Tham khảo tài liệu 'các bài toán dạng lượng giác của số phức (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Các bài toán dạng lượng giác của số phức (Bài tập và hướng dẫn giải)
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 23-03
Dạng lượng giác của số phức.
Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó:
Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:
1
a/ −
2z
ϕ
b/ z 2 − z (sin ≠ 0)
2
3ϕ
c/ z 2 + z (cos ≠ 0)
2
Bài 2: Tính:
( )
5
( 1− i)
10
3 +i
z=
( )
10
−1 − i 3
Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: z − 1 = z − i 3 và i z
có
một acgument là π/6.
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z=a+bi (a, b
thực) và coi i như 1 tham số trong bài toán thực sau khi đưa về đơn giản ta lại giải bài
toán phức. Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài.
Sau này vào Đại học các bạn sẽ làm quen với một môn đi sâu vào nghiên cứu số
phức như đạo hàm, nguyên hàm như số thực…là môn hàm số phức.
Chúc các bạn học tốt!
BTVN NGÀY 21-03
Các phép tính về Số phức và Modul của số
phức.
Bài 1: Tìm số phức z nếu:
( 2 + 3i ) z = z − 1
Giải:
Ta có:
−1 3i − 1 1 3
z (1 + 3i ) = −1 ⇔ z = = =− + i
1 + 3i 10 10 10
Bài 2: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập
hợp những điểm
M thõa mãn một trong các điều kiện sau:
a / z −1+ i = 2
b/ 2+ z > z −2
c / 1 ≤ z +1− i ≤ 2
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Giải:
a/ Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng
tọa độ biểu diễn số phức z và A(1;-1) là điểm
biểu diễn số phức z= 1-i . Theo giả thiết ta có: MA=2.
Vậy tập hợp những điểm M chính là đường tròn tâm A(1;-1) bán kính là
R=2.
b/ Ta có: 2+z =z - (-2)
Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-
2;0) là điểm
biểu diễn số phức z= -2 , B(2;0) là điểm biểu diễn số phức z= 2.
Dựa vào giải thiết ta có: MA>MB => M(nằm bên phải) đường trung
trực (x=0) của A
và B. Hay x>0.
c/ Ta có: z + 1 − i = z − (−1 + i )
Ta thấy : M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z và A(-
1;1) là điểm
biểu diễn số phức z= -1+i. Ta có: 1 ≤ MA ≤ 2 .
Vậy M thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi 2 đường tròn tâm A(-
1;1) bán kính lần
lượt là 1 và 2.
Bài 3: Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thõa mãn một
trong các điều kiện
sau.
a / z+ z+3 = 4
( )
2
b / z2 − z =4
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Giải:
Đặt: z=a+bi
a/ Ta có:
1
a = 2
4 z + z = 2a + 3 ⇔ z + z + 3 = 2a + 3 = 4 ⇔
a = − 7
2
Vậy M có thể nằm trên đường thẳng x=1/2 hoặc x=7/2
b/ Ta có:
M ∈ xy = 1
( )
2
z2 − z = 4abi = 4 ab = 4 ⇔
M ∈ xy = −1
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thõa điều kiện sau:
z
=3
z −i
Giải:
Gọi z =a+bi ta có:
a + bi = 3 a + (b − 1)i ⇔ a 2 + b 2 = 9 ( a 2 + b 2 − 2b + 1) ⇔ 8a 2 + 8b 2 − 18b + 9 = 0
2
9 81 9 9 9 9 3
⇔ 8a + 8(b − b + ) − = 0 ⇔ 8a 2 + 8(b − ) 2 = ⇔ a 2 + (b − ) 2 =
2 2
4 64 8 8 8 8 8
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là đường tròn tâm
I(0;9/8)
bán kính R=3/8.
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Bài 5: Tìm tất cả những điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
sao cho:
z +i
là số thực.
z +i
Giải:
Gọi z =a+bi ta có:
a + (b + 1)i [ a + (b + 1)i ] [ a − (1 − b)i ] a + (1 − b ) + [ 2abi ]
2 2
ab = 0
= = ∈¡ ⇔
a + (1 − b)i a 2 + (b − 1) 2 a 2 + (b − 1) 2 a + (1 − b)i ≠ 0
a = 0
⇔ b = 0
(a; b) ≠ (0;1)
Vậy quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z chính là tất cả những điểm
nằm trên 2 trục tọa
độ bỏ đi điểm (0;1)
Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:
i 5 + i 7 + i 9 + ... + i 2009
P= 4 6 7 (i 2 = −1)
i + i + i ... + i 2010
Giải:
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 − ( i2 )
1003
i 5 + i 7 + i 9 + ... + i 2009 = i 5 ( 1 + i 2 + i 4 + ... + i 2004 ) = i. =i
1 − i2
i 4 + i 5 + i 6 + ... + i 2010 = ( 1 + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 + i 6 ... + i 2010 ) − ( 1 + i 2 + i 3 )
1 − i 2011
= − (1 − 1 − i ) = i + 1
1− i
i 1 1
⇒P= = + i
i +1 2 2
BTVN NGÀY 23-03
Dạng lượng giác của số phức.
Bài 1: Cho số phức z có modul bằng 1 và ϕ là 1 acgument của nó:
Hãy tìm 1 acgument của các số phức sau:
1
a/ −
2z
ϕ
b/ z 2 − z (sin ≠ 0)
2
3ϕ
c/ z 2 + z (cos ≠ 0)
2
Giải:
Số phức z có thể viết dưới dạng: z = cosϕ + i sin ϕ
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 1 1 1
a/ − =− = − [ cosϕ + i sin ϕ ] = −cos ( ϕ ) − i sin ( ϕ ) =
2z 2 ( cosϕ − i sin ϕ ) 2 2
1
cos ( ϕ + π ) + i sin ( ϕ + π ) ⇒ acgument = ϕ + π
2
3ϕ ϕ 3ϕ ϕ
b / z 2 − z = ( cosϕ + i sin ϕ ) − ( cosϕ + i sin ϕ ) = −2sin
2
sin + 2cos sin i
2 2 2 2
ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ
+ Nê'u: sin > 0 ⇒ z 2 − z = 2sin − sin + icos
2 2 2 2
ϕ π 3ϕ π 3ϕ π 3ϕ
= 2sin sin + + icos + ⇒ Acgument = +
2 2 2 2 2 2 2
ϕ ϕ 3ϕ 3ϕ
+ Nê'u: sin < 0 ⇒ z 2 − z = −2sin sin − icos
2 2 2 2
ϕ 3ϕ π 3ϕ π 3ϕ π
= −2sin sin − + icos − ⇒ Acgument = −
2 2 2
2 2 2 2
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
3ϕ ϕ 3ϕ ϕ
z 2 + z = ( cosϕ + i sin ϕ ) + ( cosϕ − i sin ϕ ) = 2cos
2
c/ cos + 2cos sin i
2 2 2 2
3ϕ 3ϕ ϕ ϕ
+ Nê'u: cos > 0 ⇒ z 2 + z = 2cos cos + i sin
2 2 2 2
ϕ
⇒ Acgument =
2
3ϕ 3ϕ ϕ ϕ
+ Nê'u: cos < 0 ⇒ z 2 + z = −2cos cos + π + i sin + π
2 2 2 2
ϕ
⇒ Acgument = +π
2
Bài 2: Tính:
( )
5
( 1− i)
10
3 +i
z=
( )
10
−1 − i 3
Giải:
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
10 5
7π 7π 5 π π
( )
10
2 cos + i sin .2 cos + i sin
z= 4 4 6 6
10
10 4π 4π
2 cos + i sin
3 3
35π 35π 5π 5π
210 cos + i sin cos + i sin
= 2 2 6 6
40π 40π
210 cos + i sin
3 3
55π 55π
cos + i sin
= 3 3
= cos5π + i sin 5π = −1
40π 40π
cos + i sin
3 3
Bài 3: Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết rằng: z − 1 = z − i 3 và i z có
một acgument
là π/6.
Giải:
π π π π π
iz = ricosϕ + rsinϕ = r cos( − ϕ ) + i sin( − ϕ ) ⇒ − ϕ = ⇒ ϕ =
2 2 2 6 3
z = r (cosϕ + isinϕ )
2 2
1 3 r r 3 r 3r
= r( + i )= + i ⇒ iz − 1 = − 1 + = r2 − r +1
2 2 2 2 2 4
2
r2 r
z − i 3 = + 3 − 1 = r 2 − 3r + 3
4 2
π π
⇒ iz − 1 = z − i 3 ⇔ r = 1 ⇒ z = cos + i sin
3 3
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BTVN NGÀY 25-03
Giải phương trình trên tập số phức.
Bài 1: Giải phương trình:
z 2 − (cosϕ + i sin ϕ ) z + icosϕ sin ϕ = 0
Giải:
∆ = (cosϕ + i sin ϕ ) 2 − 4icosϕ sin ϕ = cos2ϕ + i sin 2ϕ − 2i sin 2ϕ
= cos2ϕ − i sin 2ϕ = cos ( -2ϕ ) +i sin ( -2ϕ ) = ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) )
2
1
z = (cosϕ + i sin ϕ ) − ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) ) = i sin ϕ
⇒ 2
z = 1 (cosϕ + i sin ϕ ) + ( cos ( -ϕ ) +i sin ( -ϕ ) ) = cosϕ
2
Bài 2: Giải phương trình:
(z + 3z + 6 ) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6 ) − 3z 2 = 0(*)
2 2
Giải:
Coi : z 2 + 3z + 6 = u
u = z
⇒ (*) ⇔ u 2 + 2 zu − 3z 2 = 0 ⇔ (u − z )(u + 3 z ) = 0 ⇔
u = −3z
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
z1 = −1 − i 5
z + 3z + 6 = z
2
z + 2z + 6 = 0
2
z2 = −1 + i
5
⇔ 2 ⇔ 2 ⇔
z + 3 z + 6 = −3 z z + 6z + 6 = 0 z3 = −3 − 3
z4 = −3 +
3
Bài 3: Giải phương trình:
z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0
Giải:
Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ta có:
z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0 ⇔ ( z − 1)( z − 3)( z 2 + 4) = 0
z = 1
⇔ z = 3
z = ±2i
Bài 4: Giải hệ phương trình:
z − w = i
iz − w = 1
Giải:
Coi i như 1 tham số ta có:
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
1 −1
D= = −1 + i
i −1
D
z= = −1
i −1 Dx
Dz = = −i + 1 ⇒
1 −1 w = D = −1 − i
Dy
1 i
Dw = =2
i 1
Bài 5: Giải hệ phương trình:
z − w − zw = 8
2
z + w = −1
2
Giải:
z − w − zw = 8
u = z − w u − v = 8 u − 8 = v
⇔ Coi : ⇒ 2 ⇔ 2
( z − w ) + 2 zw = −1
2
v = zw u + 2v = −1 u + 2u − 15 = 0
u = −5 ±5 + 3i 3 m + 3i 3
5
⇒ X 2 + 5 X + 13 = 0 ⇔ ( z; w) =
;
v = −13 2 2
⇔
u = 3 ⇒ X 2 − 3 X − 5 = 0 ⇔ ( z; w) = 3 ± 14 ; 3 m 14
v = −5
2
2
………………….Hết…………………
- TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 23 tháng 03 năm 2010
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
BT Viên môn Toán
hocmai.vn
Trịnh Hào
Quang
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
