zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Bài toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Chia sẻ: Le Huutuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Báo xấu

67
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu thông tin đến quý độc giả một số bài toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức với cơ sở lý luận và một số bài tập vận dụng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết nội dung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC-GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC I. Cơ sở lý luận 1. Một số bất đẳng thức cơ bản thường sử dụng 1.1 Cho a, b  0 . Khi đó ta có a  b  2 ab . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b . Bất đẳng thức này còn được viết dưới dạng khác tương đương là a  b 2 a b 2 ;  a  b   4ab ; a  b  2ab ; a 2  b2  2   ab 2 2   2  2 1.2 Cho a, b, c  0 . Khi đó ta có a  b  c  3 3 abc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Bất đẳng thức này còn có một số ứng dụng để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản khác khá phổ biến như sau: 1 a 2  b2  c2  ab  bc  ca a  b  c a 2  b2  c 2  2 3  a  b  c   3 ab  bc  ca  a b  b c  c2 a 2  abc  a  b  c  2 2 2 2 2  ab  bc  ca   3abc  a  b  c  3  a 3  b3  c 3    a 2  b 2  c 2  2 2 3 9  a  b  c  ab  bc  ca    a  b  b  c  c  a  8 a  b  c 2  a  b  c   1 1 1 a b c 2 2 2    9 3 a b c 1.4 Một số hằng đẳng thức đáng nhớ  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   xy  yz  zx 2  x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2   x  y  z   2  xy  yz  zx  2 x 3  y 3  z 3   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  3 1.5 Tuy nhiên biểu thức này làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: 1 1 2 , với ab 1 . a 2 1 b 2 1 1 ab 1 1 2   , với a, b  0 và ab  1 . 1  a 1  b 1  ab 2 2   2 (1  a)(1  b)  1  ab , a, b  0 II. Bất đẳng thức đối xứng hai biến Phương pháp giải Dồn biến t  xy hoặc t  x  y ; Tìm điều kiện của biến t Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN. Chú ý: Đối với các bài toán về bất đẳng thức đối xứng hai biến chúng ta cần chú ý đến các đánh giá thường sử dụng như sau: 1) x 2  y 2  2 xy ; đúng x; y . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y ; x2 y2  x  y  x  y 2 2 2) x  y     ; đúng x; y . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y ; 2 2 1 1 11 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 1
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu x  y 2 3) xy  ; đúng x; y . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y ; 4 4)  x  y   4 xy ; đúng x; y . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y . 2 Bài 1.   Cho các số thực x, y thỏa điều kiện 2 x 2  y 2  xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị x4  y4 nhỏ nhất của biểu thức P  . 2 xy  1 Lời giải  Đặt t  xy . Ta có: xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy   2  1 5  Và xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy  2  1 3 1 1 . ĐK:   t  . 5 3 x  y2   2x2 y2 2 2 7t 2  2t  1 Suy ra : P   . 2 xy  1 4  2t  1 7  t 2  t   1 1 2 1 Do đó: P '  , P '  0  t  0, t  1( L) P     P    và P  0   . 2  2t  1  5  3 2 15 4  1 1  x  0; y   2 2 1 Kết luận. MaxP    và MinP  x y . 4  y  0; x   1 15 3  2 Bài 2. Cho x, y  0 thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: x2 y2 1 P   . y 1 x 1 x  y  3 Nhận xét Trong bài toán này ta chỉ cần sử dụng phép biến đổi tương đương là xuất hiện ngay ẩn phụ. Cụ thể như sau: x2 y2 1 ( x  y)3  3xy( x  y)  ( x  y) 2  2 xy 1 Ta có: P      y 1 x 1 x  y  3 xy  ( x  y )  1 ( x  y)  3 1 7 1 3 Đặt: t  x  y  xy  3  t . Khi đó: P  f (t )  t 3  t 2  t   . 4 4 t 3 2 Bài 3. Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x 2  y 2  8 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 3  y 3  3xy . Lời giải   Ta có P   x  y  x 2  y 2  xy  3xy   x  y 8  xy   3xy . t2  8 Đặt x  y  t . Do x 2  y 2  8 nên xy  . Suy ra 2  t2  8  t2  8 t3 3 2 P  t 8    3.    t  12t  12  2  2 2 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 2
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu   Do  x  y   4 xy nên t 2  2 t 2  8  4  t  4 2 3 t 3 Xét f  t     t 2  12t  12 với t   4;4 . 2 2 3 2 t  4   4;4 Ta có f  t    t  3t  12; f  t   0   ' ' 2 t  2   4;4 f  4   28; f  2   26; f  4   4 . Kết luận. MaxP  26  t  2  x  y  1; MinP  28  t  4  x  y  2 . Bài 4. Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x 2  y 2  xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S  x 2 y  xy 2 . Lời giải Ta có S  xy ( x  y )  S 2  ( xy )2 ( x 2  y 2  2 xy )  ( xy )2 (1  3xy ) Đặt t  xy 1 x 2  y 2  xy  1  1  3xy  ( x  y )2  0  t  3 x  y  xy  1  ( x  y )  1  xy  0  t  1 2 2 2 t  0  1  S  f (t )  t (1  3t ), t   1;  . f '(t )  2t  9t  0   2 2 2 2  3 t   9 1 2 4 f ( 1)  4, f (0)  f    0, f    S 2  4  2  S  2  3  9  243 S  2  x  1, y  1 S  2  x  1, y  1 Kết luận. MaxS  2  x  1, y  1; MinS  2  x  1, y  1. 3 x3 y 3 2 Bài 5. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 3     2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của xy y x x y 16 biểu thức P  x 2 y 2  2 . x  y2  2 Lời giải 2 2 Từ giả thiết ta có : 3xy  3  x 4  y 4   2x2 y2  xy xy 2 1  Đặt t  xy, t  0 ta có 3t  3  2t 2   2t 3  3t 2  3t  2  0  t   ;2  t 2  16 16 8 P  x2 y2  2  x2 y2   t2  x  y 2 2 2 xy  2 t 1 8 1  20 Xét hàm số f  t   t 2  , t   ;2 ta có Max f  t   t 2 x y  2 t 1 2  1  ;2 3  2  20 Kết luận. Max f  t   t 2 x y  2. 1  3  2 ;2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 3
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu Bài 6. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x  y  xy  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3  x 1  y 1 3 P  4   4   x y 2 2  y   x  Lời giải Từ giả thiết bài toán ta có  x  y x  y  2 2 3  x  y  xy  x  y   x y2 4  x  y  6 Mặt khác x, y  0 nên 3  x  y  xy  x  y Vậy ta có 2  x  y  3 . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta chứng minh được 4 a 3  b3   a  b   3 Ta có 3 3  x 1  y 1  x 1 y 1 x  y 3 P  4   4   x  y  2 2    y   x   y x  2 3   x  y 2  3  x  y   6  x  y      3   x  y    2 3  t 2  3t  6  t Đặt t  x  y, t  2;3 , ta có f  t   P     ; t   2;3  3t  2 Kết luận. Min f  t   64  2  t  2  x  y  1. 2;3 Bài 7. Cho x 2  y 2  xy  1 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x4  y 4  x2 y 2 . Lời giải  1  x  y  xy  2 xy  xy  xy 2 2 1 Ta có: x 2  y 2  xy  1     xy  1  1  ( x  y ) 2  3 xy  3 xy 3 Mặt khác, từ x 2  y 2  xy  1  x 2  y 2  1  xy nên M  ( x 2  y 2 )  3x 2 y 2  2 x 2 y 2  2 xy  1 Đặt t  xy  M  2t 2  2t  1 .  1  Vậy cần tìm Min và Max của tam thức bậc hai: f (t )  2t 2  2t  1 trên đoạn  ;1 . 3   3  x    3  3  x 2  y 2  xy  1   y   1 1   3 Ta có: MinM  f ( )  . Đạt được khi  1  . 3 9  xy     3 3  x     3     y  3    3 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 4
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu  3 5  x 2  y 2  xy  1  x  1 3   2 Ta có: MaxM  f ( )  .Đạt được khi:  1  2 2  xy   3 5  3  y  2 Bài 8. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x  y  xy  1 .Tìm giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của 2 2 biểu thức F  x 6  y 6  2 x 2 y 2  xy . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 9. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu   thức P  2 x 3  y 3  3xy . 3x 3y Bài 10. Cho x  0, y  0 và x  y  xy  3 . Tìm GTLN của A    ( x2  y2 ) . y 1 x 1 Bài 11. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 x 2  y 2  2  x  y  . Tìm GTNN  2  1  2 1 của biểu thức P   x     y   .  y  x Bài 12. (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn  x  y   4 xy  2. Tìm giá trị nhỏ nhất 3    của biểu thức A  3 x 4  y 4  x 2 y 2  2 x 2  y 2  1 .  Bài 13. (D-2009) Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị   lớn nhất của biểu thức S  4 x 2  3 y 4 y 2  3x  25xy .  Bài 14. (D-2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm giá trị nhỏ 2 2 nhất của biểu thức A  x  y  3 xy  1 x  y  2  . 3 3 Bài 15. (A-2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c . Tìm giá 2 32a 3 32b3 a 2  b2 trị nhỏ nhất của biểu thức P     b  3c   a  3c  3 3 c Bài 16. Cho x, y  0 thỏa mãn x 2 y  xy 2  x  y  3xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1  2 xy  3 2 Px y2 2  . 2 xy Bài 17. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x 2  y 2  xy  1 . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  5xy  3 y 2 . 6 Bài 18. Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x 4  y 4  4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu xy x 1 y 1 xy thức P    2 . 2x  1 2 y  1 x  y2  1 Bài 19. Cho các số thực x, y  0 và thỏa mãn x  y  1  3xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3x 3y 1 1 P   2 2. y  x  1 x  y  1 x y Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 5
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu Bài 20. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab  a  b  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4a 4b P   2ab  7  3ab . b 1 a 1  1  1 Bài 21. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x  1    y  1    4 . Tìm giá trị  y  x nhỏ nhất của biểu thức P  xy  1  x  1  y . 2 2 Bài 22. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x 2  y 2  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  1  1 P  1  x   1    1  y  1   .  y  x Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 6
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu II. Một số bài toán cần dùng bất đẳng thức phụ Bổ đề: Cho a, b  0 ta luôn có: 1 1 2 1) 2 2 , với ab 1 . a 1 b 1 1 ab 1 1 2 2)   , với và ab  1 . 1  a 1  b 1  ab 2 2 Bài 1. (Đề thi HSG 12 Bình Phước 2014) Cho các số thực dương a, b thỏa a b 2ab . Tìm giá 1 1 3 trị nhỏ nhất của biểu thức: Q 2 2 3 a2 b2 a b 4. a 1 b 1 3 4 Nhận xét Trong bài toán này với giả thiết a b 2ab thì biểu thức dưới dẫu căn khá nhẹ nhàng, nó có thể biểu diễn theo tổng hoặc tích. Do đó ẩn phụ của bài toán phụ thuộc hoàn toàn vào biểu thức 1 1 còn lại là 2 2 . Tuy nhiên biểu thức này làm ta nhớ đến bất đẳng thức phụ: a 1 b 1 1 1 2 2 2 , với ab 1 . a 1 b 1 1 ab Từ giả thiết ta có: 2ab a b 2 ab ab 1 ab 1. Đến đây ta có thể dự đoán ẩn phụ là một biểu thức theo tích của a và b. Ta có 2 3 3 2 2 3 2 2 3 Q a b2 a b 4 3 a b 4 3 4ab 4 1 ab 3 4 1 ab 3 4 1 ab 3 4 3 2 Đặt t ab 1 , ta có Q f (t ) 3t . t3 1 1 32 Bài 2. Cho a, b 0 : ab 1 . Tìm GTNN của T . 1 a 1 b 2a(1 a) 2b(1 b) 8 Giải 1 1 2 +) Ta có: , ab 1. 1 a 1 b 1 ab 2 Thật vậy: Quy đồng, chuyển vế, bđt trên tương đương với a b ab 1 0 (Đúng). 2 2 2 4 1 1 4 Lại có: . Suy ra: . 1 ab 1 ab.1 ab 1 ab 3 1 a 1 b ab 3 1 2 2 2 +) Ta có: a(1 a) b(1 b) a b 2 a b 2 2ab 2 2 ab 2 2 ab 2. Suy ra: 2a(1 a) 2b(1 b) 8 4 ab 12 . 1 1 32 32 16 2a(1 a) 2b(1 b) 8 4 ab 12 2a(1 a) 2b(1 b) 8 2 ab 3 ab 3 . 4 16 T . ab 3 ab 3 4 16 +) Đặt t ab 1 T f (t ). t2 3 t 3 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 7
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 8t 8 (t 2 3)2 t(t 3) t 3 f '(t ) 2 8. . (t 3)2 (t 3) t 3 (t 2 3)2 (t 3) t 3 Xét M (t 2 3)2 t(t 3) t 3 (t 3) t 2 3 t t 3 0 t2 3 t t 3 t 4 6t 2 9 t 3 3t 2 (t 4 t 3) 3t 2 9 0 (Đúng t 1 ). Suy ra f '(t ) 0 t 1 f (t ) đồng biến t 1 . Từ đó: MinT f (1) 7 t 1 a b 1. t 1 6 Bài 3. Cho các số thực x, y  0 thỏa mãn x 4  y 4  4  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy 1 1 3  2 xy P   . 1  2x 1  2 y 5  x2  y 2 Theo BĐT AM-GM ta có: x4  y 4  4  2 x 2 y 2  4 6 Do đó:  x 4  y 4  4  2 x 2 y 2  4  2 x3 y 3  4 xy  6  0 xy  2  xy  1  x 2 y 2  xy  3  0  xy  1 1 1 2 Ta luôn có bất đẳng thức phụ sau:   ,  x, y  0 . 1  2 x 1  2 y 2  xy 1 1 2 Thật vậy ta có:   1  2 x 1  2 y 2  xy  2  xy  2  x  y   xy  x  y   1  2 x  2 y  4 xy  x 2 y  y 2 x  1  3xy (Điều này luôn đúng do x 2 y  y 2 x  1  3 3 x3 y 3  3xy ). 1 1 3  2 xy 2 3  2 xy Vậy P      (theo AM-GM). 1 2x 1 2 y 5  x  y 2 2 2  xy 5  2 xy 2 3  2t Đặt t  xy, t  (0;1] . Xét f (t )   , t  (0;1] 2  t 5  2t 2 4 Ta có: f '(t )    0, t  (0;1] 2  t   5  2t  2 2  f (t ) nghịch biến trên (0;1] nên P  f (t )  f (1)  1.  x2 y  y 2 x Vậy min P  1    x  y 1.  xy  1 Bài 4. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x y 2 x 2 3 y 2014 2012 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: S 2 2 2015 2xy x y 1. x 1 y 1 x y 1 Nhận xét Phép đặt ẩn phụ cho bài toán là: t  x  y  1 . Vấn đề đặt ra là với giả thiết có vẻ phức tạp kia làm sao chặn được ẩn phụ t. Quan sát vế phải giả thiết ta thầy nếu dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thu được tổng x  y từ đó ta có một bất đẳng thức chứa ẩn là x  y . Giải bất phương trình này ta thu được giới hạn của x  y , từ đó thu được điều kiện cho ẩn phụ t. Thật vậy: Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 8
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu x y 2 x 2 3 y 2014 2012 22 32 x 2 y 2014 2012 13 x y 2012 2012  x  y  2012  13  x  y  2012    x  y  2012   13  x  y  2012   0  0  x  y  2012  13 2  2012  x  y  2015  2013  x  y  1  2016 Do đó t   2013; 2016  .   IV. Bất đẳng thức đối xứng ba biến Phương pháp giải Dồn về một trong các biến t  x  y  z ; t  xy  yz  zx; t  x 2  y 2  z 2 ; t  xyz ; Tìm điều kiện chặt của biến t Sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số biến t ; tìm GTLN; GTNN của hàm số mới. Chú ý: Đối với các bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến chúng ta cần chú ý đến các đánh giá, phân tích thường sử dụng như sau: 1) x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx ; đúng x; y; z . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  z ; x2 y2 z2  x  y  z   x  y  z 2 2 2) x  y  z  2 2 2     ; đúng x; y; z . Dấu "  " xảy ra khi 1 1 1 111 3 và chỉ khi x  y  z ;  x  y  z 3 3) xyz  ; đúng x; y; z . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi x  y  z ; 27 4)  x  y  y  z    y  z  z  x    z  x  x  y    x  y  z   xy  yz  zx ; 2 5)  x  y  y  z  z  x   xyz   x  y  z  xy  yz  zx  ; x 2  y 2  z 2   x  y  z   2  xy  yz  zx  ; 2 6) x 3  y 3  z 3   x  y  z   3 x  y  y  z  z  x  . 3 7) Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 121 P a 2 b 2 c 2 14(ab bc ca ) Nhận xét Trong bài toán này chỉ cần thế a b c 1 vào P sẽ làm xuất hiện ngay ẩn phụ. Thật vậy: Ta có 1 (a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ca ) 1 (a 2 b2 c2 ) ab bc ca . 2 7 121 Do đó A a2 b2 c2 7(1 (a 2 b2 c 2 )) 7 121 Đặt t a2 b2 c2 . Ta có f (t ) . t 7(1 t ) Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x 2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 5 thức P  xy  yz  zx  . x yz Phân tích tìm lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 9
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x  y  z  1 . Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự đoán ẩn phụ là t  x  y  z . Từ giả thiết chúng ta cần lưu ý các đánh giá để đưa về t  x  y  z . Ta có  x  y  z 2 1 x y z  ; xy  yz  zx  x  y  z . 2 2 2 2 3 3  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Ta có 3  x 2  y 2  z 2  3  2  xy  yz  zx    x  y  z  . 2 t2  3 Đặt t  x  y  z , ta có: 0  xy  yz  zx   x2  y2  z2  3  3  t  3 . 2 t 3 5 2 5 t3  5 Khi đó, ta có: P  f  t    , f '  t   t  2  2  0, t  3 . 2 t t t 14 Vậy ta có: P  f  t   f  3  . Dấu “=” xảy ra khi x  y  z  1 . 3 14 Kết luận. max P  khi x  y  z  1 . 3 4 Bài 3. Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  . Tìm giá trị lớn nhất và giá 2 2 2 3 3 trị nhỏ nhất của biểu thức: P  2  xy  yz  zx   . x yz Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau; từ giả thiết ta dự đoán dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1 . Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự đoán ẩn phụ t  x  y  z . Từ giả thiết chúng ta cần lưu ý đánh giá:  x  y  z 2 1 x y z  ; xy  yz  zx  x  y  z . 2 2 2 2 3 3 4 t 2   x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx   x 2  y 2  z 2  2 3  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên khi đánh giá biến t ta cần chặn cả hai phía. Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải 2 3  Đặt x  y  z  t   t  2  . Ta có  3  1 1 4 3 4  xy  yz  zx  x  y  z   x 2  y 2  z 2    t 2   nên P  t 2   2 2  2 3 t 3 3 4 2 3  Xét hàm số f  t   t   xác định trên  2 ;2  t 3  3  Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 10
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 3 3 2 3 3 3 25 f '  t   2t  2  0  t  3 (loại). f   ; f 2  t 2  3  2 6 3 3 2 3 2 3 Kết luận. MinP  khi t   2 trong 3 số x, y, z bằng 0 số còn lại bằng ; 2 3 3 25 2 MaxP  khi t  2  x  y  z  . 6 3   Bài 4. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 2 a 2  b2  c 2  ab  bc  ca  3 . Tìm giá trị 1 lớn nhất của biểu thức S  a 2  b2  c 2  . abc3 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a  b  c  1. Quan sát giả thiết và yêu cầu bài toán ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c . Từ giả thiết chúng ta cần lưu ý đánh giá để đưa về t  a  b  c . Ta có a  b  c 2 1 a b c  ; ab  bc  ca  a  b  c  . 2 2 2 2 3 3  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Với a, b, c là các số dương ta có a  b  c a  b  c 2 2 a 2 b c 2 2   3 ; ab  bc  ca  3 2 a  b  c a  b  c  3  a  b  c 2  9 2 2 Bởi vậy    3 3 Từ đó 0  a  b  c  3  a  b  c 2 Ta có 2  a  b  c   ab  bc  ca  3  2 2 2 3 3  a  b  c 2 Nên  a  b  c   3 2 2 2  6 2 Bởi vậy a  b  c  2 1 1 3 1 1 3 S a b c  2 2 2    t2   abc3 6 abc3 2 6 t3 2 1 2 1 3 Xét hàm số f  t   t   với 0  t  3 6 t3 2 1 1 f ' t   t   0, t   0;3 . Từ đó suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên  0;3 3  t  32 17 17 Do đó f  t   f  3 , t   0;3 hay f  t   Suy ra: S  . Dấu “=” xảy ra khi a  b  c  1 6 6 17 Kết luận. MaxS  khi a  b  c  1. 6 Bài 5. Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 11
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 1 2 P  a 2  b2  c 2  1  a  1 b  1 c  1 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau. Quan sát biểu thức trong P ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c .  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Từ đó suy ra biểu thức a  b  c  1 cần đánh giá theo chiều "  " ; biểu thức 2 2 2  a  1 b  1 c  1 cần đánh giá theo chiều "  " (vì phía trước biểu thức có thêm dấu " " ). Ta có  a  b  c  1  a  b  c  3 2 3 a  b  c 1 2 2 2 2  ;  a  1 b  1 c  1  . 4 27 Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải  a  b  c  3 3 1 Ta có: a  b  c  1   a  b  c  1 ;  a  1 b  1 c  1   2 2 2 2  4  3  2 54 Vậy P   a  b  c  1  a  b  c  33 2 54 =   f (t ) với t  a  b  c  1 (t  1) t  t  2 3 2 162 t  4(n ) f / (t )    ; f / ( t )  0  t  1 (l ) t 2  t  2 4  Bảng biến thiên t 1 4  f '(t )  0  1 4 f (t ) 0 0 a  b  c  3 1  Kết luận. MaxP  khi a  b  c  a  b  c 1 4 c  1  Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 abc P 3 3  ab  bc  ca 1  a 1  b 1  c  Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a  b  c  1. Quan sát biểu thức P ta dự đoán ẩn phụ t  abc . Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 12
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Từ đó suy ra biểu thức ab  bc  ca ; 1  a 1  b 1  c  cần đánh giá theo chiều "  " . Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Áp dụng Bất đẳng thức: ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx ) , x, y, z  ta có: (ab  bc  ca)2  3abc(a  b  c)  9abc  0  ab  bc  ca  3 abc Ta có: (1  a )(1  b)(1  c)  (1  3 abc )3 , a, b, c  0 . Thật vậy 1  a 1  b 1  c   1  (a  b  c)  (ab  bc  ca )  abc  1  3 3 abc  3 3 (abc)2  abc  (1  3 abc )3 3 2 abc Khi đó: P    Q (1). 3(1  abc ) 1  3 abc abc 3 Đặt abc  t ; vì a, b, c  0 nên 0  abc   6  1  3  2 t2 2t  t  1  t 5  1 Xét hàm số Q   , t   0;1  Q (t )   0, t   0;1 . 3(1  t 3 ) 1  t 2 1  t  1  t  3 2 2 2 1 1 Do đó hàm số đồng biến trên  0;1  Q  Q  t   Q 1  (2). Từ (1) và (2): P  . 6 6 1 Kết luận. MaxP  , đạt được khi và chỉ khi : a  b  c  1. 6 Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 2 2 a 2  1 b2  1 c 2  1 1 thức P     . b c a abc Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau a  b  c  1. Quan sát biểu thức P ta dự đoán ẩn phụ t  a bc.  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Trong biểu thức P chứa a 2 ; b2 ; c 2 ở tử số nên chúng ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy- a 2 b2 c 2  a  b  c  2 1 1 1 9 Schwarzt dạng cộng mẫu số     a  b  c;    . Ta b c a a bc a b c abc có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải a  b  c 2 Theo giả thiết, ta có 3  a  b  c  abc 3 2 2 2 3 Mặt khác a  b  c  a 2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   a 2  b2  c 2  3  a  b  c  3 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta có Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 13
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu a  b  c  9  1 2 a 2 b2 c 2 1 1 1 1 P        b c a a b c abc abc abc abc 8 abc abc 8 Đặt t  a  b  c; t   3;3 , ta có f  t   t  ; t   3;3   t   t  8  n  8 f ' t   1  2 ; f ' t   0   t t   8  l    ; f 3  11 3 3 17 3   ; f  3  ; f 8  4 2 2 2 Kết luận: MinP  4 2  t  8  a  b  c  . 3 Bài 8. Cho các số dương x, y, z thoả mãn: x( x  1)  y( y  1)  z( z  1)  6. Tìm giá trị nhỏ 1 1 1 nhất của biểu thức A    . x  y 1 y  z 1 z  x 1 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x  y  z . Trước hết ta phân tích giải thiết bài toán: x( x  1)  y( y  1)  z( z  1)  6  x 2  y 2  z 2  ( x  y  z )  6  18  ( x  y  z )2  3( x  y  z )  3  x  y  z  6  0  x  y  x  6 Do đó, ta dự đoán ẩn phụ là t  x  y  z  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Quan sát biểu thức A ta có thể xử lý theo 2 cách: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM hoặc bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt dạng cộng mẫu số để đánh giá. Lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Ta có x( x  1)  y( y  1)  z( z  1)  6  x 2  y 2  z 2  ( x  y  z )  6  18  ( x  y  z )2  3( x  y  z )  3  x  y  z  6  0  x  y  x  6 1 y  z 1 2 1 z  x 1 2 Ta có:   ;   ; y  z 1 25 5 z  x 1 25 5 1 x  y 1 2   x  y 1 25 5 2( x  y  z )  3 6 6 2( x  y  z )  3 3  A   A   25 5 5 25 5 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  z  2 . 3 Kết luận. MinA   x  y  z  2. 5 Cách khác: Đặt t  x  y  z, t   0;6 . 1 1 1 9 A    x  y 1 y  z 1 z  x 1 2 x  y  z  3 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 14
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 9 9 Do đó A  . Xét f (t )  trên (0;6], suy ra kết quả bài toán. 2t  3 2t  3 Bài 9. Cho ba số thực dương x,y,z thoả mãn x  y  z  6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2 z2 P   . yz  1  x 3 zx  1  y 3 xy  1  z 3 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức đối xứng ba biến. Do đó chúng ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau x  y  z  1 . Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Quan sát biểu thức P chứa x 2 ; y 2 ; z 2 ở tử số nên chúng ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt dạng cộng mẫu số. Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarzt ta có ( x  y  z )2 Ta có P  xy  yz  zx  1  x 3  1  y 3  1  z 3 2  x2 Lại có 1  x  (1  x )(1  x  x )  3 2 . Dấu bằng xảy ra khi x  2 2 ( x  y  z )2 2.( x  y  z )2 Suy ra P  2.  2( xy  yz  zx )  x 2  y 2  z 2  6 ( x  y  z )2  6 2t Đặt t  ( x  y  z )2 (t  36) . Ta có P  t6 t 6 6 Với t  36 xét hàm số f (t )  ; f '(t)=  0 . Hàm số đồng biến  f (t )  f (36)  . t6 (t  6) 2 7 12 Suy ra P  . 7 12 Kết luận. MinP  khi x  y  z  2 . 7 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 10. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  1 . Chứng minh 3 2  2  14 . xy  yz  zx x  y 2  z 2 Bài 11. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y z thức    2 xyz . x y yz zx Bài 12. (B-2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất  2 2 2 2  của biểu thức M  3 a b  b c  c a  3 ab  bc  ca   2 a  b  c . 2 2 2 2 2 a2 b2 4c 3 2 Bài 13. Cho ba số thực dương a, b, c . Chứng minh    . a  b b  c  3 c  a  2 2 3 3 Bài 14. Cho a, b, c  0 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 15
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 1 2 P  3 2  a 3  b3  c 3  1   ab  1  bc  1  ca  1 Bài 15. Cho các số thực x, y, z  0 thỏa mãn x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  x 3  y 3  z 3   15xyz . Bài 16. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 y2 z2 P   . x  y2 y  z2 z  x2 Bài 17. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu b4 c4 a4 thức P     8abc . ab4  2a 2 bc 4  2b2 ca 4  2c 2 1 Bài 18. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức 2 P  a  b  b  c    b  c  a  c    a  c  a  b  .  a  b  b  c   a  c  b  c  a  c   a  b  a  c  a  b   b  c Bài 19. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  1 . Chứng minh rằng 2 2 2 a 5  2a 3  a b5  2b3  b c5  2c 3  c 2 3    b2  c 2 c2  a 2 a 2  b2 3 II. Bất đẳng thức ba biến không đối xứng Bài 1. Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 24 3 P  13a  12 ab  16 bc abc Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến. Quan sát biểu thức trong P ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c .  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Từ đó suy ra biểu thức 13a  12 ab  16 bc cần đánh giá theo chiều "  " và cần có đánh giá biểu thức 13a  12 ab  16 bc    a  b  c  . Vấn đề ở đây là làm thế nào để xác định được  ? Giả sử ta có đánh giá 12 16 13a  12 ab  16 bc  13a  ma.nb  pb.qc m.n p.q 6 8  13a   ma  nb    pb  qc  mn p.q  m  n p  q   13  6 a  6 8 b  8  c   a  b  c  n   m q   p  m n p q Do đó ta cần xác định m, n, p, q sao cho 13  6 6 8 8 . Để ý đến tính “chính n m q p phương” của các biểu thức trong căn ta xác định được m  1; n  4; p  1; q  4 . Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 16
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu Áp dụng bất đẳng thức AM  GM , ta có 13a  12 ab  16 bc  13a  6 a.4b  8 b.4c a  4b b  4c  13a  6.  8.  16( a  b  c ) 2 2  13a  12 ab  16 bc  16(a  b  c) . Dấu “ = ” xảy ra  a  4b  16c . 3 3 Suy ra P   . 2 a  b  c abc 3 3 Đặt t  a  b  c, t  0 . Khi đó ta có: P   2t t 3 3 3 3 Xét hàm số f  t    trên khoảng (0; ) , ta có f '  t    2 . 2t t 2t t 2t 3 3 f ' t   0    0  t  1 ; lim f (t )   ; lim f (t )  0 2t t 2t 2 x0 x Bảng biến thiên t 0 1  f '(t )  0   0 f (t ) 3  2 3 a  b  c  1 16 4 1 Vậy ta có P   , đẳng thức xảy ra   a ;b  ;c  . 2 a  4b  16c 21 21 21 Kết luận. MinS   khi và chỉ khi  a , b, c    , ,  . 3 16 4 1 2  21 21 21  Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 9 P  a 2  b2  c 2  4 (a  b) (a  2c)(b  2c) Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến. Quan sát biểu thức trong P ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c .  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Từ đó suy ra cần đánh giá biểu thức a  b  c  2 theo chiều "  " . Điều này có được nhờ 2 2 2 2 bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt . Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarzt ta có a 2 b2 c 2 22  a  b  c  2  2 a b c 2  2 2 2     2 1 1 1 1 4  Biểu thức (a  b) (a  2c)(b  2c) cần có đánh giá chiều "  " (vì phía trước có dấu " " ). Quan sát biểu thức trong dấu căn  a  2c  b  2c  nếu đánh giá từ tích sang tổng sẽ nhận được a  b  4c . Như vậy chúng ta cần thêm 3 a  b  nữa mới đảm bảo có nhân tử  a  b  c  , trong Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 17
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu khi đó biểu thức ngoài dấu căn chỉ có 1.  a  b  . Do đó ta cần nhân thêm hằng số 3 vào trước biểu thức. Ta có đánh giá quan trọng như sau:  a  b  4c  1  4(a  b  c)  2 3  a  b  . (a  2c)(b  2c)  (3a  3b).         2 2 a b c  2  2 2  Ta có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Cách 1 a  b  c  2  4(a 2  b2  c2  4)  a  b  4c  1  4(a  b  c)  2 3  a  b  . (a  2c)(b  2c)  (3a  3b).     2 a  b  c 2  2  2 2   8 27 8 27 Vậy P   . Đặt t  a  b  c, t  0 ; P   2  g (t ) a  b  c  2 2(a  b  c ) 2 t  2 2t 8 27 g’  t     3 ; g’ t   0  27  t  2  – 8t 3  0  t = 6 2 ( t  2) 2 t t 0 6  g '(t )  0  5 8 g (t ) 0  5 5 P  g(t)  ; maxP = xảy ra khi a  b  c  2 . 8 8 5 Kết luận. MaxP  xảy ra khi a  b  c  2 . 8 Cách 2 a  b  c 2 a b c 2 2 2 4  4; 3 a  b  4c a  b ( a  2c )(b  2c )   a  b  2 a  b  4c 1  3a  3b  a  b  4c  16  a  b  c  2 2 1 3 a  b  2   6 2 6 4 24 4 27 5 P   x 2x 8 4 3 Đẳng thức xảy ra khi a  b  c  2 . 5 Kết luận. MaxP  xảy ra khi a  b  c  2 . 8 Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 18
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu 1 8 P  2a  b  8bc 2b2  2(a  c)2  3 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến. Quan sát biểu thức trong P chúng ta dự đoán ẩn phụ t  a  b  c .  Chú ý rằng Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức nên đánh giá P theo chiều "  " . Từ đó suy ra cần đánh giá biểu thức 2a  b  8bc theo chiều "  " và biểu thức 2b2  2(a  c)2  3 cần có đánh giá theo chiều "  " (vì phía trước có dấu . " " .).  Để đưa bài toán về ẩn phụ t  a  b  c thì ta cần có đánh giá 2a  b  8bc    a  b  c  . Quan sát hai vế ta suy ra được   2 . Do đó 2a  b  8bc  2a  b  2 b.2c  2a  b  b  2c  2  a  b  c   Đối với biểu thức 2b2  2(a  c)2  3 , quan sát biểu thức trong dấu căn ta lưu ý đánh 2b2  2(a  c)2  3  2 b2   a  c    3  a  b  c   3  a  b  c  3 . Từ đó ta 2 2 giá sau:   có lời giải chi tiết cho bài toán như sau: Lời giải Ta có 2a  b  8bc  2a  b  2 b.2c  2a  b  b  2c  2  a  b  c  . Suy ra 1 1  . 2a  b  8bc 2(a  b  c) 8 8 Mặt khác 2(a  c)2  2b2  (a  c)  b. Suy ra  . 3  2(a  c)  2b 2 2 3 a  b  c 1 8 Do đó P   . (1) 2(a  b  c) 3  a  b  c 1 8 Đặt a  b  c  t , t  0. Xét hàm số f (t )   , t  0. 2t 3  t 1 8 3(t  1)(5t  3) Ta có f '(t )   2   , t  0. Suy ra f '(t )  0  t  1. 2t (3  t ) 2 2t 2 (3  t ) 2 Bảng biến thiên t 0 1  f '(t )  0   0 f (t ) 3  2 3 Từ bảng biến thiên suy ra f (t )  f (1)   , t  0. (2) 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 19
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV. Nguyễn Hữu Hiếu a  b  c  1 a  c  1 3    4 Từ (1) và (2) ta có P   . Dấu đẳng thức xảy ra khi b  2c  2 b  a  c b  1 .    2 3 1 1 Kết luận. MinP   , đạt được khi a  c  , b  . 2 4 2  Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a b2  c 2  b  c . Tìm giá trị nhỏ nhất của  1 1 1 1 biểu thức P     1  a  2 1  b  2 1  c  2 1  a 1  b 1  c  Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến, tuy nhiên ta thấy biểu thức P và giả thiết đã cho là đối xứng với hai biến b & c . Từ đó ta có thể dự đoán dấu đẳng thức xảy ra sẽ có b  c . Sử dụng giả thiết đã cho; ta được a b  c  2 b  c  a b  c   2 2  a  b  c   2 . Vì vậy, ta tìm cách đánh giá biểu thức P để đưa 2 về hai biến a và  b  c  .  Chú ý bài toán tìm giá trị nhỏ nhất nên đánh giá biểu thức P theo chiều "  " . Sử dụng 1 1 2 bất đẳng thức AM-GM ta có đánh giá quan trọng   ; cũng theo 1  b  2 1  c  2 1  b 1  c  2  b  c 1  a  2 2 2 1 2 AM-GM ta có 1  b 1  c    2    . Từ đó suy ra 4 4 a a2 2a 2  1 4a 2 2a 3  6a 2  a  1 P    a  1 1  a   a  1 2 3 3 2a 3  6a 2  a  1 2  5a  1 1 Xét hàm số f  a   ;a  0 ; f ' a   0a  a  1 a  4 3 2 5 1 91 Lập bảng biến thiên; ta có P  f  a   f    .  5 108 91 1 Kết luận. MinP   a  ;b  c  5 . 108 5 Bài 5. Cho các số thực a, b, c  0 thỏa mãn a  b  c  2bc  ab  2ca  0 . Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 c2 c2 ab nhất của biểu thức P   2  a  b  c a b ab 2 2 Phân tích tìm lời giải  Đây là một bài toán về bất đẳng thức không đối xứng ba biến, khi quan sát biểu thức P nhiều người cảm thấy “ái ngại” bởi sự xuất hiện của biểu thức a  b  c . Thông thường khi làm việc với bài toán bất đẳng thức thì hầu như quen với các số không âm nhiều hơn. Tuy nhiên, để ý kỹ giả thiết bài toán ta có ngay a  b  c  2bc  ab  2ca  0   a  b  c   ab . 2 2 2 2 Do đó, ta nghĩ đến thay thế biểu thức  a  b  c  bởi ab là một điều hết sức tự nhiên. Hơn 2 nữa, từ đẳng thức  a  b  c   ab ta cũng có thể dự đoán được dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 2 Tài liệu bồi dưỡng HSG 12- TL được chia sẻ từ Group fb STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.