intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
785
lượt xem 199
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi . Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cosi - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P1 Th y ng Vi t Hùng D NG 1. S D NG TR C TI P CÁC H QU C A B T CÔ-SI Bài 1. Ch ng minh r ng ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ 8abc, ∀a, b, c ≥ 0 ( ) Bài 2. Ch ng minh răng (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ 1 + 3 abc , ∀a, b, c ≥ 0 3 Bài 3. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng : a+b b+c c+a a) + + ≥6 c a b a b c 3 b) + + ≥ b+c c+a a+b 2 Bài 4. Cho a, b > 1. Ch ng minh r ng : a) ( a + 1)( b + 1) ≥ a + b + 2 b) a b − 1 + b a − 1 ≤ ab Bài 5. Ch ng minh r ng : a 4 + b4 + c 4 ≥ abc ( a + b + c ) , ∀a, b, c ∈ R 1 1 1 Bài 6. Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1. Ch ng minh r ng + 2 + 2 ≥9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Bài 7. Ch ng minh r ng : 1 1 a) a + ≥ 3, ∀a > b > 0 b) a + ≥ 2 2, ∀a > b > 0 b ( a − b) b ( a − b) 2 4 a2 + 2 c) a + ≥ 3, ∀a > b > 0 d) ≥ 2, ∀a ∈ R ( a − b )( b + 1) 2 a2 + 1 8 Bài 8. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Ch ng minh r ng abc ( a + b )( b + c )( c + a ) ≤ 729 a b c 3 3 Bài 9. Cho a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Ch ng minh r ng + 2 + 2 ≥ b +c c +a 2 2 2 a +b 2 2  a , b, c > 0  a+b c+b Bài 10. Cho  1 1 2 . Ch ng minh r ng: + ≥4 a + c = b 2 a − b 2c − b  a2 b2 c2 a+b+c Bài 11. Ch ng minh r ng + + ≥ , ∀a, b, c > 0 b+c c+a a+b 2  1 1  3 Bài 12. Ch ng minh r ng v i a, b, c dương ta có ( a 2 + b 2 + c 2 )  1 + +  ≥ (a + b + c) a+b b+c c+a 2 x 2 + 2 x + 17 Bài 13. Cho x ≥ 0 , tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 ( x + 1) Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  2. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn x + 6 x + 34 Bài 14. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = x +3 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  3. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P2 Th y ng Vi t Hùng D NG 2. S D NG TR C TI P B T CÔ-SI Ví d 1. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz . 1 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = + + 1 + x2 1+ y2 1+ z2 Ví d 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. x+ y y+z z+x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + xy + z yz + x zx + y Ví d 3. Cho x, y > 0 và x + y = 1. 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + x +y 3 3 xy Ví d 4. Cho x, y > 0 và xyz = 1. 1 1 1 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + + xy yz xz x + y + z  x 1  y 1  z 1 Ví d 5. Cho x, y > 0. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P =  +  +  +   y + z 2  x + z 2  x + y 2  Hư ng d n: x 1 2 x + y + z ( x + z) + ( y + z) 1 Ta có + = = ≥ ( x + z )( y + z ) y+z 2 2( y + z ) 2( y + z ) y+z Tương t cho hai bi u th c còn l i, sau ó nhân vào ta ư c P ≥ 1 1 1 1 Ví d 6. Cho x, y, z > 0 và + + = 2. 1+ x 1+ y 1+ z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = xyz Hư ng d n: 1  1   1  y z yz Tách = 1 −  + 1 − = + ≥2 1+ x  1+ y   1+ z  y +1 z +1 ( y + 1)( z + 1) 1 xz 1 xy Tương t ≥2 ; ≥2 1+ y ( x + 1)( z + 1) 1 + z ( x + 1)( y + 1) 1 1 1 xyz 1 Nhân v theo v các B T ta ư c ≥8 ⇒ xyz ≤ 1+ x 1+ y 1+ z (1 + x)(1 + y )(1 + z ) 8 Ví d 7. Cho các s dương x, y, z tho mãn: xyz = 1. 1 + x2 + y2 1+ y2 + z2 1 + z 2 + x2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + xy yz zx Ví d 8. Cho các s th c x > 1; y > 1 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  4. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn ( x3 + y3 ) − ( x2 + y 2 ) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = ( x − 1)( y − 1) Hư ng d n: ( x3 − x2 ) + ( y3 − y 2 ) x2 y2 2 xy Ta có P = = + ≥ ( x − 1)( y − 1) y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1)  x  x − 1 = 1.( x − 1) ≤  2 xy L i có   ( x − 1)( y − 1) ≤ →  y − 1 = 1.( y − 1) ≤ y 4   2 T ó d dàng suy ra P ≥ 8. BÀI T P LUY N T P: Bài 1. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng: a b c 1 1 1 1 a) + 2 2+ 2 ≤  + +  a +b b +c c +a 2 2 2 2 a b c  a+b b+c c+a 1 1 1 b) + 2 2+ 2 ≤ + +  a + b b + c c + a2  a b c  2 2 1 1 1 1 Bài 2. Cho a, b, c > 0 và + + ≥ 2 . Ch ng minh r ng abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c 8 Bài 3. Cho a, b, c b t kỳ. Ch ng minh r ng : a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b) ( ab + bc + ca ) ≥ 3abc ( a + b + c ) 2  a , b, c > 0 Bài 4. Cho  . a + b + c = 1  1  1  1  Ch ng minh r ng  − 1 − 1 − 1 ≥ 8  a  b  c  1 1 1 a+b+c Bài 5. CMR + 2 + 2 ≤ , ∀a, b, c > 0 a + bc b + ca c + ab 2 2abc 1 1 1 1 Bài 6. Ch ng minh r ng v i m i a, b, c > 0 ta có + 3 3 + 3 ≤ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 3 3 Bài 7. Cho a, b, c dương th a mãn abc = 1 1 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a P = + 3 3 + 3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 3 3 *Bài 8. Cho a, b, c dương th a mãn abc = 1 a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 Tìm GTNN c a P = + 2 + 2 a 2 + ab + b 2 b + bc + c 2 c + ca + a 2 Hư ng d n: Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  5. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn a 3 + b3 ( a + b ) ( a 2 + ab + b 2 ) − 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) 2ab ( a + b ) a + b = = ( a + b) − 2 ≥ ( a + b) − = a + ab + b 2 2 a + ab + b 2 2 a + b + ab 2 3ab 3 Tương t cho các b t ng th c khác ta ư c Pmin = 2 khi a = b = c = 1. Bài 9. Cho x, y, z dương th a mãn xyz = 1. x9 + y 9 y9 + z9 z 9 + x9 Ch ng minh r ng P = + 6 + 6 3 3 ≥2 x6 + x3 y3 + y 6 y + y3 z 3 + z 6 z + z x + x6 Bài 10. (Kh i D – 2006) Cho các s dương x, y, z tho mãn: xyz = 1. 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 Ch ng minh r ng + + ≥3 3 xy yz zx Khi nào ng th c x y ra? 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Bài 11. Cho x, y, z > 0. Ch ng minh r ng + 3 2+ 3 ≤ 2+ 2+ 2 x +y 3 2 y +z z +x 2 x y z a2 b2 c2 Bài 12. Cho các s th c dương a, b, c. Ch ng minh r ng 2 + + ≥1 a + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab Bài 13. (Kh i B – 2007) Cho x, y, z là các s th c dương thay i. x 1  y 1  z 1  Tìm GTNN c a bi u th c P = x  +  + y  +  + z  +   2 yz   2 zx   2 xy  Bài 14. Cho các s th c x, y. Ch ng minh r ng ( x + y) ( x + y) 2 4 a) x + y 2 2 ≥ b) x + y 4 4 ≥ 2 8 1 1 1 Bài 15. Cho a, b, c > 0 và tho mãn + + =4. a b c 1 1 1 Ch ng minh r ng : + + ≤1 2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c Bài 16. Cho x, y, z > 0 và tho mãn x + 2 y + 4 z = 12 . 2 xy 8yz 4 xz Ch ng minh r ng: + + ≤ 6. x + 2 y 2 y + 4z 4z + x Bài 16. Cho x, y, z > 0 và tho mãn: 2 xy + xz = 1 . 3 yz 4 zx 5 xy Tìm GTNN c a bi u th c P = + + x y z Bài 16. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy = 3( x + y + z ). 20 20 Tìm GTNN c a bi u th c P = x + y + z + + . x+z y+2 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  6. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P3 Th y ng Vi t Hùng D NG 3. KĨ TH T TÁCH, GHÉP a2 a+b+c Ví d 1. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng ∑b+c ≥ 2 3 Ví d 2. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a + b + c = . 4 a) Tìm GTLN c a bi u th c P = ∑ ( 3 3a + b ) 1 b) Tìm GTNN c a bi u th c Q = ∑( x + 3y ) Ví d 3. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a + b + c = 3 . a3 Tìm GTNN c a bi u th c P = ∑ (b + 1)(c + 1) a4 a+b+c Ví d 4. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng ∑ b 2 (a + c) ≥ 2 Ví d 5. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + y + z = 3 . a Tìm GTNN c a bi u th c P = ∑ b +1 Ví d 6. Cho x, y > 1 và th a mãn xy = 1 . x3 y3 Tìm GTNN c a bi u th c P = + y +1 x +1 Hư ng d n: x3 y + 1 1 3x Tách + + ≥ ... y +1 4 2 2 Ví d 7. Cho x, y, z > 0 và th a mãn xy xy + yz yz + zx zx = 1 . x6 y6 z6 Tìm GTNN c a bi u th c P = + 3 3+ 3 3 x3 + y 3 y + z z +x Hư ng d n: t x3 = a; y 3 = b; z 3 = c quy v B T cơ b n! Ví d 8. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + y + z = 3 xyz . yz zx xy Tìm GTNN c a bi u th c P = + 3 + 3 x ( z + 2 y ) y ( x + 2 z ) z ( y + 2 x) 3 Hư ng d n: 1 1 1 t = a; = b; = c ⇒ ab + bc + ca = 3 x y z Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  7. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn a3 Thay vào bi u th c P ta ư c P = ∑ b + 2c a3 a (b + 2c) 2a 2 Ta có + ≥ ... Tương t , n ây các em t làm n t nhé! b + 2c 9 3 Ví d 9. Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn a + b + c = 3. b b c c a a Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hư ng d n: Cách 1: b b c c a a T gi thi t ta có P = + + a+3 b+3 c+3 Áp dung b t ng th c Cauchy cho 3 s th c dương, ta có: b b b b a+3 b3 3b + + ≥ 33 = 2 a + 3 2 a + 3 16 64 4  c c c c b+3 c 3 3c  + + ≥ 33 =  2 b + 3 2 b + 3 16 64 4 Tương t   a a a a c+3 a 3 3a  + + ≥ 33 =  2 c + 3 2 c + 3 16 64 4 C ng v theo v các b t ng th trên ta ư c: b b c c a a a+b+c+9 3 3 + + + ≥ (a + b + c) ⇔ P ≥ a+3 b+3 c+3 16 4 2 ng th c ch x y ra khi a = b = c = 1 . Cách 2: Ta có: P = b2 + c2 + a2 Cauchy − Schwarz ≥ (a + b + c) 2 b a+3 c b+3 a c+3 a c+3 + b a+3 + c b+3 Bunhiacopxki M t khác: a c+3 + b a+3 + c b+3 ≤ ( a + b + c )( a + b + c + 9 ) = 36 = 6 3 ⇒P≥ . D u b ng x y ra ⇔ a = b = c = 1 2 Ví d 10. Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 3. a3 b3 c3 3 CMR: + 2 + 2 ≥ . b +3 c +3 a +3 4 2 x4 y4 z4 ≥ ( x3 + y3 + z 3 ) . 1 Ví d 11. Cho các s dương x, y, z . CMR: + + y+ z z+ x x+ y 2 x3 y3 z3 1 2 Ví d 12. Cho x, y, z > 0 tho mãn x + y + z = 3 . CMR: + + ≥ + ( xy + yz + zx) y +8 3 z +8 3 x +8 3 9 27 a3 b3 c3 Ví d 13. Cho a, b, c > 0: a + b + c = 1 . Tìm GTNN: P = 2 2 2 + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  8. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn x3 y3 z3 Ví d 14. Cho x, y, z > 0 tho mãn x + y + z = 6 . Tìm GTNN: P = + + y+z z+x x+ y Ví d 15. Cho 3 s th c dương a, b, c th a mãn abc = 1. 1 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + 4 + 4 a (b + c) b ( c + a ) c ( a + b) 4 Hư ng d n: 1 1 1 Cách 1: t: a = ; b = ; c = → xyz = 1 x y z x 4 yz y 4 zx z 4 xy x3 y3 z3 Khi ó ta có → P = + + = + + y+z x+z x+ y y+z z+x x+ y Hư ng 1: Theo B T Cauchy thì: x3 y + z 1 3x y3 z + x 1 3y z3 x + y 1 3z + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ y+z 4 2 2 z+x 4 2 2 x+ y 4 2 2 x3 y3 z3 3 Cauchy 3 3 3 ⇒P= + + ≥ x+ y+ z− ≥ 3 xyz − = y+z z+x x+ y 2 2 2 Hư ng 2: Theo B T Cauchy – Schwarz ta có: ( x2 + y 2 + z 2 ) 2 x3 y 3 z x 3 y 4 z 4 4 Cauchy − Schwarz P= + + = + + ≥ y + z z + x x + y xy + zx zy + xy zx + yz 2 ( xy + yz + zx ) M t khác l i có: xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 33 x y z 3 Suy ra ⇒ P ≥ ≥ = 2 2 2 Hư ng 3: 2  x3 y3 z3  Bunhiacopxki  x 2 y2 z2  Ta có: P ( x + y + z ) =  + +  y+z z+x x+ y( x + y + z) ≥  + +  y+ z z+ x x+ y      x2 y+z y2 z+x z2 x+ y C1. Theo B T Cauchy thì: + ≥ x; + ≥ y; + ≥z y+z 4 z+x 4 x+ y 4 x2 y2 z2 1 1 3 ⇒ + + ≥ ( x + y + z) ⇒ P ≥ ( x + y + z) ≥ y+z z+x x+ y 2 2 2 2 ( x + y + z )2  2 Bunhiacopxki  z2  Cauchy − Schwarz  2 x2 y2  x+ y+z C2. P ( x + y + z ) ≥  + +  y+z z+x x+ y ≥   =      2( x + y + z)     2  x+ y+z 3 ⇒P≥ ≥ 2 2 3 V y GTNN c a P là PMin = ⇔ a = b = c =1 2 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  9. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn 2 2  1 1 1   1 1 1  Cách 2: Ta có:  + 2 + 2  = 2 . b+c + 2 . c+a + 2 . a+b a 2 b c  a b+c b c+a c a+b  Theo B T Bunhiacopxki:  1 1 1  2 Bunhiacopxki  1 1 1   2 . b+c + 2 . c+a + 2 . a+b ≤  4 + 4 + 4  2 ( a + b + c )    a (b + c) b (c + a ) c ( a + b)  a b+c b c+a c a+b   2  1 1 1  Hay ⇔  2 + 2 + 2  ≤ 2 ( a + b + c ) .P a b c  M t khác theo B T Cauchy thì: 2 Cauchy 2  a 2 + b2 + c 2   1 a b 1 1   2 + 2 + 2 c   1 1 1   1 1 1  ≥ 3 2 2 + 2 2 + 2 2  ↔  2 + 2 + 2  ≥ 3  a b b c c a  a b c   a 2b 2 c 2   ( = 3 a 2 + b2 + c 2 )   2 ( )  1 Và: ( a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 . Nên suy ra:  2 a 2 b 1 1  + 2 + 2  ≥ ( a + b + c) c  2 a + b + c Cauchy 3 3 abc 3 ⇒P≥ ≥ = . 2 2 2 3 V y GTNN c a P là PMin = ⇔ a = b = c = 1 2 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  10. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P4 Th y ng Vi t Hùng D NG 4. S D NG CÔ-SI NGƯ C D U x y z Ví d 1. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN c a bi u th c P = + + 1 + y 1 + z 1 + x2 2 2 x2 Ví d 2. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN c a bi u th c P = ∑ x + 2 y2 x +1 y +1 z +1 Ví d 3. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + y + z = 3. Tìm GTNN c a bi u th c P = + + 1 + y 2 1 + z 2 1 + x2 a2 1 Ví d 4. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng ∑ ≥ (a + b + c) 3a 2 + 8b 2 + 14ab 5 Ví d 5. Cho 3 s th c dương a, b, c th a mãn a 2 + b2 + c 2 = 3 . 1 1 1 Tìm GTNN c a bi u th c: P = + + 8a 2 + 26ab + 15b 2 8b 2 + 26bc + 15c 2 8c 2 + 26ca + 15a 2 Hư ng d n: Cách 1: Hư ng 1: Ta có: 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ( 3a + 4b ) − ( a − b ) ≤ ( 3a + 4b ) 2 2 2 1 1 1 ⇒ = ≥ 3a + 4b 8a + 26ab + 15b 2 2 ( 3a + 4b ) 2 − (a − b) 2 2  6a + 8b  Hư ng 2: Ta có: 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ( 2a + 5b )( 4a + 3b ) ≤   = ( 3a + 4b ) 2  2  1 1 ⇒ ≥ 8a 2 + 26ab + 15b 2 3a + 4b 1 1 1 Tương t cho hai bi u th c còn l i ta ư c: P ≥ + + 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 1 3a + 4b 2 1 3b + 4c 2 1 3c + 4a 2 Theo Cô-si ta có: + ≥ ; + ≥ ; + ≥ 3a + 4b 49 7 3b + 4c 49 7 3c + 4a 49 7 6 a+b+c ( ) Bunhiacopxki . Mà : ( a + b + c ) (1 + 1 + 1) a 2 + b2 + c 2 = 9 → a + b + c ≤ 3 . 2 ⇒P≥ − ≤ 7 7 3 V y suy ra ⇒ P ≥ . D u b ng x y ra ⇔ a = b = c = 1 7 Cách 2: Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  11. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn P= ∑ 1 8a 2 + 26ab + 15b 2 = ∑ 1 ( 3a + 4b )2 − ( a − b )2 ≥ ∑ 3a + 4b 1 1 Cauchy − Schwarz (1 + 1 + 1) 3 1 1 M t khác: + + ≥ 3a + 4b 3b + 4c 3c + 4a 7(a + b + c) (1 + 1 + 1) ( a 2 + b2 + c 2 ) = 9 → a + b + c ≤ 3 . Bunhiacopxki L i có: ( a + b + c ) 2 ≤ 3 ⇒P≥ . D u b ng x y ra ⇔ a = b = c = 1 7 Cách 3:  x = 8a 2 + 26ab + 15b 2   t  y = 8b 2 + 26bc + 15c 2 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 23 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 26 ( ab + bc + ca ) ≤ 49 ( a 2 + b 2 + c 2 )   z = 8c + 26ca + 15a 2 2  M t khác: 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) ⇒ ( x + y + z ) ≤ 3.49 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 441 ⇒ x + y + z ≤ 21 2 2 1 1 1 9 3 P= + + ≥ ≥ . ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1 . x y z x+ y+z 7 3 V y GTNN c a P là khi a = b = c = 1 . 7 Ví d 6. Ch ng minh v i m i s dương a; b; c : a2 + b2 a+b b+c c+a 2 + c2 + 1 ( ab + bc + ca ≥ a + b + c ) x4 y y4 z z4 x 3 Ví d 7. Cho các s th c x, y , z > 0, xyz = 1. CMR: 2 + 2 + 2 ≥ x +1 y +1 z +1 2 Ví d 8. Cho các s th c x, y , z > 0 . yz Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = ∑ x + 2 yz Hư ng d n: yz 1 x  1 x  Ta có = 1 − ≤ 1 −  x + 2 yz 2  x + 2 yz    2 x+ y+ z  Tương t cho các bi u th c còn l i ta thu ư c Pmin = 1 ⇔ x = y = z Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  12. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P5 Th y ng Vi t Hùng D NG 5. KĨ THU T CÂN B NG H S Ví d 1. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a 3 + 2b3 + 3c3 Ví d 2. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a + b + c = 3 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a 2 + b 2 + c3 Ví d 3. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a 2 + 2b 2 + 3c 2 = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c P = 2a 3 + 3b3 + 4c3 Ví d 4. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Tìm GTLN c a bi u th c P = (1 + 2a )(1 + 2bc) Ví d 5. Cho a, b, c > 0 và th a mãn 2a + 4b + 3c 2 = 68 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a 2 + b 2 + c3 Ví d 6. Cho a, b, c > 0 và th a mãn ab + bc + ca = 1 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a 2 + 2b 2 + 3c 2 Ví d 7. Cho a, b, c > 0 và th a mãn a + 4b + 9c = 6 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a 3 + b3 + c3 1 1 1 1 /s: min P = ⇔ a = ;b = ;c = 6 6 3 2 4 Ví d 8. Cho x, y, z > 0 và th a mãn x + xy + 3 xyz = . 3 Tìm GTNN c a bi u th c P = x + y + z  1 x + 4y  xy = 2 x.4 y ≤ 4  Hư ng d n: Ta có   3 xyz = 1 3 x.4 y.16 z ≤ x + 4 y + 16 z   4 12 BÀI T P LUY N T P:  a , b, c > 0 1 Bài 1. Cho  . Tìm GTNN c a bi u th c P = abc + a + b + c ≤ 1 abc 1 1 Bài 2. Cho 0 < a ≤ . Tìm GTNN c a bi u th c P = 2a + 2 2 a  a , b, c > 0  1 1 1 3 . Tìm GTNN c a bi u th c P = a + 2 + b + 2 + c + 2 2 2 2 Bài 3. Cho  a + b + c ≤ 2  b c a a, b > 0 1 1 Bài 4. Cho  , tìm GTNN c a P = 2 + a + b ≤ 1 a + b 2ab 2 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  13. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn Bài 5. Cho x, y là hai s dương thay i th a mãn i u ki n x + y ≥ 4. 3x2 + 4 2 + y3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + 4x y2 3 Bài 6. Cho a, b, c là các s dương th a mãn a + b + c = . 4 Ch ng minh r ng 3 a + 3b + 3 b + 2c + 3 c + 3a ≤ 3 Bài 7. Cho a, b, c là các s dương th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng 3 a9 + 2 + 3 b9 + 2 + 3 c9 + 2 ≥ 3 3 3 Bài 8. Cho a, b, c là các s dương th a mãn a + b + c = 1. Ch ng minh r ng a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 1 Bài 9. Cho a, b, c là các s dương th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 3 5 3 Bài 10. Cho a, b, c là các s dương th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng 5 ( 2a + b )( a + c ) a + 5 ( 2b + c )( b + a ) b + 5 ( 2c + a )( c + b ) c ≤ 3 5 6 32 Bài 11. Cho a > b ≥ 0. Ch ng minh r ng 2a + ≥5 ( a − b )( 2b + 3) 2 Bài 12. Cho các s dương x, y th a mãn x2 + y2 = 1.   1  1  S = (1 + x ) 1 +  + (1 + y )  1 +    y  x Tìm GTNN c a các bi u th c sau :  2 2  2 1 2 1  P = (1 + x ) 1 +  + (1 + y ) 1 +    y  x Bài 13. Xét các s th c dương th a mãn a + b + c = 1. 1 1 1 1 Tìm GTNN c a bi u th c P = + + + a +b +c 2 2 2 ab bc ca Bài 14. Cho các s dương a, b, c th a mãn a + b + c ≤ 1. 1 1 1 1 1 1 Tìm GTNN c a bi u th c: P = + 2 2+ 2 + + + a +b b +c c +a 2 2 2 ab bc ca Bài 15. Cho x, y là hai s dương thay i th a mãn i u ki n x + y ≥ 4. 6 10 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 x + 3 y + + x y Bài 16. Cho x, y, z là ba s dương thay i th a mãn i u ki n x + y + z = 1. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = 1 − x + 1 − y + 1 − z Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  14. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn M TS KĨ THU T S D NG B T CÔ-SI – P6 Th y ng Vi t Hùng Bài 1. Cho các s dương a, b, c th a mãn a + b + c = 1. 1 1 1 9 Ch ng minh r ng + + ≥ 1+ a 1+ b 1+ c 4 Bài 2. Cho các s dương a, b, c th a mãn a + b + c = 1. a b c Tìm giá tr l n nh t c a P = + + 1+ a 1+ b 1+ c Bài 3. Cho các s dương a, b th a mãn a + b ≤ 1. 1 1 1 9 Ch ng minh r ng + + ≥ 1− a 1− b a + b 2 Bài 4. Cho các s dương a, b th a mãn a + b ≤ 1. a2 b2 1 5 Ch ng minh r ng + +a+b+ ≥ 1− a 1− b a+b 2 1 1 1 Bài 5. (Kh i A – 2005) Cho các s dương a, b, c th a mãn + + =4 a b c 1 1 1 Ch ng minh r ng + + ≤ 1. 2a + b + c 2b + a + c 2c + a + b Bài 6. Cho các s dương a, b, c. ab bc ca a+b+c Ch ng minh r ng + + ≤ . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài 7. Cho các s dương a, b, c. ab bc ca a+b+c Ch ng minh r ng + + ≤ . a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Bài 8. Cho các s dương a, b, c. 1 1 1 1 1 1 Ch ng minh r ng + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Hư ng d n: 1 1 4 2 Ta có: + ≥ = a + 3b b + 2c + a ( a + 3b ) + ( b + 2c + a ) a + 2b + c Tương t cho các B T khác r i c ng l i ta ư c pcm. Bài 9. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh các b t ng th c sau: 1 1 1 1 1 1 1  a) + + ≤  + +  2a + 3 ( b + c ) 2b + 3 ( c + a ) 2c + 3 ( a + b ) 4  a + b b + c c + a  1 1 1 1 1 1 1  b) + + ≤  + +  a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 2  a + 2c b + 2a c + 2b  Hư ng d n: Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
  15. Khóa LT H 9 – 10 i m môn Toán – Th y ng Vi t Hùng www.moon.vn 1 1 1 1 1 2  a) Ta có = ≤  + + … 2a + 3 ( b + c ) ( a + b ) + ( a + c ) + ( b + c ) + ( b + c ) 16  a + b a + c b + c  Tương t cho các B T khác r i c ng l i ta ư c pcm. 1 1 1 1 1  b) Ta có = ≤  + … a + 2b + 3c ( a + 2c ) + ( c + 2b ) 4  a + 2c c + 2b  Tương t cho các b t ng th c khác ta ư c pcm. 3 Bài 10. Cho a, b, c là ba s dương tho mãn a + b + c = . 4 1 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = +3 +3 3 a + 3b b + 3c c + 3a Bài 11. Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (v i a, b, c là dài 3 c nh). 1 1 1 1 1 1 Ch ng minh r ng + + ≥ 2 + +  p −a p −b p −c a b c Bài 12. Cho các s th c a, b, c > 0, và abc = 1. 1 1 1 Tìm GTLN c a bi u th c P = + 2 + 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3 2 2 2  1 1 1   1 1 1  Bài 13. Cho các s th c a, b, c > 0 và th a mãn 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007 . a b c   ab bc ca  1 1 1 Tìm GTLN c a bi u th c P = + + . 5a + 2ab + 2b 2 2 5b + 2bc + 2c 2 2 5c + 2ca + 2a2 2 Bài 14. Cho các s th c a, b, c > 0 và th a mãn a + b + c = 1. 1 1 1 1 Ch ng minh r ng + + ≥ ab + 2c + 2c cb + 2a + 2 ac + 2b + 2b ab + bc + ac 2 2 2 Bài 15. Cho a, b, c > 0 vaø a + b + c = 3. a b c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + . 1 + b 1 + c 1 + a2 2 2 Chuyên 03: B t ng th c – Giá tr l n nh t và nh nh t Facebook: LyHung95
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2