Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân

Chia sẻ: Phạm Thành Danh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

1.249
lượt xem 444
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu luyện thi môn toán gồm hệ thống các bài tập tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 ∫ ( x + x + 1)dx ∫ (x + x + x 3 + x 2 )dx 2 1. 0 2. 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 2 ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx 1 ∫ (e + x )dx x π 4. 5. 0 3 1 2 ∫ ( x + x x )dx ∫( 3 x + 1)( x − x + 1)dx 6. 7. 0 1 π 2 1 ∫ (3sin x + 2cosx + x )dx 1 ∫ (e + x 2 + 1)dx x π 9. 8. 0 3 2 2 ∫ ( x + x x + x )dx ∫( x − 1)( x + x + 1)dx 2 3 10. 11. 1 1 3 2 x.dx ∫ (x ∫x + 1)dx 3 . +2 2 13. 1 12. −1 2 e 5 7x − 2 x − 5 dx ∫ ∫ dx x+ 2 + x − 2 x 14. 15. 2 1 π 2 3 cos x. dx ∫ 3 si x 2 ( + 1)dx x . ∫x n π + xl x 2 n 16. 1 17. 6 π 1 ex − e− x 4 tgx .dx ∫ ∫ ex + e− x dx 2 cos x 18. 0 19. 0 1 2 ex . dx dx ∫ ∫ −x 20. 0 e + e 21. 1 4x + 8x x 2 π l3 n 2 dx dx . ∫ ∫ 1 + si x e + e− x x n 22. 22. 0 0 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx π π 1. 2. 3 3 π π 2 4 sin x ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 3. 3. 0 0 π π 4 ∫ cot gxdx 6 ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 4. 5. 0 6 1 1 ∫x ∫x x 2 + 1dx 1 − x 2 dx 6. 7. 0 0 1 1 x2 ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 dx x3 + 1 8. 9. 0 0 1 2 1 ∫x ∫x 1 − x 2 dx 3 dx x3 + 1 10. 11. 0 1 1 1 1 1 ∫ 1 + x 2 dx ∫x dx + 2x + 2 2 12. 13. 0 −1 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 22 ) x2 + 1 14. 15. 0 0 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx π π 16. 17. 4 4 π 2 ∫ sin 1 3 xcos 2 xdx ∫e 2 +2 x xdx π 18. 19. 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx π π 20. 21. 4 4 π 2 ∫ sin 1 3 xcos 2 xdx ∫e 2 +2 x xdx π 23. 22. 0 3 π π 2 ∫ sin 2 3 2 xcos xdx sin x ∫ 1 + 3cosx dx π 24. 25. 0 3
π π 4 ∫ cot gxdx 4 ∫ tgxdx π 26. 27. 0 6 π 1 6 ∫ ∫x 1 + 4sin xcosxdx x 2 + 1dx 28. 29. 0 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 1 x2 ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx x +13 32. 33. 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx x x3 + 1 34. 35. 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ x dx ∫ dx x 36. 1 37. 1 e2 1 + ln 2 x e 2 ln x +1 e ∫ x ln x dx ∫ dx 38. 1 x 39. e e2 2 1 x ∫ cos 2 (1 + ln x) dx ∫ 1+ dx x −1 40. 41. e 1 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 2x +1 42. 43. 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx x +1 + x x +1 − x 44. 45. 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ dx dx x x 46. 46. 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ x dx ∫ dx x 47. 1 48. 1 e2 1 + ln 2 x e 2 ln x +1 e ∫ x ln x dx ∫ x dx 49. 1 50. e 1 ∫ x 2 x 3 + 5dx e2 1 ∫ cos 2 (1 + ln x) dx 51. 52. 0 e
π 4 2 ∫ ( sin ∫ x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 4 53. 54. 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 1 + x2 55. 0 56. 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b ∫ u( x)v'(x)dx = u( x)v( x) − ∫ v ( x )u '( x )dx b a Công thức tích phân từng phần : a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax  β   ∫ f ( x) cosax dx e ax  α   ̣ @ Dang 1 u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax     ⇒      dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax        β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α  dx du = x u = ln(ax ) ⇒   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ ̣ Đăt β ax sin ax  ∫ e . cosax dx   ̣ @ Dang 3: α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 2 e x  1 x 2e x  3 dx x8 dx ∫ ( x + 1)2 ∫4 3  dv = ( x + 1) 2 dx b/ 2 ( x − 1) đăt đăt  ̣ ̣ a/ 0 u = x 5   x 3dx dv = 4  ( x − 1)3 
1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx ∫ (1 + x 2 )2 0 (1 + x 2 )2 =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 c/ 0 0 1 dx =∫ 1 + x2 ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ Tinh I 1 0 u = x  1 2 x dx  x ∫ (1 + x 2 )2  dv = (1 + x 2 ) 2 dx băng phương phap từng phân : đăt  ́ ̀ ́ ̀ ̣ Tinh I 2 = 0 Bài tập e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx x3 1. 1 2. 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e ln 3 x ∫ x3 dx ∫ x ln xdx 5. 1 6. 1 1 e ∫ x ln( x + 1)dx ∫x 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π 2 e 1 ∫ ( x + cosx) s inxdx ∫x( x + ) ln xdx 9. 10. 1 0 π 3 ∫ x tan 2 2 xdx ∫ ln( x + x)dx 2 π 11. 12. 4 1 π 2 2 ∫ x cos xdx ln x ∫ dx x5 13. 14. 0 1 π 1 2 ∫ ∫ xe x dx e x cos xdx 15. 16. 0 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5 b 2x −1 1 ∫ x 2 − 3x + 2 dx ∫ ( x + a)( x + b) dx 2. a 1. 3 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 ∫ x + 1 dx ∫ x 2 + 1 dx 4. 3. 0 0 1 1 2 x 1 ∫ (3x + 1) 3 dx ∫ ( x + 2) dx ( x + 3) 2 2 5. 6. 0 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx 7. 1 8. − x 2 n −3 1 3 x4 ∫ (1 + x 2 ) n dx ∫ 2 2 dx 9. 2 ( x − 1) 10. 0 2 2 x2 − 3 1 ∫ 4 2 dx ∫ x(1 + x 4 ) dx 11. 1 x( x + 3x + 2) 12. 1 2 1 1 x ∫ 4 + x 2 dx ∫1+ x dx 4 13. 0 14. 0 2 1 1 x ∫ x 2 − 2 x + 2dx ∫ (1 + x dx 23 ) 15. 0 16. 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫3 dx 18. 2 x − 3 x + 2 17. 2 1 2 1− x2 1 ∫ 1 + x 3 dx ∫ 1 + x 4 dx 19. 1 20. 0 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 ∫ ∫ 1 + x 2 dx dx x6 + 1 22. 0 21. 0 1 4 x + 11 ∫ dx 1 1+ x4 ∫ 1 + x 6 dx x + 5x + 6 2 23. 24. 0 0 1 dx ∫ x2 + x + 1 25. 26. 0 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 2 x cos 4 xdx 2 x cos 3 xdx 2. 0 1. 0 π π 2 2 ∫ sin ∫ (sin x + cos 3 ) dx 4 x cos 5 xdx 3 3. 4. 0 0 π π 2 2 ∫ cos 2 x(sin ∫ (2 sin x + cos 4 x)dx x − sin x cos x − cos 2 x) dx 4 2 5. 6. 0 0 π π 2 1 ∫ sin x dx 2 ∫ (sin x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx 10 π 7. 8. 0 3 π π 2 2 dx 1 ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 9. 10. 0 0 π π 3 dx ∫ sin 3 x 2 ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 11. 12. 0 6 π π 4 2 dx cos x ∫ sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx 13. 14. 0 0 π π 2 2 cos x sin x ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 15. 16. 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 17. 18. 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx π (1 − cos x ) 2 − 19. 20. 3 2 π π 4 ∫ cot g 3 xdx 4 ∫ tg xdx 3 π 22. 6 21. 0
π π 3 ∫ tg xdx 4 4 1 ∫ 1 + tgx dx π 24. 0 23. 4 π π 4 dx ∫ sin x + 7 cos x + 6 2 π ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx cos x cos( x + ) 0 4 25. 26. 0 π 2π 4 dx ∫ ∫ 2 sin x + 3 cos x + 1 + sin x dx 13 27. 28. 0 0 π π 1 + cos 2 x + sin 2 x 3 4 2 4 sin x ∫ 1 + cos ∫ dx dx sin x + cos x 4 x 29. 30. 0 0 π π 2 dx ∫ 2 sin 3x ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 31. 32. 0 4 π π 3 4 2 sin x ∫ cos ∫ sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx dx 2 x 33. 34. 0 0 π sin 3 x − sin x 33 ∫ π dx ∫ cos x sin 3 xtgx sin x dx π 35. 36. 0 4 π π 2 2 dx dx ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 37. 38. 0 0 π π 2 ∫ cos 3 5 x sin xdx 4 sin 4 xdx ∫ 1 + cos π 2 x 39. 40. 0 4 π π 6 dx ∫ 2 dx ∫ 5 sin x + 3 4 π sin x cos x 2. 6 41. 0 π π 3 dx 3 dx ∫ ∫ π π sin x sin( x + ) sin x cos( x + π π ) 6 4 43. 6 4. 4
π π π sin 2 xdx 3 3 ∫6 ∫ tgxtg ( x + 6 )dx π cos x π 45. 46. 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 47. 48. 0 2 π π 2 2 ∫ sin ∫x 2 3 x dx cos xdx 49. 50. 0 0 π π 1 + sin x 2 2 ∫ sin 2 x.e ∫ 1 + cos x e 2 x +1 x dx dx 51. 52. 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x ∫ tgx + cot g 2 x dx 2 sin 2 xdx ∫ sin π x − 5 sin x + 6 2 53. 54. 0 6 π 3 ln(sin x ) 2 ∫ dx ∫ cos(ln x)dx cos 2 x π 55. 56. 6 1 π π 2 ∫ (2 x − 1) cos ∫ x sin x cos 2 2 xdx xdx 57. 58. 0 0 π π 4 ∫ xtg xdx ∫e 2 2x sin 2 xdx 59. 60. 0 0 π π 2 4 ∫e ∫ ln(1 + tgx)dx sin 2 x sin x cos 3 xdx 62. 0 61. 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 64. 63. 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x)dx π − 65. 66. 0 2
π 2 4sin 3 x ∫ dx 1 + cos x 67. 68. 0 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a a−x π ∈ [0; ] +) R(x, a + x ) §Æt x = a cos2t, t 2 a sin t a2 − x2 +) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = a cos t ax + b ax + b n n +) R(x, cx + d ) §Æt t = cx + d 1 +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx + βx + γ Víi ( 2 αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = αx + βx + γ , hoÆc ®Æt 2 1 t = ax + b ππ ∈ [− ;] a tgt +) R(x, a + x ) §Æt x = 2 2 22 , t π a ∈ [0; π ] \ { } +) R(x, x − a ) §Æt x = cos x , t 2 2 2 ( ) Gäi k = BCNH(n ; n1 n n x ; 2 x ;.; i x .. +) R 1 n2; ...; ni) §Æt x = tk
2 dx ∫ 23 dx ∫ x x2 −1 2 x x +4 2 2. 1. 5 3 1 2 dx ∫ (2 x + 3) 2 dx ∫x 4 x + 12 x + 5 2 1 x3 + 1 − 3. 4. 1 2 2 2 dx ∫ ∫ x + 2008dx 2 6. 1 x + 2008 2 5. 1 1 1 ∫x ∫ 1 + x dx (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 7. 0 8. 0 2 3 x +1 1+ x 2 2 ∫x ∫ dx dx 1− x x2 +1 2 9. 10. 1 0 2 1 2 dx dx ∫ ∫ 11. 0 (1 + x ) (1 − x 2 ) 3 23 12. 0 2 1 x 2 dx 2 ∫ ∫ 1 + x dx 2 1− x2 13. 14. 0 0 π π 2 2 cos xdx ∫ ∫ sin x cos x − cos 2 x dx 15. 0 7 + cos 2 x 16. 0 π π sin 2 x + sin x 2 2 cos xdx ∫ ∫ dx 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 17. 18. 0 0 3 7 x 3 dx ∫ ∫x 10 − x 2 dx 3 1+ x 2 3 19. 20. 0 0 1 1 x 3 dx xdx ∫ ∫ 21. 0 2 x + 1 22. 0 x + x + 1 2 1 7 dx ∫x ∫ 1 + 3 x 8 dx 15 23. 2 2 x + 1 + 1 24. 0 π ln 3 2 dx ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6 ex +1 25. 0 26. 0
1 ln 2 e 2 x dx dx ∫ ∫ 27. −11 + x + x + 1 ex +1 2 28. 0 1 ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx e 1 + 3 ln x ln x ∫ dx 5 x 29. 30. 1 4 4 3 x5 + x3 ∫ ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx dx 1+ x 2 31. 32. 0 0 0 ln 3 ln 2 x ∫ x(e + 3 x + 1)dx ∫ 2x dx x ln x + 1 33. 34. −1 ln 2 cos 2 x π + 2 3tgx ln 2 e x dx 3 cos 2 x ∫ ∫ dx cos 2 x (e x + 1) 3 35. 0 36. 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx ∫ ∫ 37. 0 2 + cos 2 x 38. 0 1 + cos x 2 7 2a x+2 ∫ ∫ x 2 + a 2 dx dx 39. 0 x + 3 3 40. 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a; a], a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx khi ®ã: −a 0 3π 3π ; VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [ 2 2 ] tháa m∙n f(x) + f(x) = 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 ∫π f ( x)dx 3 − TÝnh: 2 1 x 4 + sin x ∫ dx −1 1 + x 2 +) TÝnh Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [ a ∫ f ( x)dx a, a], khi ®ã: − a = 0.
π 2 ∫π cos x ln( x + 1 + x 2 )dx 1 ∫ ln( x + 1 + x )dx 2 − VÝ dô: TÝnh: −1 2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn a a ∫ ∫ f ( x)dx f ( x )dx [a, a], khi ®ã: = 2 0 −a π 2 x + cos x ∫ dx 4 − sin 2 x 1 x dx ∫x π − x +1 4 2 − VÝ dô: TÝnh 2 −1 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) [a, a], khi ®ã: − 0 π 2 sin x sin 3 x cos 5 x ∫π 3 x2 +1 dx ∫ x dx 1+ ex −3 1 + 2 − VÝ dô: TÝnh: 2 π Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2 ], th× π π 2 2 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 0 π sin 2009 x 2 ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx VÝ dô: TÝnh 0 π 2 sin x ∫ dx sin x + cos x 0 Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [1; 1], khi ®ã: π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx 0 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b ∫ f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx ⇒ Bµi to¸n 6: a a 0 0
π π 4 x sin x ∫ 1 + cos 2 x dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx VÝ dô: TÝnh 0 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx ⇒ a 0 nT T ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 4 ∫π dx 1 1− x 2 ∫ cos 4 x dx 1+ 2x − 1. −1 2. 4 π x + cos x 2 ∫π 4 − sin dx 1 dx ∫1 (1 + e x )(1 + x 2 ) 2 x − 3. − 4. 2 1 1− x 2 ∫ cos 2 x ln(1 + x )dx 2π ∫ sin(sin x + nx)dx 1 − 5. 6. 0 2 tga cot ga π xdx dx sin 5 x 2 ∫ 1+ x2 + ∫ =1 ∫ dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 1 −π 7. 8. (tga>0) e e 2 VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫x ∫x − 1 dx − 4 x + 3 dx 2 2 2. 1. −3 0 π 2 ∫π sin x dx 2 1 ∫ ∫ x x − m dx x − x dx 2 − 3. 0 4. 0 2 π 3 ∫ π tg 2 x + cot g 2 x − 2dx ∫ 1 − sin x dx π 5. 6. 6 −π
3π 4 ∫ sin 2 x dx 2π ∫ 1 + cos x dx π 7. 8. 0 4 3 5 ∫2 ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx − 4 dx x 9. − 2 10. 0 π 3 ∫π cos x cos x − cos 3 x dx − 11. 12. 2