Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 2)
lượt xem 51
download
Tham khảo tài liệu 'chuyên đề bất đẳng thức lượng giác (chương 2)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 2)
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Chương 2 : Các phương pháp ch ng minh Ch ng minh b t ñ ng th c ñòi h i k năng và kinh nghi m. Không th khơi khơi mà ta ñâm ñ u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ñ ng th c. Ta s xem xét nó thu c d ng bài nào, nên dùng phương pháp nào ñ ch ng minh. Lúc ñó vi c ch ng minh b t ñ ng th c m i thành công ñư c. Như v y, ñ có th ñương ñ u v i các b t ñ ng th c lư ng giác, b n ñ c c n n m v ng các phương pháp ch ng minh. ðó s là kim ch nam cho các bài b t ñ ng th c. Nh ng phương pháp ñó cũng r t phong phú và ña d ng : t ng h p, phân tích, quy ư c ñúng, ư c lư ng non già, ñ i bi n, ch n ph n t c c tr … Nhưng theo ý ki n ch quan c a mình, nh ng phương pháp th t s c n thi t và thông d ng s ñư c tác gi gi i thi u trong chương 2 : “Các phương pháp ch ng minh”. M cl c: 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38 2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48 2.5. T n d ng tính ñơn di u c a hàm s ……………………………………… 57 2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64 The Inequalities Trigonometry 31
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương : Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t”. Nó s d ng các công th c lư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi a các b t ñ ng th c. ð có th s d ng t t phương pháp này b n ñ c c n trang b cho mình nh ng ki n th c c n thi t v bi n ñ i lư ng giác (b n ñ c có th tham kh o thêm ph n 1.2. Các ñ ng th c,b t ñ ng th c trong tam giác). Thông thư ng thì v i phương pháp này, ta s ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh v d ng b t ñ ng th c ñúng hay quen thu c. Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t qu quen thu c sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 . Ví d 2.1.1. π 1 − sin CMR : 14 > 3 cos π π 7 2 sin 14 L i gi i : Ta có : π 3π π 5π 3π 7π 5π 1 − sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π π 2π 3π = 2 sin cos + cos + cos 14 7 7 7 π 1 − sin ⇒ 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1) π 7 7 7 2 sin 14 M t khác ta có : π 1 π 3π 5π π 4π 2π cos = cos + cos + cos + cos + cos + cos 7 2 7 7 7 7 7 7 π 2π 2π 3π 3π π = cos cos + cos cos + cos cos (2) 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π ð t x = cos ; y = cos ; z = cos 7 7 7 Khi ñó t (1), (2) ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > 0 nên : (3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 >0 (4 ) The Inequalities Trigonometry 32
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Vì x, y, z ñôi m t khác nhau nên (4) ñúng ⇒ ñpcm. Như v y, v i các b t ñ ng th c như trên thì vi c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ nh s ng còn v i vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi c gi i quy t b t ñ ng th c tr nên d dàng th m chí là hi n nhiên (!). Ví d 2.1.2. CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2 x − bc sin x ) L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( ) a sin 2 2 x + cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + cos 2 x + c 2 ≥ 2ab(sin x cos 2 x + sin 2 x cos x ) + 2 + 2ca cos 2 x − 2bc sin x ( ⇔ a 2 cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2 x sin x − 2ca cos 2 x + 2bc sin x ) ( + a sin 2 x − 2ab sin 2 x cos x + b 2 cos 2 x ≥ 0 2 2 ) ⇔ (a cos 2 x − b sin x − c ) + (a sin 2 x − b cos x ) ≥ 0 2 2 B t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm. Ví d 2.1.3. CMR v i ∆ABC b t kỳ ta có : 9 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 4 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 1 − cos 2 B 1 − cos 2C 9 1 − cos 2 A + + ≤ 2 2 4 1 1 ⇔ cos 2 A + (cos 2 B + cos 2C ) + ≥ 0 2 4 1 ⇔ cos 2 A − cos A cos(B − C ) + ≥ 0 4 2 cos(B − C ) 1 2 ⇔ cos A − + sin (B − C ) ≥ 0 2 4 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. The Inequalities Trigonometry 33
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.4. π Cho α , β , γ ≠ + kπ (k ∈ Z ) là ba góc th a sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 . CMR : 2 2 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2 2 2 ≤ 1 − 2 tan α tan β tan γ 3 L i gi i : Ta có : sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 ⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 1 1 1 ⇔ + + =2 1 + tan α 1 + tan β 1 + tan 2 γ 2 2 ⇔ tan 2 α tan 2 β + tan 2 β tan 2 γ + tan 2 γ tan 2 α = 1 − 2 tan 2 α tan 2 β tan 2 γ Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 2 2 2 2 2 2 ≤ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α 3 ⇔ (tan α tan β − tan β tan γ ) + (tan β tan γ − tan γ tan α ) + (tan γ tan α − tan α tan β ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. tan α tan β = tan β tan γ ð ng th c x y ra ⇔ tan β tan γ = tan γ tan α ⇔ tan α = tan β = tan γ tan γ tan α = tan α tan β Ví d 2.1.5. CMR trong ∆ABC b t kỳ ta có : A B C A B C cot + cot + cot ≥ 3 tan + tan + tan 2 2 2 2 2 2 L i gi i : Ta có : A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 2 2 2 A B C x, y , z > 0 ð t x = cot ; y = cot ; z = cot thì 2 2 2 x + y + z = xyz Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 34
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 1 1 x + y + z ≥ 3 + + x y z 3( xy + yz + zx ) ⇔ (x + y + z ) ≥ xyz ⇔ ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx ) 2 ⇔ (x − y ) + ( y − z ) + (z − x ) ≥ 0 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ cot A = cot B = cot C ⇔ A=B=C ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.1.6. 1 1 2 CMR : + ≤ 3 + sin x 3 − sin x 2 + cos x L i gi i : Vì − 1 ≤ sin x ≤ 1 và cos x ≥ −1 nên : 3 + sin x > 0 ; 3 − sin x > 0 và 2 + cos > 0 Khi ñó b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( 6(2 + cos x ) ≤ 2 9 − sin 2 x ) ( ⇔ 12 + 6 cos x ≤ 18 − 2 1 − cos 2 x ) ⇔ 2 cos 2 x − 6 cos x + 4 ≥ 0 ⇔ (cos x − 1)(cos x − 2) ≥ 0 do cos x ≤ 1 nên b t ñ ng th c cu i cùng luôn ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.1.7. π π CMR ∀ ≤ α ;β < ta có : 3 2 2 1 1 −1 ≤ − 1 cos β − 1 cos α + cos β cos α L i gi i : π π 1 T ∀ ≤ α ;β < ⇒ 0 < cos α ; cos β ≤ 3 2 2 The Inequalities Trigonometry 35
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 0 < cos α + cos β ≤ 1 do ñó 1 0 < cos α cos β ≤ 4 ð t a = cos α + cos β ; b = cos α cos β B t ñ ng th c ñã cho tr thành : 2−a 1− a + b ≤ a b 2 2−a 1− a + b ⇔ ≤ a b ⇔ (2 − a ) b ≤ a 2 (1 − a + b ) 2 ⇔ a 3 − a 2 − 4ab + 4b ≤ 0 ( ) ⇔ (a − 1) a 2 − 4b ≤ 0 B t ñ ng th c cu i cùng ñúng vì a ≤ 1 và a 2 − 4b = (cos α − cos β ) ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 Ví d 2.1.8. Cho các góc nh n a và b th a sin 2 a + sin 2 b < 1 . CMR : sin 2 a + sin 2 b < sin 2 (a + b ) L i gi i : π Ta có : sin 2 a + sin 2 − a = 1 2 2 2 nên t ñi u ki n sin a + sin b < 1 suy ra : π π b< −a ; 0 < a+b < 2 2 M t khác ta có : sin 2 (a + b ) = sin 2 a cos 2 b + sin 2 b cos 2 a + 2 sin a sin b cos a cos b nên thay cos 2 b = 1 − sin 2 b vào thì b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 sin 2 a sin 2 b < 2 sin a sin b cos a cos b ⇔ sin a sin b < cos a cos b ⇔ 0 < cos(a + b ) (ñ ý 2 sin a sin b > 0 nên có th chia hai v cho 2 sin a sin b ) π B t ñ ng th c sau cùng hi n nhiên ñúng do 0 < a + b < ⇒ ñpcm. 2 The Inequalities Trigonometry 36
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.1.9. Cho ∆ABC không vuông. CMR : ( ) 3 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 5 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≤ 9 + tan 2 A tan 2 B + tan 2 B tan 2 C + tan 2 C tan 2 A L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( )( )( 4 tan 2 A tan 2 B tan 2 C − 4 tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C − 8 ≤ 1 + tan 2 A 1 + tan 2 B 1 + tan 2 C ) 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ 4 − 1 − 1 − 1 − 4 + + − 3 − 8 ≤ cos A cos B cos C cos A cos B cos C 2 2 2 2 2 2 cos A cos 2 B cos 2 C 2 4 1 1 1 1 ⇔ − + + ≤ cos A cos B cos C cos A cos B cos B cos C cos C cos A cos A cos 2 B cos 2 C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≥ 4 1 + cos 2 A 1 + cos 2 B 3 ⇔ + + cos 2 C ≥ 2 2 4 ⇔ 2(cos 2 A + cos 2 B ) + 4 cos C + 1 ≥ 0 2 ⇔ 2 cos( A + B ) cos( A − B ) + 4 cos 2 C + 1 ≥ 0 ⇔ 4 cos 2 C − 4 cos C cos( A − B ) + 1 ≥ 0 ⇔ (2 cos C − cos( A − B )) + sin 2 ( A − B ) ≥ 0 2 ⇒ ñpcm. Ví d sau ñây, theo ý ki n ch quan c a tác gi , thì l i gi i c a nó x ng ñáng là b c th y v bi n ñ i lư ng giác. Nh ng bi n ñ i th t s l t léo k t h p cùng b t ñ ng th c m t cách h p lý ñúng ch ñã mang ñ n cho chúng ta m t bài toán th t s ñ c s c !!! Ví d 2.1.10. Cho n a ñư ng tròn bán kính R , C là m t ñi m tùy ý trên n a ñư ng tròn. Trong hai hình qu t n i ti p hai ñư ng tròn, g i M và N là hai ti p ñi m c a hai ñư ng tròn v i ñư ng kính c a n a ñư ng tròn ñã cho. CMR : MN ≥ 2 R 2 − 1 ( ) L i gi i : π G i O1 ,O2 là tâm c a hai ñư ng tròn. ð t ∠CON = 2α (như v y 0 < α < ) 2 và OO1 = R1 ; OO2 = R2 Ta có : ∠O2 ON = α π ∠O1OM = −α 2 The Inequalities Trigonometry 37
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh V y: π MN = MO + ON = R1 cot − α + R2 cot α = R1 tan α + R2 cot α 2 Trong ∆ vuông O1 MO có : π R1 = O1O sin − α = (R − R1 ) cos α 2 R cos α R1 (1 + cos α ) = R cos α ⇒ R1 = 1 + cos α Tương t : R sin α R2 = OO2 sin α = (R − R2 ) sin α ⇒ R2 = 1 + sin α Do ñó : R cos α sin α R sin α cos α MN = ⋅ + ⋅ 1 + cos α cos α 1 + sin α sin α R sin α R cos α = + C 1 + cos α 1 + sin α sin α + cos α + 1 =R (1 + sin α )(1 + cos α ) O1 O2 α α α 2 cos sin + cos 2 2 2 =R 2 M O N α α 2 α sin + cos .2 cos 2 2 2 1 =R α α α cos sin + cos 2 2 2 2R = sin α + cos α + 1 π mà sin α + cos α ≤ 2 α − ≤ 2 ⇒ MN ≥ 2R ( ) = 2 R 2 − 1 ⇒ ñpcm. 4 2 +1 π ð ng th c x y ra ⇔ α = ⇔ OC ⊥ MN . 4 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s : Các bư c ñ u cơ s mà tác gi mu n nh c ñ n ñây là ph n 1.2. Các ñ ng th c, b t ñ ng th c trong tam giác. Ta s ñưa các b t ñ ng th c c n ch ng minh v các b t ñ ng th c cơ b n b ng cách bi n ñ i và s d ng các ñ ng th c cơ b n. Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác gi khuyên b n ñ c nên ch ng minh các ñ ng th c, b t ñ ng th c cơ b n s d ng như m t b ñ cho bài toán. The Inequalities Trigonometry 38
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Ví d 2.2.1. Cho ∆ABC . ðư ng phân giác trong các góc A, B, C c t ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC l n lư t t i A1 , B1 , C1 . CMR : S ABC ≤ S A1B1C1 L i gi i : G i R là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC thì nó cũng là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p ∆A1 B1C1 . A B1 B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : 2 R 2 sin A sin B sin C ≤ 2 R 2 sin A1 sin B1 sin C1 (1) C1 B+C C+A A+ B Do A1 = ; B1 = ; C1 = nên : 2 2 2 (1) ⇔ sin A sin B sin C ≤ sin B + C sin C + A sin A + B 2 2 2 B C A B C A B C A B C ⇔ 8 sin sin sin cos cos cos ≤ cos cos cos (2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C Vì cos cos cos > 0 nên : A1 2 2 2 (2) ⇔ sin A sin B sin C ≤ 1 ⇒ ñpcm. 2 2 2 8 ð ng th c x y ra ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.2. CMR trong m i tam giác ta ñ u có : 7 A B C sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + 4 sin sin sin 4 2 2 2 L i gi i : A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 B t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : 3 sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≤ + cos A + cos B + cos C (1) 4 mà : The Inequalities Trigonometry 39
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh cos A = sin B sin C − cos B cos C cos B = sin C sin A − cos C cos A cos C = sin A sin B − cos A cos B nên : (1) ⇔ cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ 3 (2) 4 Th t v y hi n nhiên ta có : 1 cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 (3) 3 3 M t khác ta có : cos A + cos B + cos C ≤ 2 ⇒ (3) ñúng ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.3. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 1 1 1 + + ≥1 1 + 2 cos A + 4 cos A cos B 1 + 2 cos B + 4 cos B cos C 1 + 2 cos C + 4 cos C cos A L i gi i : ð t v trái b t ñ ng th c c n ch ng minh là T. Theo AM – GM ta có : T [3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A)] ≥ 9 (1) 3 mà : cos A + cos B + cos C ≤ 2 và hi n nhiên : cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≤ (cos A + cos B + cos C )2 ≤ 3 3 4 ⇒ 3 + 2(cos A + cos B + cos C ) + 4(cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤ 9 (2 ) T (1), (2) suy ra T ≥ 1 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.4. CMR v i m i ∆ABC b t kỳ, ta có : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) 2 2 2 L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 40
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2(ab + bc + ca ) ≥ 4 3S + a 2 + b 2 + c 2 (1) Ta có : b2 + c2 − a2 cot A = 4S c + a2 − b2 2 cot B = 4S a + b2 − c2 2 cot C = 4S Khi ñó : (1) ⇔ 4S 1 + 1 + 1 ≥ 4 3S + 4S (cot A + cot B + cot C ) sin A sin B sin C 1 1 1 ⇔ − cot A + − cot B + − cot C ≥ 3 sin A sin B sin C A B C ⇔ tan + tan + tan ≥ 3 2 2 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra khi và ch khi ∆ABC ñ u. Ví d 2.2.5. CMR trong m i tam giác, ta có : A B B C C A 5 r sin sin + sin sin + sin sin ≤ + 2 2 2 2 2 2 8 4R L i gi i : A B C Áp d ng công th c : r = 4 R sin sin sin , ta ñưa b t ñ ng th c ñã cho v d ng 2 2 2 tương ñương sau : A B B C C A A B C 5 sin sin + sin sin + sin sin − sin sin sin ≤ (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 A B C Ta có : cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 Do ñó : (1) ⇔ sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A − 1 (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 5 (2) 2 2 2 2 2 2 4 8 Theo AM – GM, ta có : A B A B cos cos cos cos 2 + 2 ≥ 2 ⇒ sin A sin B 2 + 2 ≥ 2 sin A sin B 2 cos B A 2 B A 2 2 cos cos cos 2 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 41
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh A B 1 B A ⇒ 2 sin sin ≤ sin A tan + sin B tan 2 2 2 2 2 Tương t ta có : B C 1 C B 2 sin sin ≤ sin B tan + sin C tan 2 2 2 2 2 C A 1 A C 2 sin sin ≤ sin C tan + sin A tan 2 2 2 2 2 T ñó suy ra : A B B C C A 2 sin sin + sin sin + sin sin ≤ 2 2 2 2 2 2 1 A B C ≤ tan (sin B + sin C ) + tan (sin C + sin A) + tan (sin A + sin B ) 2 2 2 2 A B B C C A ⇒ cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin sin + sin sin + sin sin 2 2 2 2 2 2 Khi ñó : A B B C C A 1 sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 ≤ (cos A + cos B + cos C ) − (cos A + cos B + cos C − 1) = (cos A + cos B + cos C ) = 2 4 4 4 3 mà cos A + cos B + cos C ≤ 2 A B B C C A 1 5 ⇒ sin sin + sin sin + sin sin − (cos A + cos B + cos C − 1) ≤ 2 2 2 2 2 2 4 8 ⇒ (2) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.6. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 3 a2 + b2 + c2 a 2b 2c 2 ≤ cot A + cot B + cot C A B C tan tan tan 2 2 2 L i gi i : Ta có : a2 + b2 + c2 = 4S cot A + cot B + cot C nên b t ñ ng th c ñã cho tương ñương v i : The Inequalities Trigonometry 42
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a 2b 2 c 2 64S 3 ≤ (1) A B C tan tan tan 2 2 2 M t khác ta cũng có : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇒ a 2 ≥ 2bc − 2bc cos A A ⇒ a 2 ≥ 4bc sin 2 2 A 4bc sin 2 a2 2 = 2bc sin A = 4 S ⇒ ≥ A A tan tan 2 2 Tương t ta cũng có : b2 c2 ≥ 4S ; ≥ 4S B C tan tan 2 2 ⇒ (1) ñúng ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.7. CMR trong m i tam giác ta có : (1 + b + c − bc ) cos A + (1 + c + a − ca ) cos B + (1 + a + b − ab) cos C ≤ 3 L i gi i : Ta có v trái c a b t ñ ng th c c n ch ng minh b ng : (cos A + cos B + cos C ) + [(b + c ) cos A + (c + a )cos B + (a + b) cos C ] − (ab cos C + bc cos A + ca cos B ) ð t: P = cos A + cos B + cos C Q = (b + c ) cos A + (c + a ) cos B + (a + b ) cos C R = ab cos C + bc cos A + ca cos B 3 D th y P ≤ 2 M t khác ta có : b cos C + c cos B = 2 R(sin B cos C + sin C cos B ) = 2 R sin (B + C ) = 2 R sin A = a Tương t : c cos A + a cos C = b a cos B + b cos A = c ⇒Q = a+b+c Và ta l i có : The Inequalities Trigonometry 43
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 ab cos C + bc cos A + ca cos B = + + 2 2 2 2 2 2 a +b +c ⇒R= 2 3 ⇒ P + Q + R ≤ + (a + b + c ) − a2 + b2 + c2 = 3− (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≤ 3 2 2 3 ⇒ ñpcm. Ví d 2.2.8. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : R+r ≥4 3 S L i gi i : Ta có : abc 2 R 3 sin A sin B sin C S R= = = 4S 8 2 sin A sin B sin C S S 8 2 sin A sin B sin C r= = = p R(sin A + sin B + sin C ) sin A + sin B + sin C V y: 1 S 1 S 8 2 sin A sin B sin C R+r = + + 2 2 sin A sin B sin C 2 2 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C Theo AM – GM ta có : R+r 3 S S sin A sin B sin C ≥ 3 8 sin A sin B sin C (sin A + sin B + sin C ) mà : 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 3 3 sin A sin B sin C ≤ 8 4S S ⇒ R+r ≥3 = 4 3 S ⇒ ñpcm. 4 4 27 .3 3 Ví d 2.2.9. CMR trong m i tam giác ta có : The Inequalities Trigonometry 44
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 2 2 8 S ab ab bc bc ca ca 8 S ≥ + + ≥ 3 2r a+b b+c c+a 3 R L i gi i : Theo AM – GM ta có : ab ab bc bc ca ca ab + bc + ca + + ≤ a+b b+c c+a 2 2 8 S Do S = pr ⇒ = (a + b + c ) 2 3 2r 6 L i có : ab + bc + ca (a + b + c ) 2 ≤ 2 6 2 8 S ab ab bc bc ca ca ⇒ ≥ + + ⇒ v trái ñư c ch ng minh xong. 3 2r a+b b+c c+a Ta có : a + b + c = 2 R(sin A + sin B + sin C ) 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ 2 ⇒ a + b + c ≤ 3R 3 Theo AM – GM ta có : S2 = p ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ p abc 8 abc 2 p 8 S 8 8 9 abc 9abc ⇒ ≤ ⋅ = ⋅ = 3 R 3 a+b+c 2 2 a + b + c (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 3 3 M t l n n a theo AM – GM ta có : 9abc 9abc ab ab bc bc ca ca ≤ ≤ + + (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) 3. 3 (a + b )(b + c )(c + a ) a + b b + c c + a ⇒ v ph i ch ng minh xong ⇒ B t ñ ng th c ñư c ch ng minh hoàn toàn. Ví d 2.2.10. Cho ∆ABC b t kỳ. CMR : 4 a8 b8 c8 abc 6 + + ≥ 3R 2 A 2 B 2 C cos cos cos 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 45
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh L i gi i : Áp d ng BCS ta có : a8 + + b8 ≥ c8 + b4 + c4 (a 4 ) 2 A B C A B C cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 + cos 2 + cos 2 2 2 2 2 2 2 mà : A B C 9 cos 2 + cos 2 + cos 2 ≤ 2 2 2 4 4 abc = 16 S 2 2 ( ) R Vì th ta ch c n ch ng minh : a 4 + b 4 + c 4 ≥ 16S 2 Trư c h t ra có : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c ) (1) ( ) ( ) Th t v y : (1) ⇔ a 2 a 2 − bc + b 2 b 2 − ca + c 2 c 2 − ab ≥ 0 ( ) [ ] [ ] [ ⇔ a 2 + (b + c ) (b − c ) + b 2 + (c + a ) (c − a ) + c 2 + (a + b ) (a − b ) ≥ 0 (ñúng!) 2 2 2 2 2 ] 2 M t khác ta cũng có : 16 S 2 = 16 p( p − a )( p − b )( p − c ) = (a + b + c )(a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (2 ) T (1), (2) thì suy ra ta ph i ch ng minh : abc ≥ (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) (3) ð t: x = a+b−c y =b+c−a z = c+a−b vì a, b, c là ba c nh c a m t tam giác nên x, y, z > 0 Khi ñó theo AM – GM thì : abc = ( )( )( ) (x + y )( y + z )(z + x ) ≥ 2 xy 2 yz 2 zx = xyz = (a + b − c )(b + c − a )(c + a − b ) 8 8 ⇒ (3) ñúng ⇒ ñpcm. 2.3 ðưa v vector và tích vô hư ng : Phương pháp này luôn ñưa ra cho b n ñ c nh ng l i gi i b t ng và thú v . Nó ñ c trưng cho s k t h p hoàn gi a ñ i s và hình h c. Nh ng tính ch t c a vector l i mang ñ n l i gi i th t sáng s a và ñ p m t. Nhưng s lư ng các bài toán c a phương pháp này không nhi u. Ví d 2.3.1. The Inequalities Trigonometry 46
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh CMR trong m i tam giác ta có : 3 cos A + cos B + cos C ≤ 2 L i gi i : L y các vector ñơn v e1 , e2 , e3 l n lư t trên các c nh AB, BC , CA . Hi n nhiên ta có : A (e + e 1 2) ≥0 + e3 2 e1 ⇔ 3 + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) + 2 cos(e , e ) ≥ 0 1 2 2 3 3 1 ⇔ 3 − 2(cos A + cos B + cos C ) ≥ 0 3 e3 ⇔ cos A + cos B + cos C ≤ B 2 e2 C ⇒ ñpcm. Ví d 2.3.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : 3 cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 L i gi i : G i O, G l n lư t là tâm ñư ng tròn ngo i ti p và tr ng tâm ∆ABC . A Ta có : OA + OB + OC = 3OG Hi n nhiên : (OA + OB + OC ) ≥ 0 2 ⇔ 3R + 2 R [cos(OA, OB ) + cos (OB, OC ) + cos(OC , OA)] ≥ 0 2 2 O ⇔ 3R + 2 R (cos 2C + cos 2 A + cos 2 B ) ≥ 0 2 2 B C 3 ⇔ cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ≥ − 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ OA + OB + OC = 0 ⇔ OG = 0 ⇔ O ≡ G ⇔ ∆ABC ñ u. Ví d 2.3.3. The Inequalities Trigonometry 47
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Cho ∆ABC nh n. CMR ∀x, y, z ∈ R ta có : 1 2 yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 (x + y2 + z2 ) A L i gi i : G i O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p ∆ABC . Ta có : (xOA + yOB + zOC ) 2 ≥0 O B C ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyOA.OB + 2 yz OB.OC + 2 zxOC.OA ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy cos 2C + 2 yz cos 2 A + 2 zx cos 2 B ≥ 0 1 2 ⇔ yz cos 2 A + zx cos 2 B + xy cos 2C ≥ − 2 ( x + y2 + z2 ) ⇒ ñpcm. 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n : V n i dung cũng như cách th c s d ng các b t ñ ng th c chúng ta ñã bàn chương 1: “Các bư c ñ u cơ s ”. Vì th ph n này, ta s không nh c l i mà xét thêm m t s ví d ph c t p hơn, thú v hơn. Ví d 2.4.1. CMR ∀∆ABC ta có : A B C A B C 9 3 sin + sin + sin cot + cot + cot ≥ 2 2 2 2 2 2 2 L i gi i : Theo AM – GM ta có : A B C sin + sin + sin 2 2 2 ≥ 3 sin A sin B sin C 3 2 2 2 M t khác : A B C cos cos cos A B C A B C 2 2 2 cot + cot + cot = cot cot cot = 2 2 2 2 2 2 A B C sin sin sin 2 2 2 The Inequalities Trigonometry 48
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin A + sin B + sin C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = 2 2 2 2 2 2 A B C A B C sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 3 sin A A B B C C cos sin cos sin cos 3 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 Suy ra : A B C A B C sin + sin + sin cot + cot + cot ≥ 2 2 2 2 2 2 A B C A A B B C C 3 sinsin sin sin cos sin cos sin cos 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ ⋅ 2 A B C sin sin sin 2 2 2 9 A B C = 3 cot cot cot (1) 2 2 2 2 A B C mà ta cũng có : cot cot cot ≥ 3 3 2 2 2 9 A B C 9 9 3 ⇒ ⋅ 3 cot cot cot ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 2 2 2 T (1) và (2) : A B C A B C 9 3 ⇒ sin + sin + sin cot + cot + cot ≥ 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.2. Cho ∆ABC nh n. CMR : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 L i gi i : Vì ∆ABC nh n nên cos A, cos B, cos C , tan A, tan B, tan C ñ u dương. cos A + cos B + cos C 3 Theo AM – GM ta có : ≥ cos A cos B cos C 3 sin A sin B sin C tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C = cos A cos B cos C The Inequalities Trigonometry 49
- Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh 1 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) sin A cos A + sin B cos B + sin C cos C = 4 = cos A cos B cos C 2 cos A cos B cos C 3 3 sin A cos A sin B cos B sin C cos C ≥ ⋅ 2 2 cos A cos B cos C Suy ra : 3 (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 ⋅ cos A cos B cos C sin A cos A sin B cos B sin C cos C 2 cos A cos B cos C 93 = tan A tan B tan C (1) 2 M t khác : tan A tan B tan C ≥ 3 3 9 3 9 9 3 ⇒⋅ tan A tan B tan C ≥ ⋅ 3 3 3 = (2) 2 2 2 T (1) và (2) suy ra : (cos A + cos B + cos C )(tan A + tan B + tan C ) ≥ 9 3 2 ⇒ ñpcm. Ví d 2.4.3. Cho ∆ABC tùy ý. CMR : tan A + 1 + tan B + 1 + tan C + 1 ≥4 3 2 tan A 2 tan B 2 C tan 2 2 2 L i gi i : π Xét f ( x ) = tan x ∀x ∈ 0 ; 2 Khi ñó : f ' ' ( x ) = A B C Theo Jensen thì : tan + tan + tan ≥ 3 (1) 2 2 2 π Xét g ( x ) = cot x ∀x ∈ 0 ; 2 π Và g ' ' ( x ) = 2(1 + cot 2 x )cot x > 0 ∀x ∈ 0 ; 2 A B C Theo Jensen thì : cot + cot + cot ≥ 3 3 (2) 2 2 2 V y (1) + (2)⇒ ñpcm. The Inequalities Trigonometry 50
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình: Bất Đẳng Thức Lượng Giác
106 p | 1165 | 275
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P1 new 2010
28 p | 402 | 207
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P2 new 2010
35 p | 320 | 163
-
Chuyên Đề : bất đẳng thức lượng giác
101 p | 609 | 155
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P3 new 2010
11 p | 308 | 142
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P4 new 2010
22 p | 303 | 130
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P6 new 2010
7 p | 277 | 112
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác P5 new 2010
2 p | 251 | 101
-
Bất đẳng thức lượng giác - Lê Tuấn Tú
112 p | 327 | 76
-
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
0 p | 209 | 65
-
Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 1)
28 p | 227 | 62
-
Chuyên đề hệ thức và bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
5 p | 326 | 61
-
Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác (Chương 3)
11 p | 184 | 47
-
Chương 4: Một số vấn đề liên quan đến lượng giác và bất đẳng thức
22 p | 88 | 9
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác_ Chương 3
11 p | 67 | 6
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác_ Chương 1
28 p | 61 | 5
-
Chuyên đề bất đẳng thức lượng giác_ Chương 2
35 p | 63 | 5
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn