 x + 1 − ln 2 + C. 10 40  x + 1 5 x + 1  10 20 5 x + 1 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4 x3 + 2 x − 1 5− x a) I 5 = ∫ dx b) I 6 = ∫ dx x2 − 1 3 − 2 x − x2 Hướng dẫn giải: 4 x3 + 2 x − 1  6x −1  a) Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được I 5 = ∫ dx = ∫  4 x + 2  dx x −1 2  x −1   7  A= 6x −1 6x −1 A B 6 = A + B  2 Ta có 2 = = +  → 6 x − 1 ≡ A( x − 1) + B ( x + 1) ⇔  ⇔ x − 1 ( x − 1)( x + 1) x + 1 x − 1  −1 = − A + B B = 5  2  7 5  7 5  → I5 = ∫  4 x + +  dx = 2 x + ln x + 1 + ln x − 1 + C. 2   2 ( x + 1) 2 ( x − 1)  2 2 5− x x−5 x −5 A B b) Ta có = 2 = = +  → x − 5 ≡ A( x + 3) + B ( x − 1) 3 − 2x − x 2 x + 2 x − 3 ( x − 1)( x + 3) x − 1 x + 3 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
  4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 = A + B  A = −1 5− x  −1 2  dx dx  → ⇔ → I6 = ∫  dx = ∫  +  dx = − ∫ + 2∫  −5 = 3 A − B B = 2 3 − 2x − x  x −1 x + 3  x −1 x+3 2 = − ln x − 1 + 2ln x + 3 + C = ln ( x − 3)2 + C  → I 6 = ln ( x − 3) 2 + C. x −1 x −1 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 x 2 + 3x − 1 3 x3 + 3x 2 + x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x+3 x +1 x −1 Bài 2: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: x3 − x + 7 x +1 5x 4 − 3x2 + x a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx 2x + 5 4 − 3x 3x + 1 Bài 3: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 2x −1 3x + 4 3x2 + 1 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx x 2 + 3x + 2 5x2 + 6x + 1 2 x 2 + 3x + 1 Bài 4: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: 5 + 4x 5x + 3 1 − 5x a) I 4 = ∫ dx b) I 5 = ∫ dx c) I 6 = ∫ dx 3 − 2x − x2 2x2 − x − 1 4x2 + 5x + 1 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH !
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
17=>2