zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng - Trương Văn Đại

Chia sẻ: Trương Văn đại | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

382
lượt xem 60
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng của Trương Văn Đại cung cấp cho các bạn những kiến thức về nội dung ý nghĩa của định lý Viét; định lý đảo của Viét; cách giải một số dạng toán liên quan tới định lí Viét. Mời các bạn tham khảo chuyên đề để bổ sung kiến thức về định lí này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cao học giải tích Chuyên đề: Định lí Viét và ứng dụng - Trương Văn Đại

Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 ĐỊNH LÍ VIÉT VÀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ : Cho phương trình bậc hai a + bx + c (a≠0) (1) . = + =− Giả sử , là hai nghiệm của (1) khi đó = . = Chứng minh : Nếu , là hai nghiệm của (1) khi đó , a + bx + c = a(x - )(x - ) a + bx + c = a - a( + )x + a . , ∀x = − a( + ) + =−   = a ( . ) . = Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÍ : Định lí viét tuy không cho ta công thức nghiệm tường minh để xác định rõ , nhưng cho ta biết được tổng + và tích . . ĐỊNH LÍ ĐẢO CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT : + = − = Nếu thì , là hai nghiệm của phương trình -sx+P = 0 . = = MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT : I . BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài toán 1 : Tìm giá trị của một số biểu thức đối xứng Việc tìm nghiệm của một phương trình bậc hai là rất có nghĩa,tuy nhiên trong một số trường hợp , việc tìm nghiệm tường minh của một phương trình bậc hai là không đơn giản.Ví dụ như tìm nghiệm của các phương trình bậc hai có chứa tham số . Hơn nữa có nhiều bài toán ta cũng không cần thiết phải biết tường minh nghiệm của phương trình mà chỉ cần biết 1 biểu thức nào đó liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai lúc này định lí viét tỏ ra rất ý nghĩa.
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Ví dụ : Gọi , là hai nghiệm của phương trình + x – 1 = 0 . Hãy tính các biểu thức sau A= + ; B= + ; C= + ; D= + HƯỚNG DẪN GIẢI  A= + =( + ) -2 . (1) = + = − = −1 Theo viét thì thay vào (1) ta được A = 3 = . = = −1  B= + =( + ) - 3 . ( + ) (2) = + = − = −1 Theo viét thì thay vào (2) ta được B = -4 = . = = −1  C= + =( + ) -2 . (3) = + = − = −1 Theo viét thì và + = 3. = . = = −1 Thay vào (3) ta được C = 7  D= + =( + )( + ) – ( . ) ( + )+( . ) Từ các kết quả của A,B,C và định lí viét ta tính được D = -28 PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH LÍ VIÉT TÍNH CÁC BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG BÀI TOÁN : Gọi , là hai nghiệm của phương trình a + bx + c (a≠0) (1) . Tính P( , ) với P( , ) là biểu thức đối xứng theo , ( biểu thức P( , ) đgl đối xứng P( , ) = P( , ) ) Phương pháp Bước 1 : từ biểu thức đối xứng ta dùng các biến đổi sơ cấp để đưa chúng về dạng tổng hay tích của hai nghiệm , . Giả sử sau biến đổi ta thu được biểu thức (1)
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 = + =− Bước 2 : theo định lí viét thì = . = Thay vào biểu thức (1) ta sẽ tìm được giá trị của biểu thức đối xứng Chú ý : một số biểu thức đối xứng thường gặp  + =( + ) - 2 . = – 2P  + = ( + ) - 3 . ( + ) = - 3PS  + =( + ) -2 .  + =( + )( + ) – ( . ) ( + )+( . )  + = =  + = = Bài toán 2 : tìm giá trị của tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa tính chất P( , ) nào đó Trường hợp 1 : P( , ) là biểu thức đối xứng Phương pháp :  Bước 1 : tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (∆ ≥0)  Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng ban đầu về thành tổng tích của các nghiệm ,tức là : P( , ) = F( + , . ) (1) = + =−  Bước 3 : theo định lí viét thì = . = Thay vào (1) ta được : P( , ) = F( + , . ) = F(− , ) . Lúc này với việc kết hợp các bước lại với nhau ta sẽ tìm được yêu cầu của bài toán Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình - 2(m-1)x + - 3m + 4 có hai nghiệm x , x thỏa √x + √x = 2√2 HƯỚNG DẪN GIẢI
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0 ( − 1) - + 3m – 4 ≥ 0 Theo yêu cầu bài toán √x + √x = 2√2 (√x + √x ) = (2√2)  + + 2√x x = 8 (1) = + = − = 2( − 1) (2) Theo định lí viét thì = . = = − 3m + 4 (3) Thay (2) , (3) vào (1) ta được 2(m-1) + 2 √ − 3m + 4 = 8 √ − 3m + 4 = 5 – m ≤5  (4) − 3m + 4 = (5 – m) Giải (4) ta được m = 3 thỏa điều kiện ∆ ≥0 Vậy m = 3 là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình - 2mx + 2 - m có hai nghiệm x , x thỏa + đạt giá trị nhỏ nhất HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0  +m–2≥0 m ∈ (-∞ ; −2] ∪ [1 ; ∞ ) = + =2 Theo định lí viét = . =2− Vậy + =( + ) -2 . =4 + 2m – 4 Xét bảng biến thiên
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Giá trị nhỏ nhất của + là 2 xảy ra khi m = 1 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : Gọi ; là hai nghiệm của phương trình – (2sin - 1)x + 6(sin ) - sin – 1 = 0 (1) Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức + HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có ∆= - 20(sin ) + 5 Phương trình (1) có hai nghiệm ∆≥0- 20(sin ) + 5≥0 - ≤ sin ≤ Với thỏa - ≤ sin ≤ thì (1) có hai nghiệm ; và = + = − = 2 sin − 1 theo định lí viét thì = . = = 6(sin ) − sin – 1  + = + =( + ) -2 . = −8(sin ) − 2 sin + 3 Bài toán trở về tìm GTLN,GTNN của hàm số −8(sin ) − 2 sin + 3 (*)  Cách 1 : dùng đạo hàm ( lớp 12)  Cách 2 : đặt t = sin , điều kiện - ≤ ≤ , khi đó (*)  -8 - 2t +3 , vì -8 < 0 nên ta có bảng biến thiên của tam thức bậc hai -8 - 2t +3 là
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN là và GTNN là 0 Trường hợp 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng Dạng 1 : P( , ) là biểu thức không đối xứng nhưng ta có thể biến đổi để đưa về dạng đối xứng Ví dụ 1 tìm điều kiện của các số thực a và k để phương trình - (3a + 2)x + = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa điều kiện nghiệm này bằng k lần nghiệm kia HƯỚNG DẪN GIẢI Xét phương trình - (3a + 2)x + = 0 (1) ta có ∆ = 5 + 12a + 4 Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆≥ 0  5 + 12a + 4 ≥0 a- Theo yêu cầu bài toán nghiệm này gấp k lần nghiệm kia khi và chỉ khi : ( -k )( -k ) = 0  . + - k( + )=0  . + - k[( + ) − 2 . ] = 0  + - k[(3 + 2) − 2 ]=0 ( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0 Vậy điều kiện cần tìm là : ( - 7k + 1) - 12ka – 4k = 0 với a- Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình m - (m-1)x + m – 4 = 0 có hai nghiệm x , x thỏa + =0 HƯỚNG DẪN GIẢI Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥0( − 1) – 4m(m – 4) ≥ 0
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Theo yêu cầu bài toán + = 0 =- x = -x x + x = 0 (1) Theo định lí viét ta có x + x = (2) Thế (2) vào (1) ta được = 0  m = 1 thỏa điều kiện ∆ ≥0 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm Dạng 2 : P( , ) là biểu thức không đối xứng và ta không thể biến đổi để đưa về dạng đối xứng Cụ thể :tìm điều kiện của tham số m để phương trình a + bx + c (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) có 2 nghiệm , thỏa + = Phương pháp : Bước 1 : Xác định điều kiện để phương trình a + bx + c có hai nghiệm∆≥0 = + ( ) Bước 2 : từ giả thiết bài toán và định lí viét ta có hệ sau = . ( ) + = ( ) Giải hệ 3 phương trình trên kết hợp với điều kiện ∆≥0 ta xác định được giá trị của tham số cần tìm Ví dụ 1 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 3 - 5x + m = 0 có hai nghiệm , thỏa - = HƯỚNG DẪN GIẢI Để phương trình có hai nghiệm  ∆≥0  25 – 12m ≥ 0  m≤ Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 ⎧ = + = (1) ⎪ = . = (2) ⎨ ⎪ − = (3) ⎩ Giải hệ trên ta được m = kiểm tra thấy m = thỏa điều kiện ∆≥0 Vậy m = là giá trị cần tìm Ví dụ 2 : xác định giá trị của tham số m để phương trình 5 + mx - 28 = 0 có hai nghiệm , thỏa 5 + 2 - 1 = 0 HƯỚNG DẪN GIẢI Vì 5.(-28) < 0 nên phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm Từ định lí viét và giả thiết ta có hệ phương trình sau = + = (1) = . = (2) 5 +2 − 1 = 0 (3) Giải ra ta được m = - hoặc m = -13 Vậy m = - hoặc m = -13 là các giá trị cần tìm Bài toán 3 : bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 1 : so sánh với số 0 Bài toán : cho phương trình bậc hai a + bx + c (1) (a,b,c phụ thuộc vào tham số m) . Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt , sao cho ∆ > 0  Cùng âm  > 0 (lưu ý a ≠0) < 0 ∆ > 0  Cùng dương  > 0 (lưu ý a ≠0) > 0  Trái dấu P
Trương Văn Đại Cao Học Toán Giải Tích SĐT 01672828224 Ví dụ 1 : tìm m để phương trình sau (m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 có bốn nghiệm phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI (m+3) - 3(m-1) + 4m = 0 (1) Đặt = t , điều kiện t ≥ 0 , ta có : (1) (m+3)2 - 3(m-1)t + 4m = 0 (2) (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt + 3 ≠ 0 ⎧ ∆= 9( − 1) − 16 ( + 3) > 0 ⎪  = > 0 ⎨ ⎪ = ( ) > 0 ⎩ √  < m < -3 √ Vậy với m thỏa < m < -3 là các giá trị cần tìm của m

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.