zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Các loại hệ phương trình và cách giải

Chia sẻ: Hải Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Báo xấu

1.132
lượt xem 243
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo cung cấp cho các bạn học sinh bài tập vê hệ phương trình và phương pháp giải giúp các bạn luyện thi đạt hiệu quả hơn

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các loại hệ phương trình và cách giải

ThS. ðoàn Vương Nguyên CHUYÊN ð H PHƯƠNG TRÌNH ð I X NG LO I (KI U) I TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TOÁN I. H ñ i x ng lo i (ki u) I có d ng t ng quát:  f(x, y) = 0  f(x, y) = f(y, x)     , trong ñó    g(x, y) = 0  g(x, y) = g(y, x)     Phương pháp gi i chung: i) Bư c 1: ð t ñi u ki n (n u có). ii) Bư c 2: ð t S = x + y, P = xy v i ñi u ki n c a S, P và S2 ≥ 4P . iii) Bư c 3: Thay x, y b i S, P vào h phương trình. Gi i h tìm S, P r i dùng Vi–et ñ o tìm x, y. Chú ý: i) C n nh : x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) ðôi khi ta ph i ñ t n ph u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có nh ng h phương trình tr thành ñ i x ng lo i I sau khi ñ t n ph .  x 2 y + xy2 = 30  Ví d 1. Gi i h phương trình  3 .   x + y 3 = 35   GI I 2 ð t S = x + y, P = xy , ñi u ki n S ≥ 4P . H phương trình tr thành:  30   P =  SP = 30 S = 5 x + y = 5 x = 2 x = 3       ⇔  S   ⇔ ⇔ ⇔ ∨ . 2       2 90   S(S − 3P) = 35 P = 6  xy = 6 y = 3 y = 2        S  S − S  = 35            xy(x − y) = −2  Ví d 2. Gi i h phương trình  3 .   x − y3 = 2   GI I 2 ð t t = −y, S = x + t, P = xt , ñi u ki n S ≥ 4P. H phương trình tr thành:  xt(x + t) = 2  SP = 2 S = 2 x = 1 x = 1       ⇔ 3 ⇔ ⇔ ⇔ . 3     3 x + t = 2  S − 3SP = 2 P = 1 t = 1  y = −1            x + y + 1 + 1 = 4    xy Ví d 3. Gi i h phương trình  .  2  x + y2 + 1 + 1 = 4   x2 y2   GI I 1 Trang
ThS. ðoàn Vương Nguyên ði u ki n x ≠ 0, y ≠ 0 .    1  1    x +  +  y +  = 4    x  y H phương trình tương ñương v i:   2 2      x + 1  +  y + 1  = 8     x y         1  1  1  1 ð t S =  x +  +  y + , P =  x +   y + , S2 ≥ 4P ta có:          y  x   y x         x + 1  +  y + 1  = 4   1  x +    =2 S = 4 S = 4 x = 1        x   y   ⇔ ⇔ x ⇔ ⇔ . 2       1  S − 2P = 8 P = 4     x + 1  y + 1  = 4 y = 1   y +    =2          y x  y     x 2 + y2 + 2xy = 8 2 (1)   Ví d 4. Gi i h phương trình  .  x+ y=4 (2)    GI I ði u ki n x, y ≥ 0 . ð t t = xy ≥ 0 , ta có: xy = t2 và (2) ⇒ x + y = 16 − 2t . Th vào (1), ta ñư c: t2 − 32t + 128 = 8 − t ⇔ t = 4 Suy ra:  xy = 16 x = 4    ⇔ .   x + y = 8 y = 4     II. ði u ki n tham s ñ h ñ i x ng lo i (ki u) I có nghi m Phương pháp gi i chung: i) Bư c 1: ð t ñi u ki n (n u có). ii) Bư c 2: ð t S = x + y, P = xy v i ñi u ki n c a S, P và S2 ≥ 4P (*). iii) Bư c 3: Thay x, y b i S, P vào h phương trình. Gi i h tìm S, P theo m r i t ñi u ki n (*) tìm m. Chú ý: Khi ta ñ t n ph u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nh tìm chính xác ñi u ki n u, v. Ví d 1 (trích ñ thi ðH kh i D – 2004). Tìm ñi u ki n m ñ h phương trình sau có nghi m th c:    x+ y =1 .   x x + y y = 1 − 3m    GI I 2 Trang
ThS. ðoàn Vương Nguyên ði u ki n x, y ≥ 0 ta có:      x+ y =1  x+ y =1 ⇔   x x + y y = 1 − 3m  ( x)3 + ( y)3 = 1 − 3m       2 ð t S = x + y ≥ 0, P = xy ≥ 0 , S ≥ 4P. H phương trình tr thành:  S = 1 S = 1   ⇔ . 2   S − 3SP = 1 − 3m P = m     1 T ñi u ki n S ≥ 0, P ≥ 0, S2 ≥ 4P ta có 0 ≤ m ≤ . 4  x + y + xy = m  Ví d 2. Tìm ñi u ki n m ñ h phương trình  2 có nghi m th c.   x y + xy2 = 3m − 9   GI I  x + y + xy = m  (x + y) + xy = m    ⇔ . 2   x y + xy2 = 3m − 9  xy(x + y) = 3m − 9     S + P = m  ð t S = x + y, P = xy, S2 ≥ 4P. H phương trình tr thành:  .   SP = 3m − 9   Suy ra S và P là nghi m c a phương trình t2 − mt + 3m − 9 = 0 S = 3 S = m − 3   ⇒ ∨ .   P = m − 3 P = 3      32 ≥ 4(m − 3) 21 T ñi u ki n ta suy ra h có nghi m ⇔  ⇔m≤ ∨ m ≥ 3 +2 3. 2  (m − 3) ≥ 12 4  x − 4 + y −1 = 4  Ví d 3. Tìm ñi u ki n m ñ h phương trình  có nghi m.   x + y = 3m   GI I ð t u = x − 4 ≥ 0, v = y − 1 ≥ 0 h tr thành:  u + v = 4  u + v = 4    ⇔ . 2  uv = 21 − 3m  u + v2 = 3m − 5      2 21 − 3m Suy ra u, v là nghi m (không âm) c a t2 − 4t + = 0 (*). 2 H có nghi m ⇔ (*) có 2 nghi m không âm  3m − 13    ∆/ ≥ 0   ≥0 S ≥ 0 ⇔   13  2 ⇔ ⇔ ≤ m ≤ 7.    21 − 3m 3 P ≥ 0  ≥0       2 3 Trang
ThS. ðoàn Vương Nguyên  x 2 + y2 + 4x + 4y = 10  Ví d 4. Tìm ñi u ki n m ñ h phương trình  có nghi m th c.   xy(x + 4)(y + 4) = m   GI I  x + y + 4x + 4y = 10 2 2 2 2  (x + 4x) + (y + 4y) = 10 .   ⇔ 2  (x + 4x)(y2 + 4y) = m  xy(x + 4)(y + 4) = m     2 2 ð t u = (x + 2) ≥ 0, v = (y + 2) ≥ 0 . H phương trình tr thành:    u + v = 10  S = 10  ⇔ (S = u + v, P = uv).    uv − 4(u + v) = m − 16  P = m + 24      S2 ≥ 4P     ði u ki n  S ≥ 0 ⇔ −24 ≤ m ≤ 1 .  P ≥ 0    BÀI T P Gi i các h phương trình sau  x + y + xy = 5 x = 1 x = 2    1.  2 . ðáp s :  ∨ .     x + y2 + xy = 7 y = 2 y = 1           x 2 + xy + y2 = 3    x = −1  x = 3 x = − 3  . ðáp s :  2.  ∨ ∨ .    y = −1  y = − 3  y = 3  2x + xy + 2y = −3            x + y + 2xy = 2 x = 2 x = 0    3.  3 . ðáp s :  ∨ .     x + y3 = 8 y = 0 y = 2        x 3 − y3 = 7  x = −1  x = 2    4.  . ðáp s :  ∨ .     xy(x − y) = 2  y = −2  y = 1           1 − 37  x = 1 + 37  x = 2  x = −1  x =    x − y + 2xy = 5      5.  2 . ðáp s :  ∨ 4 4 ∨ ∨ .    2  x + y + xy = 7  y = 1  y = −2  −1 − 37  −1 + 37    y = y =           4  4  (x + y)(1 + 1 ) = 5    xy 6.  . ðáp s :  2 1 (x + y )(1 + 2 ) = 49   x 2 y2       x = −1  x = 7 − 3 5  x = 7 + 3 5  x = −1          ∨ ∨ 7−3 5 ∨ .  2 2 y = 7 + 3 5   y =  y = −1  y = −1              2  2 4 Trang
ThS. ðoàn Vương Nguyên  x = 4 x = 9  x y + y x = 30    . ðáp s :  ∨ 7.  .    y = 9 y = 4  x x + y y = 35       x  y 7  x = 4 x = 9 + = +1    8.  y (chú ý ñi u ki n x, y > 0). ðáp s :  ∨ x .    xy  y = 9 y = 4  x xy + y xy = 78         ( )  x = 8  x = 64 2 2 3 3  2(x + y) = 3 x y + xy   . ðáp s :  ∨ 9.  3 .    x+3y=6  y = 64  y = 8         x + y + z2 = 8 2 2  8 8 10. Cho x, y, z là nghi m c a h phương trình  . Ch ng minh − ≤ x, y, z ≤ .   xy + yz + zx = 4 3 3   HƯ NG D N GI I  x 2 + y 2 = 8 − z2  (x + y)2 − 2xy = 8 − z2   H phương trình ⇔  ⇔    xy + z(x + y) = 4  xy + z(x + y) = 4      (x + y)2 − 2[4 − z(x + y)] = 8 − z2  (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 − 16) = 0   ⇔ ⇔    xy + z(x + y) = 4  xy + z(x + y) = 4      x + y = 4 − z  x + y = −4 − z   ⇔ ∨ .   2  xy = (z + 2)2  xy = (z − 2)     Do x, y, z là nghi m c a h nên:  (4 − z)2 ≥ 4(z − 2)2 8 8 (x + y) ≥ 4xy ⇔  2 ⇔− ≤z≤ . 2 2  (−4 − z) ≥ 4(z + 2) 3 3 8 8 ð i vai trò x, y, z ta ñư c − ≤ x, y, z ≤ . 3 3  x = 1   x y  1  1 1    +   =       2. 11.  16   16  2 . ðáp s :      1 y =  x + y = 1      2 2 sin π(x + y)  =1 12.  2   2(x + y2 ) = 1   HƯ NG D N GI I Cách 1:  2sin π(x + y) = 1  sin π(x + y) = 0 x + y ∈ Z (1)     ⇔ 2 ⇔ 2 2   2 2 2  2(x + y ) = 1  2(x + y ) = 1  2(x + y ) = 1 (2)        2  x ≤ 1 − 2 ≤ x ≤ 2    1   2⇒ 2 2 ⇒ − 2 ≤ x+y ≤ 2. (2) ⇔ x 2 + y2 = ⇒  2  1 2 2 2 y ≤ − ≤y≤    2  2   2 x + y = 0 (1) ⇒  th vào (2) ñ gi i.  x + y = ±1 5 Trang
ThS. ðoàn Vương Nguyên Cách 2: ð t S = x + y, P = xy. H tr thành:  2sin Sπ = 1 S ∈ Z    ⇔ . 2   4P = 2S2 − 1  2(S − 2P) = 1     2 T ñi u ki n S ≥ 4P ta suy ra k t qu tương t .     x = 1 x = −1 x = 1 x = −1         H có 4 nghi m phân bi t  2 ∨ 2 ∨ 2 ∨ 2.      1 1 1 1 y = y = − y = − y =      2 2 2     2 Tìm ñi u ki n c a m ñ các h phương trình th a yêu c u  x 2 + xy + y2 = m + 6  1. Tìm m ñ h phương trình  có nghi m th c duy nh t.   2x + xy + 2y = m   HƯ NG D N GI I H có nghi m duy nh t suy ra x = y, h tr thành:  3x 2 = m + 6  3x 2 − 6 = m  m = −3    ⇔ 2 ⇒  . 2  2    m = 21  x + 4x = m  x + 4x = 3x − 6    x 2 + xy + y2 = 3   (x + y)2 − xy = 3   ⇔ + m = – 3:    2(x + y) + xy = −3  2(x + y) + xy = −3        x + y = 0  x + y = −2  x = − 3  x = −1   x = 3    ⇔ ∨ ∨ ⇔ ∨ (lo i).     xy = −3  xy = 1 y = − 3 y = 3  y = −1              x + xy + y = 27  2 2 2   (x + y) − xy = 27 + m = 21:  ⇔    2x + xy + 2y = 21  2(x + y) + xy = 21      x + y = −8  x + y = 6 x = 3    ⇔ ∨ ⇔ (nh n).     xy = 37  xy = 9 y = 3       V y m = 21.  x + xy + y = m + 1  2. Tìm m ñ h phương trình:  2 có nghi m th c x > 0, y > 0.   x y + xy2 = m   HƯ NG D N GI I  x + xy + y = m + 1  (x + y) + xy = m + 1 x + y = 1 x + y = m      ⇔ ⇔ ∨ . 2    2  x y + xy = m  xy(x + y) = m  xy = m  xy = 1         m > 0  1 H có nghi m th c dương ⇔  ⇔ 0 < m ≤ ∨m ≥ 2.  2  1 ≥ 4m ∨ m ≥ 4 4   1 V y0
ThS. ðoàn Vương Nguyên  x+ y=m   3. Tìm m ñ h phương trình  có nghi m th c.   x + y − xy = m   HƯ NG D N GI I  x+ y=m   x+ y=m      x+ y=m    ⇔ ⇔ .  2  xy = m − m 2 ( )  x + y − xy = m  x + y − 3 xy = m           3 2 m −m Suy ra x, y là nghi m (không âm) c a phương trình t2 − mt + = 0 (*). 3 2 /   ∆ ≥ 0  m − 4m ≤ 0 m = 0     ⇔  H có nghi m ⇔ (*) có 2 nghi m không âm ⇔  S ≥ 0 ⇔  m ≥ 0 .  2  1 ≤ m ≤ 4 P ≥ 0 m − m ≥ 0       V y m = 0 ∨1 ≤ m ≤ 4.  x 2 + y2 = 2(1 + m)  4. Tìm m ñ h phương trình  có ñúng 2 nghi m th c phân bi t.   (x + y)2 = 4   HƯ NG D N GI I  x 2 + y2 = 2(1 + m)  (x + y)2 − 2xy = 2(1 + m)  xy = 1 − m  xy = 1 − m      ⇔ ⇔ ∨ .     2 2 (x + y) = 4  (x + y) = 4 x + y = 2  x + y = −2         2 H có ñúng 2 nghi m th c phân bi t khi ( ±2 ) = 4(1 − m) ⇔ m = 0 .  x + y = 2m − 1  5. Cho x, y là nghi m c a h phương trình  2 . Tìm m ñ P = xy nh nh t.   x + y2 = m2 + 2m − 3   HƯ NG D N GI I ð t S = x + y, P = xy , ñi u ki n S2 ≥ 4P.    x + y = 2m − 1  S = 2m − 1  ⇔ 2 2   x + y2 = m2 + 2m − 3  S − 2P = m2 + 2m − 3       S = 2m − 1    S = 2m − 1   ⇔ ⇔  P = 3 m2 − 3m + 2  (2m − 1)2 − 2P = m2 + 2m − 3      2 4− 2 4+ 2 T ñi u ki n suy ra (2m − 1)2 ≥ 6m2 − 12m + 8 ⇔ ≤m≤ . 2 2 3 4− 2 4+ 2 Xét hàm s f(m) = m2 − 3m + 2, ≤m≤ . 2 2 2  4 − 2  11 − 6 2  4− 2 4 + 2 Ta có min f(m) = f  , ∀m ∈   =  ; 2 2    4 2    11 − 6 2 4− 2 V y min P = ⇔m= . 4 2 7 Trang

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.