Các toán tử trong cơ học lượng từ
lượt xem 36
download
Hóa học lượng từ được phát triển từ cơ lượng tử. Trong cơ học lượng tử, có thể nói, nhìn chỗ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tính vật lý được đặc trưng bởi một toán tử
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Các toán tử trong cơ học lượng từ
- Các toán t trong cơ h c lư ng t Lý Lê Ngày 20 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hóa h c lư ng t đư c phát tri n t cơ h c lư ng t . Trong cơ h c lư ng t , có th nói, nhìn ch nào chúng ta cũng th y toán t vì m i thu c tính v t lí đư c đ c trưng b i m t toán t . Vì v y, hi u rõ khái ni m toán t cũng như nh ng tính ch t c a toán t là m t trong nh ng yêu c u cơ b n nh t đ i ngư i h c lư ng t . 1 Các khái ni m 1.1 Toán t Chúng ta b t đ u b ng vi c vi t l i phương trình Schr¨dinger không ph o thu c th i gian cho h m t h t trong không gian m t chi u 2 d2 ψ (x) − + V (x)ψ (x) = Eψ (x) (1) 2m dx2 hay 2 d2 − + V (x) ψ (x) = Eψ (x) (2) 2m dx2 2 d2 − Bi u th c trong d u móc vuông + V (x) đư c g i là toán t 2m dx2 (operator). Nó tác d ng lên hàm ψ (x) cho ta hàm Eψ (x). Như v y, toán t là m t qui lu t mà nh đó t m t hàm s cho trư c ta có th tìm đư c m t hàm s m i. Af (x) = g (x) (3) Trong đó, A đư c g i là toán t . Hai hàm s f (x) và g (x) không nh t thi t ph i khác nhau, chúng có th gi ng nhau. Ví d : G i D là toán t đ o hàm b c nh t theo x d d D= hay Df (x) = f (x) = f (x) dx dx 1
- N u f (x) = x2 + 3ex , thì ta có Df (x) = f (x) = 2x + 3ex Tương t , n u 3 là toán t nhân m t hàm s v i 3, thì ta có 3f (x) = 3(x2 + 3ex ) = 3x2 + 9ex 1.2 T ng c a hai toán t T ng c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau (A + B )f (x) = Af (x) + B f (x) (4) Ví d : Toán t C đư c xác đ nh b i d C =x+ dx Tìm C f (x) n u f (x) = a sin(bx). Ta có d d (x + )a sin(bx) = xa sin(bx) + [a sin(bx)] = ax sin(bx) + ab cos(bx) dx dx 1.3 Tích c a hai toán t Tích c a hai toán t A và B đư c xác đ nh như sau AB f (x) = A[B f (x)] (5) d . Tìm C f (x) n u f (x) = (x2 + 3ex ). Ví d : Cho C = x dx Ta có d d x (x2 + 3ex ) = x[ (x2 + 3ex )] = x(2x + 3ex ) = 2x2 + 3xex (6) dx dx d Thông thư ng, AB = B A. Ví d , xét hai toán t D = và x = x. Ta dx có Dxf (x) = D[xf (x)] = f (x) + xf (x) (7) Trong khi đó xDf (x) = x[Df (x)] = xf (x) (8) Chúng ta nói hai toán t b ng nhau, A = B , n u Af (x) = B f (x) v i m i hàm f (x). Ví d , t phương trình (7), ta có d Dxf (x) = f (x) + x f (x) = (1 + xD)f (x) (9) dx Như v y Dx = (1 + xD) = (1 + xD) (10) Toán t 1 (nhân v i 1) đư c g i là toán t đơn v . Chúng ta thư ng không ghi d u mũ lên các toán t là h ng s . 2
- 1.4 Toán t tuy n tính Toán t A đư c g i là toán t tuy n tính n u nó th a các đi u ki n sau A[f (x) + g (x)] = Af (x) + Ag (x) (11) Acf (x) = cAf (x) (12) trong đó f và g là nh ng hàm b t kì, còn c là h ng s . Ví d , toán t đ o hàm là toán t tuy n tính nhưng toán t căn b c hai thì không tuy n tính. Th t v y, ta có D[f (x) + g (x)] = Df (x) + Df (x) = f (x) + g (x) D[cf (x)] = cDf (x) = cf (x) Trong khi đó f (x) + g (x) = f (x) + g (x) N u A, B và C là nh ng toán t tuy n tính, thì (A + B )C = AC + B C (13) Đ ch ng minh (13), ta ph i ch ng minh (A + B )C và AC + B C cho cùng m t k t qu khi đư c áp d ng lên m t hàm f (x) tùy ý. Nghĩa là [(A + B )C ]f (x) = (AC + B C )f (x) Ta xét v ph i [(A + B )C ]f (x) = (A + B )(C f (x)) = (A + B )g (x) = Ag (x) + B g (x) Ti p theo, ta xét v trái (AC +B C )f (x) = AC f (x)+B C f (x) = A(C f (x))+B (C f (x)) = Ag (x)+B g (x) Như v y [(A + B )C ]f (x) = (AC + B C )f (x) = Ag (x) + B g (x) Tương t , ta có A( B + C ) = AB + AC (14) Ví d : Tính (D + x)2 Cách 1 (D + x)2 = (D + x)(D + x) = D(D + x) + x(D + x) = D D + D x + xD + xx = D 2 + xD + 1 + xD + x2 = D 2 + 2 xD + x2 + 1 3
- Cách 2 (D + x)2 f = (D + x)[(D + x)f = (D + x)(f + xf ) = D(f + xf ) + x(f + xf ) = Df + D(xf ) + xf + x2 f = D2 f + xDf + f Dx + xf + x2 f = D 2 f + xD f + f + xD f + x2 f = (D2 + 2xD + x2 + 1)f ⇒ (D + x)2 = D2 + 2xD + x2 + 1 2 Tính ch t c a toán t 2.1 Phép nhân các toán t Phép nhân các toán t tuân theo lu t k t h p A(B C ) = (AB )C (15) Ví d : Đ t A = D; B = x; C = 3, ta có AB f = Dxf = (1 + xD)f Vy (AB )C f = (1 + xD)3f = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f suy ra (AB )C = 3 + 3xD M t khác, ta có (B C )f = 3xf = 3xf Vy A(B C )f = D(3xf ) = 3f + 3xf = (3 + 3xD)f hay A(B C ) = 3 + 3xD = (AB )C v y phù h p v i (15). 2.2 Các toán t giao hoán Hai toán t A và B đư c g i là giao hoán (commute) v i nhau n u AB − B A = 0 AB = B A hay Hi u AB − B A đư c kí hi u là [A, B ] và đư c g i là phép giao hoán (commutator ). N u A và B không giao hoán v i nhau thì AB = −B A. Th t v y, ta có [A, B ] = AB − B A = −(B A − AB ) = −[B , A] (16) 4
- 1: Tính [3, D]. Ta có Ví d [3, D]f = 3Df − D3f = 3Df − 3Df = 0 Như v y, 3 và D là hai toán t giao hoán. Ví d 2: Tính [D, x2 ]; [x2 , D] [D, x2 ]f = Dx2 f − x2 Df = 2xf + x2 Df − x2 Df = 2xf ⇒ [D, x2 ] = 2x [x2 , D]f = x2 Df − Dx2 f = x2 Df − 2xf − x2 Df = −2xf ⇒ [x2 , D] = −2x Như v y, x2 và D không giao hoán v i nhau. Ta th y [D, x2 ] = −[x2 , D], phù h p v i (16). N u A, B là nh ng toán t tuy n tính và k là h ng s , ta có [A, k B ] = [k A, B ] = k [A, B ] (17) Th t v y [A, k B ] = A(k B ) − k B A = k AB − k B A (18) Do đó [A, k B ] = k AB − k B A = k (AB − B A) = k [A, B ] (19) Tương t [k A, B ] = k AB − B (k A) = k AB − k B A = k (AB − B A) = k [A, B ] (20) T (19) và (20), ta có [A, k B ] = [k A, B ] = k [A, B ] (21) 2.3 M t s phép giao hoán quan tr ng 2.3.1 Công th c 1: [A, B C ] = [A, B ]C + B [A, C ] (22) Ch ng minh: [A, B ]C + B [A, C ] = (AB − B A)C + B (AC − C A) = AB C − B AC + B AC − B C A = AB C − B C A = A(B C ) − (B C )A = [A, B C ] 5
- 2.3.2 Công th c 2: [AB , C ] = A[B , C ] + [A, C ]B (23) Ch ng minh: Ta có th ch ng minh tương t như trên ho c theo cách sau. Ta có [AB , C ] = (AB )C − C (AB ) = (AB )C − C (AB ) + (AC )B − A(C B ) = (AB )C − A(C B ) + (AC )B − C (AB ) = A(B C ) − A(C B ) + (AC )B − (C A)B = A(B C − C B ) + (AC − C A)B = A[B , C ] + [A, C ]B Trong trư ng h p, B = A = C , ta có [A2 , A] = [AA, A] = A[A, A] + [A, A]A = A × 0 + 0 × A = 0 (24) Tương t [A3 , A] = [AA2 , A] = A[A2 , A] + [A, A]A2 = A2 × 0 + 0 × A = 0 (25) 2.3.3 Công th c 3: T (24) và (25), ta có [An , A] = 0 (26) Tương t [A, An ] = 0 (27) 2.3.4 Công th c 4: [A, B + C ] = [A, B ] + [A, C ] (28) Ch ng minh: [A, B + C ] = A(B + C ) − (B + C )A = AB + AC − B A − C A = (AB − B A) + (AC − C A) = [A, B ] + [A, C ] Tương t , ta có [A + B , C ] = [A, C ] + [B , C ] (29) 6
- 3 Đ c hàm và đ c tr Gi s tác d ng lên hàm f (x) b i m t toán t A, ta thu đư c k t qu là chính hàm f (x) đó nhân v i m t h ng s k . Khi đó, ta nói r ng hàm f (x) là đ c hàm (eigenfunction) c a toán t A, v i đ c tr (eigenvalue) là k . Phương trình bi u di n m i liên h gi a toán t A, đ c hàm f (x) và đ c tr k đư c g i là phương trình đ c tr (eigenvalue equation) Af (x) = kf (x) (30) Ví d 1 d 2x De2x = e = 2e2x dx ta nói e2x là đ c hàm c a toán t D v i đ c tr là 2. Phương trình đ c tr De2x = 2e2x Ví d 2 D2 sin(ax) = D[D sin(ax)] = D[a cos(ax)] = −a2 sin(ax) v y sin(ax) là đ c hàm c a toán t D2 v i đ c tr là −a2 . Ta có, phương trình đ c tr D2 sin(ax) = −a2 sin(ax) Như v y, phương trình Schr¨dinger (1) cho h m t h t trong không gian o m t chi u cũng là m t phương trình đ c tr . Sau đây, chúng ta th tìm t t c nh ng đ c hàm và đ c tr cho toán t đ o hàm D. T phương trình (30), ta có df (x) Df (x) = = kf (x) (31) dx Phương trình (31) tương đương v i df (x) = kdx (32) f (x) L y tích phân (32) ta đư c lnf (x) = kx + constant f (x) = econstant ekx vy f (x) = cekx (33) T t c nh ng hàm th a (33) là đ c hàm c a D, v i các đ c tr là k . Và n u f (x) và đ c hàm c a D, thì cf (x) cũng là đ c hàm c a D. Đi u đó cũng 7
- đúng đ i v i nh ng đ c hàm c a m i toán t tuy n tính. Th t v y, n u f (x) là đ c hàm c a A, v i đ c tr k, nghĩa là Af (x) = kf (x) và A là toán t tuy n tính, ta có A[cf (x)] = cAf (x) = ckf (x) = k [cf (x)] (34) Như v y A[cf (x)] = k [cf (x)] (35) V i m i giá tr k trong (31), chúng ta có m t đ c hàm; nh ng đ c hàm v i cùng giá tr k nhưng giá tr c khác nhau thì không đ c l p tuy n tính1 v i nhau, chúng ph thu c l n nhau. 4 M i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t Ti p theo, ta xét m i liên h gi a toán t và cơ h c lư ng t . Chúng ta so sánh phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong không gian m t chi u o 2 d2 [− + V (x)]ψ (x) = Eψ (x) 2m dx2 v i phương trình đ c tr Af (x) = kf (x) Ta th y, rõ ràng các giá tr năng lư ng E là các đ c tr ; các đ c hàm là nh ng hàm sóng ψ (x); toán t c a nh ng đ c hàm và đ c tr này là 2 d2 H=− + V (x) (36) 2m dx2 và đư c g i là toán t Hamiltonian hay toán t năng lư ng c a h . Năng lư ng c a h b ng t ng đ ng năng và th năng. Trong (36) thì 2 d2 V (x) là th năng, nên − là toán t mô t đ ng năng c a h . Theo 2m dx2 cơ h c c đi n, đ ng năng c a m t h t theo phương x đư c xác đ nh b i 1 2 Ex = mvx (37) 2 1 Hàm f1 , f2 và f3 đư c g i là đ c l p tuy n tính n u phương trình c1 f1 + c2 f2 + c3 f3 = 0 ch x y ra khi các h ng s c1 = c2 = c3 = 0. Ví d , các hàm f1 = 3x, f2 = 5x2 − x, f3 = x2 là nh ng hàm ph thu c tuy n tính, vì f1 + 3f2 − 15f3 = 0; trong khi đó, các hàm g1 = 1, g2 = 2x, g3 = x2 là nh ng hàm đ c l p tuy n tính vì ta không tìm đư c bi u th c liên h n gi a chúng. 8
- M t khác, ta có m i liên h gi a kh i lư ng m, v n t c vx và đ ng lư ng px như sau px px = mvx ⇒ vx = m Do đó, ta có p2 1 Ex = mvx = x 2 (38) 2 2m Như v y, theo cơ h c c đi n năng lư ng c a h đư c tính như sau p2 x H= + V (x) (39) 2m Phương trình (39) đư c g i là hàm Hamiltonian cho h t có kh i lư ng m di chuy n trong không gian m t chi u và ph thu c vào th năng V (x). So sánh phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian o 2 d2 − + V (x) ψ (x) = Eψ (x) 2m dx2 v i phương trình (39), ta th y hàm Hamiltonian (39) trong cơ h c c đi n đư c thay th b i toán t Hamiltonian trong cơ h c lư ng t 2 d2 p2 + V (x) ↔ x + V (x) (40) 2m dx2 2m p2 x Đ ng năng trong cơ h c c đi n cũng đư c thay th b i toán t đ ng 2m năng trong cơ h c lư ng t 2 d2 T =− 2m dx2 M i liên h gi a các đ i lư ng v t lí trong cơ h c c đi n và cơ h c lư ng t như th này là r t ph bi n. Do đó, trong cơ h c lư ng t có m t đ nh đ quan tr ng như sau: M i thu c tính v t lí như năng lư ng, đ ng lư ng, t a đ , mô- men góc . . . s có m t toán t tương ng. Các thu c tính như t a đ x, y, z và th năng V trong cơ h c lư ng t và cơ h c c đi n có d ng gi ng nhau. Nh ng thu c tính khác thì không gi ng nhau. Ví d , các thành ph n đ ng lư ng px đư c thay b ng các toán t ∂ ∂ = −i px = (41) i ∂x ∂x 1 = −i vì vi i 1 i i = −i = 2= −1 i i Nh ng thu c tính khác đư c xác đ nh b ng nh ng toán t đư c ghi trong b ng 1.1 sau 9
- B ng 1.1: Nh ng toán t thư ng đư c s d ng trong cơ h c lư ng t Thu c tính Cơ h c c đi n Cơ h c lư ng t Tađ x, y, z, r x, y, z, r Th năng V (x), V (y ), V (z ) V (x), V (y ), V (z ) Đ ng lư ng ∂ px = −i x px ∂x ∂ py = −i y py ∂y ∂ pz = −i z pz ∂z Đ ng năng p2 2 ∂2 x Tx = − x 2m ∂x2 2m p2 2 ∂2 y Ty = − y 2m ∂y 2 2m p2 2 ∂2 z Tz = − z 2m ∂z 2 2m ∂ ∂ Lz = −i (x −y ) Mô-men góc Lz ∂y ∂x Nh ng toán t khác có th đư c xây d ng t nh ng toán t đã cho trong b ng trên. Ví d , toán t p2 đư c xây d ng t px như sau x ∂2 ∂ ∂ p2 = px px = = −h2 2 (42) x i ∂x i ∂x ∂x Tương t , ta có ∂2 ∂2 p2 = −h2 p2 = −h2 (43) y z ∂y 2 ∂z 2 5 Toán t và nh ng thu c tính v t lí Xét s chuy n đ ng c a h t trong h p m t chi u đư c mô t b i hàm sóng 2 nπx ψn = sin( ) (n = 1, 2, 3, . . .) l l Ta th y ψn là đ c hàm c a toán t năng lư ng H v i đ c tr là n2 h2 E= 8ml2 Th t v y, đ i v i bài toán h t trong h p thì th năng V (x) = 0, nên ta có 2d2 H = Tx + V (x) = − 2m dx2 10
- Do đó 2 d2 n 2 h2 2 nπx 2 nπx − sin( )= sin( ) 2m dx2 8ml2 l l l l Như v y, n u th c hi n phép đo năng lư ng c a m t h t trong h p m t chi u, ta s thu đư c k t qu là đ c tr năng lư ng E c a toán t năng lư ng H . M t cách t ng quát, n u B là toán t mô t m t thu c tính v t lí B thì m i phép đo thu c tính B cho ra m t đ c tr βi c a toán t B . Đây cũng là m t đ nh đ c a cơ h c lư ng t . Ví d , n u ψi là các đ c hàm c a H , thì ta có H ψi = Ei ψi (44) Nghĩa là m i phép đo thu c tính v t lí đư c mô ta b i toán t năng lư ng H s cho ta m t giá tr Ei . N u ψi là hàm ch ph thu c t a đ , không ph thu c th i gian thì (44) là d ng t ng quát c a phương trình Schr¨dinger o không ph thu c th i gian. Ti p theo, chúng ta xét hàm tr ng thái ph thu c th i gian Ψ = Ψ(x, t) (45) N u tr ng thái c a m t h đư c mô t b i hàm sóng Ψ, thì hàm sóng Ψ đó s ch a t t c nh ng thông tin mà chúng ta c n bi t v h đó. V y Ψ s cung c p cho chúng ta nh ng thông tin gì v m t thu c tính B ? Bây gi , chúng ta gi đ nh r ng n u Ψ là đ c hàm c a B v i đ c tr βi , khi đó m t phép đo thu c tính B s cho ta giá tr βi . Ch ng h n, chúng ta xét thu c tính năng lư ng. Gi s h tr ng thái tĩnh v i hàm tr ng thái Ψ(x, t) = e−iEt/ ψ (x) (46) ta có H Ψ(x, t) = H [e−iEt/ ψ (x)] = e−iEt/ H ψ (x) (47) áp d ng H ψ (x) = Eψ (x), ta đư c H Ψ(x, t) = e−iEt/ E ψ (x) = Ee−iEt/ ψ (x) = E Ψ(x, t) vy H Ψ = EΨ (48) Do đó, tr ng thái tĩnh, Ψ(x, t) là m t đ c hàm c a H , chúng ta ch c ch n tìm đư c giá tr E khi th c hi n phép đo năng lư ng. Phương trình (48) là m t cách vi t khác c a phương trình Schr¨dinger ph thu c th i gian. o Các toán t trong cơ h c lư ng t có hai tính ch t đ c trưng quan tr ng là tuy n tính và Hermitian . Tính ch t tuy n tính c a chúng liên quan đ n nguyên lí ch ng ch t. Tính ch t Hermitian liên quan đ n k t qu th c c a phép đo m t thu c tính v t lí. Chúng ta s kh o sát kĩ hơn tính ch t này trong nh ng ph n sau. 11
- Bài t p d 1. Cho D = và hàm f (x) đư c xác đ nh b i dx f (x) = sin x + eix Hãy tính (D2 + Dx)f (x) 2. Ch ng minh [A + B , C + D] = [A, C ] + [A, D] + [B , C ] + [B , D] T đó, tính d d2 [x + , + x] dx dx2 3. Cho bi t d px = −i x=x dx Ch ng minh d [x, p2 ] = 2 2 [x, px ] = i ; x dx 4. Tìm nh ng hàm g (x) là đ c hàm c a px v i đ c tr k px g (x) = kg (x) Ch ng t r ng hàm sóng c a h t trong h p m t chi u không ph i là đ c hàm c a px . 5. Tìm nh ng hàm f (x) là đ c hàm c a p2 v i đ c tr α. Ch ng t r ng x hàm sóng c a h t trong h p m t chi u là đ c hàm c a p2 . x 12
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chương 3: Các tiên đề cơ học lượng tử
154 p | 825 | 172
-
Giáo trình Phương pháp Toán Lí - Đỗ Đình Thanh (chủ biên)
323 p | 193 | 73
-
Bài giảng Đại số 7 chương 2 bài 2: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận
19 p | 424 | 72
-
Giáo án bài So sánh các số trong phạm vi 10 000 - Toán 3 - GV.Ng.P.Hùng
5 p | 327 | 39
-
Phần 2 Các định luật trong hóa học - 2
10 p | 134 | 25
-
Bài giảng Hình học 8 chương 1 bài 10: Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước
28 p | 227 | 22
-
Toám tắt đại cương hóa học hữu cơ
2 p | 151 | 22
-
Bài giảng Toán 4 chương 1 bài 11: Bảng đơn vị đo khối lượng
13 p | 152 | 18
-
Chương 2: CÔNG CỤ TOÁN HỌC VÀ CÁC LUẬN ĐIỂM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
9 p | 140 | 17
-
Giáo án Đại số 7 chương 2 bài 4: Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch
10 p | 347 | 17
-
Tóan 1 - TIẾT 8 : CÁC SỐ 1, 2, 3, 4, 5
4 p | 207 | 10
-
Thiên nhiên vận dụng cơ học lượng tử rất hiệu quả
6 p | 81 | 8
-
Bài giảng So sánh các số trong phạm vi 10 000 - Toán 3 - GV.Ng.P.Hùng
13 p | 153 | 7
-
Giáo án môn Toán lớp 1 sách Cánh Diều - Bài 7: Số 10
3 p | 136 | 5
-
400 bài toán nâng cao vật lý 10: Phần 2
131 p | 40 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình và ứng dụng giải quyết các bài toán thực tế bằng cách lập phương trình
65 p | 7 | 5
-
Một số phương pháp cơ bản giải toán tự luận Hình học giải tích 12: Phần 2
195 p | 28 | 4
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn