intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bất đẳng thức lượng giác - Lê Tuấn Tú

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:112

Thêm vào BST
Báo xấu
328
lượt xem 76
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách Bất đẳng thức lượng giác trang bị cho người đọc những “vật dụng” cần thiết cho việc chứng minh bất đẳng thức lượng giác, các phương pháp thường dùng khi chứng minh bất đẳng thức lượng giác, áp dụng vào một số vấn đề khác, các bất đẳng thức lượng giác được vận dụng để giải quyết một số vấn đề khác trong giải phương trình, định tính tam giác, tìm cực trị, một số chuyên đề, bài viết hay, thú vị liên quan đến bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức lượng giác - Lê Tuấn Tú

  1. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Lê Tu n Tú – olympia41124 a1 + a 2 + ... + a n n ≥ a1a 2 ...a n C n O1 (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a12 + a 2 2 + ... + a n 2 )(b1 2 + b2 2 + ... + bn 2 ) O2 M O N 3 cos A + cos B + cos C ≤ 2 a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ A 2R P Q y cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2 z + + ≤ x y z 2 xyz ha M x C B N 3  a2 + b2 + c2  a 2b 2 c 2   ≤  cot A + cot B + cot C    A B C tan tan tan The Inequalities Trigonometry 2 2 2
  2. www.VNMATH.com Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng B t ñ ng th c lư ng giác Các ký hi u thư ng dùng : Trong chuyên ñ này, ta dùng g n như xuyên su t các ký hi u sau ñây : ∆ABC : tam giác ABC A, B, C : các góc c a tam giác ABC a, b, c : các c nh ñ i di n l n lư t v i các góc A, B, C ha , hb , hc : các ñư ng cao ng v i các c nh ma , mb , mc : các ñư ng trung tuy n ng v i các c nh l a , lb , l c : các ñư ng phân giác ng v i các góc p, r , R, S n a chu vi , bán kính n i ti p, bán kính ngo i ti p, di n tích tam giác ABC ra , rb , rc bán kính ñư ng tròn bàng ti p ng v i các góc CMR : ch ng minh r ng ðpcm : ñi u ph i ch ng minh. The Inequalities Trigonometry iii
  3. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác M cl c L i nói ñ u …………………………………………………………………………….... 1 Chương 1 : Các bư c ñ u cơ s 3 1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………............................................ 4 1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8 1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………..... 16 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19 1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19 1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………..... 21 1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22 1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25 1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28 1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29 Chương 2 : Các phương pháp ch ng minh 31 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38 2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48 2.5. T n d ng tính ñơn ñi u c a hàm s ……………………………………… 57 2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64 Chương 3 : Áp d ng vào m t s v n ñ khác 66 3.1. ð nh tính tam giác………………………………………………………….67 3.1.1. Tam giác ñ u…………………………………………………………...67 3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………...70 3.1.3. Tam giác vuông…………………………………………………...…....72 3.2. C c tr lư ng giác………………………………………………………….73 3.3. Bài t p……………………………………………………………………...76 Chương 4 : M t s chuyên ñ bài vi t hay, thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác 77 Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ………………………………..78 ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam giác…..………………………………………………………………….82 Th tr v c i ngu n c a môn Lư ng giác……………………………….....91 The Inequalities Trigonometry i
  4. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác……...94 Chương 5 : B t ñ ng th c như th nào là hay ? Làm sao có th sáng t o b t ñ ng th c ? 99 Chương 6 : Hư ng d n gi i bài t p 101 The Inequalities Trigonometry ii
  5. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác L im ñ u “Nơi v t lý và hoá h c d ng chân chính là nơi toán h c b t ñ u” Toán h c mang m t s bao la phong phú vô t n c a khoa h c t nhiên. Toán h c như m t b u tr i ñêm thăm th m ñ y sao l p lánh. M t trong nh ng ngôi sao sáng nh t là ngôi sao mang tên “B t ñ ng th c lư ng giác”. B t ñ ng th c là m t lĩnh v c ñ c s c c a ð i s . Còn lư ng giác l i là ñ i di n xu t s c c a Hình h c. Khi có s k t h p hoàn h o gi a ð i s và Hình h c, ta có ñư c m t v n ñ h t s c thú v và ñáng quan tâm : “B t ñ ng th c lư ng giác”. M t v n ñ ñã mang l i bao h ng thú cho các nhà toán h c, cho giáo viên d y toán, cho h c sinh gi i toán kh p m i nơi. T các quan h góc c nh ch t ch trong tam giác ñ n nh ng tính ch t di u kỳ c a lư ng giác trên ño n [−π , π ] , t t c ñ u mang nét quy n rũ bí n ñ c trưng c a toán h c. Vì v y v n ñ h p d n này s mãi là ñ tài nghiên c u và khám phá cho m i th h ngư i h c toán trong quá kh , hi n t i và tương lai. ð c ñ n ñây có l b n ñ c cho r ng tác gi hơi quá l i. Nhưng s th t là v y ! Sau khi ñ c chuyên ñ này, b n ñ c s ñ ng ý v i tác gi . Chuyên ñ “B t ñ ng th c lư ng giác” s ñưa b n ñ c t nh ng b t ñ ng th c cơ b n d ch ng minh ñ n nh ng bài toán gay go ph c t p, t phương pháp c ñi n quen thu c ñ n phương pháp hi n ñ i m i m . Vì v y chuyên ñ phù h p cho m i trình ñ ngư i ñ c. Chuyên ñ “B t ñ ng th c lư ng giác” ñư c chia làm 6 chương : Chương 1: Các bư c ñ u cơ s . Chương này tác gi trang b cho ngư i ñ c nh ng “v t d ng” c n thi t cho vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác. Chương 2: Các phương pháp ch ng minh. Chương s bao g m h u như toàn b các phương pháp thư ng dùng khi ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác. Chương 3: Áp d ng vào m t s v n ñ khác. Các b t ñ ng th c lư ng giác ñư c v n d ng ñ gi i quy t m t s v n ñ khác trong gi i phương trình, ñ nh tính tam giác, tìm c c tr … Chương 4: M t s chuyên ñ , bài vi t hay, thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c. Chương 5: B t ñ ng th c như th nào là hay ? Làm sao có th sáng t o b t ñ ng th c? ðây l i là m t chương thú v v quan ni m b t ñ ng th c c a tác gi và m t s ý ki n quan ñi m c a giáo viên toán, h c sinh gi i toán quen thân v i tác gi ñư c thu th p và trình bày. Chương 6: Hư ng d n gi i bài t p. Trong t ng ph n c a các chương ñ u có các bài t p tương t v i bài toán ñư c trình bày trong chương ñó ñ b n ñ c luy n t p. Chương này s là chương ñ trình bày l i gi i ho c hư ng d n cho các bài t p này. Mong r ng chuyên ñ “B t ñ ng th c lư ng giác” s tr thành ngư i b n ñ ng hành trên con ñư ng khám phá v ñ p “Toán h c muôn màu” c a b n ñ c. Cu i cùng tác gi chân thành g i l i c m ơn ñ n các b n Lê Ng c Anh, Tr n ðăng Khuê và Nguy n Thanh Tú (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ) ñã cung c p nh ng tài li u quý giá giúp cho chuyên ñ tr nên The Inequalities Trigonometry 1
  6. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác phong phú ña d ng hơn. Ngoài ra tác gi cũng xin c m ơn nh ng ý ki n ñóng góp nhi t tình c a : – Lê Phư c Duy, Huỳnh H u Vinh (HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ ). – Nguy n Huỳnh Vĩnh Nghi, Lê Hoàng Anh (HS chuyên toán khóa 2004 – 2007 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ ). – Võ Qu c Bá C n (HS chuyên toán khóa 2003 – 2006 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ ). – T Thanh Th y Tiên (GV chuyên toán Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ ). ñ hoàn thi n chuyên ñ này. C n Thơ, ngày 14 tháng 02 năm 2007 Lê Tu n Tú HS chuyên toán khóa 2005 – 2008 Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng, C n Thơ M i th c m c, ý ki n ñóng góp v chuyên ñ “B t ñ ng th c lư ng giác” xin g i cho tác gi theo email : olympia41124@yahoo.com.vn hay nick olympia41124 trên www.diendantoanhoc.net , www.mathnfriend.net và www.mathnfriend.org . The Inequalities Trigonometry 2
  7. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s Chương 1 : CÁC BƯ C ð U CƠ S ð b t ñ u m t cu c hành trình, ta không th không chu n b hành trang ñ lên ñư ng. Toán h c cũng v y. Mu n khám phá ñư c cái hay và cái ñ p c a b t ñ ng th c lư ng giác, ta c n có nh ng “v t d ng” ch c ch n và h u d ng, ñó chính là chương 1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Chương này t ng quát nh ng ki n th c cơ b n c n có ñ ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác. Theo kinh nghi m cá nhân c a mình, tác gi cho r ng nh ng ki n th c này là ñ y ñ cho m t cu c “hành trình”. Trư c h t là các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n ( AM – GM, BCS, Jensen, Chebyshev …) Ti p theo là các ñ ng th c, b t ñ ng th c liên quan cơ b n trong tam giác. Cu i cùng là m t s ñ nh lý khác là công c ñ c l c trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c (ñ nh lý Largare, ñ nh lý v d u c a tam th c b c hai, ñ nh lý v hàm tuy n tính …) M cl c: 1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n…………………………………………… 4 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM…...……………............................................ 4 1.1.2. B t ñ ng th c BCS…………………………………………………….. 8 1.1.3. B t ñ ng th c Jensen……………………………………………….... 13 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev…………………………………………..... 16 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác…………………………….. 19 1.2.1. ð ng th c……………………………………………………………... 19 1.2.2. B t ñ ng th c………………………………………………………..... 21 1.3. M t s ñ nh lý khác………………………………………………………. 22 1.3.1. ð nh lý Largare ………………………..……………………………. 22 1.3.2. ð nh lý v d u c a tam th c b c hai………………………………….. 25 1.3.3. ð nh lý v hàm tuy n tính…………………………………………….. 28 1.4. Bài t p…………………………………………………………………….. 29 The Inequalities Trigonometry 3
  8. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s 1.1. Các b t ñ ng th c ñ i s cơ b n : 1.1.1. B t ñ ng th c AM – GM : V i m i s th c không âm a1 , a 2 ,..., a n ta luôn có a1 + a 2 + ... + a n n ≥ a1 a 2 ...a n n B t ñ ng th c AM – GM (Arithmetic Means – Geometric Means) là m t b t ñ ng th c quen thu c và có ng d ng r t r ng rãi. ðây là b t ñ ng th c mà b n ñ c c n ghi nh rõ ràng nh t, nó s là công c hoàn h o cho vi c ch ng minh các b t ñ ng th c. Sau ñây là hai cách ch ng minh b t ñ ng th c này mà theo ý ki n ch quan c a mình, tác gi cho r ng là ng n g n và hay nh t. Ch ng minh : Cách 1 : Quy n p ki u Cauchy V i n = 1 b t ñ ng th c hi n nhiên ñúng. Khi n = 2 b t ñ ng th c tr thành a1 + a 2 2 ( ≥ a1 a 2 ⇔ a1 − a 2 ≥ 0 2 ) (ñúng!) Gi s b t ñ ng th c ñúng ñ n n = k t c là : a1 + a 2 + ... + a k k ≥ a1a 2 ...a k k Ta s ch ng minh nó ñúng v i n = 2k . Th t v y ta có : (a1 + a 2 + ... + ak ) + (a k +1 + ak +2 + ... + a 2k ) (a1 + a 2 + ... + ak )(ak +1 + ak +2 + ... + a2k ) ≥ 2k k ≥ (k k )( a1 a 2 ...a k k k a k +1 a k + 2 ...a 2 k ) k = 2 k a1 a 2 ...a k a k +1 ...a 2 k Ti p theo ta s ch ng minh v i n = k − 1 . Khi ñó : a1 + a 2 + ... + a k −1 + k −1 a1a 2 ...a k =1 ≥ k k a1 a 2 ...a k −1 k −1 a1a 2 ...a k −1 = k k −1 a1 a 2 ...a k −1 ⇒ a1 + a 2 + ... + a k −1 ≥ (k − 1)k −1 a1 a 2 ...a k −1 Như v y b t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a 2 = ... = a n Cách 2 : ( l i gi i c a Polya ) The Inequalities Trigonometry 4
  9. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s a 1 + a 2 + ... + a n G i A = n Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i a1 a 2 ...a n ≤ A n (*) Rõ ràng n u a1 = a 2 = ... = a n = A thì (*) có d u ñ ng th c. Gi s chúng không b ng nhau. Như v y ph i có ít nh t m t s , gi s là a1 < A và m t s khác, gi s là a 2 > A t c là a1 < A < a 2 . Trong tích P = a1 a 2 ...a n ta hãy thay a1 b i a'1 = A và thay a 2 b i a' 2 = a1 + a 2 − A . Như v y a'1 + a' 2 = a1 + a 2 mà a'1 a' 2 −a 2 a 2 = A(a1 + a 2 − A) − a1a 2 = (a1 − A)(a 2 − A) > 0 ⇒ a'1 a' 2 > a1 a 2 ⇒ a1 a 2 a3 ...a n < a'1 a' 2 a3 ...a n Trong tích P ' = a '1 a' 2 a3 ...a n có thêm th a s b ng A . N u trong P ' còn th a s khác A thì ta ti p t c bi n ñ i ñ có thêm m t th a s n a b ng A . Ti p t c như v y t i ña n − 1 l n bi n ñ i ta ñã thay m i th a s P b ng A và ñư c tích A n . Vì trong quá trình bi n ñ i tích các th a s tăng d n. ⇒ P < A n . ⇒ ñpcm. Ví d 1.1.1.1. Cho A,B,C là ba góc c a m t tam giác nh n. CMR : tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 L i gi i : tan A + tan B Vì tan ( A + B ) = − tan C ⇔ = − tan C 1 − tan A tan B ⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Tam giác ABC nh n nên tanA,tanB,tanC dương. Theo AM – GM ta có : tan A + tan B + tan C ≥ 33 tan A tan B tan C = 33 tan A + tan B + tan C ⇒ (tan A + tan B + tan C ) ≥ 27(tan A + tan B + tan C ) 2 ⇒ tan A + tan B + tan C ≥ 3 3 ð ng th c x y ra ⇔ A = B = C ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.1.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : cot A + cot B + cot C ≥ 3 The Inequalities Trigonometry 5
  10. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s L i gi i : Ta luôn có : cot ( A + B ) = − cot C cot A cot B − 1 ⇔ = − cot C cot A + cot B ⇔ cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1 Khi ñó : (cot A − cot B )2 + (cot B − cot C )2 + (cot C − cot A)2 ≥ 0 2 ⇔ (cot A + cot B + cot C ) ≥ 3(cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) = 3 ⇒ cot A + cot B + cot C ≥ 3 D u b ng x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.1.3. CMR v i m i ∆ABC nh n và n ∈ N * ta luôn có : n −1 tan n A + tan n B + tan n C ≥3 2 tan A + tan B + tan C L i gi i : Theo AM – GM ta có : n n tan n A + tan n B + tan n C ≥ 33 (tan A tan B tan C ) = 33 (tan A + tan B + tan C ) n −1 tan n A + tan n B + tan n C ⇒ tan A + tan B + tan C n −3 ≥ 33 (tan A + tan B + tan C ) ≥ 33 3 3 ( ) n −3 =3 2 ⇒ ñpcm. Ví d 1.1.1.4. Cho a,b là hai s th c th a : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 CMR : cos a + cos b ≥ 0 L i gi i : Ta có : cos a + cos b + cos a cos b ≥ 0 ⇔ (1 + cos a )(1 + cos b ) ≥ 1 Theo AM – GM thì : The Inequalities Trigonometry 6
  11. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s (1 + cos a ) + (1 + cos b) ≥ (1 + cos a )(1 + cos b) ≥ 1 2 ⇒ cos a + cos b ≥ 0 Ví d 1.1.1.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có : cos A cos B cos B cos C cos C cos A 2  A B B C C A 3 + + ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + A cos cos B B cos cos C C cos cos A 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L i gi i : Ta có cos A A A = sin cot A 2 2 2 cos 2 3 cos A cos B 4  A B  3  =  sin sin  cot A cot B  A B  2 2  4  4 cos cos 2 2 Theo AM – GM thì : 2 3  A B 3  cos A cos B  sin sin + cot A cot B  4 ≤ 2 2 4  A B  2  4 cos cos   2 2   cos A cos B 2  A B 3  ⇒ ≤  sin sin + cot A cot B  A cos cos B 3 2 2 4  2 2 Tương t ta có : cos B cos C 2  B C 3  ≤  sin sin + cot B cot C  B cos cos C 3 2 2 4  2 2 cos C cos A 2  C A 3  ≤  sin sin + cot C cot A  C cos cos A 3 2 2 4  2 2 C ng v theo v các b t ñ ng th c trên ta ñư c: The Inequalities Trigonometry 7
  12. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s cos A cos B cos B cos C cos C cos A + + A B B C C A cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A 3 ≤  sin sin + sin sin + sin sin  + (cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A) 3 2 2 2 2 2 2 2 2  A B B C C A 3 =  sin sin + sin sin + sin sin  + ⇒ ñpcm. 3 2 2 2 2 2 2 2 Bư c ñ u ta m i ch có b t ñ ng th c AM – GM cùng các ñ ng th c lư ng giác nên s c nh hư ng ñ n các b t ñ ng th c còn h n ch . Khi ta k t h p AM – GM cùng BCS, Jensen hay Chebyshev thì nó th c s là m t vũ khí ñáng g m cho các b t ñ ng th c lư ng giác. 1.1.2. B t ñ ng th c BCS : V i hai b s (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) ta luôn có : (a1b1 + a2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a1 2 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) N u như AM – GM là “cánh chim ñ u ñàn” trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c thì BCS (Bouniakovski – Cauchy – Schwartz) l i là “cánh tay ph i” h t s c ñ c l c. V i AM – GM ta luôn ph i chú ý ñi u ki n các bi n là không âm, nhưng ñ i v i BCS các bi n không b ràng bu c b i ñi u ki n ñó, ch c n là s th c cũng ñúng. Ch ng minh b t ñ ng th c này cũng r t ñơn gi n. Ch ng minh : Cách 1 : Xét tam th c : 2 2 2 f ( x) = (a1 x − b1 ) + (a 2 x − b2 ) + ... + (a n x − bn ) Sau khi khai tri n ta có : ( 2 2 2 ) 2 2 ( f ( x) = a1 + a 2 + ... + a n x 2 − 2(a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )x + b1 + b2 + ... + bn 2 ) M t khác vì f ( x) ≥ 0∀x ∈ R nên : 2 ( 2 2 2 )( 2 ∆ f ≤ 0 ⇔ (a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ) ≤ a1 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn 2 2 ) ⇒ ñpcm. a1 a 2 a ð ng th c x y ra ⇔ = = ... = n (quy ư c n u bi = 0 thì ai = 0 ) b1 b2 bn Cách 2 : The Inequalities Trigonometry 8
  13. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s S d ng b t ñ ng th c AM – GM ta có : 2 2 ai bi 2 ai bi + 2 ≥ 2 2 a1 + a 2 + ... + a n 2 2 b1 + b2 + ... + bn 2 (a 2 2 + a 2 + ... + a n b1 + b2 + ... + bn 1 2 )( 2 2 2 ) Cho i ch y t 1 ñ n n r i c ng v c n b t ñ ng th c l i ta có ñpcm. ðây cũng là cách ch ng minh h t s c ng n g n mà b n ñ c nên ghi nh ! Bây gi v i s ti p s c c a BCS, AM – GM như ñư c ti p thêm ngu n s c m nh, như h m c thêm cánh, như r ng m c thêm vây, phát huy hi u qu t m nh hư ng c a mình. Hai b t ñ ng th c này bù ñ p b sung h tr cho nhau trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Chúng ñã “lư ng long nh t th ”, “song ki m h p bích” công phá thành công nhi u bài toán khó. “Trăm nghe không b ng m t th y”, ta hãy xét các ví d ñ th y rõ ñi u này. Ví d 1.1.2.1. CMR v i m i a,b, α ta có : 2 (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b     2  L i gi i : Ta có : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) = sin 2 α + (a + b )sin α cos α + ab cos 2 α 1 − cos 2α (a + b ) 1 + cos 2α = + sin 2α + ab 2 2 2 1 = (1 + ab + (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ) (1) 2 Theo BCS ta có : A sin x + B cos x ≤ A2 + B 2 (2) Áp d ng (2) ta có : (a + b )sin 2α + (ab − 1) cos 2α ≤ (a + b )2 + (ab − 1)2 = (a 2 )( +1 b2 +1 ) (3) Thay (3) vào (1) ta ñư c : (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 (1 + ab + 2 (a 2 )( +1 b2 +1 )) (4) Ta s ch ng minh b t ñ ng th c sau ñây v i m i a, b : 2 a+b 1 2 (1 + ab + (a 2 )( )) +1 b2 +1 ≤ 1 +    2  (5) The Inequalities Trigonometry 9
  14. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s Th t v y : 1 ab 1 a 2 + b 2 ab (5) ⇔ + + 2 2 2 (a 2 )( ) +1 b2 +1 ≤ 1+ 4 + 2 a2 + b2 + 2 ( ⇔ a +1 b +1 ≤2 )( 2 2 ) ) ( a +1 + b2 +1 ) ( ) 2 2 ( ⇔ a +1 b +1 ≤ 2 )( 2 (6) Theo AM – GM thì (6) hi n nhiên ñúng ⇒ (5) ñúng. T (1) và (5) suy ra v i m i a,b, α ta có : 2 (sin α + a cos α )(sin α + b cos α ) ≤ 1 +  a + b     2  ð ng th c x y ra khi x y ra ñ ng th i d u b ng (1) và (6) a 2 = b 2 a = b a = b    ⇔  a+b ab − 1 ⇔  a+b ⇔  1 a+b π  = tgα = α = arctg +k (k ∈ Z )  sin 2α cos 2α  ab − 1  2 ab − 1 2 Ví d 1.1.2.2. Cho a, b, c > 0 và a sin x + b cos y = c . CMR : cos 2 x sin 2 y 1 1 c2 + ≤ + − 3 a b a b a + b3 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 1 − sin 2 x 1 − cos 2 y 1 1 c2 + ≤ + − 3 a b a b a + b3 sin 2 x cos 2 y c2 ⇔ + ≥ 3 (*) a b a + b3 Theo BCS thì : ( )( (a1b1 + a 2 b2 )2 ≤ a12 + a 2 2 b1 2 + b2 2 )  sin x cos y a1 = ; a2 = v i  a b b = a a ; b = b b  1 2  sin 2 x cos 2 y  3 ⇒ (  a + b  a + b ≥ (a sin x + b cos y )  3 ) 2   do a + b > 0 và a sin x + b cos y = c ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm. 3 3 The Inequalities Trigonometry 10
  15. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s a1 a 2 sin x cos y ð ng th c x y ra ⇔ = ⇔ 2 = 2 b1 b2 a b  sin x cos y  = 2 ⇔  a2 b a sin x + b cos y = c   a 2c sin x = 3  a + b3 ⇔ 2 cos y = b c   a3 + b3 Ví d 1.1.2.3. CMR v i m i ∆ABC ta có : a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ 2R v i x, y, z là kho ng cách t ñi m M b t kỳ n m bên trong ∆ABC ñ n ba c nh BC , CA, AB . A L i gi i : Ta có : P S ABC = S MAB + S MBC + S MCA Q z y S MAB S MBC S MCA ha M ⇔ + + =1 S ABC S ABC S ABC x B C z y x N ⇔ + + =1 hc hb ha  x y z  ⇒ ha + hb + hc = (ha + hb + hc ) + +  h   a hb hc  Theo BCS thì : x y z  x y z  x + y + z = ha + hb + hc ≤ (ha + hb + hc )  + +  = ha + hb + hc  ha hb hc  ha hb hc  1 1 mà S = aha = ab sin C ⇒ ha = b sin C , hb = c sin A , hc = a sin B 2 2 ab bc ca ⇒ ha + hb + hc = (a sin B + b sin C + c sin A) = + + 2R 2R 2R T ñó suy ra : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 x+ y+ z≤ ≤ ⇒ ñpcm. 2R 2R The Inequalities Trigonometry 11
  16. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s a = b = c ð ng th c x y ra khi và ch khi  ⇔ ∆ABC ñ u và M là tâm n i ti p ∆ABC . x = y = z Ví d 1.1.2.4. Ch ng minh r ng :  π cos x + sin x ≤ 4 8 ∀x ∈  0 ;   2 L i gi i : Áp d ng b t ñ ng th c BCS liên ti p 2 l n ta có : ( cos x + sin x ) ≤ ((1 4 2 )+ 12 (cos x + sin x ) ) 2 ≤ (1 + 1 ) (1 2 2 2 2 )( + 12 cos 2 x + sin 2 x = 8 ) ⇒ cos x + sin x ≤ 8 4 π ð ng th c x y ra khi và ch khi x = . 4 Ví d 1.1.2.5. Ch ng minh r ng v i m i s th c a và x ta có ( ) 1 − x 2 sin a + 2 x cos a ≤1 1+ x2 L i gi i : Theo BCS ta có : ((1 − x )sin a + 2 x cos a ) 2 2 (( ≤ 1− x2 ) + (2 x ) )(sin 2 2 2 a + cos 2 a ) 2 4 2 2 4 = 1 − 2x + x + 4x = 1 + 2x + x (( ) ⇒ 1 − x 2 sin a + 2 x cos a ) ≤ (1 + x ) 2 2 2 ⇔ (1 − a )sin a + 2 x cos a ≤ 1 2 1+ x2 ⇒ ñpcm. The Inequalities Trigonometry 12
  17. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s 1.1.3. B t ñ ng th c Jensen : Hàm s y = f (x) liên t c trên ño n [a, b] và n ñi m x1 , x 2 ,..., x n tùy ý trên ño n [a, b] ta có : i) f ' ' ( x) > 0 trong kho ng (a, b ) thì :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  ii) f ' ' ( x) < 0 trong kho ng (a, b ) thì :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  B t ñ ng th c AM – GM và b t ñ ng th c BCS th t s là các ñ i gia trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c nói chung. Nhưng riêng ñ i v i chuyên m c b t ñ ng th c lư ng giác thì ñó l i tr thành sân chơi riêng cho b t ñ ng th c Jensen. Dù có v hơi khó tin nhưng ñó là s th t, ñ n 75% b t ñ ng th c lư ng giác ta ch c n nói “theo b t ñ ng th c Jensen hi n nhiên ta có ñpcm”. Trong phát bi u c a mình, b t ñ ng th c Jensen có ñ c p ñ n ñ o hàm b c hai, nhưng ñó là ki n th c c a l p 12 THPT. Vì v y nó s không thích h p cho m t s ñ i tư ng b n ñ c. Cho nên ta s phát bi u b t ñ ng th c Jensen dư i m t d ng khác : x+ y Cho f : R + → R th a mãn f ( x) + f ( y ) ≥ 2 f  +  ∀x, y ∈ R Khi ñó v i m i  2  + x1 , x 2 ,..., x n ∈ R ta có b t ñ ng th c :  x + x 2 + ... + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n ) ≥ nf  1   n  S th t là tác gi chưa t ng ti p xúc v i m t ch ng minh chính th c c a b t ñ ng th c Jensen trong phát bi u có f ' ' ( x) . Còn vi c ch ng minh phát bi u không s d ng ñ o hàm thì r t ñơn gi n. Nó s d ng phương pháp quy n p Cauchy tương t như khi ch ng minh b t ñ ng th c AM – GM. Do ñó tác gi s không trình bày ch ng minh ñây. Ngoài ra, m t s tài li u có th b n ñ c g p khái ni m l i lõm khi nh c t i b t ñ ng th c Jensen. Nhưng hi n nay trong c ng ñ ng toán h c v n chưa quy ư c rõ ràng ñâu là l i, ñâu là lõm. Cho nên b n ñ c không nh t thi t quan tâm ñ n ñi u ñó. Khi ch ng minh ta ch c n xét f ' ' ( x) là ñ ñ s d ng b t ñ ng th c Jensen. Ok! M c dù b t ñ ng th c Jensen không ph i là m t b t ñ ng th c ch t, nhưng khi có d u hi u manh nha c a nó thì b n ñ c c tùy nghi s d ng . The Inequalities Trigonometry 13
  18. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s Ví d 1.1.3.1. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 L i gi i : Xét f ( x) = sin x v i x ∈ (0 ; π ) Ta có f ' ' ( x) = − sin x < 0 ∀x ∈ (0 ; π ) . T ñó theo Jensen thì :  A+ B+C  π 3 3 f ( A) + f (B ) + f (C ) ≤ 3 f   = 3 sin = ⇒ ñpcm.  3  3 2 ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.2. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ñ u ta có : A B C tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 L i gi i :  π Xét f ( x ) = tan x v i x ∈  0 ;   2 2 sin x  π Ta có f ' ' ( x ) = 3 > 0 ∀x ∈  0 ;  . T ñó theo Jensen thì : cos x  2 A B C  + +   A  B  C π f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin = 3 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3  6     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.3. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : 2 2 2 2 2 2  A  B  C  tan  +  tan  +  tan  ≥ 31− 2  2  2  2 L i gi i : The Inequalities Trigonometry 14
  19. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s 2 2  π Xét f ( x ) = (tan x ) v i x ∈  0;   2 ( ) Ta có f ' ( x ) = 2 2 1 + tan 2 x (tan x ) 2 2 −1 ( = 2 2 (tan x ) 2 2 −1 + (tan x ) 2 2 +1 ) (( )( ) f ' ' ( x ) = 2 2 2 2 − 1 1 + tan 2 x (tan x ) 2 2 −2 ( + 2 2 + 1 1 + tan 2 x (tan x ) )( >0 ) 2 2 ) Theo Jensen ta có : A B C  + +  2 2  A B C  π f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 tg  = 31− 2 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3   6     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.4. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC ta có : A B C A B C 3 sin + sin + sin + tan + tan + tan ≥ + 3 2 2 2 2 2 2 2 L i gi i :  π Xét f ( x ) = sin x + tan x v i x ∈  0 ;   2 Ta có f ' ' (x ) = ( 4 sin x 1 − cos x )  π > 0 ∀x ∈  0 ;  4 cos x  2 Khi ñó theo Jensen thì : A B C  + +   A B C   π π 3 f   + f   + f   ≥ 3 f  2 2 2  = 3 sin + tan  = + 3 ⇒ ñpcm. 2 2 2  3   6 6 2     ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 1.1.3.5. Ch ng minh r ng v i m i ∆ABC nh n ta có : 3 3 sin A sin B sin C 2 2 (sin A) (sin B ) (sin C ) ≥  3 L i gi i : Ta có The Inequalities Trigonometry 15
  20. www.VNMATH.com Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 1 Các bư c ñ u cơ s sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2 cos A cos B cos C   sin A + sin B + sin C ≥ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C  3 3 và sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 ⇒ 2 < sin A + sin B + sin C ≤ 2 Xét f ( x ) = x ln x v i x ∈ (0 ;1] Ta có f ' ( x ) = ln x + 1 1 f ' ' ( x ) = > 0 ∀x ∈ (0 ;1] x Bây gi v i Jensen ta ñư c : sin A + sin B + sin C  sin a + sin B + sin C  sin A(ln sin A) + sin B(ln sin B ) + sin C (ln sin C ) ln ≤ 3  3  3 sin A+ sin B + sin C  sin A + sin B + sin C  sin A sin B sin C ⇔ ln  ≤ ln(sin A) + ln(sin B ) + ln(sin C )  3   sin A + sin B + sin C  sin A+sin B +sin C  ⇔ ln   [sin A sin B  ≤ ln (sin A) (sin B ) (sin C ) sin C ]   3    ⇔ (sin A + sin B + sin C )sin A+sin B +sin C ≤ (sin A)sin A (sin B )sin B (sin C )sin C sin A+ sin B + sin C 3 3 3 sin A + sin B + sin C 2 sin A+sin B +sin C  2  2 2 ⇒ (sin A) sin A sin B sin C (sin B ) (sin C ) ≥ sin A+sin B +sin C =   ≥  3 3 3 ⇒ ñpcm. 1.1.4. B t ñ ng th c Chebyshev : V i hai dãy s th c ñơn ñi u cùng chi u a1 , a 2 ,..., a n và b1 , b2 ,..., bn thì ta có : 1 a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn ≥ (a1 + a 2 + ... + a n )(b1 + b2 + ... + bn ) n Theo kh năng c a mình thì tác gi r t ít khi s d ng b t ñ ng th c này. Vì trư c h t ta c n ñ ý t i chi u c a các bi n, thư ng ph i s p l i th t các bi n. Do ñó bài toán c n có yêu c u ñ i x ng hoàn toàn gi a các bi n, vi c s p x p th t s không làm m t tính t ng quát c a bài toán. Nhưng không vì th mà l i ph nh n t m nh hư ng c a b t ñ ng th c Chebyshev trong vi c ch ng minh b t ñ ng th c lư ng giác, m c dù nó có m t ch ng minh h t s c ñơn gi n và ng n g n. The Inequalities Trigonometry 16
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1116 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2