Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân
lượt xem 444
download
Tài liệu luyện thi môn toán gồm hệ thống các bài tập tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và nguyên hàm cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bài tập Toán về Nguyên hàm tích phân
- I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1 e 1 1 ∫ ( x + x + 1)dx ∫ (x + x + x 3 + x 2 )dx 2 1. 0 2. 1 3 2 ∫ ∫ x − 2 dx x + 1dx 2. 3. 1 1 π 2 ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx 1 ∫ (e + x )dx x π 4. 5. 0 3 1 2 ∫ ( x + x x )dx ∫( 3 x + 1)( x − x + 1)dx 6. 7. 0 1 π 2 1 ∫ (3sin x + 2cosx + x )dx 1 ∫ (e + x 2 + 1)dx x π 9. 8. 0 3 2 2 ∫ ( x + x x + x )dx ∫( x − 1)( x + x + 1)dx 2 3 10. 11. 1 1 3 2 x.dx ∫ (x ∫x + 1)dx 3 . +2 2 13. 1 12. −1 2 e 5 7x − 2 x − 5 dx ∫ ∫ dx x+ 2 + x − 2 x 14. 15. 2 1 π 2 3 cos x. dx ∫ 3 si x 2 ( + 1)dx x . ∫x n π + xl x 2 n 16. 1 17. 6 π 1 ex − e− x 4 tgx .dx ∫ ∫ ex + e− x dx 2 cos x 18. 0 19. 0 1 2 ex . dx dx ∫ ∫ −x 20. 0 e + e 21. 1 4x + 8x x 2 π l3 n 2 dx dx . ∫ ∫ 1 + si x e + e− x x n 22. 22. 0 0 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
- π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 3 xcos 2 xdx 2 xcos 3 xdx π π 1. 2. 3 3 π π 2 4 sin x ∫ 1 + 3cosx dx ∫ tgxdx 3. 3. 0 0 π π 4 ∫ cot gxdx 6 ∫ 1 + 4sin xcosxdx π 4. 5. 0 6 1 1 ∫x ∫x x 2 + 1dx 1 − x 2 dx 6. 7. 0 0 1 1 x2 ∫ x x + 1dx ∫ 3 2 dx x3 + 1 8. 9. 0 0 1 2 1 ∫x ∫x 1 − x 2 dx 3 dx x3 + 1 10. 11. 0 1 1 1 1 1 ∫ 1 + x 2 dx ∫x dx + 2x + 2 2 12. 13. 0 −1 1 1 1 1 ∫ ∫ (1 + 3x dx dx 22 ) x2 + 1 14. 15. 0 0 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx π π 16. 17. 4 4 π 2 ∫ sin 1 3 xcos 2 xdx ∫e 2 +2 x xdx π 18. 19. 0 3 π π 2 2 ∫e ∫e sin x cosx cosxdx sin xdx π π 20. 21. 4 4 π 2 ∫ sin 1 3 xcos 2 xdx ∫e 2 +2 x xdx π 23. 22. 0 3 π π 2 ∫ sin 2 3 2 xcos xdx sin x ∫ 1 + 3cosx dx π 24. 25. 0 3
- π π 4 ∫ cot gxdx 4 ∫ tgxdx π 26. 27. 0 6 π 1 6 ∫ ∫x 1 + 4sin xcosxdx x 2 + 1dx 28. 29. 0 0 1 1 ∫ x 1 − x dx ∫x x 2 + 1dx 2 3 30. 31. 0 0 1 1 x2 ∫ ∫x 1 − x 2 dx 3 dx x +13 32. 33. 0 0 2 e 1 + ln x 1 ∫x ∫ dx dx x x3 + 1 34. 35. 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ x dx ∫ dx x 36. 1 37. 1 e2 1 + ln 2 x e 2 ln x +1 e ∫ x ln x dx ∫ dx 38. 1 x 39. e e2 2 1 x ∫ cos 2 (1 + ln x) dx ∫ 1+ dx x −1 40. 41. e 1 1 1 x ∫ ∫x x + 1dx dx 2x +1 42. 43. 0 0 1 1 1 1 ∫ ∫ dx dx x +1 + x x +1 − x 44. 45. 0 0 3 e x +1 1 + ln x ∫ ∫ dx dx x x 46. 46. 1 1 e e 1 + 3ln x ln x sin(ln x) ∫ x dx ∫ dx x 47. 1 48. 1 e2 1 + ln 2 x e 2 ln x +1 e ∫ x ln x dx ∫ x dx 49. 1 50. e 1 ∫ x 2 x 3 + 5dx e2 1 ∫ cos 2 (1 + ln x) dx 51. 52. 0 e
- π 4 2 ∫ ( sin ∫ x + 1) cos xdx 4 − x 2 dx 4 53. 54. 0 0 4 1 dx ∫ ∫ 4 − x 2 dx 1 + x2 55. 0 56. 0 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: b b ∫ u( x)v'(x)dx = u( x)v( x) − ∫ v ( x )u '( x )dx b a Công thức tích phân từng phần : a a Tich phân cac ham số dễ phat hiên u và dv ́ ́ ̀ ́ ̣ sin ax β ∫ f ( x) cosax dx e ax α ̣ @ Dang 1 u = f ( x) du = f '( x)dx sin ax sin ax ⇒ dv = cos ax dx v = ∫ cosax dx e ax e ax β ∫ f ( x) ln(ax)dx ̣ @ Dang 2: α dx du = x u = ln(ax ) ⇒ dv = f ( x)dx v = f ( x)dx ∫ ̣ Đăt β ax sin ax ∫ e . cosax dx ̣ @ Dang 3: α Ví dụ 1: tinh cac tich phân sau ́ ́́ u = x 2 e x 1 x 2e x 3 dx x8 dx ∫ ( x + 1)2 ∫4 3 dv = ( x + 1) 2 dx b/ 2 ( x − 1) đăt đăt ̣ ̣ a/ 0 u = x 5 x 3dx dv = 4 ( x − 1)3
- 1 1 1 1 1 + x2 − x2 x 2 dx dx dx ∫ (1 + x 2 )2 0 (1 + x 2 )2 =∫ dx = ∫ −∫ = I1 − I 2 1 + x 2 0 (1 + x 2 ) 2 c/ 0 0 1 dx =∫ 1 + x2 ́ băng phương phap đôi biên số ̀ ́ ̉ ́ Tinh I 1 0 u = x 1 2 x dx x ∫ (1 + x 2 )2 dv = (1 + x 2 ) 2 dx băng phương phap từng phân : đăt ́ ̀ ́ ̀ ̣ Tinh I 2 = 0 Bài tập e e 3 ln x ∫ ∫ x ln xdx dx x3 1. 1 2. 1 1 e ∫ x ln( x ∫x + 1)dx 2 2 ln xdx 3. 4. 0 1 e e ln 3 x ∫ x3 dx ∫ x ln xdx 5. 1 6. 1 1 e ∫ x ln( x + 1)dx ∫x 2 2 ln xdx 7. 8. 0 1 π 2 e 1 ∫ ( x + cosx) s inxdx ∫x( x + ) ln xdx 9. 10. 1 0 π 3 ∫ x tan 2 2 xdx ∫ ln( x + x)dx 2 π 11. 12. 4 1 π 2 2 ∫ x cos xdx ln x ∫ dx x5 13. 14. 0 1 π 1 2 ∫ ∫ xe x dx e x cos xdx 15. 16. 0 0 III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
- 5 b 2x −1 1 ∫ x 2 − 3x + 2 dx ∫ ( x + a)( x + b) dx 2. a 1. 3 1 1 x3 + x + 1 x3 + x + 1 ∫ x + 1 dx ∫ x 2 + 1 dx 4. 3. 0 0 1 1 2 x 1 ∫ (3x + 1) 3 dx ∫ ( x + 2) dx ( x + 3) 2 2 5. 6. 0 0 2 0 1− x 2x 3 − 6x 2 + 9x + 9 2008 ∫ x(1 + x 2008 ) dx ∫1 x 2 − 3x + 2 dx 7. 1 8. − x 2 n −3 1 3 x4 ∫ (1 + x 2 ) n dx ∫ 2 2 dx 9. 2 ( x − 1) 10. 0 2 2 x2 − 3 1 ∫ 4 2 dx ∫ x(1 + x 4 ) dx 11. 1 x( x + 3x + 2) 12. 1 2 1 1 x ∫ 4 + x 2 dx ∫1+ x dx 4 13. 0 14. 0 2 1 1 x ∫ x 2 − 2 x + 2dx ∫ (1 + x dx 23 ) 15. 0 16. 0 4 3 3x 2 + 3 x + 3 1 ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx ∫3 dx 18. 2 x − 3 x + 2 17. 2 1 2 1− x2 1 ∫ 1 + x 3 dx ∫ 1 + x 4 dx 19. 1 20. 0 1 1 x6 + x5 + x4 + 2 2 − x4 ∫ ∫ 1 + x 2 dx dx x6 + 1 22. 0 21. 0 1 4 x + 11 ∫ dx 1 1+ x4 ∫ 1 + x 6 dx x + 5x + 6 2 23. 24. 0 0 1 dx ∫ x2 + x + 1 25. 26. 0 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38.
- 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: π π 2 2 ∫ sin ∫ sin 2 x cos 4 xdx 2 x cos 3 xdx 2. 0 1. 0 π π 2 2 ∫ sin ∫ (sin x + cos 3 ) dx 4 x cos 5 xdx 3 3. 4. 0 0 π π 2 2 ∫ cos 2 x(sin ∫ (2 sin x + cos 4 x)dx x − sin x cos x − cos 2 x) dx 4 2 5. 6. 0 0 π π 2 1 ∫ sin x dx 2 ∫ (sin x + cos10 x − cos 4 x sin 4 x)dx 10 π 7. 8. 0 3 π π 2 2 dx 1 ∫ 2 − cos x ∫ 2 + sin x dx 9. 10. 0 0 π π 3 dx ∫ sin 3 x 2 ∫ 1 + cos 2 x dx 4 π sin x. cos x 11. 12. 0 6 π π 4 2 dx cos x ∫ sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x ∫ 1 + cos x dx 13. 14. 0 0 π π 2 2 cos x sin x ∫ 2 − cos x dx ∫ 2 + sin x dx 15. 16. 0 0 π π cos 3 x 2 2 1 ∫ 1 + cos x dx ∫ sin x + cos x + 1 dx 17. 18. 0 0 π π sin x − cos x + 1 2 2 cos xdx ∫ ∫π sin x + 2 cos x + 3 dx π (1 − cos x ) 2 − 19. 20. 3 2 π π 4 ∫ cot g 3 xdx 4 ∫ tg xdx 3 π 22. 6 21. 0
- π π 3 ∫ tg xdx 4 4 1 ∫ 1 + tgx dx π 24. 0 23. 4 π π 4 dx ∫ sin x + 7 cos x + 6 2 π ∫ 4 sin x + 5 cos x + 5 dx cos x cos( x + ) 0 4 25. 26. 0 π 2π 4 dx ∫ ∫ 2 sin x + 3 cos x + 1 + sin x dx 13 27. 28. 0 0 π π 1 + cos 2 x + sin 2 x 3 4 2 4 sin x ∫ 1 + cos ∫ dx dx sin x + cos x 4 x 29. 30. 0 0 π π 2 dx ∫ 2 sin 3x ∫ 1 + cos x dx π sin 2 x − sin x 31. 32. 0 4 π π 3 4 2 sin x ∫ cos ∫ sin 2 x(1 + sin 2 x) 3 dx dx 2 x 33. 34. 0 0 π sin 3 x − sin x 33 ∫ π dx ∫ cos x sin 3 xtgx sin x dx π 35. 36. 0 4 π π 2 2 dx dx ∫ 1 + sin x + cos x ∫ 2 sin x + 1 37. 38. 0 0 π π 2 ∫ cos 3 5 x sin xdx 4 sin 4 xdx ∫ 1 + cos π 2 x 39. 40. 0 4 π π 6 dx ∫ 2 dx ∫ 5 sin x + 3 4 π sin x cos x 2. 6 41. 0 π π 3 dx 3 dx ∫ ∫ π π sin x sin( x + ) sin x cos( x + π π ) 6 4 43. 6 4. 4
- π π π sin 2 xdx 3 3 ∫6 ∫ tgxtg ( x + 6 )dx π cos x π 45. 46. 4 6 π 0 sin 2 x ∫π (2 + sin x) 3 4 sin xdx ∫ (sin x + cos x) 3 2 − 47. 48. 0 2 π π 2 2 ∫ sin ∫x 2 3 x dx cos xdx 49. 50. 0 0 π π 1 + sin x 2 2 ∫ sin 2 x.e ∫ 1 + cos x e 2 x +1 x dx dx 51. 52. 0 0 π π 4 sin 3 x sin 4 x ∫ tgx + cot g 2 x dx 2 sin 2 xdx ∫ sin π x − 5 sin x + 6 2 53. 54. 0 6 π 3 ln(sin x ) 2 ∫ dx ∫ cos(ln x)dx cos 2 x π 55. 56. 6 1 π π 2 ∫ (2 x − 1) cos ∫ x sin x cos 2 2 xdx xdx 57. 58. 0 0 π π 4 ∫ xtg xdx ∫e 2 2x sin 2 xdx 59. 60. 0 0 π π 2 4 ∫e ∫ ln(1 + tgx)dx sin 2 x sin x cos 3 xdx 62. 0 61. 0 π π (1 − sin x ) cos x 4 2 dx ∫ (sin x + 2 cos x) ∫ (1 + sin x)(2 − cos dx 2 2 x) 64. 63. 0 0 π π 2 ∫ sin 2 x sin 7 xdx 2 ∫ cos x(sin 4 x + cos 4 x)dx π − 65. 66. 0 2
- π 2 4sin 3 x ∫ dx 1 + cos x 67. 68. 0 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: b ∫ R( x, f ( x))dx Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: a a−x π ∈ [0; ] +) R(x, a + x ) §Æt x = a cos2t, t 2 a sin t a2 − x2 +) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = a cos t ax + b ax + b n n +) R(x, cx + d ) §Æt t = cx + d 1 +) R(x, f(x)) = (ax + b) αx + βx + γ Víi ( 2 αx 2 + βx + γ )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = αx + βx + γ , hoÆc ®Æt 2 1 t = ax + b ππ ∈ [− ;] a tgt +) R(x, a + x ) §Æt x = 2 2 22 , t π a ∈ [0; π ] \ { } +) R(x, x − a ) §Æt x = cos x , t 2 2 2 ( ) Gäi k = BCNH(n ; n1 n n x ; 2 x ;.; i x .. +) R 1 n2; ...; ni) §Æt x = tk
- 2 dx ∫ 23 dx ∫ x x2 −1 2 x x +4 2 2. 1. 5 3 1 2 dx ∫ (2 x + 3) 2 dx ∫x 4 x + 12 x + 5 2 1 x3 + 1 − 3. 4. 1 2 2 2 dx ∫ ∫ x + 2008dx 2 6. 1 x + 2008 2 5. 1 1 1 ∫x ∫ 1 + x dx (1 − x 2 ) 3 dx 2 2 7. 0 8. 0 2 3 x +1 1+ x 2 2 ∫x ∫ dx dx 1− x x2 +1 2 9. 10. 1 0 2 1 2 dx dx ∫ ∫ 11. 0 (1 + x ) (1 − x 2 ) 3 23 12. 0 2 1 x 2 dx 2 ∫ ∫ 1 + x dx 2 1− x2 13. 14. 0 0 π π 2 2 cos xdx ∫ ∫ sin x cos x − cos 2 x dx 15. 0 7 + cos 2 x 16. 0 π π sin 2 x + sin x 2 2 cos xdx ∫ ∫ dx 1 + 3 cos x 2 + cos 2 x 17. 18. 0 0 3 7 x 3 dx ∫ ∫x 10 − x 2 dx 3 1+ x 2 3 19. 20. 0 0 1 1 x 3 dx xdx ∫ ∫ 21. 0 2 x + 1 22. 0 x + x + 1 2 1 7 dx ∫x ∫ 1 + 3 x 8 dx 15 23. 2 2 x + 1 + 1 24. 0 π ln 3 2 dx ∫ ∫ 1 − cos x sin x cos xdx 3 5 6 ex +1 25. 0 26. 0
- 1 ln 2 e 2 x dx dx ∫ ∫ 27. −11 + x + x + 1 ex +1 2 28. 0 1 ∫ 12 x − 4 x 2 − 8dx e 1 + 3 ln x ln x ∫ dx 5 x 29. 30. 1 4 4 3 x5 + x3 ∫ ∫ x 3 − 2 x 2 + x dx dx 1+ x 2 31. 32. 0 0 0 ln 3 ln 2 x ∫ x(e + 3 x + 1)dx ∫ 2x dx x ln x + 1 33. 34. −1 ln 2 cos 2 x π + 2 3tgx ln 2 e x dx 3 cos 2 x ∫ ∫ dx cos 2 x (e x + 1) 3 35. 0 36. 0 π π 3 2 cos xdx cos xdx ∫ ∫ 37. 0 2 + cos 2 x 38. 0 1 + cos x 2 7 2a x+2 ∫ ∫ x 2 + a 2 dx dx 39. 0 x + 3 3 40. 0 VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [a; a], a a ∫ f ( x)dx = ∫ [ f ( x) + f (− x)]dx khi ®ã: −a 0 3π 3π ; VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [ 2 2 ] tháa m∙n f(x) + f(x) = 2 − 2 cos 2 x , 3π 2 ∫π f ( x)dx 3 − TÝnh: 2 1 x 4 + sin x ∫ dx −1 1 + x 2 +) TÝnh Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [ a ∫ f ( x)dx a, a], khi ®ã: − a = 0.
- π 2 ∫π cos x ln( x + 1 + x 2 )dx 1 ∫ ln( x + 1 + x )dx 2 − VÝ dô: TÝnh: −1 2 Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn a a ∫ ∫ f ( x)dx f ( x )dx [a, a], khi ®ã: = 2 0 −a π 2 x + cos x ∫ dx 4 − sin 2 x 1 x dx ∫x π − x +1 4 2 − VÝ dô: TÝnh 2 −1 Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn a a f ( x) ∫a1 + b x dx = ∫ f ( x)dx (1 ≠ b>0, ∀ a) [a, a], khi ®ã: − 0 π 2 sin x sin 3 x cos 5 x ∫π 3 x2 +1 dx ∫ x dx 1+ ex −3 1 + 2 − VÝ dô: TÝnh: 2 π Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2 ], th× π π 2 2 ∫ f (sin x) = ∫ f (cos x)dx 0 0 π sin 2009 x 2 ∫ sin 2009 x + cos 2009 x dx VÝ dô: TÝnh 0 π 2 sin x ∫ dx sin x + cos x 0 Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [1; 1], khi ®ã: π ππ ∫ xf (sin x)dx = 2∫ f (sin x)dx 0 0 π π x x sin x ∫ 1 + sin x dx ∫ 2 + cos x dx VÝ dô: TÝnh 0 0 b b b b ∫ f (a + b − x )dx = ∫ f ( x )dx ∫ f (b − x) dx = ∫ f ( x)dx ⇒ Bµi to¸n 6: a a 0 0
- π π 4 x sin x ∫ 1 + cos 2 x dx ∫ sin 4 x ln(1 + tgx)dx VÝ dô: TÝnh 0 0 Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: a +T T ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx ⇒ a 0 nT T ∫ f ( x)dx = n ∫ f ( x)dx 0 0 2008π ∫ 1 − cos 2 x dx VÝ dô: TÝnh 0 C¸c bµi tËp ¸p dông: π x7 − x5 + x3 − x + 1 4 ∫π dx 1 1− x 2 ∫ cos 4 x dx 1+ 2x − 1. −1 2. 4 π x + cos x 2 ∫π 4 − sin dx 1 dx ∫1 (1 + e x )(1 + x 2 ) 2 x − 3. − 4. 2 1 1− x 2 ∫ cos 2 x ln(1 + x )dx 2π ∫ sin(sin x + nx)dx 1 − 5. 6. 0 2 tga cot ga π xdx dx sin 5 x 2 ∫ 1+ x2 + ∫ =1 ∫ dx x(1 + x 2 ) 1 + cos x 1 1 −π 7. 8. (tga>0) e e 2 VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 3 2 ∫x ∫x − 1 dx − 4 x + 3 dx 2 2 2. 1. −3 0 π 2 ∫π sin x dx 2 1 ∫ ∫ x x − m dx x − x dx 2 − 3. 0 4. 0 2 π 3 ∫ π tg 2 x + cot g 2 x − 2dx ∫ 1 − sin x dx π 5. 6. 6 −π
- 3π 4 ∫ sin 2 x dx 2π ∫ 1 + cos x dx π 7. 8. 0 4 3 5 ∫2 ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx − 4 dx x 9. − 2 10. 0 π 3 ∫π cos x cos x − cos 3 x dx − 11. 12. 2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chuyên đề nguyên hàm tích phân
22 p | 1599 | 672
-
BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
152 p | 1293 | 424
-
Chương 2: Nguyên hàm và tích phân - Bài 1 : Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
9 p | 1671 | 400
-
Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân
27 p | 1199 | 392
-
Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng
30 p | 1662 | 312
-
Lý thuyết toán học: Giới hạn - Đạo hàm - Vi Phân
152 p | 282 | 91
-
Tích phân và ứng dụng - Các phương pháp điển hình giải toán nguyên hàm: Phần 1
121 p | 332 | 78
-
Giới thiệu các phương pháp giải toán trắc nghiệm các vấn đề chủ yếu giải tích 12: Phần 2
189 p | 149 | 56
-
Đề cương ôn tập Toán 12 năm học 2016-2017
47 p | 215 | 51
-
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
8 p | 264 | 49
-
CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
50 p | 96 | 20
-
Giới thiệu các phương pháp giải toán tích phân: Phần 1
173 p | 104 | 11
-
Tuyển tập 500 Bài toán 12 (Tái bản lần thứ nhất): Phần 1
40 p | 14 | 7
-
Chuyên đề 9: Nguyên hàm, tích phân - GV. Nguyễn Bá Trung
39 p | 105 | 7
-
Nguyên hàm - tích phân - ứng dụng
7 p | 97 | 6
-
Ôn tập trọng tâm kiến thức môn Toán lớp 12 : Phần 2 - Trần Đình Cư
207 p | 19 | 3
-
Khóa luyện thi THPT quốc gia môn Toán: Nguyên hàm – Tích phân
9 p | 39 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn