zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Phương pháp lượng giác hóa - Mai Xuân Việt

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

334
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phương pháp lượng giác hóa giúp người đọc biết một số cách chuyển bài toán qua lượng giác, ứng dụng của phương pháp, chứng minh các hệ thức đại số, bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm giới hạn dãy số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp lượng giác hóa - Mai Xuân Việt

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy. I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác: 1/ Nếu biến x tham gia trong bài toán có điều kiện x ≤ k ( k > 0 ) , ta đặt x = kcosα , α ∈ [ 0,π ] hoặc  π π x = k sin α , α ∈  − ;  .  2 2  π π 2/ Nếu x ∈ ℝ , đặt x = tan α , α ∈  − ; .  2 2 3/ Nếu hai biến tham gia bài toán có ràng buộc: a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 ( a , b, c > 0 ) . c c ta đặt : x = sin α , y = cosα , α ∈ [ 0,2π ] a b 4/ Nếu ba biến x, y, z tham gia bài toán có ràng buộc x + y + z = xyz hoặc xy + yz + zx = 1 thì có thể đặt  π π x = tan α , y = tan β , z = tan γ với α , β , γ ∈  − ;  .  2 2 5/ Một số biểu thức thường gặp khác: Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến  π π x2 + a2 x = a tan α α ∈ − ;   2 2  a ∈ [ 0, π ]  x = acosα a2 − x 2  x = a sin α  π π  α ∈ − ;   2 2 a  π   3π  x2 − a2 x= α ∈  0,  ∪ π ,  cosα  2   2 x+ y x− y  x = tan α  π π hoặc  α, β ∈ − ,  1 − xy 1 + xy  y = tan β  2 2 II-Ứng dụng của phương pháp: 1. Chứng minh các hệ thức đại số: Bài toán 1: (Đại học Dược Hà Nội 1995) Cho x, y, z > 0 và thoả mãn xy + yz + zx = 1 , tính giá trị của biểut thức: M =x (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) 2 2 2 2 2 2 1 + x2 1 + y2 1+ z2  π Giải: Đặt x = tan α , y = tan β , z = tan γ , α , β , γ ∈  0;  . Theo giả thiết ta có  2 π tan α .tan β + tan β .tan γ + tan γ .tan α = 1 ⇒ α + β + γ = . 2 Ta có x (1 + y )(1 + z ) = tan α . (1 + tan β )(1 + tan γ ) = tan α . cos 2α sin α 2 2 2 2 = 1+ x 2 1 + tan α 2 cos β .cos γ cosβ .cosγ 2 2 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 www.MATHVN.com 1
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam cos ( β + γ ) cosβ .cosγ − sin β .sin γ = = = 1 − tan β .tan γ = 1 − yz . cosβ .cosγ cosβ .cosγ Tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta được: M = (1 − yz ) + (1 − zx) + (1 − xy ) = 3 − ( xy + yz + zx) = 2 Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng : 1 + 1 + 1 = 2 . bc (1 + a 2 ) ca (1 + b 2 ) ab (1 + c 2 ) abc 1 + a 2 . 1 + b 2 . 1 + c 2 Giải: Đ ặt a = tan α , b = tan β , c = tan γ  π α , β , γ ∈  0;  . Từ giả thiết ta có :   2 π tan α .tan β + tan β .tan γ + tan γ .tan α = 1 ⇒ α + β + γ = 2 Ta có: 1 1 = = cot β .cot γ .cos 2α bc (1 + a 2 ) tan β .tan γ (1 + tan 2 α ) Tương tự cho các biểu thức còn lại, ta được vế trái = cot α .cot β .cot γ ( tan α .cos 2α + tan β .cos 2 β + tan γ .cos 2γ ) = cot α .cot β .cot γ ( sin 2α + sin 2 β + sin 2γ ) 1 2 cot α .cot β .cot γ .4cosα .cosβ .cosγ (Vì 2α + 2 β + 2γ = π ) 1 = 2 2 = 2 cot α .cotβ .cotγ .cosα .cosβ .cosγ = (đpcm) abc. 1 + a . 1 + b 2 . 1 + c 2 2 Một số bài tập tự luyện: Bài 1: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng : a)  x − 1   y − 1  +  y − 1   z − 1  +  z − 1  x − 1  = 4           x  y  y  z  z  x b) x + y + z − 3xyz = x ( y 2 + z 2 ) + y ( z 2 + x 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) Bài 2: Cho x, y , z > 0, x 2 + y 2 + z 2 + 2 xyz = 1 . Chứng minh rằng: 1 + xyz = x (1 − y 2 )(1 − x 2 ) + y (1 − x )(1 − z ) + z (1 − x )(1 − y ) 2 2 2 2 Bài 3: Cho x + y + z + xy + yz + zx = 1 + xyz , xyz ≠ 0. Chứng minh rằng : 1 − x 2 1 − y 2 1 − z 2 (1 − x )(1 − y )(1 − z ) 2 2 2 + + = x y z 4 xyz Bài 4: Cho 1 + x + 1 + y + 1 + z = 1 + x . 1 + y . 1 + z ( x, y , z ≠ 1) . Chứng minh : 1− x 1− y 1− z 1− x 1− y 1− z 1/ 2 ( x + y )(1 − xy ) 1 − z 2 = (1) (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 1 + z 2 2/ (1 − xy ) − ( x + y ) = 2 z (2) 2 2 (1 + x )(1 + y ) 2 2 2 1+ z Bài 5: Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x + y + z + xy + yz + zx = 1 + xyz . Chứng minh rằng (1+y )(1 + z ) − 2 2 1+ y2 − 1+ z2 ∑sym yz =0 2. Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Bài toán 1: (Đại học kiến trúc TP.HCM 1993). Chứng minh nếu x < 1 và n là một số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: (1 + x ) + (1 − x ) < 2n (1) . n n Giải: Vì x < 1 nên ta đặt x = cost , t ∈ ( 0;π ) , khi đó (1) ⇔ (1 + cost ) + (1 − cost ) < 2n n n Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 www.MATHVN.com 2
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Ta có : (1 + cost )n + (1 − cost ) n = 2n  cos 2n t + sin 2 n t     2 2  t π Vì ta có 0 < < ⇒ 0 < sin .cos t < 1 nên cos 2n t t t t t < cos 2 ; sin 2 n < sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2  t t  t t ⇒ đpcm ⇒ 2n  cos 2n + sin 2 n  < 2n  cos 2 + sin 2 
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Bài 6: Cho bốn số thực dương. CMR: luôn tồn tại hai số x, y sao cho: 0 ≤ x− y < 2− 3 . 1 + x + y + 2 xy 3. Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình: Bài toán 1: Giải phương trình sau: 32 x ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = 1 − 1 ở trong khoảng (0;1). 2 x  π Giải: Với x ∈ ( 0;1) , đặt x = cost , t ∈  0;  . Khi đó ta có phương trình:  2 32cost ( cos 2 t -1)( 2cos 2t − 1) = 1 − 2 1 ⇔ 32cos 2t.sin 2 t.cos 2 2t = 1 − cost cost ⇔ 8sin 2 2t.cos 2 2t = 1 − cost ⇔ 2sin 2 4t = 1 − cost ⇔ 1- cos8t =1-cost  2π t = k 7 ⇔ cos8t = cost ⇔ 8t = ±t + k .2π ⇔  (k ∈ ℤ) . t = k 2π   9 π Kết hợp với 0 < t < , ta được t = 2π ; t = 2π ; t = 4π . 2 79 9 Vậy các nghiệm của phương trình là : x = cos , x = cos 2π , x = cos 4π . 2π 7 9 9 Bài toán 2: (Vô định quốc gia 1984). Giải phương trình 1 + 1 − x 2 ( (1 + x ) 3 − (1 − x ) 3 ) = 2+ 1 − x2 (1) . Giải: ĐK: 1 + x ≥ 0  ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . 1 − x ≥ 0 Đặt x = cost , 0 ≤ t ≤ π , khi đó (1) ⇔ 1 + sin t ( (1 + cost ) 3 − (1 − cost ) 3 ) = 2 + sin t 2  t t  t t ⇔  cos + sin   cos 3 − sin 3  .2 2 = 2 + sin t  2 2  2 2  t t  t t  t t ⇔  cos + sin   cos − sin  1 + cos sin  .2 2 = 2 + sin t .  2 2  2 2  2 2  t t  1  ⇔  cos 2 − sin 2  1 + sin t  .2 2 = 2 + sin t ⇔ 2cost ( 2 + sint ) = 2 + sin t  2 2  2  2 2 ⇔ 2cost = 1 ⇔ cost = ⇒x= 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = . 2 ( ) ( 2 − 1) + 3 (*) x x Bài toán 3: Giải phương trình 3 + 2 2 = Giải: Nhận xét rằng ( 2 + 1)( 2 − 1) = 1 , ( 3 + 2 2 ) = ( 2 + 1) ; ( 2 − 1) = ( 2 + 1) x 2x x −x Đặt ( 2 + 1) = 2t ( t > 0 ) . Khi đó ta có phương trình: 4t = 1 + 3 ⇔ 4t − 3t = 1 (1). x 2 3 2t 2 Dễ dàng chứng minh pt trên chỉ nghiệm t ∈ [ −1;1] , nên ta đặt t = cosα , (α ∈ [ 0; π ]) . 1 1 1 π 2π ⇒ 4t 3 − 3t = ⇔ 4cos3α − 3cosα = ⇔ cos3α = ⇔ α = + k (k ∈ ℤ) 2 2 2 9 3 Vì α ∈ [0; π ] ⇒ α ∈  π ; 5π ; 7π  ⇒ pt (1) có 3 nghiệm t ∈ cos π ; cos 5π ; cos 7π  .     9 9 9   9 9 9  Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 www.MATHVN.com 4
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Khi đó nghiệm của pt (*) là x ∈ log  π  5π   7π  .  2 +1  2cos  ; log 2 +1  2cos  ;log 2 +1  2cos    9  9   9  Một số bài tập tự luyện: x x Bài 1: (Đề thi Olympic 30-4-1994). Giải phương trình :  1 + a 2  −  1 − a 2  = 1      2a   2a  Bài 2: (Đề thi Olympic 30-4-2000). Định m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + ( 3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = 0 Bài 3: (Thi HSG trường PTNK-ĐHQGTPHCM 2000). Giải phương trình: 2x2 + 1 − x + 2 x 1 − x2 = 1 Bài 4: (IMO 1976). Cho f ( x) = x 2 − 2 . Đặt f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) ; f n ( x ) = f ( f n −1 ( x ) ) . Chứng minh rằng pt : f n ( x ) = 0 có đúng 2n nghiệm phân biệt.  x 3 − 3x = y ( 3 x 2 − 1) Bài 5: (Đề nghị Olympic 30-4-2000, tinh Tiền Giang). Giải phương trình:   .  y − 3 y = z ( 3 y − 1) 3 2  3  z − 3 z = x ( 3 z − 1) 2  Bài 6: (Đề dự tuyển IMO 1995, Hoa Kì). Cho các số thực dương a, b, c, hãy tìm các số x, y, z sao cho : x + y + z = a + b + c   4 xyz − ( a x + b y + c z ) = abc 2 2 2    1  1  1 Bài 7: Giải hệ phương trình: 3  x + x  = 4  y + y  = 5  z + z  .         xy + yz + zx = 1  4. Tính giới hạn của dãy số Bài toán 1: (Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp). Cho dãy số được xác định như sau: x0 = 2 , xn +1 = 2 + xn , ∀n ∈ ℕ. Tìm lim xn . n →+∞ Giải: Ta có x0 = 2 = 2cos π ; x1 = 2 + x1 = 2 1 + cos π  = 2cos π3 , bằng quy nạp ta chứng minh được rằng   4  4 2 π  π  xn = 2cos n+2 . Khi đó lim xn = lim  2cos n+2  = 2cos0 = 2 . 2 n →+∞ n →+∞  2  Bài toán 2: Cho dãy số {un} : u1 = 2 , un +1 = un + 2 − 1 , n = 1, 2,... . Tính u2010 . ( 1 − 2 un + 1 ) π Giải: Đặt u1 = 2 = tan ϕ , ϕ ∈  0; π  , và chú ý rằng   2 − 1 = tan . Khi đó  2 8 π  π π tan ϕ + tan tan  ϕ +  + tan 8 = tan  ϕ + π  , u =  8 8  π . u2 =   3 = tan  ϕ + 2.  π  8  π π  8 1 − tan ϕ .tan 1 − tan  ϕ +  .tan 8  8 8 Bằng quy nạp ta chứng minh được un = tan  ϕ + ( n − 1) π  , ∀n ≥ 1 .    8 π Vậy nên  π  π  tan ϕ + tan 8 2 + 2 −1 . u2010 = tan  ϕ + 2009  = tan  ϕ +  = = = 3+ 2  8  8  1 − tan ϕ. tan π 1 − 2 2 − 1 ( ) 8 Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho hai dãy số {un} và {vn} xác định như sau: Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 www.MATHVN.com 5
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam  2 2 u0 = , un +1 = . 1 − 1 − un 2  2 2 CMR: 2n + 2 un < π < 2n + 2 vn .  , ∀n ∈ ℕ. v = 1, v = 1 + vn − 1 2  0 n +1 vv  Bài 2: (Vietnam MO 1989). Cho dãy {xn}, n ∈ ℕ, x ≤ 1 và xn +1 = 1 ( − xn + 3 − 3xn ) . 2 a) Cần có thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy {xn} gồm toàn số dương. b) Dãy số này có tuần hoàn hay không? Vì sao? u1 = 1 Bài 3: Cho dãy số xác định bởi:  , n = 1, 2,.....  2 un +1 = . 1 − 1 − un 2  2 un Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho dãy số {vn} : vn = , n ∈ ℕ. A 5. Ứng dụng trong các bài toán tích phân: Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số ∫ f ( x, ) a 2 − x 2 dx x = a sin t  π π t ∈ − ;   2 2 ∫ f ( x, ) x 2 − a 2 dx x= a cost   π   3π  t ∈  0;  ∪ π ;  2  2  ∫ f ( x, ) x 2 + a 2 dx x = atant  π t ∈  0;   2  a+x   π ∫ f  x,  dx  x = acos2t t =  0;   a−x   2  π ∫ f ( x, ( x − a )( x − b ) )dx x = a + ( b − a ) sin 2 t t ∈  0;   2 1 2 1+ x Bài thí dụ: Tính I = ∫ 0 1− x dx . Giải: Đặt x = cost ⇒ dx = -sintdt , đổi cận x = 0 ⇒ t = π , x = 1 ⇒ t = π . 2 2 3 π π t π π 2cos 2 3 1 + cost 2 2 .  2sin t .cos t dt = 2cos 2 t = 1 + cost 2 2 ⇒I =∫ . ( − sin tdt ) = ∫   ∫ ∫ π 1 − cost π t 2sin 2  2 2 π 2 π 2 3 2 3 3 π /2 π 3. = ( t + sin t ) π / 3 = +1− 6 2 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 www.MATHVN.com 6

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.