intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo khoa học: "Một số tính chất của họ CF và cs-ánh xạ phủ compac"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

118
lượt xem
15
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: Trần Văn Ân, Nguyễn Thị Lê, Một số tính chất của họ CF và cs-ánh xạ phủ compac....

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Một số tính chất của họ CF và cs-ánh xạ phủ compac"

  1. CS -¸nh x¹ phñ compac(1) Mét sè tÝnh chÊt cña hä vµ CF TrÇn V¨n ¢n (a) vµ NguyÔn ThÞ Lª (b) Trong bµi nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè mèi liªn hÖ gi÷a hä b¶o tån bao Tãm t¾t. WHCP) vµ hä CF. Chóng t«i còng chøng tá cs-¸nh x¹ phñ compac ®ãng di truyÒn yÕu ( k-kh«ng k-l­íi trªn gian b¶o tån compac, ®Õm ®­îc-compac. CF Kh¸i niÖm vÒ hä c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« ®­îc ®­a ra bëi T. Mizokami trong [2] vµ tiÕp tôc ®­îc nghiªn cøu trong [3]. C¸c t¸c gi¶ ®· t×m ®­îc mét sè mèi liªn CF, HCF víi c¸c hä kh¸c nh­ HCP, CP , h÷u h¹n-compac,... Mét c©u hái hÖ gi÷a hä CF cã mèi quan hÖ g× víi hä W HCP vµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng? ®Æt ra tù nhiªn: Hä Víi nh÷ng ®iÒu kiÖn nµo th× tÊt c¶ c¸c hä nãi trªn lµ t­¬ng ®­¬ng? PhÇn ®Çu cña bµi b¸o chóng t«i tËp trung tr¶ lêi c©u hái trªn. Trong [5] Z. Li ®· chØ ra: Kh«ng gian cã k -l­íi cs-¶nh compac, compac-®Õm ®­îc khi vµ chØ khi nã lµ phñ compac cña kh«ng gian metric compac ®Þa ph­¬ng. PhÇn tiÕp theo cña bµi b¸o nµy chóng t«i ®· lµm cs-¶nh phñ compac hoÆc ¶nh Lindelop phñ ¨ m¹nh h¬n ®iÒu kiÖn ®ñ, cô thÓ chØ ra r»ng compac cña k -kh«ng gian cã k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac lµ kh«ng gian cã k -l­íi compac, compac-®Õm ®­îc. 1. Më ®Çu T1 , chÝnh quy Trong bµi b¸o nµy tÊt c¶ c¸c kh«ng gian t«p« ®Òu ®­îc gi¶ thiÕt lµ vµ c¸c ¸nh x¹ lµ toµn ¸nh liªn tôc. P X §Þnh nghÜa 1.1. Gi¶ sö lµ kh«ng gian t«p« vµ lµ mét phñ gåm c¸c tËp con X. nµo ®ã cña P x ∈ X vµ U lµ l©n cËn bÊt kú cña x, tån t¹i (a) ®­îc gäi lµ l­íi nÕu víi mäi P ∈P x ∈ P ⊂ U; sao cho (b) P ®­îc gäi lµ k -l­íi nÕu víi mäi tËp con compac K vµ víi mäi l©n cËn U cña K trong X , tån t¹i hä con h÷u h¹n F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ U . P X §Þnh nghÜa 1.2. Gi¶ sö lµ kh«ng gian t«p« vµ lµ hä c¸c tËp con nµo ®ã cña X. 1 - §­îc sù tµi trî cña Ch­¬ng tr×nh nghiªn cøu c¬ b¶n trong khoa häc tù nhiªn. No. 10806 2 - NhËn bµi ngµy 28/6/2007. Söa ch÷a xong ngµy 25/8/2007.
  2. P ®­îc gäi lµ hä ®Õm ®­îc-compac (h÷u h¹n-compac) nÕu víi mäi tËp compac (a) K cña X th× K chØ cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc (h÷u h¹n) phÇn tö cña hä P . (b) P lµ hä cs-®Õm ®­îc (h÷u h¹n) nÕu víi mäi d·y héi tô A (bao gåm c¶ ®iÓm héi tô cña nã) th× A chØ cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . (c) P ®­îc gäi lµ hä CF nÕu víi mäi tËp compac K cña X th× {K ∩ P : P ∈ P} lµ hä h÷u h¹n. P = {Pα : α ∈ Λ} ®­îc gäi lµ hä HCF Γ ⊂ Λ vµ Aα ⊂ Pα , (d) nÕu víi mäi tËp con víi mäi α ∈ Γ th× hä {Aα : α ∈ Γ} lµ CF . P = {Pα : α ∈ Λ} lµ hä c¸c tËp X §Þnh nghÜa 1.3. Gi¶ sö lµ kh«ng gian t«p« vµ X. con nµo ®ã cña P I⊂Λ CP (a) ®­îc gäi lµ hä b¶o tån bao ®ãng vµ viÕt t¾t lµ nÕu víi mäi hä con ta cã {Pα : α ∈ I } = {Pα : α ∈ I }. P ®­îc gäi lµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn vµ viÕt t¾t lµ HCP (b) nÕu víi mäi I ⊂ Λ vµ mäi tËp con Qα ⊂ Pα , α ∈ I , ta cã hä con {Qα : α ∈ I } = {Qα : α ∈ I }. P W HCP (c) ®­îc gäi lµ hä b¶o tån bao ®ãng di truyÒn yÕu vµ viÕt t¾t lµ nÕu víi I ⊂ Λ vµ mäi ®iÓm xα ∈ Pα , α ∈ I , ta cã mäi hä con {xα : α ∈ I } = {xα : α ∈ I }. P x∈X (d) ®­îc gäi lµ hä ®Õm ®­îc (h÷u h¹n) ®Þa ph­¬ng nÕu víi mäi ®iÓm tån Ux x sao cho Ux t¹i l©n cËn cña cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc (h÷u h¹n) phÇn tö P. cña hä (e) P x∈X ®­îc gäi lµ hä ®Õm ®­îc (h÷u h¹n) theo ®iÓm nÕu mçi ®iÓm thuéc ®Õm ®­îc (h÷u h¹n) phÇn tö. ⇒ cs-h÷u DÔ thÊy c¸c quan hÖ sau: h÷u h¹n-compac (®Õm ®­îc) NhËn xÐt 1.4. ⇒ h÷u h¹n (®Õm ®­îc) theo ®iÓm, HCF ⇒ CF , compac-h÷u h¹n⇒ h¹n (®Õm ®­îc) CF , h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng ⇒ HCP ⇒ CP vµ W HCP . P X §Þnh nghÜa 1.5. Gi¶ sö lµ kh«ng gian t«p« vµ lµ phñ c¸c tËp con nµo ®ã cña X. X ®­îc x¸c ®Þnh bëi P nÕu U ⊂ X lµ më (t­¬ng øng, ®ãng) trong X (a) Ta nãi khi vµ chØ khi U ∩ P lµ më (t­¬ng øng, ®ãng) trong P víi mäi P ∈ P ; (b) X lµ kh«ng gian d·y nÕu víi mäi A ⊂ X , A ®ãng trong X khi vµ chØ khi kh«ng cã d·y nµo trong A héi tô ®Õn ®iÓm n»m ngoµi A, mét c¸ch t­¬ng ®­¬ng, X ®­îc x¸c ®Þnh bëi phñ gåm tÊt c¶ c¸c tËp compac metric; X k -kh«ng gian nÕu X (c) lµ ®­îc x¸c ®Þnh bëi phñ gåm tÊt c¶ c¸c tËp compac.
  3. f: X →Y. §Þnh nghÜa 1.6. Cho ¸nh x¹ f ®ãng nÕu f (A) Y, A (a) ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ lµ tËp con ®ãng trong víi mäi tËp X; ®ãng trong (b) f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ th­¬ng nÕu U lµ tËp con më trong Y khi vµ chØ khi f −1 (U ) lµ tËp con më trong X ; (c) f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ phñ compac, nÕu víi mäi tËp compac K trong Y tån t¹i tËp compac L trong X sao cho f (L) = K ; −1 (y ) lµ tËp kh¶ li trong X , víi mäi y ∈ Y ; (d) f ®­îc gäi lµ s-¸nh x¹, nÕu f −1 (K ) lµ tËp con kh¶ li trong X víi mäi tËp (e) f ®­îc gäi lµ cs-¸nh x¹, nÕu f compac K trong Y ; −1 (y ) lµ tËp Lindelop trong X , víi mäi (f) f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ Lindelop, nÕu f ¨ ¨ y ∈Y; −1 (L) lµ tËp con Lindelop trong (g) f ®­îc gäi lµ ¸nh x¹ Lindelop m¹nh, nÕu f ¨ ¨ X víi mäi tËp Lindelop L trong Y . ¨ ⇒ s-¸nh ⇒ cs-¸nh x¹, ¸nh x¹ Lindelop m¹nh ¨ DÔ thÊy r»ng x¹ NhËn xÐt 1.7. ⇒ ¸nh x¹ Lindelop, ¸nh x¹ ®ãng ¨ ¸nh x¹ th­¬ng, ¸nh x¹ ®ãng x¸c ®Þnh trªn kh«ng ⇒ ¸nh x¹ phñ compac. gian paracompac 2. hä WHCP vµ hä CF W HCP CF Trong môc nµy chóng ta xÐt mét sè tÝnh chÊt cña c¸c hä vµ hä cïng c¸c mèi liªn hÖ kh¸c. k -kh«ng gian vµ P X X . Khi MÖnh ®Ò 2.1. Cho lµ lµ hä CF c¸c tËp con ®ãng cña ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng. P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng (h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng); (a) (b) P lµ hä ®Õm ®­îc-compac (h÷u h¹n-compac); (c) P lµ hä cs-®Õm ®­îc (cs-h÷u h¹n); (d) P lµ hä ®Õm ®­îc theo ®iÓm (h÷u h¹n theo ®iÓm). ⇒ Chøng minh. a) b). Ta chØ cÇn chøng minh cho tr­êng hîp ®Õm ®­îc, tr­êng hîp P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng vµ K lµ tËp h÷u h¹n chøng minh t­¬ng tù. Gi¶ sö X . Víi mçi x ∈ K do P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng nªn tån t¹i compac bÊt kú cña l©n cËn më Ux cña x sao cho Ux cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . Khi ®ã hä {Ux : x ∈ K } lµ phñ më cña tËp compac K nªn tån t¹i hä con h÷u h¹n {Ux1 , Ux2 , . . . , Uxn } cña {Ux : x ∈ K } tho¶ m·n K ⊂ n Uxi . Do mçi Uxi cã giao víi i=1 nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P , víi mäi i = 1, 2, . . . , n nªn K chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . V× vËy P lµ hä compac-®Õm ®­îc. b) ⇒ c) ⇒ d). HiÓn nhiªn.
  4. ⇒ a). Gi¶ sö P lµ hä ®Õm ®­îc theo ®iÓm mµ kh«ng lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. d) Khi ®ã tån t¹i x ∈ X sao cho víi mäi l©n cËn U cña x th× U cã giao víi qu¸ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . §Æt Px = {P ∈ P : x ∈ P }. Do P lµ hä ®Õm ®­îc theo ®iÓm nªn Px lµ hä ®Õm ®­îc. Gäi F = P\Px . Khi ®ã x ∈ ∪F vµ v× U cã giao víi qu¸ ®Õm / ®­îc phÇn tö cña hä P nªn U ∩ ∪F = ∅. Do ®ã x ∈ ∪F\∪F . V× vËy ∪F kh«ng ph¶i lµ tËp ®ãng. Tõ gi¶ thiÕt X lµ k -kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compac K trong X sao cho K ∩ ∪F kh«ng ®ãng trong K . V× P lµ hä CF vµ F ⊂ P nªn ta cã thÓ biÓu diÔn {K ∩ P : P ∈ F } = {F1 , F2 , . . . , Fk }. Cho nªn K ∩ ∪F = F1 ∪ F2 ∪ . . . ∪ Fk . MÆt kh¸c víi mäi i = 1, 2, . . . , n th× Fi = K ∩ Pi , víi Pi nµo ®ã thuéc P . V× Pi ®ãng trong X nªn Fi ®ãng trong X . Do vËy K ∩ ∪F ®ãng trong X . Tõ ®iÒu nµy suy ra K ∩ ∪F ®ãng trong K . M©u thuÉn nµy chøng tá P ph¶i lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. k -kh«ng gian vµ P lµ hä c¸c tËp con ®ãng cña X . Khi ®ã P X HÖ qu¶ 2.2. Cho lµ P lµ hä h÷u h¹n-compac. lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng khi vµ chØ khi P ⇒ Chøng minh. Gi¶ sö lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng, theo c¸ch chøng minh tõ a) b) P lµ hä h÷u h¹n-compac. trong MÖnh ®Ò 2.1 ta suy ra P lµ hä h÷u h¹n-compac. V× mäi hä h÷u h¹n-compac ®Òu lµ hä B©y giê gi¶ sö CF nªn ta suy ra P lµ hä CF . V× P lµ hä CF c¸c tËp con ®ãng cña k -kh«ng gian X vµ P lµ hä h÷u h¹n-compac, nªn theo MÖnh ®Ò 2.1 ta suy ra P lµ hä hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. P X. Bæ ®Ò 2.3. Gi¶ sö lµ hä c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng gian t«p« Khi ®ã hai mÖnh ®Ò sau t­¬ng ®­¬ng P (a) lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng; (b) P CP lµ hä vµ h÷u h¹n theo ®iÓm. Chøng minh. a)⇒ b). HiÓn nhiªn. ⇒ a). Gi¶ sö P P kh«ng ph¶i lµ hä h÷u CP b) lµ hä vµ h÷u h¹n theo ®iÓm nh­ng h¹n ®Þa ph­¬ng. Khi ®ã tån t¹i x ∈ X sao cho víi mäi l©n cËn U cña x ®Òu cã giao víi v« h¹n phÇn tö cña hä P . §Æt Px = {P ∈ P : x ∈ P }. Do P lµ hä h÷u h¹n theo ®iÓm nªn Px lµ hä h÷u h¹n. Gäi F = P\Px . Khi ®ã x ∈ ∪F vµ v× U cã giao víi v« h¹n phÇn / tö cña hä P nªn U ∩ ∪F = ∅. Do ®ã x ∈ ∪F\∪F . V× vËy ∪F kh«ng ph¶i lµ tËp ®ãng. MÆt kh¸c tõ gi¶ thiÕt P lµ hä CP c¸c tËp ®ãng vµ F ⊂ P nªn P ∈F P = P ∈F P . Nh­ vËy ∪F lµ tËp ®ãng. §iÒu nµy m©u thuÉn víi lËp luËn nãi trªn. Do ®ã P lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng. P lµ hä c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng gian d·y X . Khi ®ã P Bæ ®Ò 2.4. ([6]) Gi¶ sö lµ hä WHCP khi vµ chØ khi P lµ hä HCP.
  5. P k -kh«ng gian X . Khi ®ã P Bæ ®Ò 2.5. ([3]) Gi¶ sö lµ hä c¸c tËp con ®ãng cña lµ P hä HCP vµ chØ khi lµ hä HCF. P X . Khi ®ã c¸c MÖnh ®Ò 2.6. Gi¶ sö lµ hä c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng gian d·y mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng P lµ hä h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng; (a) (b) P lµ hä HCP vµ h÷u h¹n theo ®iÓm; (c) P lµ hä CP vµ h÷u h¹n theo ®iÓm; (d) P lµ hä WHCP vµ h÷u h¹n theo ®iÓm; (e) P lµ hä HCF vµ h÷u h¹n theo ®iÓm; (f) P lµ hä CF vµ h÷u h¹n theo ®iÓm; (g) P lµ hä h÷u h¹n-compac. ⇒ b)⇒ c). HiÓn nhiªn. Chøng minh. a) ⇒ a). Suy trùc tiÕp tõ Bæ ®Ò 2.3. c) b) ⇔ d). Suy trùc tiÕp tõ Bæ ®Ò 2.4. b) ⇔ e). Suy trùc tiÕp tõ Bæ ®Ò 2.5 vµ nhËn xÐt r»ng mäi kh«ng gian d·y lµ k -kh«ng gian. ⇒ f). HiÓn nhiªn. e) ⇒ a). Suy trùc tiÕp f) tõ MÖnh ®Ò 2.1 vµ nhËn xÐt r»ng mäi kh«ng gian d·y lµ k -kh«ng gian. g) ⇔ a). Suy trùc tiÕp tõ Bæ ®Ò 2.2 vµ nhËn xÐt r»ng mäi kh«ng gian d·y lµ k -kh«ng gian. P Gi¶ sö lµ hä h÷u h¹n theo ®iÓm c¸c tËp con ®ãng cña kh«ng NhËn xÐt 2.7. X . Khi ®ã c¸c kh¸i niÖm CP , W HCP , HCP , HCF , CF , h÷u h¹n ®Þa ph­¬ng, gian d·y P lµ t­¬ng ®­¬ng. compac-h÷u h¹n trªn P X . Khi ®ã c¸c MÖnh ®Ò 2.8. Cho lµ hä WHCP c¸c tËp con cña kh«ng gian t«p« mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng P k -l­íi; (a) lµ (b) P lµ l­íi. Chøng minh. a)⇒b). HiÓn nhiªn. b)⇒a). Gi¶ sö P lµ l­íi, K lµ tËp compac bÊt kú trong X vµ U lµ l©n cËn tuú ý cña K . §Æt P = {P ∈ P : P ⊂ U }. Do P lµ l­íi nªn víi mçi x ∈ K tån t¹i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U . Suy ra P ∈ P . V× x lÊy bÊt kú thuéc K nªn ta suy ra K ⊂ ∪P , nghÜa lµ P phñ K . Ta sÏ chØ ra r»ng tån t¹i hä con h÷u h¹n cña P phñ K . Gi¶ sö ng­îc l¹i, mäi hä con h÷u h¹n cña P ®Òu kh«ng phñ K . LÊy P0 ∈ P . Do {P0 } kh«ng phñ K nªn tån t¹i x1 ∈ K \P0 . Mµ P phñ K nªn tån t¹i P1 ∈ P sao cho x1 ∈ P1 . Do {P0 , P1 } kh«ng phñ K nªn tån t¹i x2 ∈ K \(P0 ∪ P1 ). Cø lËp luËn t­¬ng tù ta thu ®­îc
  6. {xn : n ∈ N} tho¶ m·n xn ∈ K \ n−1 Pi , xn ∈ Pn vµ xn = xm , víi mäi n = m. Do d·y i=1 xn ∈ Pn vµ P lµ hä W HCP nªn tËp {xn : k ∈ N} lµ ®ãng vµ rêi r¹c. V× K compac vµ d·y {xn } ®ãng vµ rêi r¹c trong K nªn tËp {xn : n ∈ N} h÷u h¹n. §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch x©y dùng d·y {xn } nãi trªn. VËy ph¶i tån t¹i hä h÷u h¹n F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F . Do F ⊂ P ⊂ P nªn ta cã K ⊂ ∪F ⊂ U , víi F lµ hä h÷u h¹n cña P . Nh­ vËy P lµ k -l­íi cña X . Ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. 3. CS -¸nh x¹ phñ compac Trong phÇn nµy chóng ta xÐt mét sè tÝnh chÊt cña kh«ng gian Lindelop vµ tÝnh ¨ cs-¸nh x¹, ¸nh x¹ Lindelop m¹nh. ¨ chÊt cña c¸c o ¨ σ -WHCP MÖnh ®Ò 3.1. Mäi kh«ng gian Lindel p víi l­íi ®Òu cã mét l­íi ®Õm ®­îc phÇn tö, v× vËy nã lµ kh«ng gian kh¶ li. X lµ kh«ng gian Lindelop víi l­íi σ -WHCP. Gi¶ sö P = {Pn : ¨ Chøng minh. Gi¶ sö n ∈ N} trong ®ã Pn ⊂ Pn+1 vµ Pn lµ hä WHCP, víi mäi sè tù nhiªn n. Víi mçi n ∈ N, ®Æt An = {x ∈ X : Pn x} kh«ng ®Õm ®­îc theo ®iÓm t¹i {P \An : P ∈ Pn } lµ ®Õm ®­îc vµ An lµ kh«ng gian con ®ãng rêi r¹c ®Õm ®­îc Khi ®ã cña X . ThËt vËy, gi¶ sö ng­îc l¹i hä {P \An : P ∈ Pn } lµ qu¸ ®Õm ®­îc. Khi ®ã tån t¹i hä qu¸ ®Õm ®­îc {Pα : α ∈ Λ} ⊂ Pn sao cho c¸c P \An lµ kh¸c rçng vµ kh¸c nhau. Víi β ∈ Λ lÊy xβ ∈ Pβ \An . Do xβ ∈ An nªn Pn lµ phñ ®Õm ®­îc theo ®iÓm t¹i xβ . / Tõ tÝnh qu¸ ®Õm ®­îc cña {Pα : α ∈ Λ} ta cã thÓ chän ®­îc Pγ ∈ {Pα : α ∈ Λ}\{Pβ } vµ xγ ∈ Pγ \An . Hoµn toµn t­¬ng tù ta chän ®­îc Pη ∈ {Pα : α ∈ Λ}\{Pγ , Pβ } vµ xη ∈ Pη \An . Nh­ vËy ta cã tËp {xα : α ∈ Λ} víi xα ∈ Pα \An . V× c¸c Pα \An kh¸c nhau vµ Pn lµ hä WHCP nªn ta suy ra tËp {xα : α ∈ Λ} lµ ®ãng vµ rêi r¹c. MÆt kh¸c X lµ kh«ng gian Lindelop, mäi tËp ®ãng rêi r¹c ®Òu ®Õm ®­îc nªn {xα : α ∈ Λ} lµ ®Õm ¨ ®­îc. Do ®ã tån t¹i tËp con qu¸ ®Õm ®­îc I ⊂ Λ vµ phÇn tö x ∈ An sao cho xα = x / víi mäi α ∈ I . Khi ®ã Pn kh«ng phñ ®iÓm ®Õm ®­îc t¹i x. §iÒu nµy m©u thuÉn víi viÖc x ∈ An . V× vËy {P \An : P ∈ Pn } lµ ®Õm ®­îc. B©y giê ®Ó chøng minh An ®ãng vµ / rêi r¹c ta chøng minh mäi tËp con v« h¹n cña An ®Òu ®ãng. Gi¶ sö {zh ∈ An : h ∈ Γ} lµ tËp con v« h¹n tuú ý cña An . Tõ viÖc Pn kh«ng ®Õm ®­îc theo ®iÓm t¹i zh , víi mäi h ∈ Γ nªn ta cã thÓ chän ®­îc hä {Ph : h ∈ Γ} cña Pn sao cho c¸c Ph ph©n biÖt vµ zh ∈ Ph , víi mäi h ∈ Γ}. Tõ Pn lµ hä W HCP ta suy ra {zh ∈ An : h ∈ Γ} lµ tËp ®ãng. Do ®ã An ®ãng vµ rêi r¹c. V× X lµ kh«ng gian Lindelop, nªn An ®Õm ®­îc. B©y giê ta ¨ ®Æt Pn = {P \An : P ∈ Pn } ∪ {{x} : x ∈ An } P= {Pn : n ∈ N}. Khi ®ã mçi Pn lµ ®Õm ®­îc phÇn tö nªn P lµ ®Õm ®­îc phÇn vµ chøng minh P lµ l­íi cña X ta lÊy bÊt kú x ∈ X víi U lµ l©n cËn nµo ®ã cña tö. §Ó
  7. n∈N x ∈ An x ∈ {x} ⊂ U . x. NÕu tån t¹i sao cho khi ®ã ta cã NÕu ng­îc l¹i víi mäi n ®Òu cã x ∈ An , tõ gi¶ thiÕt P lµ l­íi ta suy ra tån t¹i k ∈ N vµ P ∈ Pk / sè tù nhiªn x ∈ P ⊂ U . V× x ∈ An nªn P \An ∈ Pk vµ x ∈ P \An ⊂ U . V× vËy P lµ l­íi / sao cho ®Õm ®­îc phÇn tö. Ta cã thÓ viÕt P = {F1 , F2 , . . . , Fn , . . .}. Víi mçi n ∈ N, lÊy yn ∈ Fn vµ ®Æt D = {yn : n ∈ N}. Khi ®ã D ®Õm ®­îc vµ víi mäi ®iÓm x ∈ X vµ mäi tËp më V chøa x lu«n tån t¹i k ∈ N sao cho x ∈ Fk ⊂ V . Do ®ã V ∩ D = {yk } nªn x ∈ D . V× x lÊy bÊt kú nªn D ⊂ X . VËy D = X nªn D lµ tËp ®Õm ®­îc trï mËt. Do ®ã X kh¶ li. f: X → Y lµ ¸nh x¹ Lindelop vµ ¨ X σ -WHCP. Khi ®ã HÖ qu¶ 3.2. Gi¶ sö cã l­íi f s-¸nh x¹. lµ f: X →Y P lµ ¸nh x¹ Lindelop vµ ¨ σ -W HCP X . V× Chøng minh. Gi¶ sö lµ l­íi trong −1 (y ) lµ tËp con Lindelop cña f lµ ¸nh x¹ Lindelop nªn víi bÊt kú y ∈ Y ¨ th× f ¨ X . §Æt −1 (y ) : P ∈ P}. Khi ®ã P lµ l­íi σ -W HCP cña kh«ng gian con Lindelop P = {P ∩ f ¨ f −1 (y ). Theo MÖnh ®Ò 3.1 ta suy ra f −1 (y ) lµ tËp kh¶ li trong X . Do ®ã f lµ s-¸nh x¹. §©y lµ ®iÒu cÇn chøng minh. P P X Bæ ®Ò 3.3. ([4]) NÕu kh«ng gian ®­îc x¸c ®Þnh bëi phñ sao ®Õm ®­îc th× lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. k -kh«ng gian vµ P X k -l­íi compac. Bæ ®Ò 3.4. Gi¶ sö lµ lµ Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng P lµ hä ®Õm ®­îc-compac; (a) P lµ hä sao ®Õm ®­îc; (b) (c) P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. ⇒ P P ∈ P , do P Chøng minh. a) b). Gi¶ sö lµ hä ®Õm ®­îc-compac. Víi bÊt kú P . Do ®ã P lµ P compac nªn chØ cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä hä sao ®Õm ®­îc. ⇒ P b) c). Gi¶ sö lµ hä sao ®Õm ®­îc. Tr­íc hÕt ta sÏ chøng tá r»ng kh«ng gian X ®­îc x¸c ®Þnh bëi P . Gi¶ sö ng­îc l¹i P kh«ng x¸c ®Þnh X . Khi ®ã tån t¹i tËp F ⊂ X sao cho F ∩ P ®ãng trong P víi mäi P ∈ P mµ F kh«ng ®ãng trong X . Tõ X lµ k -kh«ng gian nªn tån t¹i tËp compac K trong X ®Ó F ∩ K kh«ng ®ãng trong X . Do P lµ k -l­íi nªn tån t¹i hä h÷u h¹n F ⊂ P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ X . V× thÕ F ∩ K = ∪{(F ∩ P ) ∩ K : P ∈ F}. V× F ⊂ P nªn F ∩ P ®ãng trong P víi mäi P ∈ F . MÆt kh¸c K compac vµ víi mäi P ∈ P , P lµ tËp compac nªn tõ X lµ T2 -kh«ng gian mäi tËp compac ®Òu ®ãng suy ra K vµ P ®ãng trong X . V× vËy (F ∩ P ) ∩ K ®ãng trong X nªn ∪{(F ∩ P ) ∩ K : P ∈ F } ®ãng trong X . Do ®ã F ∩ K ®ãng trong X . M©u thuÉn nµy chøng tá kh«ng gian X ®­îc x¸c ®Þnh bëi phñ sao ®Õm ®­îc P . V× thÕ ¸p dông Bæ ®Ò 3.3 ta cã P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng.
  8. ⇒ a). Gi¶ sö P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. Víi bÊt kú tËp compac K ta sÏ c) chØ ra K cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . Víi mçi x ∈ K do P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng nªn tån t¹i l©n cËn më Ux cña x sao cho Ux cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . Khi ®ã hä {Ux : x ∈ K } lµ phñ më cña tËp compac K nªn tån t¹i hä con h÷u h¹n {Ux1 , Ux2 , . . . , Uxn } cña {Ux : x ∈ K } tho¶ m·n K ⊂ n Uxi . Do mçi Uxi cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P , víi i=1 mäi i = 1, 2, . . . , n nªn K chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . V× vËy P lµ hä compac-®Õm ®­îc. Ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. o ¨ Bæ ®Ò 3.5. Mäi hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng cña kh«ng gian Lindel p lµ hä ®Õm ®­îc phÇn tö. X lµ Lindelop vµ P lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng c¸c ¨ Chøng minh. Gi¶ sö kh«ng gian x ∈ X tån t¹i l©n cËn më Ux cña x sao cho Ux cã giao X. tËp con cña Khi ®ã víi mçi víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . Khi ®ã hä {Ux : x ∈ X } lµ phñ më cña kh«ng gian Lindelop X nªn tån t¹i hä con ®Õm ®­îc {Ux1 , Ux2 , . . . , Uxn , . . .} cña ¨ {Ux : x ∈ X } tho¶ m·n X = ∞ Uxn . Do mçi Uxn cã giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc n=1 phÇn tö cña hä P , víi mäi n = 1, 2, . . . nªn X chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä P . Mµ hä P phñ X nªn ta cã P chØ gåm ®Õm ®­îc phÇn tö. Ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. k -kh«ng k -l­íi Bæ ®Ò 3.6. ([1]) Mäi gian víi sao ®Õm ®­îc lµ kh«ng gian para- compac. MÖnh ®Ò 3.7. Gi¶ sö X lµ k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac vµ f : X → Y lµ ¸nh x¹ phñ compac. Khi ®ã nÕu mét trong hai ®iÒu kiÖn sau tho¶ m·n th× Y cã k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac (a) f lµ ¸nh x¹ Lindelop m¹nh. ¨ (b) f lµ cs-¸nh x¹. P lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc- f lµ ¸nh x¹ Lindelop m¹nh vµ ¨ Chøng minh. a). Gi¶ sö compac cña k -kh«ng gian X . Ta sÏ chøng tá r»ng f (P ) lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc- compac cña Y . Râ rµng f (P ) lµ hä c¸c tËp compac trong Y . Víi bÊt kú tËp compac K trong Y vµ U lµ l©n cËn tuú ý cña K , do f lµ ¸nh x¹ phñ compac nªn tån t¹i tËp compac L cña X sao cho f (L) = K . V× f lµ ¸nh x¹ liªn tôc nªn f −1 (U ) lµ l©n cËn cña L trong X . Tõ P lµ k -l­íi trong X nªn tån t¹i hä h÷u h¹n F ⊂ P sao cho L ⊂ ∪F ⊂ f −1 (U ). Do ®ã K ⊂ ∪f (F ) ⊂ U vµ f (F ) lµ hä h÷u h¹n cña f (P ). V× thÕ f (P ) lµ k -l­íi compac cña Y . B©y giê ta chØ ra r»ng f (P ) lµ hä ®Õm ®­îc-compac trong Y . Víi bÊt kú tËp compac K trong Y th× K còng lµ tËp con Lindelop cña Y . V× f lµ ¸nh x¹ Lindelop m¹nh nªn ¨ ¨
  9. f −1 (K ) lµ tËp con Lindelop trong X . Do P lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac cña k - ¨ kh«ng gian X nªn theo Bæ ®Ò 3.4 ta suy ra P còng lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. Do vËy P = {P ∩ f −1 (K ) : P ∈ P} lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng cña kh«ng gian con Lindelop ¨ −1 (K ). Theo Bæ ®Ò 3.5 ta suy ra hä P = {P ∩ f −1 (K ) : P ∈ P} lµ hä ®Õm ®­îc. Do f ®ã {f (P ) : f (P ) ∩ K = ∅ : P ∈ P} lµ hä ®Õm ®­îc. Tõ ®ã suy ra mäi tËp compac K bÊt kú chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä f (P ). V× thÕ f (P ) lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac cña Y . b). Gi¶ sö f lµ cs-¸nh x¹ vµ P lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac cña k -kh«ng gian X . Nhê chøng minh c©u a) ta ®· cã f (P ) lµ k -l­íi compac cña Y nªn ®Ó hoµn tÊt chøng minh ta chØ cÇn chØ ra r»ng víi tËp compac K bÊt kú cña Y chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä f (P ). Tõ P lµ k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac cña k -kh«ng gian X nªn theo Bæ ®Ò 3.4 ta suy ra P còng lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng vµ sao ®Õm ®­îc. V× k -kh«ng gian X cã k -l­íi sao ®Õm ®­îc nªn theo Bæ ®Ò 3.6 ta suy ra X lµ kh«ng gian paracompac. Tõ gi¶ thiÕt Y lµ T2 -kh«ng gian vµ K compac ta cã K ®ãng. L¹i do f liªn tôc nªn f −1 (K ) ®ãng trong X . V× thÕ f −1 (K ) lµ kh«ng gian −1 (K ) kh¶ li. V× kh«ng gian con paracompac cña X . MÆt kh¸c f lµ cs-¸nh x¹ nªn f −1 (K ) lµ tËp Lindelop. Do P lµ hä ®Õm paracompac kh¶ li lµ Lindelop nªn ta suy ra f ¨ ¨ −1 (K ) : P ∈ P} lµ hä ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng cña ®­îc ®Þa ph­¬ng nªn hä P = {P ∩ f −1 (K ). Theo Bæ ®Ò 3,5 ta cã hä {P ∩ f −1 (K ) : P ∈ P} lµ hä kh«ng gian con Lindelop f¨ ®Õm ®­îc. Do ®ã {f (P ) : f (P ) ∩ K = ∅ : P ∈ P} lµ hä ®Õm ®­îc. V× thÕ, tËp compac K bÊt kú cña Y chØ giao víi nhiÒu nhÊt lµ ®Õm ®­îc phÇn tö cña hä f (P ) nªn ta cã ®iÒu cÇn chøng minh. cs-¸nh x¹ ®ãng hoÆc ¸nh x¹ Lindelop m¹nh, ®ãng b¶o tån ¨ HÖ qu¶ 3.8. k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac; (a) (b) k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, sao ®Õm ®­îc; (c) k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, ®Õm ®­îc ®Þa ph­¬ng. X lµ k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, compac-®Õm ®­îc vµ Chøng minh. (a) Gi¶ sö f: X → Y cs-¸nh x¹ ®ãng hoÆc ¸nh x¹ Lindelop m¹nh, ®ãng. V× mäi ¸nh x¹ ®ãng ¨ lµ lµ ¸nh x¹ th­¬ng vµ ¸nh x¹ th­¬ng biÕn k -kh«ng gian thµnh k -kh«ng gian nªn Y lµ k -kh«ng gian. Do X lµ k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac nªn theo Bæ ®Ò 3.4 ta suy ra X lµ k -kh«ng gian víi k -l­íi compac, sao ®Õm ®­îc. V× thÕ tõ Bæ ®Ò 3.6 ta suy ra X lµ kh«ng gian paracompac. MÆt kh¸c ¸nh x¹ ®ãng trªn kh«ng gian paracompac lµ ¸nh x¹ phñ compac nªn f lµ cs-¸nh x¹ phñ compac hoÆc ¸nh x¹ Lindelop m¹nh, phñ compac. Nhê MÖnh ®Ò 3.7 ta suy ra Y cã k -l­íi compac, ®Õm ¨ ®­îc-compac. V× vËy Y lµ k -kh«ng gian cã k -l­íi compac, ®Õm ®­îc-compac. (b) vµ (c) ®­îc suy tõ chøng minh cña c©u (a), Bæ ®Ò 3.6, MÖnh ®Ò 3.7 vµ Bæ ®Ò 3.4.
  10. Tµi liÖu tham kh¶o 23 (1) [1] M. Skai, On spaces with a star-countable k-networks, Houston J. Math., (2003), 45-56. 35 [2] T. Mikozami, On CF families and hyperspaces of compac subsets, Top. Appl. (1990), 75-92. 76 [3] Y. Ge and J-H. Shen, Some questions on metrizability, Nouvelle sÐrie, (90) (2004), 143-147. [4] Y. Ikeda and Y. Tanaka, Spaces having star-countablek-networks, Topology. Proc., 18 (1993), 107-132. 99 [5] Zaowen Li, Images of locally compac metric spaces, Acta Math. Hugar., (1-2) (2003), 81-88. σ -hereditarily closure-preserving k - [6] Tran Van An and Nguyen Thi Le, Spaces with networks, pseudobases, T¹p chÝ Khoa häc, Tr­êng §¹i häc Vinh, 35 (2A) (2005), 5 - 15. summary CF CS -maps Some properties of families and compact-covering WHCP and CF. We also In this paper we present some relations between families show that compact-covering cs-maps on k-spaces preserve compact-countable, compac k-networks. (a) Khoa To¸n, tr­êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 13 To¸n, tr­êng §¹i häc Vinh.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2