Bài tiểu luận: Quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

318
lượt xem 45
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với kết cấu nội dung gồm 3 chương, bài tiểu luận "Quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng" giới thiệu đến các bạn những kiến thức bổ trợ về quan hệ hai ngôi, các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng, ví dụ áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tiểu luận: Quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 ĐẮK LẮK, tháng 4 năm 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ————oOo———— TIỂU LUẬN QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG Học viên: Trương Văn Đại Lớp: Toán Giải Tích K09 Khóa học: 2014 - 2016 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC T.S Ngô Đình Quốc ĐẮK LẮK, tháng 4 năm 2015
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày bài tiểu luận này, em xin phép được gửi lời cảm ơn đến thầy TS. Ngô Đình Quốc, thầy đã giảng dạy tận tình, đưa ra được nhiều vấn đề trong Toán học phổ thông cho học viên tìm hiểu, giúp em có được cách tiếp cận rõ ràng hơn về toán học phổ thông và một số kĩ năng về thực hiện một bài tiểu luận. Tuy đã cố gắng hoàn thành bài tiểu luận này nhưng không thể tránh khỏi những thiếu xót, em mong nhận được sự chỉ dạy và phản hồi của thầy để bài tiểu luận của em hoàn chỉnh hơn. Đắk Lắk, tháng 4, năm 2015 Học viên Trương Văn Đại i
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT v MỞ ĐẦU 1 1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3. Ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4. Nội dung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 3 1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Quan hệ bao hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các phép toán trên các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ii
1.3.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 9 2.1 Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 6: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán Lớp 6: 10 2.2.1 Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Định nghĩa 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.4 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 7(nâng cao): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Định nghĩa 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Định nghĩa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Quan hệ 00 ≤00 trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: . . . . 13 2.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 VÍ DỤ ÁP DỤNG 15 iii
3.1 Ví dụ 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Ví dụ 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Ví dụ 3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Ví dụ 4: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Tài liệu tham khảo 18 iv
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT N : Tập các số tự nhiên. Z : Tập các số nguyên. Q : Tập các số Hữu tỉ. v
MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề Trong học kỳ I của năm học 2014-2015 chúng tôi được học và tiếp xúc với giáo trình “ Những vấn đề hiện đại trong toán học phổ thông” do TS Ngô Đình Quốc giảng dạy và biên soạn. Được sự hướng dẫn, giúp đỡ và giới thiệu của Thầy tôi được tìm hiểu về nhiều vấn đề trong toán học phổ thông một lĩnh vực toán mà bản thân tôi đang trực tiếp giảng dạy. Nhằm mục đích tìm hiểu, trang bị thêm kiến thức và dùng làm tài liệu để tham khảo cho công tác giảng dạy sau này, tôi lựu chọn một vấn đề trong giáo trình mà Thầy Ngô Đình Quốc đã giới thiệu trong giáo trình để làm tiểu luận. Đó là lí do tôi chọn làm tiểu luận về "Các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng". 2. Mục đích Chỉ ra các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông, nghiên cứu về những tính chất của chúng và đưa ra một số ví dụ ứng dụng của các quan hệ hai ngôi. 1
3. Ý nghĩa Giúp trang bị thêm kiến thức và làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy sau này. 4. Nội dung Tiểu luận gồm ba chương Chương 1 : Kiến thức bổ trợ Chương 2 : Các quan hệ hai ngôi trong toán phổ thông và tính chất của chúng Chương 3 : Ví dụ áp dụng 2
Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy không được định nghĩa, có thể hiểu bằng trực giác rằng tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó, và gọi chúng là các phần tử của tập hợp đó. Ta thường gọi tắt tập hợp là “tập”. Để chỉ phần tử a thuộc tập A ta viết a ∈ A; trái lại để chỉ phần tử a không thuộc tập A ta viết a ∈ / A. Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅. 1.1.2 Định nghĩa Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu là A = B , nếu mỗi phần tử của A đều là một phần tử của B và ngược lại. 3
1.2 Quan hệ bao hàm 1.2.1 Định nghĩa Tập A được gọi là một tập con (hay một bộ phận) của tập B, ký hiệu A ⊆ B , nếu mỗi phần tử của A đều là một phần tử của tập.Nếu A ⊆ B và A 6= B thì ta gọi A là một tập con thực sự của B, ký hiệu A ⊆ B , ta quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập. Tập tất cả các tập con của một tập A được ký hiệu là P(A), nghĩa là: P (A) = { X | X ∈ A } 1.2.2 Mệnh đề Với A, B và C là ba tập bất kỳ, ta có các tính chất sau: (i) Phản xạ: A ⊆ A. (ii) Phản đối xứng: nếu A ⊆ B và B ⊆ A thì A = B . (iii) Bắc cầu: nếu A ⊆ B và B ⊆ C thì A ⊆ C . 1.3 Các phép toán trên các tập hợp 1.3.1 Định nghĩa Cho A và B là hai tập hợp (i) Hợp của A và B, ký hiệu là A ∪ B, là tập: A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B } (ii) Giao của A và B, ký hiệu là A ∩ B , là tập: A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B } Nếu A ∩ B = ∅ thì ta gọi A và B là hai tập rời nhau. (iii) Hiệu của A và B, ký hiệu A\B , là tập: 4
A\B = {x|x ∈ A và x ∈ / B} Đặc biệt, nếu B ⊆ A thì ta gọi A\B là phần bù của B đối với A và được ký hiệu CA (B) 1.3.2 Mệnh đề Với A, B và C là ba tập bất kỳ, ta có các tính chất sau: (i) Lũy đẳng: A ∩ A = A ; A ∪ A = A. (ii) Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A. (iii) Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C . A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C . (iv) Phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∩ C). (v) Luật De Morgan: A\(B ∩ C) = (A\B) ∪ (A\C) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C) Chứng minh Ta chứng minh tính chất phân phối của phép toán giao đối với phép toán hợp Các tính chất còn lại chứng minh tương tự. Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C . Vì x ∈ B ∪ C nên x ∈ B hoặc x ∈ C . Nếu x ∈ C thì x ∈ A ∩ C (vì x ∈ A). Như vậy trong cả hai trường hợp x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Đảo lại, giả sử x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Khi đó x ∈ (A ∩ B) hoặc x ∈ (A ∩ C). Nếu x ∈ (A ∩ B) thì x ∈ A và x ∈ B ; nên x ∈ A và x ∈ B ∪ C . Do đó x ∈ A ∩ (B ∪ C). Tương tự, nếu x ∈ A ∩ C thì ta cũng suy ra được x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vậy trong cả hai trường hợp x ∈ A ∩ (B ∪ C). 5
Theo định nghĩa hai tập hợp bằng nhau ta có điều phải chứng minh. 1.3.3 Định nghĩa Tích Descartes của hai tập A và B, ký hiệu A x B, là tập: A × B = {(a, b)|a ∈ A và b ∈ B } Hai cặp (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B bằng nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2 . 1.4 Quan hệ hai ngôi 1.4.1 Quan hệ hai ngôi Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi R là một quan hệ từ A đến B nếu R ⊆ A × B . Ta cũng gọi tập R là đồ thị của quan hệ R. Nếu (a, b) ∈ R thì ta viết aRb; ngược lại, nếu (a, b) ∈ ¯ b. Đặc / R thì ta viết a R biệt, khi A = B, ta gọi R là quan hệ hai ngôi trên tập A. 1.4.2 Quan hệ tương đương Định nghĩa 1: Cho R là một quan hệ hai ngôi trên tập A. Ta nói rằng R là một quan hệ tương đương nếu R có các tính chất sau: (i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa. (ii) Đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb thì bRa. (iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc. Định nghĩa 2: Cho R là quan hệ tương đương trên một tập A. Với mỗi a ∈ A, lớp tương đương của phần tử a theo quan hệ R, ký hiệu [a]R (hoặc ¯), được định nghĩa là tập: a 6
[a]R = {x ∈ A|xRa} Mỗi phần tử x ∈ [a]R được gọi là một phần tử đại diện của lớp tương đương [a]R . Tập thương của A theo quan hệ R, ký hiệu A/R, được định nghĩa là tập tất cả các lớp tương đương của các phần tử thuộc A, nghĩa là: A/R = {[a]R |a ∈ R} 1.4.3 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1: Cho R là quan hệ hai ngôi trên tập A. Ta nói rằng R là một quan hệ thứ tự nếu R có các tính chất sau: (i) Phản xạ: với mọi a ∈ A, aRa (ii) Phản đối xứng: với mọi a, b ∈ A, nếu aRb và bRa thì a = b. (iii) Bắc cầu: với mọi a, b, c ∈ A, nếu aRb và bRc thì aRc. Ta thường ký hiệu một quan hệ thứ tự bởi dấu ≤ . Nếu trên tập A có một quan hệ thứ tự ≤ thì ta nói (A, ≤) là một tập được sắp thứ tự (hay được sắp). Nếu (A, ≤) là tập được sắp và thỏa mãn điều kiện: Với mọi a, b ∈ A, a ≤ b và b ≤ a Nghĩa là, hai phần tử bất kỳ của A là so sánh được đối với quan hệ thứ tự ≤, thì ta gọi (A, ≤) là một tập được sắp toàn phần (hay được sắp tuyến tính). Định nghĩa 2: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A. (i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn trên của B nếu x ≤ a với mọi x ∈ B . Ta nói tập B bị chặn trên nếu B có một chặn trên. (ii) Ta nói phần tử b là một phần tử lớn nhất của B nếu b ∈ B và b là một chặn trên của B. 7
(iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực đại của B nếu b ∈ B và với mọi x ∈ B nếu b ≤ x thì x = b. Định nghĩa 3: Cho (A, ≤) là một tập được sắp và B ⊆ A (i) Ta nói phần tử a ∈ A là một chặn dưới của B nếu a ≤ x với mọi x ∈ B . Ta nói tập B bị chặn dưới nếu B có một chặn dưới. (ii) Ta nói phần tử b là một phần tử bé nhất của B nếu b ∈ B và b là một chặn dưới của B. (iii) Ta nói phần tử b là một phần tử cực tiểu của B nếu b ∈ B và với mọi x ∈ B nếu x ≤ b thì x = b. Định nghĩa 4: Một tập sắp thứ tự toàn phần (A, ≤) được gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của A đều có phần tử bé nhất. Bổ đề(Bổ đề Zorn). Cho (A, ≤) là một tập sắp thứ tự,A 6= ∅. Nếu mọi tập con được sắp toàn phần của A đều có một chặn trên thì trong A tồn tại một phần tử cực đại. 8
Chương 2 CÁC QUAN HỆ HAI NGÔI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG VÀ TÍNH CHẤT CỦA CHÚNG 2.1 Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 6: 2.1.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ N , ta nói a có quan hệ bằng nhau với b, ký hiệu a = b và được định nghĩa là a = b ⇔ a − b = 0. 2.1.2 Tính chất (i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ. (ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng. (iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu. Chứng minh (i) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có a − a = 0 ⇒ a = a, điều này chứng tỏ a có quan hệ bằng nhau với a (ii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng: 9
Giả sử a, b ∈ N Nếu a = b ⇔ b = a ⇔ b − a = 0, điều này chứng tỏ b có quan hệ bằng nhau với a (iii) Quan hệ bằng nhau giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu: Giả sử a, b ∈ N và ta có { ab == cb khi đó { ab == cb ⇒ { ab −− cb =0 =0 (1) (2) lấy (1) cộng (2) ta được: a − c = 0 ⇒ a = c, điều này chứng tỏ a có quan hệ bằng nhau với c Nhận xét:Quan hệ bằng nhau trên N là một quan hệ tương đương 2.2 Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trong chương trình toán Lớp 6: 2.2.1 Định nghĩa 1 Cho hai tập A và B. Tập A được gọi là chứa trong tập B nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B, được ký hiệu là A ⊂ B . 2.2.2 Định nghĩa 2 Cho hai tập A và B. Ta nói tập A bằng tập B, ký hiệu là A = B được định nghĩa là A chứa trong B và B chứa trong A. tức là: ⊂B A = B ⇔ {A B⊂A 2.2.3 Định nghĩa 3 Cho hai tập hợp A và B, ta nói A có quan hệ bao hàm với B, ký hiệu A ⊆ B hoặc B ⊆ A 10
2.2.4 Tính chất (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ. (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng. (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu. Chứng minh (i) Quan hệ bao hàm có tính phản xạ: Ta có A ⊆ A , điều này chứng tỏ A có quan hệ bao hàm với A (ii) Quan hệ bao hàm có tính phản đối xứng: ⊆B Cho A, B là hai tập hợp và { A B⊆A (1) (2) Từ (1) ta thấy mỗi phần tử của A đều là phần tử của B. Mặt khác, từ (2) ta lại thấy mỗi phần tử của B đều là phần tử của A, điều này chứng tỏ mỗi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại. Vậy A = B (iii) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu: ⊆B Cho A, B, C là ba tập hợp và { A B⊆ C (1) (2) Từ (1) ta suy ra mọi phần tử của A đều là phần tử của B. Mặt khác, từ (2) ta cũng suy ra mọi phần tử của B đều là phần tử của C, do mọi phần tử của A đều là phần tử của B nên mọi phần tử của A cũng đều là phần tử của C. Vậy A ⊆ C hay A có quan hệ bao hàm với C Nhận xét:Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp là một quan hệ thứ tự 11
2.3 Quan hệ đồng dư của 2 số tự nhiên trong chương trình toán Lớp 7(nâng cao): 2.3.1 Định nghĩa 1 Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = athì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a : b = x 2.3.2 Định nghĩa 2 Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0, ta luôn tìm được 2 số tự nhiên q và r duy nhất sao cho a = bq + r trong đó 0 ≤ r ≤ b. Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết. Nếu r 6= 0 thì ta có phép chia có dư. Tới đây, một vấn đề được đặt ra là cho trước một số m 6= 0. Xét 2 số tự nhiên a, b sao cho 2 số tự nhiên a, b chia cho m có cùng số dư tức là: a = m.h + r b = m.d + r Khi đó ta nói a, b có quan hệ đồng dư theo số chia m, được ký hiệu a ≡ b(mod m) 2.3.3 Tính chất (i) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính phản xạ. (ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng. (iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu. Chứng minh 12
(i) Quan hệ đồng dư giữa các số tự nhiên có tính phản xạ: Ta có : a ≡ a(mod m) hiển nhiên. (ii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính đối xứng: Giả sử a ≡ b(mod m) khi đó a = m.h + r và b = m.d + r điều này chứng tỏ b ≡ a(mod m) (iii) Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên có tính bắc cầu: Cho 3 số a, b, c ∈ N . Giả sử { a≡b( mod m) b≡c( mod m) khi đó a = m.h+r, b = m.d+r và c = m.k+r điều này chứng tỏ a ≡ c(mod m) Nhận xét:Quan hệ đồng dư giữa 2 số tự nhiên là một quan hệ tương đương. 00 2.4 Quan hệ ≤00 trong tập số hữu tỉ chương trình toán lớp 7: 2.4.1 Định nghĩa Cho a, b ∈ Q ta nói a và b có quan hệ 00 ≤00 với nhau nếu: a ≤ b hoặc b ≤ a 2.4.2 Tính chất (i) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản xạ. (ii) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản đối xứng. (iii) Quan hệ 00 ≤00 có tính bắc cầu. Chứng minh (i) Quan hệ 00 ≤00 có tính phản xạ: Thật vậy, ta luôn có a ≤ a, ∀a ∈ Q, điều này chứng tỏ a có quan hệ 00 ≤00 với 13