zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng - Trương Văn Đại

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

382
lượt xem 60
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng của Trương Văn Đại cung cấp cho các bạn những kiến thức về nội dung ý nghĩa của định lý Viét; định lý đảo của Viét; cách giải một số dạng toán liên quan tới định lí Viét. Mời các bạn tham khảo chuyên đề để bổ sung kiến thức về định lí này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng - Trương Văn Đại

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 ĐỊNH LÍ VIÉT VÀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ : Cho phương trình bậc hai a + bx + c (a≠0) (1) . = + =− Giả sử , là hai nghiệm của (1) khi đó = . = Chứng minh : Nếu , là hai nghiệm của (1) khi đó , a + bx + c = a(x - )(x - ) a + bx + c = a - a( + )x + a . , ∀x = − a( + ) + =−   = a ( . ) . = Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÍ : Định lí viét tuy không cho ta công thức nghiệm tường minh để xác định rõ , nhưng cho ta biết được tổng + và tích . . ĐỊNH LÍ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT : + = − = Nếu thì , là hai nghiệm của phương trình -sx+P = 0 . = = MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT : I . BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài toán 1 : Tìm giá trị của một số biểu thức đối xứng Việc tìm nghiệm của một phương trình bậc hai là rất có nghĩa,tuy nhiên trong một số trường hợp , việc tìm nghiệm tường minh của một phương trình bậc hai là không đơn giản.Ví dụ như tìm nghiệm của các phương trình bậc hai có chứa tham số . Hơn nữa có nhiều bài toán ta cũng không cần thiết phải biết tường minh nghiệm của phương trình mà chỉ cần biết 1 biểu thức nào đó liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai lúc này định lí viét tỏ ra rất ý nghĩa.
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Ví dụ : Gọi , là hai nghiệm của phương trình + x – 1 = 0 . Hãy tính các biểu thức sau A= + ; B= + ; C= + ; D= + HƯỚNG DẪN GIẢI  A= + =( + ) -2 . (1) = + = − = −1 Theo viét thì thay vào (1) ta được A = 3 = . = = −1  B= + =( + ) - 3 . ( + ) (2) = + = − = −1 Theo viét thì thay vào (2) ta được B = -4 = . = = −1  C= + =( + ) -2 . (3) = + = − = −1 Theo viét thì và + = 3. = . = = −1 Thay vào (3) ta được C = 7  D= + =( + )( + ) – ( . ) ( + )+( . ) Từ các kết quả của A,B,C và định lí viét ta tính được D = -28 PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH LÍ VIÉT TÍNH CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG BÀI TOÁN : Gọi , là hai nghiệm của phương trình a + bx + c (a≠0) (1) . Tính P( , ) với P( , ) là biểu thức đối xứng theo , ( biểu thức P( , ) đgl đối xứng P( , ) = P( , ) ) Phương pháp Bước 1 : từ biểu thức đối xứng ta dùng các biến đổi sơ cấp để đưa chúng về dạng tổng hay tích của hai nghiệm , . Giả sử sau biến đổi ta thu được biểu thức (1)
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 = + =− Bước 2 : theo định lí viét thì = . = Thay vào biểu thức (1) ta sẽ tìm được giá trị của biểu thức đối xứng Chú ý : một số biểu thức đối xứng thường gặp  + =( + ) - 2 . = – 2P  + = ( + ) - 3 . ( + ) = - 3PS  + =( + ) -2 .  + =( + )( + ) – ( . ) ( + )+( . )  + = =  + = = Bài toán 2 : tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa tính chất P( , ) nào đó Trường hợp 1 : P( , ) là biểu thức đối xứng Phương pháp :  Bước 1 : tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (∆ ≥0)  Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng ban đầu về thành tổng tích của các nghiệm ,tức là : P( , ) = F( + , . ) (1) = + =−  Bước 3 : theo định lí viét thì = . = Thay vào (1) ta được : P( , ) = F( + , . ) = F(− , ) . Lúc này với việc kết hợp các bước lại với nhau ta sẽ tìm được yêu cầu của bài toán Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình - 2(m-1)x + - 3m + 4 có hai nghiệm x , x thỏa √x + √x = 2√2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0 ( − 1) - + 3m – 4 ≥ 0 Theo yêu cầu bài toán √x + √x = 2√2 (√x + √x ) = (2√2)  + + 2√x x = 8 (1) = + = − = 2( − 1) (2) Theo định lí viét thì = . = = − 3m + 4 (3) Thay (2) , (3) vào (1) ta được 2(m-1) + 2 √ − 3m + 4 = 8 √ − 3m + 4 = 5 – m ≤5  (4) − 3m + 4 = (5 – m) Giải (4) ta được m = 3 thỏa điều kiện ∆ ≥0 Vậy m = 3 là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình - 2mx + 2 - m có hai nghiệm x , x thỏa + đạt giá trị nhỏ nhất HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0  +m–2≥0 m ∈ (-∞ ; −2] ∪ [1 ; ∞ ) = + =2 Theo định lí viét = . =2− Vậy + =( + ) -2 . =4 + 2m – 4 Xét bảng biến thiên
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Giá trị nhỏ nhất của + là 2 xảy ra khi m = 1 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : Gọi ; là hai nghiệm của phương trình – (2sin - 1)x + 6(sin ) - sin – 1 = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức + HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có ∆= - 20(sin ) + 5 Phương trình (1) có hai nghiệm ∆≥0- 20(sin ) + 5≥0 - ≤ sin ≤ Với thỏa - ≤ sin ≤ thì (1) có hai nghiệm ; và = + = − = 2 sin − 1 theo định lí viét thì = . = = 6(sin ) − sin – 1  + = + =( + ) -2 . = −8(sin ) − 2 sin + 3 Bài toán trở về tìm GTLN,GTNN của hàm số −8(sin ) − 2 sin + 3 (*)  Cách 1 : dùng đạo hàm ( lớp 12)  Cách 2 : đặt t = sin , điều kiện - ≤ ≤ , khi đó (*)  -8 - 2t +3 , vì -8 < 0 nên ta có bảng biến thiên của tam thức bậc hai -8 - 2t +3 là
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN là và GTNN là 0 Trường hợp 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng Dạng 1 : P( , ) là biểu thức không đối xứng nhưng ta có thể biến đổi để đưa về dạng đối xứng Ví dụ 1 tìm điều kiện của các số thực a và k để phương trình - (3a + 2)x + = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện nghiệm này bằng k lần nghiệm kia HƯỚNG DẪN GIẢI Xét phương trình - (3a + 2)x + = 0 (1) ta có ∆ = 5 + 12a + 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆≥ 0  5 + 12a + 4 ≥0 a- Theo yêu cầu bài toán nghiệm này gấp k lần nghiệm kia khi và chỉ khi : ( -k )( -k ) = 0  . + - k( + )=0  . + - k[( + ) − 2 . ] = 0  + - k[(3 + 2) − 2 ]=0 ( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0 Vậy điều kiện cần tìm là : ( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0 với a- Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình m - (m-1)x + m – 4 = 0 có hai nghiệm x , x thỏa + =0 HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0( − 1) – 4m(m – 4) ≥ 0
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Theo yêu cầu bài toán + = 0 =- x = -x x + x = 0 (1) Theo định lí viét ta có x + x = (2) Thế (2) vào (1) ta được = 0  m = 1 thỏa điều kiện ∆ ≥0 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Dạng 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng và ta không thể biến đổi để đưa về dạng đối xứng Cụ thể :tìm điều kiện của tham số m để phương trình a + bx + c (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) có 2 nghiệm , thỏa + = Phương pháp : Bước 1 : Xác định điều kiện để phương trình a + bx + c có hai nghiệm∆≥0 = + ( ) Bước 2 : từ giả thiết bài toán và định lí viét ta có hệ sau = . ( ) + = ( ) Giải hệ 3 phương trình trên kết hợp với điều kiện ∆≥0 ta xác định được giá trị của tham số cần tìm Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 3 - 5x + m = 0 có hai nghiệm , thỏa - = HƯỚNG DẪN GIẢI Để phương trình có hai nghiệm  ∆≥0  25 – 12m ≥ 0  m≤ Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 ⎧ = + = (1) ⎪ = . = (2) ⎨ ⎪ − = (3) ⎩ Giải hệ trên ta được m = kiểm tra thấy m = thỏa điều kiện ∆≥0 Vậy m = là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 5 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm , thỏa 5 + 2 - 1 = 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Vì 5.(-28) < 0 nên phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau = + = (1) = . = (2) 5 +2 − 1 = 0 (3) Giải ra ta được m = - hoặc m = -13 Vậy m = - hoặc m = -13 là các giá trị cần tìm Bài toán 3 : bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 1 : so sánh với số 0 Bài toán : cho phương trình bậc hai a + bx + c (1) (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) . Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , sao cho ∆ > 0  Cùng âm  > 0 (lưu ý a ≠0) < 0 ∆ > 0  Cùng dương  > 0 (lưu ý a ≠0) > 0  Trái dấu P
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Ví dụ 1 : tìm m để phương trình sau (m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 có bốn nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI (m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 (1) Đặt = t , điều kiện t ≥ 0 , ta có : (1) (m+3)2 - 3(m-1)t + 4m = 0 (2) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt + 3 ≠ 0 ⎧ ∆= 9( − 1) − 16 ( + 3) > 0 ⎪  = > 0 ⎨ ⎪ = ( ) > 0 ⎩ √  < m < -3 √ Vậy với m thỏa < m < -3 là các giá trị cần tìm của m

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023

240 tài liệu

1116 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.