Bất đẳng thức luyện thi đại học
lượt xem 122
download
Tham khảo tài liệu 'bất đẳng thức luyện thi đại học', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Bất đẳng thức luyện thi đại học
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . TÌM L I GI I CÁC BÀI TOÁN B T ð NG TH C, GTLN – GTNN NH D ðOÁN D U B NG Lê Anh Dũng (G/v THPT chuyên Huỳnh M n ð t – Kiên Giang) Các em h/s và các b n thân m n, trong các ñ thi TSðH thư ng có m t câu V là câu khó (ñ ch n các cao th võ lâm) câu này nh ng năm g n ñây thư ng cho dư i d ng các bài toán BðT. Và thư ng thì các sĩ t không bi t b t ñ u t ñâu ñ gi i quy t nó. Bài vi t này tôi s truy n ñ t cho các b n m t “tuy t chiêu” võ công ñ c ñáo (ch c n m t chiêu thôi). Sau khi h c ñư c “tuy t chiêu” này các b n s th y các v n ñ tr nên r t ñơn gi n. ð lĩnh h i ñư c “tuy t chiêu” mà tôi t ng h p t vô s các chiêu th c c a các môn phái khác thì trư c tiên các b n ph i n m ñư c m t s “chiêu th c” b n ñã. 1. B t ð ng th c Côsi (các chiêu này xem trong “ð i s 10”) a. B t ð ng th c Cauchy cho 2 s : Cho 2 s a, b ≥ 0 .Khi ñó: a + b ≥ 2 ab . D u ‘=’ x y ra khi a = b. b. B t ð ng th c Cauchy cho 3 s : Cho 3 s a, b, c ≥ 0 . Khi ñó ta có: a + b + c ≥ 3 3 abc . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c. Nh n d ng: + Tìm nh nh t c a t ng khi bi t tích. + Tìm l n nh t c a tích khi bi t t ng, t ng bình phương. + Ch ng minh t ng l n hơn tích, tích chia t ng (t ng bình phương, . . .) + Dùng nh p các t ng, t ng ngh ch ñ o, . . . thành m t. Các BðT cơ b n liên quan hay dùng : 1. a2 + b2 ≥ 2ab. 2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc .D u ‘=’ khi a = b = c. 1 3. a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 ≥ ab + ac + bc . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c. 3 1 1 1 1 4 4. V i a, b > 0. Ta có : (a + b)( + ) ≥ 4 . D u ‘=’ x y ra khi a = b (hay : + ≥ ) a b a b a+ b 1 1 1 5. V i a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)( + + ) ≥ 9 . D u ‘=’ x y ra khi a = b = c (hay : a b c 1 1 1 9 + + ≥ ). a b c a+ b+ c Ý nghĩa c a các b t ñ ng th c 4, 5 là cho phép ta nh p các phân s thành m t do ñó r t thu n l i cho vi c xét hàm v i m t n. 2. B t ð ng Th c Bunhiacopxki –BðT Tr Tuy t ð i : Trong chương trình thi ð i H c chúng ta ch ñư c áp d ng BðT Cauchy cho 2 và 3 s không âm và b t ñ ng th c Bunhiacopxki cho 2 c p s . a1 .b1 + a2 .b2 ≤ (a1 + a2 )( b1 + b 2 ) 2 2 2 2 a1 a2 D u ‘=’ x y ra khi = (N u b d u thì c n thêm ≥ 0 n a) b1 b 2 LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 1
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . b. Nh n d ng: + T ng các c p s có tích không ñ i. + T ng bình phương b ng m t s không ñ i. c. ng d ng + Nh p các t ng bình phương thành m t. 3. Kh o sát hàm s Trên ñây là các v n ñ mà ð i H i Anh Hùng thư ng ra ñ ch n cao th . Hi v ng các sĩ t n m ñư c các chiêu th c cơ b n này ñ lĩnh h i cho t t. Khi tìm GTNN, GTLN các em thư ng m c ph i sai l m ph bi n trong vi c tìm giá tr c a bi n t i các ñi m ñ t max, min ñó là : th c hi n liên ti p nhi u bư c ñánh giá nhưng d u ‘=’ t i m i bư c là không như nhau do ñó không có d u ‘=’ ñ x y ra ñ ng th c cu i. Xét bài toán: Tìm GTLN c a f(x) = sin5x + 3 cosx, có b n ñã gi i như sau: Ch c n xét trong x ∈ [0 ; π ].Ta có:sin5x ≤ sinx suy ra : f(x) ≤ sinx + 3 cosx 2 π M t khác : sinx + 3 cosx = 2sin(x + )≤ 2 . 3 V y f(x)max = 2. Nh n xét : bài gi i trên sai (bài gi i ñúng xem dư i) do ñã vư ng sai l m trong tìm d u ‘=’. f(x) không th ñ t giá tr b ng 2 ñư c vì ñ t i BðT cu i chúng ta ñã th c hi n 2 phép bi n ñ i : + l n 1: sin5x ≤ sinx ; d u ‘=’ khi x = 0, π /2. + l n 2: 2sin(x + π / 6 ) ≤ 2 ; d u ‘=’ khi x= π / 6 Như v y, khi th c hi n m i bư c bi n ñ i ta thư ng t ñ t ra câu h i: + Khi th c hi n các bư c bi n ñ i như v y thì li u d u ‘=’ có ñ t ñư c bư c cu i cùng không ? + ðánh giá như th nào ñ có th ñưa v v còn l i ñư c hay không ? M c dù bài toán có th th c hi n liên ti p nhi u bư c bi n ñ i nhưng ñ d u ‘=’ ñ t ñư c thì m i bư c d u ‘=’ cũng ph i gi ng như d u ‘=’ ñ ng th c cu i cùng. V y thì t i sao ta không d ñoán trư c d u ‘=’ c a BðT (ho c giá tr mà t i ñó bi u th c ñ t max, min) r i t ñó m i ñ nh hư ng phương pháp ñánh giá ?. ðây là m t cách phân tích tìm l i gi i mà tôi mu n gi i thi u. ð có hư ng suy nghĩ ñúng chúng ta th c hi n các bư c phân tích sau: I.Phân tích –tìm l i gi i: 1.D ñoán d u ‘=’ c a BðT hay các ñi m mà t i ñó ñ t GTLN, GTNN. 2.T d ñoán d u “=”, k t h p v i các BðT quen thu c d ñoán phép ñánh giá. M i phép ñánh giá ph i ñ m b o nguyên t c “d u ‘=’ x y ra m i bư c này ph i gi ng như d u ‘=’ d ñoán ban ñ u”. ð làm rõ, tôi xin phân tích cách suy nghĩ tìm l i gi i trong m t vài ví d sau: II. Các thí d : LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 2
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . Thí d 1: (ðH 2003-A) Cho x, y, z > 0 th a mãn : x + y + z ≤ 1. Cmr: 1 1 1 P= x2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 x y z Phân tích: B1. D ñoán d u ‘=’: x = y = z = 1/3 B2. ð làm m t d u căn, ta có th suy nghĩ theo 2 hư ng: m t d u căn t ng s h ng ho c nh p d u căn m i s h ng thành m t. 1. N u suy nghĩ theo hư ng m t d u căn t ng s h ng ta dùng BðT Bunhiacopxki: )([?] + [?]) ≥ . . D u 1 1 + x2 + d ng t ng hai bình phương → BðT BCS → ta c n tìm: (x 2 + x2 x2 ‘=’ c a d ñoán ban ñ u là x = 1 và d u ‘=’ c a ñánh giá BðT BCS là 1 / x = ? .Như v y 2 s 3 x ? còn l i c n ñi n s có t l 3 : 1 = 9 : 1. Ta ñư c : (x 2 + 12 )(12 + 9 2 ) ≥ x + 9 . Tương t v i y, z 3 x x 9 9 9 và c ng l i, ta ñư c: P. 82 ≥ + + + x+ y+ z. x y z + V ph i là t ng các phân s quen (BðT Côsi ) 1 1 1 9 81 81 → + + ≥ . (D u ‘=’ v n ñ m b o) → 82 P ≥ x + y + z + = f (t ) = t + x y z x+y+z x+y+z t (v i t = x + y + x (0 < t ≤ 1 ). Kh o sát hàm ta ñư c ñpcm. (T i ñây có em dùng BðT Côsi 81 t+ ≥ 18 không thu ñư c k t qu vì ñã vi ph m nguyên t c d u ‘=’) t 2. N u suy nghĩ theo hư ng nh p các d u căn: + m i d u căn là d ng bình phương → t ng 3 ñ dài c a ba vectơ . 1 1 1 1 + D ñoán d u ‘=’ khi x = y = z = . Khi ñó 3 vectơ u = (x ; ), v = (y ; ) và w= (z ; ) 3 x y z cùng hư ng ñư c t c ñ ng th c sau x y ra ñư c : P = 1 1 1 u + v + w ≥ u + v + w = ( x + y + x) 2 + ( + + ) 2 x y z + T i ñây th c hi n các bư c phân tích như 1. Khi thay d ki n x + y + z ≤ 1 b ng d ki n khác, ch ng h n: x + y + z ≤ 2 thì v ph i bài toán như th nào ? Thí d 2: (DBðH - 2003) Tìm GTNN, GTLN c a : P = sin5x + 3 cosx. Phân tích: Ta th y P ch a m t n x suy nghĩ ñ u tiên c a ta thư ng là dùng ñ o hàm. Th ñ o hàm : f’(x) = 5sin4x.cosx – 3 x LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 3
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . + Chúng ta th y có m t nghi m là sinx = 0 nhưng các nghi m còn l i ta không th tìm ñư c. Như v y hư ng gi i quy t khi ñ o hàm tr c ti p là không kh thi. Nhưng qua ñây cho ta có d ñoán ñư c các ñi m mà t i ñó ñ t NN, LN s là các ñi m làm sinx = 0.(thư ng thì các ñi m ñ t max, min là các ñi m t i h n c a hàm s ) + T ñi u này, khi ta bi n ñ i và s d ng các b t ñ ng th c ñ ñánh giá ph i luôn luôn có d u ‘=’ t i các ñi m làm sinx = 0. + Mu n ñưa v m t n t, ta ñ t t = cosx, nhưng sin5x không chuy n v t ñư c → ñánh giá sin5x ñ h m t b c (sin2x, sin4x, . . . thì ñưa v t = cosx ñư c). Ph i ñánh giá như th nào ñ d u ‘=’có ñư c khi sinx = 0 → sin5x ≤ sin4x → Khi ñó : sin4x = (1 – t2)2 f(x) ≤ g(t) = (1 – t2)2 + 3 t , t ∈[-1 ; 1]. + g’(t) = 3 - 4t(1 – t2) → hàm b c 3 nhưng ta không nh m nghi m ñư c (th b m máy xem có nghi m trong [-1 ; 1] → không có nghi m → g’(t) ch mang d u) ñánh giá g’(t) ñ ch ng minh g’(t) có m t d u → dùng BðT ho c ñ o hàm : + g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = 0 ⇔ t = ±1/ 2 . L p BBT ho c ñ ý r ng g’( ± 1), g’( ± 1 / 2 ) > 0 ⇒ g’(t) > 0, ∀t ∈ [ −1;1] . Suy ra : max g(t) = g(1) (v n ñ m b o d u ‘=’ như trên). Thí d 3: (ðH 2004-A) Cho tam giác không tù ABC, th a mãn ñi u ki n: cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính các góc c a tam giác ABC. Phân tích: Bài toán yêu c u tính 3 góc trong khi ñó ch cho m t ñ ng th c ràng bu c như v y ch có cách dùng BðT ñ ñánh giá m t v l n hơn ho c b ng v còn l i. + D ñoán d u ‘=’: B = C = 450 và A = 900. (B, C ñ i x ng nên d ñoán B = C, h s cosB là 2 t ñây d ñoán B = 450 th vào th y th a.) + Ta th c hi n bi n ñ i bi u th c quen thu c : cosB + cosC = 2cos B − C .cos B + C , v i d 2 2 ñoán B = C thì cos B − C = 1, ta có th ñánh giá cosB + cosC ñ chuy n v m t n : cosB + 2 B−C cosC = 2cos .sin A ≤ 2 sin A 2 2 2 + V y : cos2A + 4 2 sin A − 3 ≥ 0 . 2 ðây là bài toán m t n ta có th H1: ð t t = sin A (t ∈ (0 ; 2 ]) chuy n 2 2 f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + 4 2t –1= 8t4 –8t2 +4 2t -1 2 f’(t)=32t3–16t + 4 2 → không gi i ñư c nghi m. (b m máy tìm nghi m t ∈ (0 ; ] th y không 2 2 có nghi m → f’(t) ch có m t d u ) → f”(t) l p BBT suy ra ñư c f’(t) ≥ 0 , ∀t ⇒ f(t) ≤ f ( ) = 3( 2 bài toán thư ng g p l p 12) LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 4
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . H2: ðánh giá cos2A ñ gi m b t b c, có th phân tích theo hư ng : cos2A = 2cos2A – 1.V i d ñoán d u ‘=’ khi A = 900 trên, ta có th ñánh giá cos2A như th nào?ðánh giá :cos2A ≤ cosA (ñ ñ m b o d u ‘=’ x y ra khi A = 900) A + Thu ñư c : cosA + 4 2 sin −3≥ 0 2 A hay: –2sin2 A + 4 2 sin − 4 ≥ 0. 2 2 A A 2 Suy ra: − ( 2 sin − 2) 2 ≥ 0 ⇒ sin = → 2 2 2 Thí d 4: (ðH M ð a Ch t - 99) Gi s A, B, C là 3 góc m t tam giác. Tìm GTNN : 1 1 1 P= + + 2 + cos2A 2 + cos2B 2 − cos2C Phân tích: + D ñoán ñi m ñ t GTNN: th m t s giá tr ñ c bi t và d ñoán A = B (A, B ñ i x ng) A,B 150 300 450 600 P 4 + 2 6/5 4/3 26/15 4+ 3 3 0 0 V y d ñoán A = B= 30 , C = 120 + V i giá tr d ñoán ta ñ ý : 2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và c n ñánh giá ≥ . ði u này trùng v i cách nh p các phân s trongBðT Côsi : 9 +V y:P ≥ = Q 6 + cos2A + cos2B − cos2C + M c tiêu bây gi là ñi ch ng minh: R = cos2A + cos2B – cos2C ≤ 3/2 (giá tr t i ñi m d ñoán, chi u ≤ ñ ñ m b o Q ≥ 6/5) + Bi u th c c a R ch a t ng quen thu c c a tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A + B) = - 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos2C – 1. V y : R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + 1 + T i ñây, có 2 suy nghĩ : 1 1 H1 : Khi A = B = 300 x y ra thì cos(A – B) = 1 và cosC = − = − cos(A − B) . T l này gi ng 2 2 t l phân tích thành bình phương trong bi u th c c a R. 1 Ta th phân tích: R = - 2(cosC + cos(A − B) ) 2 + 1 + 1 cos2(A – B) ≤ 3 . ðây là m c tiêu c n ñi 2 2 2 t i. H2 : ðánh giá R ñưa v m t n. Theo d ñoán thì cos(A – B) = 1 x y ra ñư c. V y ta có ñánh giá quen thu c : cos(A – B) ≤ 1 . N u nhân cosC vào 2 v ta g p sai l m vì chưa bi t d u cosC. Ta tránh b ng cách : LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 5
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . - cos(A – B).cosC ≤ cos(A − B) cosC ≤ cosC (d u ‘=’ ñ t ñư c t i các ñi m d ñoán.). V y : R ≤ -2cos2C + 2 cosC + 1= -( cosC − 1 )2 + 3 ≤ 3 (ho c xét hàm ) 2 2 2 Thí d 5: (ðHSP Hà N i – 99) Cho x, y, z ∈ [0 ; 1]. Ch ng minh r ng : 2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x) ≤ 3 Phân tích: + D ñoán d u ‘=’: hai s b ng 1còn 1 s b ng 0 ho c x = y = z = 1. + V i d ñoán trên làm th nào ñ xu t hi n ñư c v trái ? ð làm xu t hi n x2y ta th xét tích : ( 1- x2)(1 - y) ≥ 0 (ñ m b o d u ‘=’ như d ñoán) hay : x2y + 1 – x2 – y ≥ 0 . Th c hi n tương t trên ta có : y2z + 1 – y2 – z ≥ 0 z2x + 1 – z2 – x ≥ 0 + N u c ng 3 v ta g n ñư c bñt c n ch ng minh, ch thay 2(x3 + y3 + z3) b ng t ng : x2 + y2 + z2 + x + y + z. V i gi thi t x, y, z ∈ [0 ; 1] thì ta có th so sánh các lũy th a v i b c khác nhau, do ñó có th so sánh hai t ng trên: x3 ≤ x2 ≤ x ; y3 ≤ y2 ≤ y và z3 ≤ z2 ≤ z. C ng các bñt ta ñư c ñích c n ph i t i. Thí d 6: (ðH- A- 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các s dương th a mãn + + = 4. Ch ng minh r ng x y z 1 1 1 : + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Phân tích: + D ñoán d u ‘=’ x = y = z = ¾ + V i d ñoán ñó thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; m i phân s v ph i bây gi gi ng v ph i c a BðT nh p phân s quen thu c th c th 4 c a chiêu “Côsi”. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ðánh giá: ≤ .( + ); ≤ ( + ); ≤ ( + ) 2x + y + z 4 2x y + z x + 2y + z 4 2y x + z x + y + 2z 4 2z y + x +V id ñoán x = y =z ta có th ñánh giá : 1 ≤ 1 ( 1 + 1 );... c ng các BðT này ta ñư c ñpcm. x+y 4 x y Thí d 7: 1 + x3 + y3 1 + x 3 + z3 1 + y 3 + z3 Cho x, y, z > 0 th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng : + + ≥3 3 xy xz yz Phân tích: + D ñoán d u “=” : x = = = z = 1 + V i d ñoán này thì 1 = x3= y3, m i phân s ta th y ñ u có d ng t n chia tích, ta dùng Côsi ñ ñánh giá t ng ñưa v tích: 1 + x3 + y3 3xy 3 1 + x3 + y3 ≥ 3 3 x 3 y3 = 3xy ⇒ ≥ = xy xy xy LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 6
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . 3 3 1 + y3 + z3 ≥ ; 1 + z3 + x 3 ≥ zy zx 3 3 3 Suy ra : VT ≥ + + xy yz zx + K t h p v i gi thi t và v i d ñoán d u ‘=’thì xy = yz = zx . ði u này trùng v i d u hi u c a BðT Côsi, do ñó dùng BðT Côsi ta ñư c: VT 3 3 3 3 3 3 ( 3 )3 ≥ + + ≥ 33 . . = 33 =3 3 xy yz zx xy yz zx xyz Qua các ví d trên chúng ta th y ñư c t m quan tr ng c a vi c ñánh giá, d ñoán d u ‘=’x y ra các BðT.Ngoài vi c tránh cho ta nh ng sai l m thư ng g p trong quá trình tìm GTNN, GTLN thì vi c d ñoán d u ‘=’còn cho chúng ta ñ nh hư ng ñư c phương pháp ch ng minh(các cách ñánh giá là hoàn toàn t nhiên ch không ph i ‘t trên tr i rơi xu ng’).Xin m i các em v n d ng vào các bài t p sau: III.Bài t p ñ ngh : 1> Tính các góc c a tam giác ABC bi t r ng : 9 a. sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C 4 b. cosA+cosB – cosC= - 7 + 2 sin C + 4 cosA cosB 2 2 2 2 2>Tìm GTNN c a : P = 3sinx + 8cos7x 3> Cho x, y, z > 0. Ch ng minh r ng : 3x + 2y + 4z ≥ xy + 3 yz + 5 zx a b c 3 3 4> Cho a, b, c > 0 th a mãn a2 + b2 + c2 = 1. Ch ng minh: + 2 + 2 ≥ b +c2 2 a +c 2 a +b 2 2 1 1 1 5> Cho tam giác nh n ABC. Ch ng minh: 1 + 1 + 1 + ≥ 27 cosA cosB cosC 6> Cho 3 s x, y, z > 0 sao cho xy + yz + zx = xyz. 2x 2 + y 2 2y 2 + z 2 2z 2 + x 2 Ch ng minh r ng : + + ≥ 3 xy yz zx 7> (ðH – A- 2005) 1 1 1 Cho x, y, z > 0 th a mãn : + + =4. Ch ng minh r ng : x y z 1 1 1 + + ≤1 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 8> (ðH – D – 2005) 1 + x3 + y3 1 + y 3 + z3 1 + z3 + x 3 Cho x, y, z > 0 th a : xyz=1. Cmr: + + ≥3 3 xy yz zx Trên ñây cũng ch là m t trong s r t nhi u cách suy nghĩ và dĩ nhiên nó cũng ch gi i quy t ñư c m t vài d ng BðT c th mà thôi. Nhân ñây tôi xin chân thành c m ơn Th.S Nguy n LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 7
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . Qu c Lu n ñã ñóng góp nhi u ý ki n quý báu giúp tôi hoàn thành bài vi t này. R t mong s trao ñ i c a các b n. ð a ch E-mail : rubidragon2005@yahoo.com LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 8
- Phú Khánh và http://www.toanthpt.net G i t ng các em tài li u c a th y Lê Anh Dũng – Kiên Giang . LÊ ANH DŨNG –GV THPT CHUYÊN HUỲNH M N ð T –R CH GIÁ KIÊN GIANG 9
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Đề luyện thi đại học: Phương trình - bất phương trình - hệ phương trình đại số
5 p | 4120 | 1701
-
Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi Đại học - Giáo viên Lê Xuân Đại
43 p | 2234 | 1008
-
Tuyển tập bài tập chuyên đề bất đẳng thức cực hay
33 p | 1060 | 449
-
Luyện thi Đại học Hóa học: Lý thuyết trọng tâm về Nitơ và các hợp chất (Bài tập tự luyện) - Vũ Khắc Ngọc
0 p | 577 | 126
-
Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
14 p | 470 | 94
-
Các chuyên đề luyện thi Đại học môn Hóa: Phương pháp 6 - Phương pháp sử dụng Ion thu gọn - GV. Nguyễn Văn Nghĩa
8 p | 353 | 76
-
Chuyên đề luyện thi Đại học: Bất đẳng thức
234 p | 213 | 62
-
Các chuyên đề luyện thi Đại học - Trần Anh Tuấn
145 p | 221 | 35
-
Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học năm 2015 - GV. Lê Xuân Đại
52 p | 219 | 26
-
Cẩm nang hướng dẫn luyện thi Đại học - Đại số sơ cấp: Phần 2
303 p | 122 | 19
-
Chuyên đề Lượng giác - Luyện thi đại học: Phần 1
79 p | 106 | 18
-
Tổng ôn tập luyện thi Đại học môn Toán - Đại số: Phần 2
136 p | 117 | 17
-
Luyện thi Đại học: Crom - GV. Lương Văn Huy
9 p | 162 | 16
-
Chuyên đề luyện thi ĐH 7: Hệ thức lượng trong tam giác - Huỳnh Chí Hào
8 p | 141 | 12
-
Chuyên đề luyện thi ĐH: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào
7 p | 115 | 11
-
Luyện thi Đại học môn Toán 2015: Bất phương trình sơ cấp - Thầy Đặng Việt Hùng
2 p | 112 | 8
-
Chuyên đề về Bất đẳng thức
4 p | 118 | 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn