Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Dãy số - Trần Vũ Trung

Chia sẻ: Tong Quoc Dinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

468
lượt xem 190
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Dãy số - Trần Vũ Trung

Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy s Các khái ni m cơ b n Dãy vô h n {un }n = 0 1 là m t dãy các s u0 , u1 , u2 ,… tuân theo quy lu t nào ñó. ∞ Cùng m t dãy s có th ñư c xác ñ nh b i nhi u cách, trong bài toán v dãy s , nhi u khi ph i ñưa ñư c dãy v d ng mà ta mong mu n ñ gi i quy t yêu c u ñ t ra. ñây ta xét các cách xác ñ nh ph bi n là: Xác ñ nh b ng công th c s h ng t ng quát un c a dãy Thí d : Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i un = 2n + 1 là dãy s t nhiên l . - Xác ñ nh b ng tính quy n p (ch y u là b ng công th c truy h i) Thí d : + Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i u0 = 30 , un+1 = 30 + un . 2 + Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i u0 = u1 = 1 , un + 2 = un un +1 . - Xác ñ nh thông qua các phép toán c a các dãy khác 2 Thí d : Cho 2 dãy {un } : u1 = 1 , un+1 = 2011un + un . Dãy {vn } ñư c xác ñ nh b i: vn = u0 u1 u2 u + + +… + n . u1 u2 u3 un +1 C p s c ng Dãy s {un } ñư c g i là c p s c ng v i công sai d ≠ 0 , n u un +1 = un + d . Tính ch t: un = u0 + nd , un +1 + un −1 = 2un . C p s nhân Dãy s {un } ñư c g i là c p s nhân v i công sai q ∉ {0;1} , n u un+1 = un q . 2 Tính ch t: un = u0 q n , un +1un −1 = un , ∑ uk = k =0 n 1 − q n +1 . 1− q 2 Dãy ñơn ñi u - Dãy ñơn ñi u tăng (tăng ng t) n u un +1 > un , ∀n ∈ ℕ . 1 2 Trong tài li u này, n u nh c ñ n dãy s {u } mà không chú thích gì thêm, ta hi n u ñó là dãy vô h n. N u u n +1 > u n , ∀n ≥ n0 , thì ta v n có th nói dãy {u n } ñơn ñi u tăng, nhưng nên nói dãy ñơn ñi u tăng, ho c dãy ñơn ñi u {u n } tăng v i n ≥ n0 . {un }n =n ∞ 0 1 Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Dãy ñơn ñi u không gi m n u un +1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ . Dãy ñơn ñi u gi m (gi m ng t) n u un +1 < un , ∀n ∈ ℕ . Dãy ñơn ñi u không tăng n u un +1 ≤ un , ∀n ∈ ℕ . Gi i h n c a dãy s 1. ð nh nghĩa Dãy {un } g i là có gi i h n b ng L (h i t v L ) khi n → ∞ , n u ∀ε > 0 , ∃n0 ∈ ℕ : n > n0 ⇒ un − L < ε 2. Phép c ng tr , nhân, chia gi i h n Gi s t n t i lim un = a ; lim vn = b thì: n →∞ n →∞ n →∞ lim ( un + vn ) = a + b lim ( un vn ) = ab n →∞ un a = n →∞ v b n lim (b ≠ 0 ) 3. So sánh hai gi i h n un ≤ vn , ∀n và t n t i lim un = a ; lim vn = b ⇒ a ≤ b n →∞ n →∞ 4. Dãy ñơn ñi u, b ch n thì h i t a) {un } là dãy ñơn ñi u tăng (không gi m) và b ch n trên b i M , thì h i t . b) {un } là dãy ñơn ñi u gi m (không tăng) và b ch n dư i b i m , thì h i t . lim un = L ≥ M . n →∞ n →∞ lim un = L ≤ M . 5. Nguyên lí k p N u wn ≤ un ≤ vn , ∀n , và {vn } , {wn } cùng h i t v m t gi i h n lim un = lim vn = a ; n →∞ n →∞ thì lim un = a . n →∞ 2 Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán (c n) tìm công th c s h ng t ng quát Trong bài toán xác ñ nh công th c s h ng t ng quát c a dãy s t công th c truy h i c n ñ c bi t chú ý 2 phương pháp sau: - Phương pháp sai phân - Phương pháp lư ng giác hóa 1) Phương pháp sai phân Xét dãy {un } ñư c xác ñ nh t công th c truy h i: anun +i + an −1un −1+i + an − 2un −2+i + … + a0ui = 0 ð tìm công th c s h ng t ng quát, ta làm theo các bư c: - Gi i phương trình ñ c trưng: an λ n + an −1λ n −1 + … + a1λ + a0 = 0 (*). N u (*) có n nghi m phân bi t λ1 , λ2 ,… , λn thì s h ng t ng quát c a dãy là: un = c1λ1n + c2 λ2n + … + cn λnn trong ñó c1 , c2 ,… , cn là các h ng s (có th ñư c xác ñ nh n u bi t các s h ng ñ u u0 , u1 ,… , ui −1 ) N u (*) có nghi m b i, ch ng h n λ1 có b i k thì s h ng t ng quát c a dãy là: un = c1λ1n + c2 nλ1n + c3n 2 λ1n + … + ck n k −1λ1n + ck +1λkn+1 + … + cn λnn Bài toán 1: ∞ Dãy Fibonacci { Fn }n =1 ñư c xác ñ nh như sau: u1 = u2 = 1 , un + 2 = un +1 + un . Tìm công th c s h ng t ng quát c a dãy. L i gi i. Phương trình ñ c trưng: λ 2 − λ − 1 = 0 , có 2 nghi m λ1 = n 1+ 5 1− 5 và λ2 = . 2 2 n  1+ 5  1− 5  Công th c s h ng t ng quát c a dãy: Fn = c1   + c2   ,  2       2  trong ñó các h ng s c1 , c2 th a mãn:  1+ 5 1− 5 1  + c2 1 = u1 = c1  1 + 5 c1 + 1 − 5 c2 = 2 c1 = 5 2 2    ⇒ 2 2 ⇒  2 2 1 = u = c  1 + 5  + c  1 − 5   1 + 5 c1 + 1 − 5 c2 = 2 c = − 1    2 1 2  2      2 5     2   ( ( ) ( ) ( ) ) 1  1+ 5  1  1− 5  V y Fn =   2  − 5 2  .    5    n n 3 Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 Bài toán 2: Dãy {un } ñư c xác ñ nh b i u0 = 0 , u1 = 1 , u2 = 3 và công th c truy h i: un = 7un −1 − 11un − 2 + 5un −3 , v i n ≥ 4 . Tìm công th c s h ng t ng quát c a dãy. L i gi i. Phương trình ñ c trưng: x 3 − 7 x 2 + 11x − 5 = 0 (*) (*) có nghi m x1 = 1 b i 2, và nghi m ñơn x2 = 5 . Khi ñó, un = c1 + c2 n + c3 5n . 0 = u0 = c1 + c3  Các h ng s c1 , c2 , c3 th a mãn: 1 = u1 = c1 + c2 + 5c3 3 = u = c + 2c + 25c 2 1 2 3  1 3 1 Gi i h ñư c c1 = − , c2 = , c3 = . 16 4 16 1 3 1 n 1 n 3 V y un = − + n + 5 = ( 5 − 1) + n . 16 4 16 16 4 Bài toán 3: Cho dãy s { xn } xác ñ nh như sau: x0 = a , xn +1 = 1 + bxn , ∀n ∈ ℕ . V i ñi u ki n nào c a a, b thì dãy { xn } h i t ? L i gi i.  xn +1 = 1 + bxn ⇒ xn +1 − xn + 2 = bxn − bxn +1 ⇒ xn + 2 − (b + 1) xn +1 + bxn = 0 .   xn + 2 = 1 + bxn +1 N u b = 1 thì xn = n + a , ∀n ∈ ℕ , dãy không h i t . N u b ≠ 1 thì xn = 1 1   + bn  a −  , ∀n ∈ ℕ . 1− b 1− b   1 = 0 ho c b < 1 . 1− b b ≠ 1  h i t là ho c b < 1 , ho c  1 . a = 1 − b  Khi ñó, dãy { xn } h i t khi và ch khi ho c a − V y, ñi u ki n c n và ñ ñ dãy { xn } Bài toán 4: Tìm t t c các hàm f : ℝ + → ℝ + th a mãn f ( f ( x) ) + af ( x) = b ( a + b ) x , ∀x ∈ ℝ + . (*) ( a, b là các h ng s dương) L i gi i. Xét dãy { xn }n = 0 : xn +1 = f ( xn ) , v i x0 là m t s th c c ñ nh. ∞ 4 Tr n Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 T (*) ta có công th c truy h i c a dãy: xn + 2 = −axn +1 + b ( a + b ) xn . Phương trình ñ c trưng: x 2 + ax − b ( a + b ) = 0 , có 2 nghi m x1 = b , x2 = −a − b . Do xn > 0 ∀n ∈ ℕ , nên c2 = 0 . Suy ra x0 = c1 và f ( x0 ) = x1 = c1b = bx0 . V y f ( x) = bx , ∀x ∈ ℝ + . Bài toán 5: Cho các s th c dương p, q th a mãn p + q < 1 và dãy s v i c1 , c2 ∈ ℝ th a mãn x0 = c1 + c2 và x1 = c1b − c2 ( a + b ) . Công th c t ng quát c a dãy xn = c1b n + c2 ( − a − b ) , n ñi u ki n un + 2 ≤ pun +1 + qun , v i m i n ∈ ℕ . Ch ng minh r ng dãy {un }n∈ℕ h i t và tìm gi i h n c a dãy ñó. {un }n∈ℕ không âm th a mãn L i gi i. Xét dãy {vn }n∈ℕ : v0 = u0 , v1 = u1 , vn + 2 = pvn +1 + qvn , v i m i n ∈ ℕ . Ta tìm công th c s h ng t ng quát c a dãy {vn }n∈ℕ . B ng quy n p, ta ch ng minh ñư c un ≤ vn , v i m i n ∈ ℕ . Phương trình ñ c trưng: x 2 − px − q = 0 (*), có 2 nghi m: p + p 2 + 4q p + p 2 + 4(1 − q ) p + (2 − p ) < = = 1, 2 2 2 0 > x2 = p − x1 > −1 . 0 < x1 = n n Khi ñó, vn = c1 x1n + c2 x2 , mà lim x1n = lim x2 = 0 do −1 < x2 < 0 < x1 < 1 n→∞ n →∞ ⇒ lim vn = 0 , mà 0 ≤ un ≤ vn v i m i n ∈ ℕ . Theo nguyên lí k p, lim un = 0 . n →∞ n →∞ Bài toán 6: Cho dãy s n →∞ { xn } xác ñ nh như sau: u0 = 0 , un = un −1 + (−1)n , ∀n ≥ 1 . 2011 2 Tính lim un . L i gi i. un −1  n un = 2011 + (−1) u u  (vì (−1)n + (−1) n+1 = 0 ). ⇒ un + un +1 = n −1 + n  2011 2011 u = un + (−1) n +1 n +1  2011  2010 1 T ñó suy ra: un +1 + un − un −1 = 0 . 2011 2011 2010 1 1 Phương trình ñ c trưng: x 2 + . x− = 0 , có 2 nghi m x1 = −1 và x2 = 2011 2011 2011 5