M t s ñ luy n t p<br />
ð s 1<br />
Câu I. 1)<br />
1 ln (1 + x 2 ) − 2011 . 2 1 Ch ng minh r ng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghi m th c duy nh t. 2 Cho dãy s th c {un } ñư c xác ñ nh như sau:<br />
<br />
Cho hàm s<br />
<br />
f ( x) =<br />
<br />
2)<br />
<br />
u1 = a ∈ ℝ , un +1 =<br />
Ch ng minh r ng dãy {un }<br />
<br />
1 ln (1 + un 2 ) − 2011 , v i n ≥ 1 . 2 h it .<br />
<br />
Câu II. Cho các s th c dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghi m th c x > 0 :<br />
1 1 1 2 + + = . a+ x b+ x c+ x x<br />
<br />
Câu III. 1) Cho hàm s<br />
<br />
f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn: f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y . f ( x0 ) = x0 .<br />
<br />
Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x0 ∈ [ 0;1] ñ<br />
<br />
2)<br />
<br />
Gi s hàm f ( x) kh vi trên ño n [ 0;1] và f ′(0) f ′(1) < 0 . Ch ng minh r ng t n t i c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .<br />
<br />
Câu IV. 1) 2)<br />
<br />
Ch ng minh r ng<br />
<br />
∫<br />
0<br />
<br />
2π<br />
<br />
sin x 2dx > 0 .<br />
<br />
Hàm f ( x) kh tích trên ño n [ 0;1] và<br />
<br />
∫ f ( x)dx > 0 . Ch<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
ng minh r ng t n t i ño n<br />
<br />
[ a, b] ⊂ [ 0;1]<br />
Câu V.<br />
<br />
mà trên ñó f ( x) > 0 .<br />
<br />
Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax và By sao cho t ng AC + BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí c a các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t. ***<br />
<br />
1<br />
<br />
ð s 2<br />
Câu I. Cho dãy s<br />
<br />
{un } ñư<br />
<br />
2 c xác ñ nh b i u1 = 1 , un+1 = 2011un + un .<br />
<br />
Tìm gi i h n:<br />
<br />
u u u lim 1 + 2 + … + n . n →∞ u un +1 2 u3<br />
<br />
Câu II. 1) Gi s hàm f ( x) xác ñ nh và liên t c trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ .<br />
<br />
Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .<br />
2)<br />
<br />
Tìm t t c các hàm liên t c th a mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ .<br />
<br />
Câu III. 1) 2)<br />
So sánh hai s 20122011<br />
2012<br />
<br />
và 20112012<br />
<br />
2011<br />
<br />
.<br />
<br />
Gi s hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm kh vi liên t c, và v i m i x, y ∈ ( a, b ) , t n t i<br />
f ( y ) − f ( x) = f ′( z ) . Ch ng minh r ng ho c f l i nghiêm ng t y−x ho c f lõm nghiêm ng t trong ( a, b ) .<br />
<br />
duy nh t z mà<br />
<br />
Câu IV.<br />
Trong phòng có 6 ngư i, c 3 ngư i thì có ít nh t 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 3 ngư i ñôi m t quen nhau.<br />
<br />
Câu V. Cho s nguyên dương n . Ch ng minh b t ñ ng th c: 1 1 1 1 + 1 + 2 … 1 + n < 3 . 2 2 2 <br />
***<br />
<br />
2<br />
<br />
ð s 3<br />
Câu I. Cho phương trình x + 1 − m − x = 1 (1). 1) Gi i phương trình (1) khi m = 4 . 2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m. Câu II. 1) Cho hàm f kh vi liên t c hai l n trên ño n [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) .<br />
<br />
Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ( a, b ) sao cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = 2 f ′ ( x0 ) .<br />
2) Tìm t t c các hàm f ( x) kh vi hai l n trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ . Câu III.<br />
<br />
1 2 x sin Cho hàm s ϕ ( x ) = x 0 <br />
2) Gi s Câu IV. 1)<br />
<br />
x≠0 x=0<br />
<br />
1) Ch ng minh r ng hàm ϕ ( x) kh vi t i ñi m x = 0 .<br />
<br />
f ( x) kh vi t i ñi m x = 0 . Tính ñ o hàm c a f (ϕ ( x ) ) t i ñi m x = 0 .<br />
<br />
1 Gi s hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) th a mãn lim f ( x) + = 2. x→0 f ( x) Ch ng minh r ng lim f ( x) = 1 .<br />
x →0<br />
<br />
2)<br />
<br />
Ch ng minh r ng v i m i t ≥ 0 , phương trình x 3 + tx − 8 = 0 luôn có nghi m dương duy nh t, ký hi u là x (t ) . Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt .<br />
2 0 7<br />
<br />
Câu V.<br />
Trong phòng có 9 ngư i, b t kì 3 ngư i nào cũng có 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 4 ngư i ñôi m t quen nhau. ***<br />
<br />
3<br />
<br />
ð s 4<br />
Câu I.<br />
π<br />
<br />
1) Tính I = ∫<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
dx 1 + ( tan x )<br />
2<br />
<br />
.<br />
<br />
2) Tìm t t c các hàm liên t c f : ℝ → ℝ th a mãn:<br />
<br />
f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + 1 = 0 .<br />
Câu II. Gi s x1 , x2 ,… , xn là các nghi m ph c c a phương trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 .<br />
<br />
Tính<br />
<br />
∑ 1− x<br />
k =1<br />
<br />
n<br />
<br />
1<br />
<br />
.<br />
<br />
k<br />
<br />
Câu III. 1) Tìm t t c các hàm s dương f ( x) kh vi liên t c trên [ 0;1] th a mãn ñi u ki n:<br />
<br />
f ′( x) . f (1) = ef (0) và ∫ f ( x ) dx ≤ 1 0 2) Tìm t t c các hàm kh vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) th a mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ .<br />
1 2<br />
<br />
Câu IV.<br />
<br />
Trên m t ph ng Oxy cho 3 ñi m không th ng hàng A, B, C. Bi t OA=1, OB=2, OC=3. Ch ng minh r ng di n tích tam giác ABC không l n hơn 5.<br />
Câu V.<br />
<br />
Cho các s th c phân bi t k1 , k2 ,… , kn . Ch ng minh r ng:<br />
a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ khi và ch khi a1 = a2 = … = an .<br />
<br />
***<br />
<br />
4<br />
<br />
ð s 5<br />
Câu I.<br />
π 4 n 1) Tính lim n ∫ ( tan x ) dx n →∞ 0 <br />
<br />
2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] . Câu II. 1) Cho hàm f ( x) kh vi trên ño n [ a, b ] và th a mãn ñi u ki n f (a ) = f (b) = 0 ,<br />
<br />
f ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ ( a, b ) . Ch ng minh r ng t n t i dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho:<br />
lim<br />
n →∞<br />
<br />
(<br />
<br />
n<br />
<br />
e − 1 f ( xn )<br />
un<br />
2 n<br />
<br />
f ′ ( xn )<br />
<br />
)<br />
<br />
= 2011 .<br />
<br />
2) Cho dãy {un } : u0 = 3 , un+1 =<br />
<br />
1+ 1+ u<br />
<br />
. Tìm lim ( 2n un ) .<br />
n →∞<br />
<br />
Câu III. 1) S nào l n hơn trong hai s sau:<br />
<br />
∏ 1 − 365 và <br />
n =1<br />
<br />
25<br />
<br />
<br />
<br />
n <br />
<br />
1 . 2<br />
<br />
2) Tìm t t c các hàm f ( x) kh vi c p hai trên [ a, b ] th a mãn f (a ) = f (b) = 0 và:<br />
f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ .<br />
<br />
Câu IV.<br />
<br />
Trong phòng có 100 ngư i, m i ngư i quen v i ít nh t 67 ngư i khác. Ch ng minh r ng, trong phòng ph i có 4 ngư i t ng ñôi m t quen nhau.<br />
Câu V. Gi i h phương trình:<br />
<br />
x1 + 2 x2 + 3x3 + … + nxn = a1 x + 2 x + 3 x + … + nx = a 2 3 4 1 2 … xn + 2 x1 + 3 x2 + … + nxn −1 = an ***<br />
<br />
5<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
