Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôi mô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω+ và Ω- , cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω- một cách riêng biệt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CHO PHƯƠNG TRÌNH CẤP HAI TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VỚI DẠNG ĐẶC TRƯNG ĐỔI DẤU Nguyễn Thị Ngân (Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái Nguyên) 1. Mở đầu Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm đã được trình bày trong nhiều tài liệu ( xem [1], [2], [3]). Trong mục này chúng tôi mô tả phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω+ và Ω-, cách đặt bài toán biên thứ nhất cho từng miền Ω+ và Ω- một cách riêng biệt. 1.1 Phương trình với dạng đặc trưng đổi dấu Ta ký hiệu Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∑ ≡ ∂Ω . Trong Ω cho phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng đổi dấu như sau: n n k , j =1 k =1 L ( u ) = ϕ ( x ) ∑ a kj ( x ) u x k x j + ∑ b k ( x ) u x k + c ( x ) u = f ( x ) (1.1) với điều kiện: akj = ajk ; A( x, ξ ) = (1.2) n ∑a k , j =1 kj ( x )ξ k ξ j ≤ 0; (1.3) cho mọi véc tơ ξ = (ξ1, …, ξn) và mọi điểm x ∈ Ω. Hàm số ϕ(x), f(x), u(x) ∈ Lp (Ω). Ta giả thiết hàm ϕ(x) có tính chất: Nếu ϕ(x) = 0 thì grad ϕ(x) ≠ 0 (1.4) Ω = Ω+ ∪ S ∪ Ωvới: Ω+ = {x ∈ Ω ; ϕ (x) > 0} ; Ω- = {x ∈ Ω ; ϕ (x) < 0} ; S = {x ∈ Ω ; ϕ (x) = 0} ; Mặt S phân chia miền Ω (một cách địa phương) thành hai miền: một miền có ϕ(x) > 0, miền còn lại có ϕ(x) < 0. 1.2 Mô tả phương trình trong các miền Ω+ , ΩTa kí hiệu Σ+ là biên của miền Ω+. Σ- là biên của miền ΩBiên Σ của miền Ω được chia dưới dạng: Σ = Σ' ∪ Σ " ; trong đó: Σ ' = ∑ ∪Ω + ; Σ '' = ∑ ∪Ω − . Do vậy: 111 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 ∑ '∪ S = ∑ + ; ∑ "∪ S = ∑ − . Trong miền Ω+, ta xét phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát có dạng: n ∑ L (u ) = ϕ ( x ) n ∑b a kj ( x ) u x k x j + k , j =1 k k =1 ( x ) u x k + c ( x ) u = f ( x ) (1.5) Do điều kiện (1.3) và ϕ (x) > 0 trong miền Ω+ nên phương trình (1.5) là phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm. Hàm số: n ∑ b+ (x) = (b k n ∑ − k =1 a kj j =1 ϕ − xj n ∑ j =1 ϕa kj xj )η , k trong đó η = (η1 ,η 2, ...η n` ) là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ+, là hàm Fikera cho phương trình (1.5). Ta ký hiệu: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ta có: 0 + + ∑ ; A ( x ,η ( x = {x ∈ ∑ ; b ( x ) = 0 }; = {x ∈ ∑ ; b ( x ) > 0 }; = {x ∈ ∑ ; b ( x ) < 0 }; = ∑ \∑ + + + + 0 + 0 + + ∑ = ∑ ∪∑ ∪∑ ∪ ∑ + 3 + } )) = 0 ; 0 + 2 + 0 0 + 1 0 + + 0 3 { = x0 ∈ + 0 + 1 + 2 Trong miền Ω-, nhân hai vế của (1.5) với (-1) ta có: L (u ) = −ϕ ( x ) n ∑ a kj ( x ) u x k x j − k , j =1 n ∑b k =1 k ( x ) u x k − c ( x ) u = − f ( x ) (1.6) Do điều kiện (1.3) và ϕ(x) < 0 trong miền Ω- nên phương trình (1.6) là phương trình cấp hai tuyến tính tổng quát với dạng đặc trưng không âm. Hàm số: b− ( x ) = n ∑ k =1  k (−b ) −  n ∑ ( − a k j )ϕ j =1 x j − n ∑ j =1  ϕ ( − a k j ) x η k , j  trong đó η = (η1 ,η 2, ...η n` ) là véc tơ pháp tuyến trong đơn vị tại mỗi điểm x∈ Σ-, là hàm Fikera cho phương trình (1.6). Ta ký hiệu: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 112 0 _ _ 0 − 1 − 2 − 3 { ∑ ; A ( x ,η ( x = {x ∈ ∑ ; b ( x ) = 0 }; = {x ∈ ∑ ; b ( x ) > 0 }; = {x ∈ ∑ ; b ( x ) < 0 }; = ∑ \∑ = x0 ∈ 0 − 0 − − 0 − − 0 − − 0 − − 0 } )) = 0 ; T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 Ta có: ∑ − = ∑ 3− ∪∑ 0− ∪∑ 1− ∪∑ −2 Ta dễ dàng chứng minh được các định lý sau: Định lý 1.2.1: Với mọi x ∈ S véc tơ grad ϕ(x) cùng hướng với véctơ pháp tuyến trong đơn vị miền Ω+. 0 0 Định lý 1.2.2. S ⊂ ∑+ ∩ ∑− Định lý 1.2.3. Với mọi x ∈ S, ta có: b+(x) = b-(x) Định lý 1.2.4. Giả sử hàm ϕ(x) thỏa mãn điều kiện sau: n ∑ b ( x)ϕ k k =1 + 2 Khi đó S ⊂ ∑ ∩∑ xk n ∑a ( x) < k , j =1 kj ( x )ϕ xk ϕ x j ( x ), (1.7) ∀x ∈ S (1.8) − 2 1.3. Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính trong miền Ω+, Ω1.3.1. Bài toán biên thứ nhất cho phương trình cấp hai tuyến tính trong miền Ω+ Bài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.5) trên biên Σ+ của miền Ω+ được phát biểu như sau: Tìm hàm v(x) trong Ω+ ∪ Σ+ thỏa mãn: L(v) = f1 trong Ω+ ; (1.9) + + v = 0 trên ∑3 ∪ ∑ 2 \S (1.10) v = h trên S; (1.11) ( ) với f1 = f|Ω+ Giả sử hàm v ∈ C 2 (Ω + ∪ ∑ + ) và v = 0 trên hàm ψ ∈ C 2 (Ω + ∪ ∑ + ),ψ = 0 trên ∑ + 3 ∑ + 3 ∪(∑ +2 \ S ) . Ta ký hiệu ψ là lớp các ∪ ∑ 1+ . Định nghĩa 1.3.1: Ta gọi hàm số v ∈ LP (Ω + ) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.9), (1.10), (1.11), nếu với mọi hàm ψ ∈ ψ thì đẳng thức sau được thỏa mãn: ∫ψ f Ω+ 1 dx = ∫L Ω+ * (ψ ) vdx − ∫b + h ψ d σ (1.12) S Trong miền Ω+, dạng đặc trưng của phương trình (1.9) không âm. Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên thứ nhất trong không gian LP( Ω+) đã được chứng minh (xem [1], [2]). Định lý 1.3.2: Giả sử các điều kiện (1.2), (1.3) và (1.8) được thỏa mãn. Giả sử tồn tại hàm w+ ( x) ∈C 2 (Ω + ) sao cho: w+ ( x) ≤ 0, L(w+) + (q-1)c*w+ > 0 trong Ω + với 1 < q < +∞ (1.13) Khi đó bài toán biên (1.9), (1.10), (1.11) luôn có nghiệm v ∈ LP (Ω + ) trong đó 1 1 + =1 p q 113 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 1.3.2 Bài toán biên thứ nhất của phương trình cấp hai tuyến tính trong miền ΩBài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.6) trên biên ∑- của miền Ω- được phát biểu như sau: Tìm hàm w(x) trong Ω- ∪ Σ- thỏa mãn: (-L)(w) = -f2 trong Ω- ; (1.14) w = 0 trên ∑ 3− ∪(∑ −2 \ S ) (1.15) w = h trên S; (1.16) với f2 = f|ΩGiả sử hàm w ∈ C 2 (Ω − ∪ ∑ − ) và w = 0 trên ∑ 3− ∪(∑ −2 \ S ) . Ta ký hiệu là lớp các − − 2 hàm ψ ∈ C (Ω − ∪ ∑ − ),ψ = 0 trên ∑ 3 ∪∑ 1 . Định nghĩa 1.3.3: Ta gọi hàm số w ∈ LP (Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.14), (1.15), (1.16) nếu với mọi hàm ψ ∈ ψ thì đẳng thức sau được thỏa mãn: ψ ∫Ω ψ f2dx = − ∫ (−L Ω * )( ψ )w d x − ∫b − hψ d σ (1.17) S − Trong miền Ω-, dạng đặc trưng của phương trình (1.14) không âm. Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên thứ nhất trong không gian LP( Ω-) đã được chứng minh (xem [1], [2]). Định lý 1.3.4: Giả sử các điều kiện (1.2), (1.3) và (1.8) được thỏa mãn. Giả sử tồn tại hàm w− ( x) ∈ C 2 (Ω − ) sao cho: w− ( x) ≤ 0, (-L)(w-) = (q-1)c*w- > 0 trong Ω − với 1 < q < +∞ (1.18) Khi đó bài toán biên (1.14), (1.15), (1.16) luôn có nghiệm w ∈ LP (Ω − ) với 1 1 + =1 p q 2. Bài toán biên thứ nhất với dạng đặc trưng đổi dấu Trong mục này chúng tôi trình bày cách đặt bài toán biên thứ nhất cho phương trình với dạng đặc trưng đổi dấu (1.1), định nghĩa nghiệm suy rộng. Nhờ các bài toán biên thứ nhất trong từng miền riêng biệt Ω+ và Ω- đã được xét trong mục 1 chúng tôi chứng minh định lý về sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán biên thứ nhất. Nghiệm đó nói chung là không duy nhất. 2.1. Bài toán biên thứ nhất với dạng đặc trưng đổi dấu Bài toán biên thứ nhất cho phương trình (1.1) với dạng đặc trưng đổi dấu trong miền Ω được phát biểu như sau: Tìm hàm u(x) trong Ω ∪ ∑ thoả mãn: L(u) = f trong Ω u = 0 trên ∑3 ∪ ( (2.1) ∑ + 2 − \S) ∪ (∑ 2 \S) (2.2) 2.2. Định nghĩa nghiệm suy rộng Định nghĩa 2.2.1: Ta gọi hàm u ∈ Lp(Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2) nếu với mọi hàm ψ ∈Ψ thì đẳng thức sau được thoả mãn: ∫ ψfdx = ∫ L (ψ)udx * Ω 114 Ω (2.3) T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 + ( ) + ( − − ) trong đó Ψ là lớp hàm ψ ∈ C2(Ω ∪ ∑), ψ = o trên ∑3 ∪ ∑1 \ S ∪ ∑3 ∪ ∑1 \ S 2.3. Sự tồn tại của nghiệm suy rộng Định lý 2.3.1: Giả sử phương trình (2.1) thoả mãn các điều kiện (1.2), (1.3), (1.8), (1.13), (1.18). Khi đó tồn tại vô số nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2). Chứng minh: Giả sử h (x) là hàm bất kỳ sao cho hạn chế của nó trên S là hàm liên tục. Giả thiết của định lý 2.3.1 đảm bảo sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên (1.9) - (1.11) và (1.14) - (1.16) tương ứng trong miền Ω+ và Ω- . Ta ký hiệu v(x) , w(x) lần lượt là nghiệm của các bài toán biên (1.9) - (1.11) và (1.14) (1.16) tương ứng trong Ω+ và Ω-. Đối với v(x) và w(x) ta có các đẳng thức (1.12) và (1.17). v( x), x ∈ Ω + Ta xét hàm u(x) như sau:  u(x) = h( x ), x ∈ S w(là x ∈ Ω của bài toán (2.1), (2.2). Ta chứng minh rằng u(x) −  x),nghiệm Thật vậy: ∫ψfdx = ∫ψf dx + ∫ψf 1 Ω Ω+ Ω− 2 dx = ∫ψf1 dx − ∫ψ (− f 2 ) dx Ω+ Ω−  = Ω+ = S Vậy Ω −  S ∫ L * (ψ )vdx + ∫ L * (ψ )wdx = ∫ L * (ψ )udx Ω+ trong đó  ∫ L * (ψ )vdx - ∫ b+ hψdσ −  ∫ (− L*)(ψ )wdx − ∫ b− hψdσ  Ω− Ω f1 = f | Ω + ; f 2 = f | Ω − ∫ ψfdx = ∫ L (ψ)udx , do đó u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2). Do * Ω Ω hàm h(x) là bất kỳ nên tồn tại vô số nghiệm suy rộng. Định lý chứng minh xong. 2.4. Ví dụ cụ thể Ta đưa ra ví dụ cụ thể như sau: Trong miền Ω = {(x1; x2) ∈ R2; x1