Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Toán 9

Chia sẻ: Khánh Thành | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm này tác giả chú trọng đến phần kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình. Xây dựng được cơ sở lý thuyết cơ bản, bổ sung các kiến thức liên quan. Hướng dẫn các em học sinh cách nhận biết, phân loại các dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải một cách nhanh chóng, hiệu quả. Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Toán 9

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9” Quảng Bình, tháng 11 năm 2017 Trang 1
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9” Họ và tên: Phạm Thị Thà Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Mỹ Thủy Trang 2
Quảng Bình, tháng 11 năm 2017 1. PHẦN MỞ ĐẦU 1.1. Lí do chọn đề tài: Toán học là môn khoa học cơ bản, đã rất quen thuộc với các em học sinh ngay từ tiểu học, song việc dạy tốt và học tốt môn Toán học đang là yêu cầu và mong muốn của toàn xã hội, nó góp phần hình thành nhân cách và là cơ sở khoa học để học tập, lao động và tạo ra của cải vật chất cho xã hội. Như chúng ta đã biết, Toán học là một ngành, một môn học đòi hỏi tính suy luận và trí thông minh cao, nó nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữ của vũ trụ” hay như nhà bác học Carl Friedrich Gauβ đã nói, “Toán học là nữ hoàng của các môn khoa học”. Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng không có Toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả. Do đó môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Tuy nhiên, qua quan sát việc học môn Toán của học sinh nhìn chung vẫn còn bị hạn chế, không ít em sợ Toán, coi việc học Toán là một công việc nặng nhọc, căng thẳng. Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầm quan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực, sáng tạo trong quá trình giải toán; cũng có thể do nội dung môn Toán khô khan, phương pháp dạy của giáo viên chưa thật sự hấp dẫn, cũng như chưa tạo ra bầu không khí tích cực trong các nhóm học sinh khi học Toán. Đặc biệt trong chương trình Toán lớp 9 có dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình”. Đây là một loại toán có rất nhiều dạng, phong phú về bài tập và đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều. Ngoài ra, còn phải biết tìm mối liên hệ, gắn kết các dữ kiện đưa ra trong bài để đưa ra cách giải hợp lý, ngắn gọn và chính xác nhất. Dung lượng bài tập nhiều và phức tạp vì vậy việc vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài tập của học sinh phải ở mức độ cao hơn. Do đó cần phải tìm ra một phương pháp giải bài tập phù hợp với trình độ năng lực của học sinh. Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc giúp học sinh đi từ lý thuyết đến thực hành rất quan trọng, sẽ giúp ích cho học sinh áp dụng vào cuộc sống. Ngoài ra, Trang 3
trong quá trình dạy học nên tìm cách tạo ra hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức và vận dụng vào từng dạng bài tập một cách tích cực và hiệu quả nhất để giúp học sinh không chỉ học tốt phần này mà nó còn kích thích tính hứng thú học tập để các em học tốt các phần tiếp theo. Hiện nay đã có các tài liệu đưa ra được phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình. Tuy nhiên để phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh cần triển khai áp dụng một cách cụ thể chi tiết hơn. Từ những lí do đó tôi mạnh dạn đưa ra những ý kiến, kinh nghiệm của bản thân mình về “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình Toán 9”. 1.2. Điểm mới của đề tài: Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chú trọng đến phần kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình. Một mặt xây dựng được cơ sở lý thuyết cơ bản, bổ sung các kiến thức liên quan. Mặt khác tôi hướng dẫn các em học sinh cách nhận biết, phân loại các dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải một cách nhanh chóng, hiệu quả. Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp. Với phương pháp này sẽ giúp các em học sinh có hứng thú với môn học, nhất là học sinh yếu, rèn luyện tính tư duy, lập luận lô gic cho các em. 1.3. Phạm vi áp dụng của đề tài: Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình” trong chương trình môn Toán 9. Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở tại đơn vị tôi đang công tác. Giáo viên dạy Toán 9 THCS. Trang 4
2. NỘI DUNG 2.1. Thực trạng nội dung cần nghiên cứu: “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng toán lập phương trình cơ bản mà ở lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9. Thế nhưng h ầu hết các em học sinh ở lớp 9 đều rất ngại khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình vì các em thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung. Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập. Vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình hệ phương trình. Mà đây là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kỳ II của lớp 9. Nhưng đại đa số học sinh không làm được bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý. Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những đề toán khác thì lại không giải được. Đó cũng là do một số giáo viên chỉ sửa bài tập cho học sinh trong những giờ học trên lớp mà chưa chú ý đến việc giảng dạy cho học sinh các kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình. Giải bài toán bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời thành phương trình ứng với bài toán đã cho. Muốn vậy học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số. Ngôn ngữ đại Trang 5
số đó là thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học. Vì nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán 9. Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Toán 9”, tôi tiến hành khảo sát 2 lớp 9A, 9B của Trường THCS nơi bản thân tôi đang công tác trong năm học 2015 – 2016 dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình. Kết quả như sau: Số bài Giỏi Khá T. Bình Yếu Kém Lớp KT SL % SL % SL % SL % SL % 9A 35 4 11,4 6 17,1 14 40,0 10 28,6 1 2,9 9B 35 3 8,6 7 20,0 13 37,1 10 28,6 2 5,7 Qua kết quả kiểm tra cho thấy tỉ lệ học sinh đạt điểm khá, giỏi còn thấp. Học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên chưa cao. Trong lúc đó tỉ lệ học sinh điểm yếu, kém còn nhiều. Qua thực tế giảng dạy và kết quả kiểm tra của học sinh tôi thấy kỹ năng làm bài của học sinh còn sai sót nhiều dẫn đến kết quả làm bài điểm còn thấp. Do vậy để các em học sinh nắm bắt được kiến thức, kỹ năng cơ bản của chương trình và vận dụng vào giải bài tập. Tôi đã đưa ra một số dạng bài tập cơ Trang 6
bản ứng với lí thuyết đã học, để rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Toán 9. Tạo cho các em có thêm hứng thú với môn học. 2.2. Các giải pháp thực hiện: 2.2.1. Yêu cầu về giải một bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình. Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như sau: * Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình): Chọn ẩn số (đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết; Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. * Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình). * Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương trình) nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình (hệ phương trình) chính xác thì mới có được kết quả của bài toán đã ra. Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cả giáo viên và học sinh cần chú ý : + Đọc kĩ đề bài, nhận dạng và tóm tắt bài toán (sơ đồ, lập bảng) để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị nếu cần. + Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện của ẩn phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế. + Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được. + Khi đã lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương trình (hệ phương trình) đã học để tìm nghiệm của phương trình (hệ phương trình). + Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trình) với điều kiện của ẩn để trả lời. 2.2.2. Phân loại dạng toán và bổ sung kiến thức cần thiết cho các dạng toán đó. 2.2.2.1. Có thể phân loại thành 6 dạng toán thường gặp như sau: Trang 7
Dạng toán về chuyển động. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng. Dạng toán về năng suất lao động. Dạng toán tìm số. Dạng toán có liên quan hình học. Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học. 2.2.2.2. Các kiến thức cần thiết: a. Dạng toán về chuyển động: + Vận tốc chuyển động của một vật là v, thời gian chuyển động là t, quãng S S đường là S. Công thức biểu thị: S = v.t ; v = ; t = . t v + Đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy: vxuôi = vThực + v dòng nước vngược = vThực v dòng nước v dòng nước = (vxuôi vngược ) : 2 b. Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng: + Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc và thời gian. + Năng suất lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc được A A hoàn thành là A. Công thức biểu thị: A = n.t ; t = ; n = . n t + Toàn bộ công việc được coi là 1. c. Dạng toán tìm số: + Công thức mối liên hệ phụ thuộc giữa số bị chia a, số chia b, thương q và số dư r là: a = b.q + r (0 r
+ Một vật có khối lượng là m, thể tích là V và khối lượng riêng là D. Công m m thức biểu thị: m = D.V ; D = ; V= . V D 2.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình) cho học sinh thông qua các dạng toán. 2.2.3.1. Dạng toán chuyển động: a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãng đường. (Lưu ý phải thống nhất đơn vị). Chọn ẩn và điều kiện thích hợp cho ẩn. Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau: Đại Vận tốc Thời gian Quãng đường lượng (km/h) (h) (km) Các đối tượng Đối tượng 1 Đối tượng 2 b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một xe khách đi hết 2 giờ. Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của xe khách là 17km/h. Tính vận tốc của ca nô?. * Hướng dẫn giải : Cách 1: Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán: Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường Phương tiện (km/h) (h) (km) 1 10 10 Ca nô x 3 = x 3 3 3 Xe khách x + 17 2 2.(x + 17) 10 Phương trình lập được: 2(x + 17) − = 10 3 * Giải: 1 10 Đổi 3 = 3 3 Gọi vận tốc của ca nô là: x (km/h), x > 0 Vận tốc của xe khách là: x +17 (km/h) Trang 9
10 Đường sông từ A đến B dài là: x (km) 3 Đường bộ từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km) Theo bài ra ta có phương trình: 10 2(x + 17) − = 10 3 � 6(x + 17) − 10x = 30 � −4x = −72 � x = 18 x = 18 (thoả mãn điều kiện). Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h. Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > 0 Ta có bảng sau: Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường Phương tiện (km/h) (h) (km) 10 3x 10 Ca nô x: = x 3 10 3 x + 10 Xe khách 2 x + 10 2 Ta có phương trình: x + 10 3x − = 17 � x = 60 (thoả mãn điều kiện) 2 10 3.60 Vậy vận tốc của ca nô là: = 18 (km/h) 10 Cách 3: Lập hệ phương trình: Gọi vận tốc của ca nô là x (km), x > 0 Vận tốc của xe khách là y(km), y > 0 Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Đại Vận tốc Thời gian Quãng đường lượng (km/h) (h) (km) Phương tiện x 10 10 Ca nô x 3 3 Xe khách y 2 2y y − x = 17 Từ đó có hệ phương trình: 10 2y − x = 10 3 Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời. Trang 10
Bài toán 2: (Bài 47. SGK Toán 9/Trang 58) Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3km nên bác Hiệp đến sớm hơn cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người? * Hướng dẫn giải. Cách 1: + Nếu gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), ta có thể hướng dẫn học theo bảng sau: Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường Đối tượng (km/h) (h) (km) 30 Bác Hiệp x 30 x 30 Cô Liên x – 3 30 x −3 30 30 1 Phương trình lập được: − = x −3 x 2 * Giải : Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h), x > 3. Khi đó, vận tốc xe của cô Liên là: x – 3 (km/h). 30 Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là: (giờ) x 30 Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: (giờ) x −3 Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: 30 30 1 − = x −3 x 2 Giải phương trình: x(x3) =60x – 60x + 180 hay x2 – 3x – 180 = 0 Δ = 9 + 720 = 729 > 0; Δ = 729 = 27 Nên phương trình có hai nghiệm: 3 + 27 3 − 27 x1 = = 15 (TMĐK), x1 = = −12 (loại). 2 2 Vậy: Vận tốc xe của bác Hiệp là 15km/h. Vận tốc xe của cô Liên là 15 – 3 = 12 (km/h). Cách 2: Lập hệ phương trình: Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x > 3 Vận tốc xe của cô Liên là y(km/h), y > 0 Trang 11
Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường Đối tượng (km/h) (h) (km) 30 Bác Hiệp x 30 x 30 Cô Liên y 30 y x−y=3 Từ đó có hệ phương trình: 30 30 1 − = y x 2 Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời. Bài toán 3: (Bài 3. Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán/Tr62 – Trần Lưu Thịnh) Một ô tô đi quãng đường AB dài 80km trong một thời gian đã dự định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn 15km/h. Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường AB? * Hướng dẫn giải. Cách 1: Chọn ẩn gián tiếp + Nếu gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h). GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau : Đại Vận tốc Thời gian Quãng đường lượng (km/h) (h) (km) Đối tượng x 80 Dự định 80 x ¾ quãng x + 10 60 60 đường x + 10 Thực hiện ¼ quãng x – 15 20 20 đường x − 15 60 20 80 Phương trình lập được: + = x + 10 x − 15 x * Giải: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), x > 15. 80 Thời gian ô tô dự định đi là: (giờ) x 3 Đoạn đường ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 80. = 60 (km) 4 Trang 12
60 Thời gian ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: (giờ) x + 10 Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc x – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km) 20 Thời gian ô tô đi với vận tốc x 15 (km/h) là: (km). x − 15 Theo bài ra, ta có phương trình: 60 20 80 + = x + 10 x − 15 x 3 1 4 � + = x + 10 x − 15 x � 3x − 45x + x + 10x = 4x − 20x − 600 2 2 2 � −15x = −600 � x = 40 x = 40 (thỏa mãn điều kiện). Vậy vận tốc dự định của ô tô là: 40 (km/h). 80 Do đó thời gian để ô tô đi hết quãng đường là: = 2 (giờ). 40 Cách 2: Chọn ẩn trực tiếp + Nếu gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ). Thì thời gian của ô tô dự định đi hết quãng đường AB là t (giờ). GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau: Đại lượng Vận tốc Thời gian Quãng đường Đối tượng (km/h) (h) (km) 80 Dự định t 80 t 60 80 ¾ quãng đường + 10 80 60 t + 10 t Thực hiện 20 80 ¼ quãng đường – 15 80 20 t − 15 t * Giải: Gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ), t >0. Khi đó, thời gian ô tô dự định đi là: t (giờ) 80 Vận tốc ô tô dự định đi là: (km/h) t 80 3 Đoạn đường ô tô đi với vận tốc + 10 (km/h) là: 80. = 60 (km) t 4 Trang 13
60 80 Thời gian ô tô đi với vận tốc + 10 (km/h) là: 80 (giờ) t + 10 t 80 Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km) t 20 80 Thời gian ô tô đi với vận tốc – 15 (km/h) là: 80 (km). t − 15 t Theo bài ra, ta có phương trình: 60 20 + =t 80 80 + 10 − 15 t t 60 20 � + =t 80 80 + 10 − 15 t t 60t 20t � + =t 80 + 10t 80 − 15t 60 20 16 � + = 1 (t � ) 80 + 10t 80 − 15t 3 � 60(80 − 15t) + 20(80 + 10t) = (80 + 10t)(80 − 15t) � 4800 − 900t + 1600 + 200t = 6400 − 12000t + 800t − 150t 2 � 150t 2 − 300t = 0 � 150t(t − 2) = 0 t=0 t=2 Với t = 0 (không thỏa mãn điều kiện); t = 2 (thỏa mãn điều kiện). Vậy thời gian để ô tô đi hết quãng đường là 2 giờ. * Như vậy, qua bài toán trên ta thấy: Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình đa số chúng ta thường chọn trực tiếp đại lượng chưa biết làm ẩn. Nhưng đôi khi việc chọn đại lượng chưa biết làm ẩn làm cho việc giải bài toán trở nên phức tạp hơn. Vì vậy, tùy theo bài toán đưa ra ta có thể chọn ẩn một cách gián tiếp thông qua một đại lượng khác. 2.2.3.2. Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng: “ làm chung làm riêng ”, “vòi nước chảy” (toán quy về đơn vị) a/ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Hướng dẫn học sinh có thể lập bảng như sau: Đại lượng Thời gian làm Năng suất Công việc xong 1 công việc Đối tượng Trang 14
Đội I (Vòi 1) ... Đội II (Vòi 2) ... Cả 2 đội (2 vòi) ... b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: (Bài 33. SGK Toán 9/Trang 24) Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu? * Hướng dẫn giải: Đại lượng Số giờ để hoàn Tổng khối lượng Năng suất Đối tượng thành công việc công việc 1 Người 1 x 1 x 1 Người 2. y 1 y 1 Cả 2 người 16 1 16 * Giải: Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là: x giờ (x >16) Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là: y giờ (y >16) 1 Trong 1 giờ người thứ nhất làm được: (công việc) x 1 Trong 1 giờ người thứ hai làm được: (công việc) y 1 Trong 1 giờ cả hai người làm được: (công việc) 16 Vì hai người cùng làm chung trong 16 giờ thì xong việc nên ta có phương trình: 1 1 1 + = (1) x y 16 Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì chỉ hoàn thành 25% công việc nên ta có phương trình: 3 6 1 1 + = (2) (25% = ) x y 4 4 1 1 1 + = x y 16 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: (I) 3 6 1 + = x y 4 Trang 15
Giải hệ phương trình (I): 1 1 = x 24 x = 24 (I) � � �� 1 1 y = 48 = y 48 Ta thấy x = 24 (TMĐK) và y = 48 (TMĐK). Vậy thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ. Thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 48 giờ. Bài toán 2: (Bài 32. SGK Toán 9/Trang 23) 4 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 4 5 giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vì thứ 6 hai thì sau giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 5 bao lâu mới đầy bể? * Hướng dẫn giải : Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0) Thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0) Ta có bảng sau: Đại lượng Số giờ để Lượng nước Tổng khối lượng nước chảy trong 1 giờ công việc Đối tượng đầy bể 1 Vòi 1 x 1 x 1 Vòi 2 y 1 y 1 5 4 24 = Cả 2 vòi 4 = 24 24 1 5 5 5 4 24 * Giải: Đổi 4 = 5 5 Gọi thời gian để một mình vòi thứ nhất chảy đầy bể là: x giờ (x >0) Thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là: y giờ (y >0) 1 Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: (bể) x 1 Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được: (bể) y Trang 16
1 5 = Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được: 24 24 (bể). 5 4 Vì hai vòi cùng chảy thì bể đầy trong 4 giờ nên ta có phương trình: 5 1 1 5 + = (1) x y 24 Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vì thứ hai thì sau 6 giờ nữa mới đầy bể nên ta có phương trình: 5 9 6 1 1 + ( + ) = 1 (2) x 5 x y 1 1 5 + = x y 24 Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: (I) 9 6 1 1 + ( + ) =1 x 5 x y Giải hệ phương trình (I): 1 1 5 1 1 5 + = + = �x y 24 �x y 24 x = 12 (I) � � �� 9 + 6 . 5 = 1 � 9 + 1 = 1 y =8 �x 5 24 �x 4 Ta thấy x = 12 (TMĐK) và y = 8 (TMĐK). Vậy thời gian để một mình vòi thứ hai chảy đầy bể là 8 giờ. 2.2.3.3. Dạng toán về năng suất lao động: a/ Hướng dẫn tìm lời giải: + Tiến hành chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn: + Đối với dạng toán thông thường khác hướng dẫn học sinh theo bảng sau: Các đại lượng Thời gian thực Khối lượng Năng suất hiện toàn bộ công việc Các trường hợp công việc Đội 1 Trường hợp 1 Đội 2 Đội 1 Trường hợp 2 Đội 2 b/ Bài toán minh hoạ: (Bài 2. Ôn tập môn Toán lớp 9/T50 Bùi Văn Tuyên) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kỹ thuật nên khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 15 sản phẩm/ngày, do đó chẳng những tổ đã hoàn thành công việc Trang 17
sớm hơn 1 ngày mà còn làm thêm được 15 sản phẩm nữa. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày tổ phải làm bao nhiêu sản phẩm ? * Hướng dẫn giải: + Chọn ẩn: x là số sản phẩm phải làm mỗi ngày theo kế hoạch (x
b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: (Ví dụ 1. SGK Toán 9/Trang 20) Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị. * Hướng dẫn giải: Bài toán tìm số có hai chữ số thực chất là bài toán tìm hai chữ số (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị). Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab = 10a + b Biết chữ số hàng chục tìm chữ số hàng đơn vị. Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số ba , tìm mối liên hệ giữa số mới và số cũ. Chú ý điều kiện của các chữ số. * Giải: Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là: a (0
Gọi số thứ nhất là: x ( x > 0, x N ). Số tự nhiên thứ hai là: x +1. Tích của hai số này là: x(x+1) = x2 + x Tổng của chúng là: x + (x+1) = 2x + 1 Vì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng là 109 nên ta có phương trình: x2 + x – (2x + 1) =109 � x 2 − x − 110 = 0 Giải phương trình: Δ = 1 + 440 = 441 > 0 ; Δ = 441 = 21 . Nên phương trình có hai nghiệm: 1 + 21 1 − 21 x1 = = 11 (TMĐK), x1 = = −10 (loại). 2 2 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm là: 11 và 12. 2.2.3.5. Dạng toán liên quan đến hình học. a/ Hướng dẫn tìm lời giải: + Chọn ẩn và điều kiện cho ẩn. + Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giải thông qua bảng sau: Đại lượng Mối liên hệ Đại lượng 1 Đại lượng 2 giữa các đại Các trường hợp lượng (Các đối tượng) Ban đầu Về sau b/ Bài toán minh hoạ: Bài toán 1: (Câu 3. Đề KT HKII Năm học: 2014 2015 của Sở GD&ĐT Quảng Bình) Tìm chiều dài của hình chữ nhật? Biết độ dài đường chéo của hình chữ nhật là 10 cm và chiều dài hơn chiều rộng là 2 cm. * Hướng dẫn học sinh giải: Cần cho học sinh hiểu độ dài đường chéo của hình chữ nhật chính là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật. Nhắc lại định lý Py – ta – go ? Tìm mối liên hệ giữa chiều dài, chiều rộng và đường chéo của hình chữ nhật để lập phương trình. + Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m), 2