Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Một số đề luyện tập - Trần Vũ Trung

Chia sẻ: Tong Quoc Dinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

0
247
lượt xem
118
download

Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Một số đề luyện tập - Trần Vũ Trung

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Một số đề luyện tập - Trần Vũ Trung

M t s ñ luy n t p<br /> ð s 1<br /> Câu I. 1)<br /> 1 ln (1 + x 2 ) − 2011 . 2 1 Ch ng minh r ng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghi m th c duy nh t. 2 Cho dãy s th c {un } ñư c xác ñ nh như sau:<br /> <br /> Cho hàm s<br /> <br /> f ( x) =<br /> <br /> 2)<br /> <br /> u1 = a ∈ ℝ , un +1 =<br /> Ch ng minh r ng dãy {un }<br /> <br /> 1 ln (1 + un 2 ) − 2011 , v i n ≥ 1 . 2 h it .<br /> <br /> Câu II. Cho các s th c dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghi m th c x > 0 :<br /> 1 1 1 2 + + = . a+ x b+ x c+ x x<br /> <br /> Câu III. 1) Cho hàm s<br /> <br /> f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn: f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y . f ( x0 ) = x0 .<br /> <br /> Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x0 ∈ [ 0;1] ñ<br /> <br /> 2)<br /> <br /> Gi s hàm f ( x) kh vi trên ño n [ 0;1] và f ′(0) f ′(1) < 0 . Ch ng minh r ng t n t i c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .<br /> <br /> Câu IV. 1) 2)<br /> <br /> Ch ng minh r ng<br /> <br /> ∫<br /> 0<br /> <br /> 2π<br /> <br /> sin x 2dx > 0 .<br /> <br /> Hàm f ( x) kh tích trên ño n [ 0;1] và<br /> <br /> ∫ f ( x)dx > 0 . Ch<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> ng minh r ng t n t i ño n<br /> <br /> [ a, b] ⊂ [ 0;1]<br /> Câu V.<br /> <br /> mà trên ñó f ( x) > 0 .<br /> <br /> Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax và By sao cho t ng AC + BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí c a các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t. ***<br /> <br /> 1<br /> <br /> ð s 2<br /> Câu I. Cho dãy s<br /> <br /> {un } ñư<br /> <br /> 2 c xác ñ nh b i u1 = 1 , un+1 = 2011un + un .<br /> <br /> Tìm gi i h n:<br /> <br /> u u u  lim  1 + 2 + … + n  . n →∞ u un +1   2 u3<br /> <br /> Câu II. 1) Gi s hàm f ( x) xác ñ nh và liên t c trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ .<br /> <br /> Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .<br /> 2)<br /> <br /> Tìm t t c các hàm liên t c th a mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ .<br /> <br /> Câu III. 1) 2)<br /> So sánh hai s 20122011<br /> 2012<br /> <br /> và 20112012<br /> <br /> 2011<br /> <br /> .<br /> <br /> Gi s hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm kh vi liên t c, và v i m i x, y ∈ ( a, b ) , t n t i<br /> f ( y ) − f ( x) = f ′( z ) . Ch ng minh r ng ho c f l i nghiêm ng t y−x ho c f lõm nghiêm ng t trong ( a, b ) .<br /> <br /> duy nh t z mà<br /> <br /> Câu IV.<br /> Trong phòng có 6 ngư i, c 3 ngư i thì có ít nh t 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 3 ngư i ñôi m t quen nhau.<br /> <br /> Câu V. Cho s nguyên dương n . Ch ng minh b t ñ ng th c: 1   1   1  1 +  1 + 2 … 1 + n  < 3 .  2  2   2 <br /> ***<br /> <br /> 2<br /> <br /> ð s 3<br /> Câu I. Cho phương trình x + 1 − m − x = 1 (1). 1) Gi i phương trình (1) khi m = 4 . 2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m. Câu II. 1) Cho hàm f kh vi liên t c hai l n trên ño n [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) .<br /> <br /> Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ( a, b ) sao cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = 2 f ′ ( x0 ) .<br /> 2) Tìm t t c các hàm f ( x) kh vi hai l n trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ . Câu III.<br /> <br /> 1  2  x sin Cho hàm s ϕ ( x ) =  x 0 <br /> 2) Gi s Câu IV. 1)<br /> <br /> x≠0 x=0<br /> <br /> 1) Ch ng minh r ng hàm ϕ ( x) kh vi t i ñi m x = 0 .<br /> <br /> f ( x) kh vi t i ñi m x = 0 . Tính ñ o hàm c a f (ϕ ( x ) ) t i ñi m x = 0 .<br /> <br />  1  Gi s hàm f : ( −a, a ) \ {0} → ( 0, +∞ ) th a mãn lim  f ( x) + = 2. x→0 f ( x)   Ch ng minh r ng lim f ( x) = 1 .<br /> x →0<br /> <br /> 2)<br /> <br /> Ch ng minh r ng v i m i t ≥ 0 , phương trình x 3 + tx − 8 = 0 luôn có nghi m dương duy nh t, ký hi u là x (t ) . Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt .<br /> 2 0 7<br /> <br /> Câu V.<br /> Trong phòng có 9 ngư i, b t kì 3 ngư i nào cũng có 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 4 ngư i ñôi m t quen nhau. ***<br /> <br /> 3<br /> <br /> ð s 4<br /> Câu I.<br /> π<br /> <br /> 1) Tính I = ∫<br /> 0<br /> <br /> 2<br /> <br /> dx 1 + ( tan x )<br /> 2<br /> <br /> .<br /> <br /> 2) Tìm t t c các hàm liên t c f : ℝ → ℝ th a mãn:<br /> <br /> f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + 1 = 0 .<br /> Câu II. Gi s x1 , x2 ,… , xn là các nghi m ph c c a phương trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 .<br /> <br /> Tính<br /> <br /> ∑ 1− x<br /> k =1<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> <br /> .<br /> <br /> k<br /> <br /> Câu III. 1) Tìm t t c các hàm s dương f ( x) kh vi liên t c trên [ 0;1] th a mãn ñi u ki n:<br /> <br />  f ′( x)  . f (1) = ef (0) và ∫   f ( x )  dx ≤ 1  0  2) Tìm t t c các hàm kh vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) th a mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ .<br /> 1 2<br /> <br /> Câu IV.<br /> <br /> Trên m t ph ng Oxy cho 3 ñi m không th ng hàng A, B, C. Bi t OA=1, OB=2, OC=3. Ch ng minh r ng di n tích tam giác ABC không l n hơn 5.<br /> Câu V.<br /> <br /> Cho các s th c phân bi t k1 , k2 ,… , kn . Ch ng minh r ng:<br /> a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ khi và ch khi a1 = a2 = … = an .<br /> <br /> ***<br /> <br /> 4<br /> <br /> ð s 5<br /> Câu I.<br />  π  4 n   1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx  n →∞  0   <br /> <br /> 2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] . Câu II. 1) Cho hàm f ( x) kh vi trên ño n [ a, b ] và th a mãn ñi u ki n f (a ) = f (b) = 0 ,<br /> <br /> f ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ ( a, b ) . Ch ng minh r ng t n t i dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho:<br /> lim<br /> n →∞<br /> <br /> (<br /> <br /> n<br /> <br /> e − 1 f ( xn )<br /> un<br /> 2 n<br /> <br /> f ′ ( xn )<br /> <br /> )<br /> <br /> = 2011 .<br /> <br /> 2) Cho dãy {un } : u0 = 3 , un+1 =<br /> <br /> 1+ 1+ u<br /> <br /> . Tìm lim ( 2n un ) .<br /> n →∞<br /> <br /> Câu III. 1) S nào l n hơn trong hai s sau:<br /> <br /> ∏ 1 − 365  và  <br /> n =1<br /> <br /> 25<br /> <br /> <br /> <br /> n <br /> <br /> 1 . 2<br /> <br /> 2) Tìm t t c các hàm f ( x) kh vi c p hai trên [ a, b ] th a mãn f (a ) = f (b) = 0 và:<br /> f ′′ ( x ) = e x f ( x ) , ∀x ∈ ℝ .<br /> <br /> Câu IV.<br /> <br /> Trong phòng có 100 ngư i, m i ngư i quen v i ít nh t 67 ngư i khác. Ch ng minh r ng, trong phòng ph i có 4 ngư i t ng ñôi m t quen nhau.<br /> Câu V. Gi i h phương trình:<br /> <br />  x1 + 2 x2 + 3x3 + … + nxn = a1  x + 2 x + 3 x + … + nx = a  2 3 4 1 2  …  xn + 2 x1 + 3 x2 + … + nxn −1 = an  ***<br /> <br /> 5<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản