Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

898
lượt xem 176
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là những dạng toán khó không chỉ trong các kì thi học sinh giỏi các cấp mà còn thường hay xuất hiện trong các kì tuyển sinh ñại học, tuyển sinh vào lớp chuyên, lớp chọn. Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn nêu một số kĩ thuật cơ bản để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn

www.VNMATH.com CÁC K THU T CƠ B N ð CH NH MINH B T ð NG TH C VÀ TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH ð I H C, CAO ð NG, L P CHUYÊN, L P CH N Cao Minh Quang1, THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com ***** B t ñ ng th c và bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t là nh ng d ng toán khó không ch trong các kì thi h c sinh gi i các c p mà còn thư ng hay xu t hi n trong các kì tuy n sinh ñ i h c, tuy n sinh vào l p chuyên, l p ch n. Bài vi t này xin nêu m t s k thu t cơ b n ñ ch ng minh b t ñ ng th c và tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t. 1. S d ng k thu t ch n “ñi m rơi” c a b t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy). B t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy) v n r t quen thu c v i h c sinh ph thông và có r t nhi u ng d ng. Ph n này xin trình bày cách s d ng k thu t ch n “ñi m rơi” (giá tr c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c) c a b t ñ ng th c AM – GM trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Trư c h t, xin nêu l i b t ñ ng th c AM – GM Cho n s th c không âm a1 , a2 ,..., an . Khi ñó a1 + a2 + ... + an n a1 + a2 + ... + an ≥ a1a2 ...an hay n a1a2 ...an ≤ n n ð ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = ... = an . Ta thư ng áp d ng b t ñ ng th c AM – GM khi n = 2,3, 4 . Ngoài ra, s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta còn thu ñư c các k t qu quan tr ng sau: Cho a, b, c là các s th c dương, khi ñó (1) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca hay a + b + c ≥ ab + bc + ca . 2 ( ) (2) (a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 hay a2 + b2 + c2 ≥ 1 3 (a + b + c) . (3) (a + b)( 1 + 1 ) ≥ 4 hay a b 1 a +b ≤ 1 (1 + 1). 4 a b (4) (a + b + c )( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 hay a b c 1 a +b +c ≤ 9 (1 + 1 + 1) . 1 a b c Vi c xác ñ nh ñi u ki n c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c trong bài toán b t ñ ng th c r t quan tr ng, nó s giúp ta r t nhi u trong vi c ñ nh hư ng cách gi i. ð s d ng k thu t này ta c n k t h p thêm k thu t nh sau ñây: A K thu t thêm b t: A = A + B − B = × B = A.1.1...1 = A. A = 3 A.3 A.3 A , ñ t o ra các bi u th c m i hai v c a b t ñ ng B th c mà ta có th ñánh giá ñư c. K thu t ñ i bi n: M t s bài toán có ch a căn th c, phân th c thì ta có th ñ i bi n ñ d nh n th y các m i quan h c a các ñ i lư ng, t ñó ta có ñ nh hư ng cho l i gi i. Ch ng h n nh ng phép th ñơn gi n như x := a , x := 1 ,… a Sau ñây là m t s ví d . Ví d ñ u tiên là m t b t ñ ng th c h t s c ñơn gi n. 1 1 Bài toán 1. Cho x, y > 0 . Ch ng minh r ng x 2 + y 2 + + ≥ 2 x y ( x+ y . ) Phân tích l i gi i. Nh n th y r ng, v trái c a b t ñ ng th c có ch a ñơn th c và phân th c, v ph i có ch a căn th c (b c hai), và d 1 1 th y ñ ng th c x y ra khi x = y = 1 . Do ñó, ta s dùng b t ñ ng th c AM – GM cho hai s x 2 và , y 2 và . x y 1 1 1 1 L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x 2 + ≥ 2 x2 . = 2 x ; y2 + ≥ 2 y2 . = 2 y . x x y y C ng hai b t ñ ng th c ta thu ñư c b t ñ ng th c c n ch ng minh. 1 1 9 Bài toán 2. Cho 0 < a ≤ . Ch ng minh r ng a + 2 ≥ . 2 a 2 1 1 1 a 1 Phân tích l i gi i. Ta nh n th y, t 0 < a ≤ , ta có 2 ≥ 4 . Ngoài ra, khi a = thì ñ ng th c (1) x y ra và = . 2 a 2 2 16a 2 L i gi i. Do ñó, s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta nh n ñư c 1 M i th ñ u do làm vi c mà có _ Alex Ferguson 1
www.VNMATH.com 1 a a 1 15 a a 1 15 3 15 9 a+ = + + + ≥ 33 . . + ≥ + = . a2 2 2 16a 2 16a 2 2 2 16a 2 16a 2 4 4 2 Ta có th gi i bài toán trên b ng cách m t cách khác nhưng rõ ràng l i gi i trên khá g n gàng và ñ p m t sau khi ta xác ñ nh ñư c 1 “ñi m rơi” là a = . 2 2 3 Bài toán 3. Cho a, b > 0 th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Ch ng minih r ng + ≥ 14 . ab a 2 + b 2 L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = 1 . Khi ñó 2 = 8 và 3 3 = 1−2 ab = 6 . 2 ab a 2 +b 2 S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 2 3 2 2 1 1− ab 1 + 2 = + 2 + 2 = 2. + 2 . ab a + b 2 ab a + b 2 a +b 2 ab (1− 2ab) a + b 2 2 Ta ñ ý r ng ab ≤ 1 , a 2 + b 2 ≥ 1 ( a + b) = 1 , ab (1− 2ab) = 1 .2ab (1− 2ab) ≤ 1 . 1 = 1 . Do ñó 4 2 2 2 2 4 8 2 3 1− ab 1 1− 1 1 + 2 = 2. + 2 ≥ 2. 1 4 + 1 = 14 . ab a + b 2 ab (1− 2ab) a + b 2 8 2 Bài toán 4. Cho các s th c x, y, z th a mãn ñi u ki n x + y + z = 0 . Ch ng minh r ng 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 6 . L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z = 0 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 3 3 ( )( )( 3 + 4 x . 3 + 4 y . 3 + 4 z = 36 3 + 4 x . 3 + 4 x . 3 + 4 x . ) 4 ( )( )( ) M t khác, 3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x ≥ 4 4 x . Do ñó 3 + 4 x 3 + 4 y 3 + 4 z ≥ 43 4 4 x.4 y.4 z = 43 (vì x + y + z = 0 ). 6 Suy ra 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 3 43 = 6 .   2 1 + y 1 + 9  ≥ 256 . Bài toán 5. Cho x, y > 0 . Ch ng minh r ng (1 + x )        x    y L i gi i. D ñoán ñi m rơi: x = 3, y = 9 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 y 3 x x x x 3 y 1 + x = 1 + 3 + 3 + 3 ≥ 4 4 ( 3 ) ,1 + x = 1 + 3 x + 3 x + 3 x ≥ 4 4 y y y ( ) ,1+ 3x 9 y ≥ 44 ( ). 3 y 2  y  9  6   ( )( y 3 ) 3  Do ñó (1 + x )1 +  1 +  ≥ 44.3 ( x )  3 = 44 = 256 .    x    y 3 3x y Bài toán 6. [Kh i B_2007] Cho x, y, z là ba s th c dương thay ñ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1    z 1   y 1  P = x + + y + + z +  .      2 yz     2 zx        2 xy  L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z . Khi ñó 3x 2 3  x2 1 1  x2 1 1 9 P= + = 3 + +  ≥ 3 3   2 2x 2x  . . = . 2 x     2 2x 2x 2 3x2 3 ð ng th c x y ra khi = hay x = 1 . Như v y, ñi m rơi có th là x = y = z = 1 . 2 2x       x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx  x 2 1   y 2 1   z 2 1  3 3 3 9 Ta có P = + ≥ + =  + + + + +  ≥ + + = 2      2 xyz 2 xyz    2 x   2 y  z 2 2 2 2 1 1 1 Bài toán 7. [Kh i A_2005] Cho x, y, z là ba s th c dương th a mãn + + = 4 . Ch ng minh r ng x y z 2
1 www.VNMATH.com 1 1 + + ≤1 . 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 1 1  1 1 L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z . S d ng b t ñ ng th c ≤  +  v i m i s th c dương a, b , ta có     a + b 4 a b 1 1 1 1  1  1  1 1  1  1 1  ≤   1  2 1 1 ≤  +   + +  +  =  + + .     x + y x + z  4  4  x y  4  x z  16  x y z        2x + y + z 4         Ch ng minh tương t cho các bi u th c còn l i, ta suy ra 1 1 1 1  4 4 4   + + ≤  + + =1.   2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z  Bài toán 8. [ Japan, 2005 ] Cho a, b, c là các s th c dương, th a ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng a 3 1+ b − c + b 3 1+ c − a + c 3 1+ a − b ≤ 1 (2) 1 L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = c = . Khi ñó 1 + b − c = 1 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 1 + 1 + (1 + b − c ) 1 a 3 1 + b − c = a 3 1.1.(1 + b − c) ≤ a. = (3a + ab − ac ) . 3 3 1 1 Ch ng minh tương t , ta nh n ñư c b 3 1 + c − a ≤ (3b + bc − ba ) , c 3 1 + a − b ≤ (3c + ca − cb) . 3 3 C ng ba b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c 1 a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 3( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − (ab + bc + ca) = 1 . 3 3 Bài toán 9. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n a + b + c = . Ch ng minh r ng 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 . 4 1 Phân tích l i gi i. Nh n th y r ng, v trái c a b t ñ ng th c có ch a (b c ba), d th y ñ ng th c x y ra khi a = b = c = , khi ñó, 4 a + 3b = 1 . Do ñó, ta s dùng b t ñ ng th c AM – GM cho ba s a + 3b,1,1 . (a + 3b) +1 +1 a + 3b + 2 L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 a + 3b = 3 ( a + 3b).1.1 ≤ = . 3 3 Ch ng minh tương t cho hai bi u th c còn l i, ta thu ñư c 3 a + 3b + 2 b + 3c + 2 c + 3a + 2 4 ( a + b + c) + 6 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ + + = = 3. 3 3 3 3 Bài toán 10. [ IMO, 1995 ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 3 + 3 + 3 ≥ . a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) 2 1 1 2 b+c L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = c = 1 . Khi ñó 3 = = = . Do ñó, áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có a (b + c) 2 4 4bc 1 b+c 1 b+c 1 1 1 1 1 1 + ≥2 3 . = ⇒ 3 ≥ −  + .   3 a (b + c ) 4bc a (b + c) 4bc a a (b + c ) a 4 b c    1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 Ch ng minh tương t , ta có ≥ −  + , 3    ≥ −  + .    3 b (c + a ) b 4    c a  c ( a + b) c 4  a b  C ng các b t ñ ng th c trên và áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 3 + + ≥  + +  ≥ .3 3 . . = .    3 a (b + c) 3 b (c + a ) 3 a b c 2 c (a + b ) 2  a b c 2 3
Bài toán 11. Cho x, y, z ≥ 0 th a mãn ñi u ki n www.VNMATH.com ng x + y + z ≤ 3 . Ch ng minh r x y z 3 1 1 1 2 + 2 + 2 ≤ ≤ + + . 1+ x 1+ y 1+ z 2 1+ x 1+ y 1+ z L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 1 + x 2 ≥ 2 x,1 + y 2 ≥ 2 y,1 + z 2 ≥ 2 z . Do ñó x y z x y z 3 2 + 2 + 2 ≤ + + = . 1+ x 1+ y 1+ z 2x 2 y 2z 2 S d ng b t ñ ng th c 1 a + b + 1 ≥ a +9 +c , v i m i a, b, c dương, chú ý r ng x + y + z ≤ 3 , ta có 1 c b 1 1 1 9 9 3 + + ≥ ≥ = . 1+ x 1+ y 1+ z 3 + x + y + z 6 2 x2 y2 z2 3 Bài toán 12. Cho x, y, z > 0 và th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng + + ≥ . y +1 z +1 x +1 2 x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có + ≥ x, + ≥ y, + ≥z. y +1 4 z +1 4 x +1 4 x2 y2 z2 x+ y+z 3 x2 y2 z2 3 3 3 3 3 Suy ra + + + + ≥ x + y + z hay + + ≥ ( x + y + z ) − ≥ .33 xyz − = . y +1 z +1 x +1 4 4 y +1 z +1 x + 1 4 4 4 4 2 1 1 1 Bài toán 13. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n + + = 3 . Ch ng minh r ng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 . a b c 1 1 1 Phân tích l i gi i. Gi thi t bài toán ch a các bi n , , , nhưng b t ñ ng th c c n ch ng minh ch ch a a, b, c . Do ñó, ñ ch ng a b c 1 1 1 minh b t ñ ng th c, ta c n chuy n ñ i lư ng , , thành a, b, c . Ta c n ch ng minh a b c  1  1  1  8 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 ⇔ 1 + 1 + 1 +  ≥         .  a  b  c abc 1 1 1 L i gi i. S d ng phép ñ i bi n x = , y = , z = , ta c n ch ng minh (1 + x)(1 + y )(1 + z ) ≥ 8 xyz , trong ñó x + y + z = 3 . a b c D ñoán ñi m rơi: x = y = z = 1 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 = x + y + z ≥ 33 xyz ⇒ xyz ≤ 1 . Do ñó (1 + x )(1 + y )(1 + z ) ≥ 2 x .2 y .2 z = 8 xyz ≥ 8 xyz . a3 b3 c3 a b c Bài toán 14. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng 3 + 3 + 3 ≥ + + . b c a b c a a b c L i gi i. ð t x = , y = , z = . Ta c n ch ng minh x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z , v i xyz = 1 . b c a S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x3 + 2 = x3 + 1 + 1 ≥ 3x . Do ñó x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z ) hay x3 + y 3 + z 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) − 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 3 3 xyz − 3 = x + y + z . ( ) a3 b3 c3 a b c Bài toán 15. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng 3 + 3 + 3 ≥ + + . b c a b c a a b c 3 3 3 L i gi i. ð t x = , y = , z = . Ta c n ch ng minh x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z , v i xyz = 1 . b c a 3 3 1 B ñ : ta s ch ng minh x 2 + 1 ≥ 2 x ⇔ 2 x 2 + 1 ≥ 3x . ð t t = x 2 , b t ñ ng th c trên ñư c vi t l i dư i d ng 2 3 2 2t 3 + 1 ≥ 3t 2 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 1 ≥ 0 ⇔ (t −1) (2t + 1) ≥ 0 . ( ) 3 3 3 Suy ra 2 x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 3( x + y + z ) . Do ñó, v i chú ý r ng x + y + z − 3 ≥ 3 3 xyz − 3 = 0 . 4
www.VNMATH.com ( ) 3 3 3 3 3 3 2 x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( x + y + z − 3) + 2 ( x + y + z ) ≥ 2 ( x + y + z ) hay x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z Bài toán 16. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3. ab bc ca L i gi i. Th c hi n phép ñ i bi n x = 1 , y = 1 , z = 1 . T ñi u ki n, ta có x + y + z = 1 . a b c Ta c n ch ng minh b t ñ ng th c x2 + 2 y 2 + y2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x2 ≥ 3 . S d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, ta có x2 + 2 y2 = x2 + y2 + y2 ≥ 1 ( x + y + y) = 1 ( x + 2 y) . 3 3 V i hai b t ñ ng th c tương t còn l i, suy ra x2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2x2 ≥ 1 .3 (x + y + z) = 3 . 3 Bài toán 17. Kh i A_2006] Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñ i và th a mãn ñi u ki n ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n 1 1 nh t c a bi u th c A = 3 + . x y3 L i gi i. Vì x ≠ 0, y ≠ 0 nên ñi u ki n c a bài toán có th ñư c vi t l i dư i d ng (chia hai v cho ñ i lư ng x 2 y 2 ) 1 +1 = 1 + 1 1 − xy . Th c hi n phép ñ i bi n a = 1 , b = 1 , ta c n tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = a3 + b3 v i ñi u ki n x y x2 y2 x y 2 ( ) 2 a + b = a 2 + b 2 − ab . Khi ñó A = a3 + b3 = (a + b) a 2 + b2 − ab = ( a + b) . S d ng b t ñ ng th c ab ≤ ( a +b ) , ta suy ra 2 2 2 2 2 a + b = a 2 + b 2 − ab = ( a + b) − 3ab ≥ ( a + b) − 3 (a + b) = 1 (a + b) . 4 4 2 Do ñó (a + b) − 4 (a + b) ≤ 0 hay 0 < a + b ≤ 4 . Vì v y A ≤ 16 . 1 ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = 2 hay x = y = 2 và max A = 16 . Bài toán 18. [Kh i A_2007] Cho x, y, z là ba s th c dương thay ñ i và th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x2 ( y + z) y 2 ( z + x) z 2 ( x + y) P= + + . y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y L i gi i. ð ti n cho vi c trình bày l i gi i, ñ t a = x , b = y , c = z . Khi ñó abc = 1 , ta c n tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M= ( a4 b2 + c2 ) + b 4 (c 2 + a 2 ) + c 4 ( a 2 + b 2 ) . b 3 + 2c 3 c 3 + 2a 3 a 3 + 2b3 2 D ñoán ñi m rơi a = b = c = 1 , khi ñó M = 3 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có b 2 + c 2 ≥ 2bc = a ( ) ⇒ a 4 b 2 + c 2 ≥ 2a 3 . 2a 3 2b3 2c 3 Th c hi n vi c tương t cho các bi u th c còn l i trong bi u th c M , ta có M ≥ + + . b3 + 2c3 c 3 + 2a 3 a3 + 2b3 Th c hi n phép ñ i bi n m = b3 + 2c3 , n = c3 + 2a3 , p = a3 + 2b3 . Khi ñó 4n + p − 2m 3 4 p + m − 2n 3 4m + n − 2 p a3 = ,b = ,c = . 9 9 9 Như v y: 2  4n + p − 2m 4 p + m − 2n 4m + n − 2 p  = M=   + +   9 m n p   2   n p m   p m n   2 = 4 + +  + + +     − 6 ≥ (4.3 + 3 − 6) = 2 .  9   m n p   m n     p   9   5
www.VNMATH.com 2. S d ng các tính ch t c a hàm s , lư ng giác, vector ð i v i các bài toán b t ñ ng th c, bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t có ch a m t bi n s ( x ho c a ), ta thư ng gi i b ng cách s d ng ñ o hàm v i ñi u ki n ràng bu c c a bi n thu c m t mi n xác ñ nh nào ñó; n u x ∈ [−1,1] thì ta có th ñ t x = sin α, x = cos α ; n u bài toán có ch a ñi u ki n a, b, c > 0, ab + bc + ca = 1 thì ta có th ñ t a = tan 2 , b = tan B , c = tan C ; v i A 2 2 A, B, C là ba góc c a m t tam giác; n u bài toán có ch a ñ i lư ng a 2 + b 2 thì ta có th ñ t u = ( a, b) ; n u bài toán có ch a ñi u ki n a ≥ b thì ta c n chuy n bài toán v d ng f (a ) ≥ f (b) ho c f (a ) ≤ f (b) , r i xét s ñ ng bi n ho c ngh ch bi n c a hàm s y = f ( x) , và lưu ý r ng, trong m t s trư ng h p, ta c n phép ñ i bi n ñ bài toán có d ng ñơn gi n hơn. x +1 Bài toán 19. [Kh i D_ 2003] Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y= trên ño n [−1; 2] . x2 +1 L i gi i. Xét x ∈ [−1; 2] . ð o hàm c a hàm s này là y ' = 1− x 3 . Ta có y ' = 0 ⇔ x = 1 . ( x 2 +1) 3 Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n và ñi m biên: f (1) = 2, f (−1) = 0, f ( 2) = . 5 V y max y = f (1) = 2, min y = f (−1) = 0 . [−1,2] [−1,2 ] Bài toán 20. [Kh i B_ 2003] Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = x + 4 − x2 . L i gi i. T p xác ñ nh [−2, 2] . ð o hàm c a hàm s này là y ' = 1− x . Ta có 4− x 2 y ' = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ x ≥ 0 ∧ 4 − x2 = x2 ⇔ x = 2 . Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n và ñi m biên: f ( 2) = 2 2, f (−2) = −2, f (2) = 2 . V y max y = f [−2,2 ] ( 2) = 2 2, min y = f (−2) = −2 . [−2,2] Lưu ý: vì x ∈ [−2, 2] nên ta có th ñ t x = 2 cos α, α ∈ [ 0, π ] ho c x = 2sin α, α ∈ − π , π  , sau ñó ñưa bài toán v d ng lư ng giác 2 2 ñ gi i. 3 Bài toán 21. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s y = x 6 + 4 1− x 2 ( ) trên ño n [−1,1] L i gi i. Th c hi n phép ñ i bi n t = x 2 . Vì x ∈ [−1,1] nên t ∈ [0,1] . Ta c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s 3 f (t ) = t 3 + 4 (1− t ) = −3t 3 + 12t 2 −12t + 4 . ð o hàm c a hàm s này là f '(t ) = −9t 2 + 24t −12 . Ta có f '(t ) = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = 2 . 3 Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n (chú ý t ∈ [0,1] ) và ñi m biên: f ( 2 ) = 4 , f (0) = 4, f (1) = 1 . 3 9 4 2 6 V y max y = 4 khi t = 0 hay x = 0 , min y = 9 khi t = 3 hay x = ± 3 . [−1,1] [−1,1] Lưu ý: (1) Vì x ∈ [−1,1] nên ta có th ñ t x = cos α, α ∈ [ 0, π ] ho c x = sin α, α ∈ − π , π  , sau ñó ñưa bài toán v d ng lư ng giác ñ gi i. 2 2 (2) N u ñ t y 2 = 1− x 2 , thì bài toán ñư c phát bi u dư i d ng: Tìm giá tr l n nh t và giá tr bé nh t c a bi u th c f ( x, y ) = x6 + 4 y 6 th a ñi u ki n x 2 + y 2 = 1 . Bài toán 22. [Kh i A_2003] Cho x, y, z là ba s th c dương th a mãn x + y + z ≤ 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + ≥ 82 . x y z2 1 1 1 L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z = . Khi ñó, x 2 = = . 3 9 81x 2 6
www.VNMATH.com  1  1  1  S d ng b t ñ ng th c a + b + c ≥ a + b + c , v i m i vector a, b, c , áp d ng cho a =  x,  , b =  y,  , c =  z ,  .    x    y          z 1 1 1  1 1 1 2 ≥ (x + y + z) +  + +  .  2 Ta nh n ñư c x2 + + y2 + + z2 +   x2 y2 z2   x y z  1 1 1 1 1 1 9 9 T b t ñ ng th c (a + b + c ) + +  ≥ 9, v i a, b, c > 0 , t = x + y + z ≤ 1 , ta có + + ≥    = . a b c  x y z x+ y+z t  1 1 1 2 81 1 1 1  1 81 1 Suy ra ( x + y + z ) +  + +  ≥ t 2 + 2 = t 2 + 2 + 2 + ... + 2 ≥ 8282 t 2 . 2  = 8282 160 ≥ 82.  2      x y z   t t t t   t  t 1 Do ñó ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 3 b a  1  1 Bài toán 23. [Kh i D_2007] Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng 2a + a  ≤ 2b + b  .         2    2  L i gi i. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i b t ñ ng th c b a ( ln 1+4a ) ( ln 1+4b ) ( ln 1+4 x ) (1 + 4a ) ≤ (1 + 4b ) ⇔ a ≤ b hay f (a ) ≤ f (b) , trong ñó f ( x ) = x . Ta chú ý r ng, vì a ≥ b > 0 nên ta ch c n ch ng minh hàm s này ngh ch bi n trong (0, +∞) . ( ) ( 4 x ln 4 x − 1+4 x ln 1+4 x ) Th t v y, ñ o hàm c a hàm s này là f '( x ) = < 0 . ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b . ( x 2 1+4 x ) Cu i cùng, m i các b n rèn luy n k thu t này qua các bài t p sau. Bài 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 35 3 . Bài 2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 5 (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a )b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 . ( ) 2 ( ) Bài 3. Cho a, b, c > 0 và a 2 + a + 2 (b + 1) c 2 + 3c = 64 . Ch ng minh r ng a 3b4 c5 ≤ 1 . 32 Bài 4. Cho a > b ≥ 0 . Ch ng minh r ng 2a + 2 ≥5. (a − b)(2b + 3) x y z 3 Bài 5. [ Nesbitt ] Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng + + ≥ . y+z z+ x x+ y 2 Bài 6. [Cao Minh Quang] Cho a, b, c ∈ [−2, 2] và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 4 − a2 + 4 − b2 + 4 − c2 ≤ 3 3 . xyz 1 Bài 7. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng ≤ 4 . (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 a3 b3 c3 3 Bài 8. [ IMO Short List, 1998 ] Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 9. [ Greece, 2007 ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng 4 4 4 (c + a − b) (a + b − c) (b + c − a ) + + ≥ ab + bc + ca . a (a + b − c ) b (b + c − a) c (c + a − b) 3 a b c 9 Bài 10 [ Poland, 1995 ] Cho a, b, c ≥ − và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 2 + 2 + 2 ≤ 4 a + 1 b + 1 c + 1 10 ln 2 x Bài 11 [Kh i B_2004] Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y= trên ño n 1;e3  . x   x2 y2 z2 Bài 12. Cho x, y, z là các s th c dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = 2 + 2 + 2 . x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy 7
1 1 www.VNMATH.com 1 Bài 13. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n + + = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a abc . 2+a 2+b 2+c a b Bài 14. Cho a, b > 0 th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + . 1− a 1− b 1 1 1 a b c Bài 15. Cho các s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng + + ≥ 3 a + b + c  .   a 3 3 b 3c 3  3 3  x4 x4  x2 x 2  x x  Bài 16. Cho x, y ≠ 0 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + − 2 2 + 2  + +    y4 y4 y   y  y y 1 a3 1 a Bài 17. Cho a, b là hai s th c dương. Ch ng minh r ng 3 + 3 + b3 ≥ + +b . a b a b 3 Bài 18. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z ≤ . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 1 1 1 M = x2 + y2 + z 2 + + + . x y z 1 1 1 Bài 19. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n a + b + c = abc . Ch ng minh r ng 1+ 2 + 1+ 2 + 1+ ≥2 3 . a b c2 a b 1 Bài 20. Cho a, b là các s th c dương. Ch ng minh r ng + ≤ . a 4 + b2 b4 + a2 ab a +b ab Bài 21. Cho a, b là các s th c dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + . ab a +b  2  1  2 1  Bài 22. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 2 . Ch ng minh r ng a +  + b +  ≥ 9 .   b    a  Bài 23. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx = 1 . Ch ng minh r ng x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 . Bài 24. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = abc . Ch ng minh r ng bc ca ab + + ≤1 a 2 + 2bc b2 + 2ca c 2 + 2ab 1 Bài 25. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Ch ng minh r ng 8 a 4 + b 4 + ( ) ab ≥5. 1 1 Bài 26. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b ≤ 1 . Ch ng minh r ng 2 + 2 ≥4. a + ab b + ab Bài 27. Cho x, y ≥ 1 . Ch ng minh r ng x y −1 + y x −1 ≤ xy .  1  1 Bài 28. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = 1− 2 1− 2  .  a  b        2 x 2 y 2 z 1 1 1 Bài 29. Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng 3 2 + 3 2 + 3 2 ≤ 2 + 2 + . x +y y +z z +x x y z2 1 1 1 x+ y+z Bài 30. Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng 2 + 2 + 2 ≤ . x + yz y + zx z + xy 2 xyz 8