zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Luyện thi ĐH môn Toán: Dạng lượng giác của số phức - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

149
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Dạng lượng giác của số phức - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về lượng giác số phức thật hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi ĐH môn Toán: Dạng lượng giác của số phức - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] 1. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức Trong đó: r: là module của số phức ϕ: là argument của số phức 2. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm được module và argument của số phức.   r = a + b 2 2 r = a 2 + b 2   a a Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có: a = r cos ϕ ⇔ cos ϕ = = , (1) b = r sin ϕ  r a 2 + b2   b b sin ϕ = = 2 , (2)  r a + b2 Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác. Chú ý: ♦ Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc lượng giác ta sẽ xác định được ϕ. ♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tưởng” đó chính là dạng lượng giác. Nhưng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngược lại ta sẽ thu được dạng lượng giác “chính gốc” ♦ Trong các biểu thức cho phép xác định ϕ thì thường có hai giá trị ϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị ϕ = –5π/6 hoặc ϕ = 7π/6 đều chấp nhận được) Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính modun và argument của các số phức sau a) z = 1 + i b) z = 3 + i c) z = 3 − i d) z = 1 + i 3 Hướng dẫn giải:   r = a + b 2 2  a a Áp dụng các công thức cos ϕ = = , ta có  r a + b2 2  b b sin ϕ = =  r a + b2 2 a) z = 1 + i ⇒ r = a 2 + b2 = 1 + 1 = 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  a 1 cosϕ = r = 2 π Đồng thời  ⇒ϕ= sinϕ = b = 1 4  r 2  r = 3 + 1 = 2  r = 2  3 3  b) z = 3 + i ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = 6  1 1 sin ϕ = r = 2  r = 3 + 1 = 2  r = 2  3 3  c) z = 3 − i ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = − 6  1 1 sin ϕ = − r = − 2  r = 1 + 3 = 2  r = 2  1 1  d) z = 1 + i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ π  r 2 ϕ = 3  3 3 sin ϕ = =  r 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = − 6 − i 2 b) z = −2 + 2 3i c) z = −1 − i 3 d) z = −5 − 5 3i Hướng dẫn giải:   r = 6 + 2 = 2 2 r = 2 2   r = 2 2  − 6 − 6  − 6 − 3  a) z = − 6 − i 2 ⇒ cosϕ = = ⇔ cosϕ = = ⇒ 7π  r 2 2  r 2 ϕ =    6 − 2 − 2 − 2 −1 sin ϕ = = sin ϕ = =  r 2 2  r 2  7π 7π  Từ đó z = − 6 − i 2 = 2 2  cos + i sin   6 6    r = 4 + 12 = 4  r = 4  −2 −1   2π 2π  b) z = −2 + 2 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ 2π ⇒ z = 4  cos + i sin   r 2 ϕ = 3  3 3   2 3 3 sin ϕ = =  r 2 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  r = 1 + 3 = 2  r = 2  −1 −1   4π 4π  c) z = −1 − i 3 ⇒ cosϕ = = ⇒ 4π ⇒ z = 2  cos + i sin   r 2 ϕ = 3  3 3   − 3 − 3 sin ϕ = =  r 2  r = 25 + 75 = 10  r = 10  −5 −1   4π 4π  d) z = −5 − 5 3i ⇒ cosϕ = = ⇒ 4π ⇒ z = 10  cos + i sin   r 2 ϕ = 3  3 3   −5 3 − 3 sin ϕ = =  r 2 ϕ Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết số phức sau dạng lượng giác: z = sin ϕ + 2i sin 2 2 Hướng dẫn giải: φ φ φ φ φ φ φ Biến đổi số phức đã cho ta được z = sin φ + 2i sin 2 = 2sin cos + 2i sin 2 = 2 sin  cos + i sin  2 2 2 2 2 2 2 Do module của số phức luôn là số dương nên ta xét các trường hợp sau φ φ φ φ TH1: sin > 0 ⇒ z = 2sin  cos + i sin  2 2 2 2 φ φ φ  φ  TH2: sin < 0 ⇒ z = −2sin cos  + π  + i sin  + π   2 2 2  2  Ví dụ 4. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1. z = − 3 − i 2. z = −1 + i 3 3. z = 1 − i 3 4. z = 5 − 5 3i 5. z = 2 − 2i 6. z = i 7. z = 8i 8. z = –4i 3. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức z = z1.z2 được cho bởi công thức z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Từ đó ta có số phức z = z1.z2 có module và argument thỏa mãn r = r1.r2 và ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có: z = z1.z 2 =  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  .  r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 )  = r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 − sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( cos ϕ1.sin ϕ2 + sin ϕ1.cos ϕ2 )  = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) z = 2 ( cos180 + i sin180 )( cos 720 + i sin 720 ) b) z = 3 ( cos1200 + i sin1200 )( cos150 + i sin150 ) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức z = z1.z 2 = r1.r2 [ cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )] ta có ( )( ) ( ) a) z = 2 cos180 + i sin180 cos 720 + i sin 720 = 2 cos 180 + 720 + i sin 180 + 720  ( ) = 2 ( cos900 + i sin 900 ) = i 2 ⇒ z = i 2 ( )( ) ( ) b) z = 3 cos1200 + i sin1200 cos150 + i sin150 = 3 cos 1200 + 150 + i sin 1200 + 150  ( ) Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  1 1  ( = 3 cos1350 + i sin1350 = 3  − + ) i ⇒ z = − 3 + 3 i  2 2  2 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác ( a) z = (1 + i ) 3 − i ) b) z = 2 + i 6 1 − i 3( )( ) Hướng dẫn giải: ♦ Với bài này chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân ngay rồi chuyển kết quả thành lượng giác, nhưng thường thì do argument của số phức khó tìm được kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang lượng giác rồi thực hiện phép nhân sau. ♦ Với những dạng bài toán như thế này thì khi chuyển sang lượng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà không phải trình bày rườm rà thao tác chuyển như thế nào (tức là phải pro về cách chuyển rồi đó).  π π  −π −π  a) Ta có: 1 + i = 2  cos + i sin  ; 3 − i = 2  cos + i sin   4 4  6 6  π π    −π −π   π π (     ) Khi đó z = (1 + i ) 3 − i =  2  cos + i sin   .  2  cos 4 4    6 + i sin 6     = 2 2  cos + i sin   12 12   π π  −π −π  b) Ta có: 2 + i 6 = 2 2  cos + i sin  ; 1 − i 3 = 2  cos + i sin   3 3  3 3  π π    −π −π   ( )(   ) Khi đó z = 2 + i 6 1 − i 3 =  2 2  cos + i sin   .  2  cos  3 3    3 + i sin  = 2 2 ( cos 0 + i sin 0 ) 3   b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) z z r Khi đó số phức z = 1 được cho bởi công thức z = 1 = 1 [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] z2 z 2 r2 z r Từ đó ta có số phức z = 1 có module và argument thỏa mãn r = 1 và ϕ = ϕ1 – ϕ2 z2 r2 Chứng minh: z r ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )  r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 )   r2 ( cos ϕ2 − i sin ϕ2 )  Thật vậy ta có z = 1 = 1 = z 2 r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ2 ) r22 r1r2 ( cos ϕ1.cos ϕ2 + sin ϕ1.sin ϕ2 ) + i ( sin ϕ1.cosϕ2 − cosϕ1.sin ϕ2 )  r1 = 2 = [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] r 2 r2 Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số  2π 2π  2  cos + i sin  cos85 + i sin 85 0 0  3 3  a) z = b) z = cos 400 + i sin 400  π π 2  cos + i sin   2 2 Hướng dẫn giải: z1 r1 Áp dụng công thức z = = [ cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )] , ta được: z 2 r2 cos850 + i sin 850 a) z = cos 40 + i sin 40 0 0 ( ) ( ) = cos 850 − 400 + i sin 850 − 400 = cos450 + i sin 450 = 1 2 + 1 2 i  2π 2π  2  cos + i sin   3 3  2   2π π   2π π   2 π π 6 2 b) z = =  cos  −  + i sin  −  =  cos + i sin  = + i  π π 2   3 2  3 2  2  6 6 4 4 2  cos + i sin   2 2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1− i −1 + 3i a) z = b) z = 2 + 2i 3 +i Hướng dẫn giải:  −π −π   π π a) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin 2 + 2i = 2(1 + i) = 2 2  cos + i sin  ;  4 4   4 4 Khi đó:  −π −π  2  cos + i sin  1− i  4 4  1  π π  π π  1  −π −π  1 z= = = cos  − −  + i sin  − −   =  cos + i sin  =− i 2 + 2i  π π 2  4 4  4 4  2  2 2  2 2 2  cos + i sin   4 4  2π 2π   π π b) Ta có: −1 + 3i = 2  cos + i sin  ; 3 + i = 2  cos + i sin   3 3   6 6  2π 2π  2  cos + i sin  −1 + 3i  2π π   2π π  π π =  3 3  Khi đó z = = cos  −  + i sin  −  = cos + i sin ⇒ z = i 3 +i  π π  3 6  3 6 2 2 2  cos + i sin   6 6 Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số  π π  π π a) z = 5  cos + i sin  .3  cos + i sin   6 6  4 4 2(cos 45 + i sin 45 ) 0 0 b) z = 3(cos150 + i sin150 ) 4. Công thức Moiver và ứng dụng dạng lượng giác của số phức a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), khi đó zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn[cos(nϕ) + isin(nϕ)] được gọi là công thức Moiver. Ví dụ: π π  π  π  ( ) 4  4  z = (1 + i ) =  2cos + i sin  = 2 cos  4.  + i sin  4.   = 4 ( cosπ + i sin π ) = −4 4  4 4   4  4  Bằng các phép tính toán đại số ta cũng dễ dàng thu được kết quả như trên!!! b) Ứng dụng dạng lượng giác ♦ Ứng dụng 1: Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau 100 ( )  1− i  6 a) z = −1 + i 3 b) z =    1+ i  Hướng dẫn giải: 6 2π 2π  2π 2π    ( )   6 a) Ta có: −1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ z = −1 + i 3 =  2  cos + i sin    3 3    3 3   12π 12π  = 26  cos + i sin  = 2 ( cos4π + i sin 4π ) = 2 ⇒ z = 64 6 6  3 3  Từ đó ta có z = 64; z = 64  −π −π  b) Ta có: 1 − i = 2  cos + i sin   4 4  Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  −π −π  2  cos + i sin   π π  1− i  4 4  −π −π 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ = = cos + i sin = −i  4 4  1+ i  π π 2 2 2  cos + i sin   4 4 100 100  1− i   −π −π  −100π −100π ⇒z=  =  cos + i sin  = cos + i sin =1  1+ i   2 2  2 2 Từ đó ta được z = 1; z = 1 Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của mỗi số phức sau (1 + i 3 ) ( ) (1 + i )6 ( ) 8 6 4 3 −i 3 − 3i a) z = b) z = (1 − i )5 (1 − 3i ) 5 Hướng dẫn giải: a) Ta có: π π 8π 8π  2π 2π    ( )  8 ♦ 1 + i 3 = 2  cos + i sin  ⇒ 1 + i 3 = 28  cos + i sin  = 28  cos + i sin   3 3  3 3   3 3  −π −π  −6 π −6 π   6 ( )  = 2  cos ( −π ) + i sin ( −π )  6 ♦ 3 − i = 2  cos + i sin  ⇒ 3 − i = 2  cos + i sin 6  6 6   6 6  −π −π  −5π − 5π  − 5π − 5π    ⇒ (1 − i ) = 2  cos  ( )  5 ♦ 1 − i = 2  cos + i sin + i sin  = 4 2  cos + i sin 5   4 4   4 4   4 4  Từ đó ta có:  2π 2π  −π −π + i sin  .26 cos ( −π ) + i sin ( −π )  ( )( ) 28  cos 8 6 1+ i 3 3 −i 14 cos + i sin =   3 3 2 3 3 z= = (1 − i ) 5  − 5 π − 5 π  4 2 cos − 5 π − 5π 4 2  cos + i sin  + i sin  4 4  4 4 214   −π 5π   −π 5π   2  14 11π 11π  214 = cos   +  + i sin  +  =  cos + i sin  ⇒ z = 4 2  3 4   3 4   4 2  12 12  4 2 b) Ta có: π π 6π 6π  3π 3π   ( ) 6  ♦ 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2  cos + i sin  = 8  cos + i sin  6  4 4  4 4   2 2  −π −π  −6 π −6 π  ♦ 3 − 3i = 3 (1 − i ) = 6  cos  (  ) ( ) 4 4 + i sin  ⇒ 3 − 3i = 6  cos + i sin =  4 4   4 4   −3π −3π  = 36  cos + i sin   2 2  −π −π  − 5π − 5π   ( 5 ) 5 ♦ 1 − 3i = 2  cos + i sin  ⇒ 1 − 3i = 2  cos + i sin   3 3   3 3  Từ đó ta có:  3π 3π   −3π −3π  ( ) 8  cos + i sin  .36  cos + i sin 4 (1 + i ) 6 3 − 3i  cos0 + i sin 0 =  2 2   2 2  z= = 9. (1 − 3i )  − 5π − 5π  − 5π − 5π 5 25  cos + i sin  cos + i sin  3 3  3 3  5π 5π  = 9  cos + i sin  ⇒ z = 9  3 3  ♦ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n: Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 n Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu w = z. - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và số phức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với:  r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) ⇔ r 'n cos ( nϕ ') + i sin ( nϕ ' )  = r ( cosϕ + i sin ϕ ) n r ' = n r  r 'n = r  Từ đó ta suy ra  ⇒ ϕ + k2π , với k = 0, 1, 2…n –1. nϕ ' = ϕ + k2π ϕ ' =  n  ϕ + k2π ϕ + k2π  Vậy các căn bậc n của số phức z là w = n r  cos + i sin  , k = 0, n − 1  n n  Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc 3 của z = 3 − i b) Căn bậc 4 của z = i Hướng dẫn giải:  −π −π  a) Ta có z = 3 − i = 2  cos + i sin   6 6  Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 3 của z, khi đó w3 = z.  −π −π   + k2π + k2π  Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có w = 3 2  cos 6 + i sin 6  , k = 0, 2  3 3     −π −π     −π −π  Với k = 0 ta được w1 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 3 2  cos + i sin   3 3   18 18     −π −π   + 2π + 2π   11π 11π  Với k = 1 ta được w 2 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 2  cos 3 + i sin   3 3   18 18     −π −π   + 4π + 4π   23π 23π  Với k = 2 ta được w 3 = 3 2  cos 6 + i sin 6  = 2  cos 3 + i sin   3 3   18 18    Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là w1, w2, w3 như trên. π π b) Ta có z = i = cos + i sin 2 2 Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 4 của z, khi đó w4 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có:  π π  π π  + k2π + k2π  + k2π + k2π w = 1  cos 2 + i sin 2 2 2  = cos + i sin , k = 0,3 4  4 4  4 4   π π π π Với k = 0 ta được w1 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 2π + 2π 5π 5π Với k = 1 ta được w 2 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π π + 4π + 4π 9π 9π Với k = 2 ta được w 3 = cos 2 + i sin 2 = cos + i sin 4 4 8 8 π π + 6π + 6π 2 2 13π 13π Với k = 3 ta được w 4 = cos + i sin = cos + i sin 4 4 8 8 Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số ( ) ( ) 6 15 a) z = (1 + i ) 1 − i 3 8 b) z = 2 − 2 3i (3 3 − 3i ) . (1 − i ) 4  π π c) z =  cos − i sin  i5 .(1 + 3i)7 d) z = ( 3 + i) 6  3 3 Bài 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác ( ) ( )( ) 7 8 10 a) z = 3 −i (1 − i )10 b) z = 6 −i 2 3 −i (1 + i )7 ( ) 8 d) z = (1 − i ) 1 + i 3 9 b) z = ( ) 8 3 −i Bài 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác ( 3 + i) 5 ( ) (1 − i 3 ) 7 10 a) z = 3 +i (1 + i )4 b) z = (1 − i 3 ) 11 ( 3 − i ) .(3i) 20 6 7  1+ i 3  c) z =   d) z =  1− i  (1 + i )10 Bài 4: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 3 của: a) z = 1 b) z = 1 + i c) z = 1 – i d) z = 1 + 3i Bài 5: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 4 của: a) z = 3 − i b) z = 2 − 2i c) z = 1 + i 3 d) z = −i 1 1 Bài 6: [ĐVH]. Tính: z 2010 + 2010 biết z + =1 z z Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.