ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ươ
Ệ Ố Ứ
Ậ Ợ
Ạ
Ch
ng 1:
T P H P – ÁNH X QUAN H S PH C
ề ậ ợ
ậ ợ
ệ
ậ ợ Bài 1: Khái ni m v t p h p, t p h p con, các phép toán trên t p h p
__________________________________________________________
ậ ợ 1. T p h p:
ậ ị ượ ể ộ c đ nh nghĩa, mà đ
ố ượ c hi u m t cách ộ ng có cùng thu c tính nào đó;
ư ố ượ 1.1 Khái ni m: ệ ệ ộ ợ ượ T p h p là m t khái ni m nguyên th y, không đ ầ ụ các đ i t ợ ầ ử ủ ậ c a t p h p đó. ủ ộ ự c g i là các ph n t ng này đ
ộ ườ ạ ọ ng đ i h c.
ợ ợ
ợ ng ký hi u t p h p b i ch cái vi
ộ ế ng đ
a, b, x, y. a thu c ộ A”. N u ế b không ph iả
ữ c ký hi u b i m t ch cái vi ợ A, ta vi ộ ậ ọ và đ c là “ là ph n t c a ế ư A, B, C,…, X, Y, Z, … và các ph n tầ ử t hoa nh ườ ữ ng t th t ế a A(cid:0) ọ và đ c là “ b không thu c ộ A”.
ộ ậ ợ ự tr c giác nh sau: “M t t p h p là m t s qu n t ượ ọ ữ nh ng đ i t Ví d :ụ ủ ậ T p h p các sinh viên c a m t tr ố ậ ố . T p h p các s nguyên t ở ệ ậ ườ Ta th ở ệ ượ ườ ợ ủ ậ c a t p h p th ầ ử a thu c t p h p ể ỉ Đ ch ph n t ầ ử ủ A thì ta ký hi u ệ b A(cid:0) Ví d : ụ nhiên
ậ ậ ậ ậ {1; 2;3} ươ ố ỏ ơ ng nh h n 4.
ậ ậ nào.
ủ ố ậ ỗ ằ ươ . ợ ố ự ng c a s đó b ng – 1 là t p r ng.
ị ộ ậ ợ
ằ ư c xác đ nh b ng các cách nh :
ế t kê ra h t các ph n t ầ ử
ợ ỉ ươ ng pháp li ợ thu c t p h p đó. Ph ể ượ ể ệ ệ ằ ị M t t p h p có th xác đ nh b ng cách li t kê: ợ ữ ạ ố ớ ậ ươ ng pháp này ch dùng đ i v i t p h p h u h n.
ặ ỉ ộ ậ ợ ộ ng pháp ch ra thu c tính đ c tr ng
ủ ố ượ ư ộ ự ng và d a vào thu c tính này ta có th bi ể ậ : M t t p h p có th nh n bi ầ ử ể ế t ph n t ỉ ế ằ t b ng cách ch ộ nào đó có thu c
=
=
B M OM r |
{
}
ươ ra thu c tính c a đ i t ậ t p h p này hay không.
ặ ầ ể ằ ậ ợ là t p h p các đi m n m trên m t c u tâm O bán kính r.
ﾥ
n
|
(cid:0) ợ ố ự ﾥ là t p h p các s t ợ ố ﾥ là t p h p các s nguyên ố ự ợ ﾥ là t p h p các s th c ﾥ là t p h p các s h u t ố ữ ỉ ợ S = ợ là t p h p các s nguyên d ầ ử ợ ậ ỗ T p r ng là t p h p không có ph n t Ký hi uệ : (cid:0) ậ Ví d :ụ t p h p các s th c mà bình ph 1.2 Cách xác đ nh m t t p h p: ị ợ ộ ậ M t t p h p có th đ ộ ậ Ph ộ ậ Ví d : ụ A = {1; 3; 4; 5; 7} Ph ộ ợ Ví d :ụ = n C { ố ự ậ ế nhiên chia h t cho 3.
ự ằ ủ
M là t p h p các s t ợ 3} ậ ợ 1.3 S b ng nhau c a hai t p h p:
1
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ậ Hai t p h p c g i là c a Đ nh nghĩa:
ề ợ A và B đ ượ ọ ỗ ượ ạ c l i m i ph n t ằ b ng nhau ầ ử ủ B đ u là ph n t c a ỉ khi và ch khi m i ph n t c a ọ ầ ử ủ A. Khi đó ta vi ầ ử ủ A t ế A ầ ử ủ B và ng c a
ị ề đ u là ph n t = B.
ứ ề ả ừ ị ứ A = B ph i ch ng minh các đi u sau:
T đ nh nghĩa mu n ch ng minh N u ế x A(cid:0) N u ế x B(cid:0) ố thì x B(cid:0) thì x A(cid:0)
ậ ợ 2. T p h p con:
ị ậ ợ ọ ợ ầ ử
2.1 Đ nh nghĩa:
ﾥ ﾥ � �
ậ Cho hai t p h p A và B. N u m i ph n t ứ ề ủ ậ ợ ế ch a trong ủ ậ c a t p h p B thì khi đó ta nói t p A ầ ử ủ ậ ợ ậ ậ t p h p con B, hay t p A là c a t p h p A đ u là ph n t c a t p h p B.
ậ ợ
ợ ợ ậ ậ ủ ậ ợ ủ ậ ậ
ấ ắ ầ (tính ch t b c c u);
ợ A thì A A(cid:0) ; ợ A thì A�� ; thì A C(cid:0) thì A B= .
ợ Ký hi u:ệ A B(cid:0) Ví d :ụ ﾥ ợ T p h p {1; 3} là t p h p con c a t p h p {1; 2; 3} ợ ề T p h p các tam giác đ u là t p h p con c a t p h p các tam giác. 2.2 Tính ch t: ấ ọ ậ ớ V i m i t p h p ọ ậ ớ V i m i t p h p N u ế A B(cid:0) N u ế A B(cid:0) ậ và B C(cid:0) A(cid:0) và B ộ ậ ợ ủ ậ
)P A là t p các t p con c a t p ậ
2.3 T p các t p con c a m t t p h p ộ ậ ( ệ ủ ậ A.
ậ n ph n t ầ ử .
a b
a c
b c
a b c
b
c
a
) { ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ ,
, }}
P A (
ợ Cho A là m t t p h p, ký hi u N u ế A có n ph n t ẽ ầ ử P(A) s có 2 thì = (cid:0) Ví d :ụ A = {a} khi a P A ) { , } ( = (cid:0) A = {a, b, c} thì
ậ ợ 3. Các phép toán trên t p h p
ậ ợ ợ ủ 3.1 H p c a các t p h p
ầ ử ồ ợ C g m các ph n t
A
ị ấ ọ ậ .
=�
x x A
{ |
ộ thu c ít nh t m t trong hai t p = (cid:0) ậ x B(cid:0) } ho cặ ậ ợ Cho A và B là hai t p h p tùy ý, ta g i t p h p ợ ủ ậ A, B là h p c a hai t p A, B � ho c ặ A B
A
B
=
=
A
B
x f x { |
= ( ) 0}
x g x { |
= ( ) 0}
ể ồ 3.1.1 Đ nh nghĩa: ộ Ký hi u:ệ C A B Bi u đ Venn:
= (cid:0)
C
ư ậ ế A, B, C là các t p nh sau: và thì ị = Ví d : ụ N u đ nh nghĩa = x f x g x { | ( ). ( ) 0}
A
. Khi đó C A B ậ
A=�� và A A A=�
2
ị 3.1.2 Đ nh lý: N u ế B i) ọ ậ ớ V i A, B, C là các t p nào đó khi đó A(cid:0) thì A B A=� ; ợ ớ ii) V i m i t p h p A thì ;
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
B C
A
A B
=� � ; iii) A B B A = � � ( ) ( iv)
ủ
� � . C ) ậ ợ
3.2 Giao c a các t p h p
ị ọ ậ ầ ử ợ ồ ộ ả thu c c hai 3.2.1 Đ nh nghĩa:
=
=�
��
C A B
x x A v x B { | }
à
A
Cho hai t p A, B tùy ý. Ta g i t p h p C g m các ph n t ủ ậ ậ ợ ợ giao c a hai t p h p A, B .
A
B
ậ t p h p A, B là Ký hi u:ệ ể ồ Bi u đ Venn:
A
ớ ị
A(cid:0)
(
ợ ậ ọ ậ ớ ợ . V i m i t p h p A thì V i A, B, C là các t p h p tùy ý thì ta có các kh ng đ nh sau: thì A B B=� ; ẳ =�� � và A A A=�
� � . B C )
ị 3.2.2 Đ nh lý: i) N u ế B =� � ; ii) A B B A = � � C A A B ) iii) (
A
A B
A B
� � )
B C
A C
A
� � (
)
=
B C
A B
A C
A
� � (
)
(
)
ậ
ị Cho A, B, C là các t p tùy ý khi đó: 3.2.3 Đ nh lý: A= � � ) ( ; i) B B= ii) ( ; = A B ( ) iii) iv)
� � � ; ( ) � � � . ) ( ậ ợ
ệ ủ 3.3 Hi u c a hai t p h p
ọ ậ ầ ử ậ ợ ồ ộ Cho hai t p A, B tùy ý. Ta g i t p h p C g m các ph n t thu c A và 3.3.1 Đ nh nghĩa:
=
{ |
và
x B }
ị ộ ệ ủ ậ không thu c B là
A
B
ể ồ Ký hi u:ệ C = A\B ho c ặ Bi u đ Venn: ậ hi u c a t p A và t p B. �� x x A A B \ \A B
ậ ớ V i A, B, C, D là các t p nào đó, khi đó:
;
\
(cid:0)
\
\
A B(cid:0) khi và ch khi A(cid:0) ấ ỳ ; \A B và D C(cid:0) thì A C B D \ ấ ỳ ớ ậ thì v i t p C b t k ta có
(
(cid:0) ; C B C A .
AC B hay )
ượ ọ ủ ệ ầ c g i là ph n bù c a B trong A, ký hi u
3
ị 3.3.2 Đ nh lý: \A B = (cid:0) ỉ 1. ớ 2. V i A, B b t k thì 3. N u ế A B(cid:0) 4. N u ế A B(cid:0) ầ 3.4 Ph n bù A(cid:0) N uế B thì A\B đ = �� x A x B AC B ) { ( } | .
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
A(cid:0)
ấ ọ ớ ệ B nên m i tính ch t liên quan ấ Th c ch t ph n bù
ệ ấ ủ ề ệ ự ầ ế đ n ph n bù đ
A B C
ớ
AC B là hi u A\B v i đi u ki n ( ) ừ tính ch t c a phép hi u A\B. ậ � (
A B \
A C \
)
A B C
ầ ượ c suy ra t V i các t p A, B, C tùy ý ta có )
\ (
(
A B \
)
� (
A C \
ị 3.4.1 Đ nh lý: =� ( ) \ ( =� ) ; ) .
C
))
B i
A
ứ ố
i
i
C
))
A
=I U B C B ( ) ( ( i A i
ẫ Công th c đ i ng u De Morgan = IU C B ( ) ( ( A i ;
i
.
i ể ầ các ph n bù.
ủ ợ ủ ể ằ ầ ầ ằ ầ ợ Ta có th phát bi u ph n bù c a h p b ng giao các ph n bù, ph n bù c a giao b ng h p
ủ
A B
B A \ )
A B \
)
(
(cid:0) D
ệ ố ứ 3.5 Hi u đ i x ng c a A và B: = Ký hi u: ệ ( ể ồ Bi u đ Venn:
\A B
B
A
ậ ợ
ố ượ ố ượ ng b t k , t hai đ i t ng này ta thành l p đ i t
s a và b là hai đ i t ọ 3.6 Tích Descartes c a các t p h p ả ử Gi ệ ấ ỳ ừ ặ ượ ọ ậ ằ b ng nhau ứ ng th ba ỉ khi và ch khi
,...,
ượ c g i là c coi là khác nhau.
�
�
ậ ồ ấ ả t c các dãy ợ A là t p h p g m t n
;...;
,...,
A A , 1 2 � . A n
n
a a ; 2
a 1
2
=
ợ a ắ s p th t ủ ố ượ ặ ký hi u (a; b) và g i là c p (a; b). Hai c p (a; b) và (c; d) đ b(cid:0) ặ a = c và b = d. N u ế a thì c p (a; b) và (b; a) đ ị Tích Descartes c a n t p h p 3.6.1 Đ nh nghĩa: ứ ự 1 a trong đó )n ( ủ A a , 1 ậ A 2
...
= = ...
A n
A n
A A 1 2
A 1
A 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta ký hi u tích Descartes trên là . N u ế thì tích Descartes c a ủ
nA . =
=
=
a b { ; }
{1; 2}
ượ ệ chúng đ
A 2
c d A { ; }, 3
=
, . Khi đó:
a d
a d
b c
b d
b d
a c ;1), ( ; ; 2), ( ;
; 2), ( ; ;1), ( ; ; 2), ( ;
;1), ( ;
; 2)}
= (cid:0)
(cid:0) (cid:0) ệ c ký hi u là 3.6.2 Ví d :ụ Cho 1 A A A A 1 2 3
A = (cid:0) ỉ
A B
a c {( ; ;1), ( ; : A B(cid:0) thì �̴ A B '
'
b c ho cặ B = (cid:0) A(cid:0) và 'A
'B
4
ỉ khi và ch khi (cid:0) (cid:0) . B(cid:0) ậ 3.6.3 Nh n xét N u ế A B(cid:0) khi và ch khi .
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ệ
ạ
ệ
ạ ặ
ơ ả ề
t
ỗ ỉ ộ ộ ắ ươ ứ f m i ph n t ầ ử x X(cid:0) ng ng ớ v i m t và ch m t
ph n t ộ ừ ậ X vào t p ậ Y. ánh xạ t f (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ ọ c g i là đ Y :f X ợ X và Y. M t quy t c t t p . ho c ặ
Bài 2: Khái ni m c b n v ánh x Các ánh x đ c bi ______________________________________________________ 1. Ánh x :ạ 1.1 Khái ni m: ệ ậ Cho hai t p h p ầ ử y Y(cid:0) Ký hi u:ệ Ph n tầ ử y Y(cid:0)
ượ ọ qua ánh x ạ f, khi đó, x đ c g i là ạ ả t o nh
c a ủ y và y đ
Y ầ ử x X(cid:0) c a ủ x qua ánh x ạ f. ồ ậ t p ngu n (mi n xác đ nh)
X ớ ươ ứ ng ng v i ph n t nh ả c g i là
, t ượ ọ c g i là ượ ọ ượ ọ ề ị ề ậ t p đích (mi n giá , Y còn đ c g i là
ủ
=
y
x
t p s th c
2
Ngoài ra, X đ tr )ị c a ánh x ạ f. 1.2 Ví d :ụ ố Hàm s y = x – 1 là ánh x t Hàm s ố lg là ánh x t ạ ừ ậ ố ự ﾥ vào ﾥ ạ ừ +ﾥ vào ﾥ
+
Phép t
ﾥ sao cho
= -
(cid:0) ớ ớ ng ng m i s
0
x
y= x ề ươ ứ đ u t
=
ộ ị ủ không là ánh x vì v i ớ ị m t giá tr ỗ ố x ươ ứ x > ta s có hai giá tr c a y là: ẽ và y ạ ng ng v i x.
(cid:0)ﾥ
:f
f x ( )
x = -
1
ﾥ sao cho
ﾥ thì
x
Phép t không có y (cid:0)
ﾥ t
(cid:0) ươ ứ ả ạ ng ng ộ ố y (cid:0) ﾥ v i m t s x= y 1 ớ + không ph i là ánh x vì v i 1
ớ x đã cho. ủ ậ ượ ọ ổ ố ớ ị n đ nh c g i là đ i v i ánh x ạ f v iớ " ị � � � 1.3 Đ nh nghĩa: Y f X : ươ ứ ậ ộ a A f a ( ) , ng ng v i B ph n A c a t p X đ � . A
ạ ằ 1.4 Ánh x b ng nhau:
ị
ượ ọ ạ ừ X vào Y. Ánh x ạ f đ ằ c g i là b ng ánh x ạ g n u ế f(x) = g(x)
f x ( )
ớ v i m i
x=
,
a= v i ớ a là m t ph n t ầ ử ố ánh x không đ i, hay ánh x h ng s . ọ x X(cid:0) f x ( )
ộ ề đ u có ị xác đ nh c a ủ Y, thì ta nói f là m tộ
1X .
5
ượ ọ ạ ằ ớ v i m i thì f đ ạ ồ c g i là ánh x đ ng nh t c a ấ ủ X. Ký hi uệ Đ nh nghĩa: Cho f và g là hai ánh x t ọ x X(cid:0) . ọ x X(cid:0) ế ớ N u v i m i ổ ạ N u ế X = Y và
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
�
ậ ồ ỉ ạ f và g là b ng nhau khi và ch khi chúng có chung t p ngu n và " Nh n xét: Hai ánh x = x X f x ( ) , ằ g x ( ) .
ậ ậ chung t p đích và Ả ạ ả
Y
2. nh và t o nh: ủ ộ ậ ợ Ả 2.1 nh c a m t t p h p: (cid:0) ị ồ ả ậ Cho ánh x ạ :f X ủ X. T p con c a ủ Y g m nh a) Đ nh nghĩa:
) { ( ) |
� �
y
= x A y
,
f x ( )
f A ( )
ủ ấ ả c a t qua ánh x ạ f. (cid:0) ộ ậ và A là m t t p con c a ầ ử ủ A đ ủ ậ ả ượ ọ nh c a t p A c g i là c a = x A f x f A ( } . $
Y
(cid:0) ủ
�
f A B
f A ( )
f B (
)
(
)
(
ậ � . ớ . V i hai t p con tùy ý A và B c a X ta có: � � ) .
ậ
t c các ph n t Ký hi uệ : f(A). Hay, � Khi đó, ị b) Đ nh lý: =� f A B ) (Sinh viên t ạ ả Cho ánh xạ :f X f B f A ( ( ) và ư ch ng minh nh bài t p.) ộ ậ ợ
(cid:0) ộ ậ ậ ị ủ X g mồ
-�
�
f x U
x X f x U
x
( )
( )
}
)
)
� .
các ph n t - - ủ Y. T p con c a và U là m t t p con tùy ý c a ầ c a ủ U qua ánh x ạ f . ạ ả t o nh toàn ph n 1( f U ự ứ ủ 2.2 T o nh c a m t t p h p: Cho ánh x ạ :f X Y f x U(cid:0) ượ ọ ( ) đ c g i là sao cho = �� 1( f U | ) { và . Khi đó,
Y
1
1
�
f
A B
f
f
B
(
(
A )
(
)
1
1
1
�
f
A B
f
f
B
=� ) =� )
(
(
A )
(
)
(cid:0) ấ ỳ ủ ậ ớ Cho ánh xạ :f X . V i hai t p con b t k A, B c a Y thì - - - a) Đ nh nghĩa: ầ ử x X(cid:0) 1( Ký hi uệ : f U ị b) Đ nh lý: 1 ; - - - .
ự ứ ậ ỏ
(Sinh viên t ạ ư ch ng minh nh bài t p nh ). ệ ạ ặ 3. Các lo i ánh x đ c bi t
(cid:0) ớ ơ ộ đ n ánh c g i là m t 3.1.1 Đ nh nghĩa: (cid:0) ượ ọ ) ế ầ ử ầ ử ế khác n u v i hai ph n t ọ ộ ơ . Nói cách khác, f là m t đ n ánh n u m i ph n t ơ 3.1 Đ n ánh: ị 2x b t k c a
Ánh x ạ :f X f x ( ) 1 ộ ạ ả nhau 1x và ủ ậ c a t p đích ch có t
Y đ f x ( 2 ồ . i đa m t t o nh trong t p ngu n f là m t đ n ánh ta ch ng minh:
ậ ộ ơ ể ứ ừ ị ứ ấ ỳ ủ X thì ố ỉ T đ nh nghĩa trên, đ ch ng minh
ι
)
)
x 2
f x ( 2
x x , 1 2
X x , 1
" (cid:0) thì .
�
x=
(
)
f x ( 1 = X f x ) , 1
f x ( 2
x thì 1
2
x x , 1 2
2
" .
f x ( )
ﾥ xác đ nh b i ở ị
(cid:0)ﾥ
:f
f n ( )
ơ Ho c ặ 3.1.2 Ví d : ụ (cid:0)ﾥ Ánh x ạ :f không là đ n ánh vì f(1) = f(1) = 1.
ﾥ xác đ nh b i ở ị
= là m t đ n ánh vì v i hai s t ố ự
x= 1 n
ộ ơ ớ Ánh x ạ nhiên khác nhau
1 1 n m
(cid:0) m, n thì .
E
a
x
Ai A : x
(cid:0) ạ ắ ộ ơ ượ ọ ơ N u ế A E(cid:0) , ánh x nhúng chính t c là m t đ n ánh đ c g i là đ n ánh chính
ắ ừ t c t
6
A vào E. 3.2 Toàn ánh:
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
Y
:f X
:f X
$� � y Y x X ,
(cid:0) ộ toàn ánh n u ế f(X) = Y. Nói cách khác 3.2.1 Đ nh nghĩa: (cid:0) i (cid:0) Ánh xạ :f X ị ớ ế là toàn ánh n u v i m i Y ượ ọ ừ X lên Y. " còn đ ể ứ ượ ọ Y đ c g i là m t ọ y Y(cid:0) ề ồ ạ x X(cid:0) đ u t n t ạ c g i là ánh x toàn ánh t ộ ứ ầ Toàn ánh T đ nh nghĩa trên, đ ch ng minh sao cho f(x) = y. f là m t toàn ánh thì ta c n ch ng minh
ừ ị sao cho f(x) = y. ậ
Y
(cid:0) ạ :f X ọ ỉ là toàn ánh khi và ch khi m i ph n t ầ ử ủ Y có ít nh t ấ c a Nh n xét: Nói cách khác m t ánh x
=
f x ( )
cos
ﾥ xác đ nh b i công th c ở ế
ộ ạ ả ộ X.
2
x không là toàn ánh vì t n t ạ g t t p s th c
ﾥ ừ ậ ố ự ﾥ vào đo n [1, 1]
ﾥ đ ể cos
ồ ạ ố 2 (cid:0) i s ạ ứ ị x = . Tuy nhiên n u xét ánh x
m t t o nh trong 3.2.2 Ví d :ụ (cid:0)ﾥ Ánh x ạ :f mà không có x (cid:0) thì g là toàn ánh.
Y
(cid:0) ượ ọ ừ ế ơ 3.3 Song ánh ị Ánh x ạ :f X đ c g i là ừ song ánh n u nó v a là đ n ánh v a là 3.3.1 Đ nh nghĩa:
toàn ánh.
ộ Đ ch ng minh m t ánh x f là đ n ánh và f là toàn " (cid:0) ằ ể ứ ặ ả ấ x X(cid:0) ứ ánh, ho c ch ng minh r ng ứ ạ f là song ánh thì ta ph i ch ng minh f x y Y sao cho ( ) i duy nh t ồ ạ t n t ơ y= .
X
(cid:0) ộ 3.3.2 Ví d :ụ ạ ồ Ánh x đ ng nh t là m t song ánh.
(cid:0)ﾥ
f
:
không là song ánh vì nó không ph i là toàn ánh (cũng không là đ n ánh).
2
x
a ộ
ấ 1 :X X ﾥ ả ơ Ánh x ạ
x M t ánh x b t k t
ﾥ
ộ ị ủ E. ọ ạ ấ ỳ ừ E vào E g i là m t hoán v c a
(cid:0)ﾥ a x
x
2
ậ Nh n xét: Ví d :ụ f : Cho
ﾥ
ﾥ
:
Nếu y chẵn
(cid:0) và g
a
y
Nếu y lẻ
y 2 y
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ơ
ơ ự ể ki m tra.)
Z
h X :
Y
Z
:g Y
a
x
g f x (
( ))
g f
Khi đó f là đ n ánh không là toàn ánh. g là toàn ánh không là đ n ánh. (Sinh viên t 3.4 Tích các ánh x :ạ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Cho hai ánh x ạ :f X và . Ánh x ạ đ c ượ 3.4.1 Đ nh nghĩa:
= o hay h = gf.
7
ủ ạ ánh x tích ọ g i là c a hai ánh x ạ f và g. Ký hi u ệ h
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ỉ ị ượ ứ ậ ậ ị Theo đ nh nghĩa ta ch xác đ nh đ c tích gf khi t p đích c a ủ f ch a trong t p
X
X
:g X
(cid:0) (cid:0) ị và ể thì ta có th xác đ nh đ c tích fg và tích gf, tuy nhiên gf có
Id=o
g f
ủ ạ ể ượ ớ fg, hay tích c a hai ánh x không giao hoán.
N
ở ụ trên thì nh ng ư
ﾥ
ﾥ
:
Nếu y chẵn
(cid:0) ậ Nh n xét: ồ ủ g. ngu n c a :f X N uế th khác v i Ví d : ụ N u ế f và g là hai ví d cho o f g
x
a
x
Nếu y lẻ
x
1
(cid:0) (cid:0) - (cid:0)
T
Y
:g Y
=
(cid:0) (cid:0) thì h(gf)=(hg)f. , và Cho :f X
h
T
Y
gf X :
:g Y
:h T U(cid:0) là hai ánh x và ạ T
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử :f X . Khi đó: và Gi
s ơ
ơ
ơ ơ ơ
T
:g Y
ế ế ế ế ế ế ị 3.4.2 Đ nh lý: ị 3.4.3 Đ nh lý: ơ a) N u f, g là các đ n ánh thì h là đ n ánh; b) N u h là đ n ánh thì f là đ n ánh; c) N u h là đ n ánh và f là toàn ánh thì g là đ n ánh; d) N u f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh; e) N u h là toàn ánh thì g là toàn ánh; f) N u h là toàn ánh và g là đ n ánh thì f là toàn ánh. (cid:0) (cid:0) ơ Y ả ử :f X s và là các song ánh thì gf cũng là song ánh. ệ 3.4.4 H qu :
X
gf =
fg =
1X
1Y
ả Gi ạ ượ c (cid:0) (cid:0) ạ ỏ và là hai ánh x th a: và thì
:g Y Y s Gi ủ ạ ượ c a ánh x ánh x ng
1
(cid:0)ﾥ
ﾥ
f
:
(cid:0)ﾥ
ﾥ
f
:
ả ử :f X c ạ f. 3.5 Ánh x ng ị 3.5.1 Đ nh nghĩa: ượ ọ c g i là khi đó g đ -
3
3
a
a
x
x
y
y
ạ ượ có ánh x ng c Ví d : ụ Ánh x ạ
ệ ạ ượ ệ c. (cid:0) ng h p các hàm, khái ni m ánh x ng ạ ượ ố ượ ế ỉ có ánh x ng c chính là khái ni m hàm s ng c khi và ch khi f là song ánh. N u f là ườ Trong tr ị 3.5.2 Đ nh lý:
song ánh thì
ạ ượ ủ ạ ộ ấ c c a m t ánh x là duy nh t. ợ Ánh x ạ :f X Y - cũng là song ánh. 1f IÁnh x ng
o
F
G(cid:0)
:g F
g f E G(cid:0) :
f E :
1
) 1
f
g
(cid:0) ữ và là nh ng song ánh, thì là song - - - ị 3.5.3 Đ nh lý: : N u ế ị 3.5.4 Đ nh lý = 1 o o g f ánh và (
ở ộ ẹ ể ặ ạ 3.6 Thu h p và thác tri n (ho c m r ng) ánh x :
(cid:0) ậ ộ ộ ậ ạ ẹ 3.6.1 Thu h p ánh x : Cho X và Y là hai t p h p và là m t ánh x , g i ủ X. Khi đó
:f X ệ
Y |Af
ẹ ủ ợ ạ ạ ọ A là m t t p con c a ở thu h p c a f vào A là ánh x ký hi u là ị xác đ nh b i:
Y
A
a
x
Af | :
f x ( )
(cid:0)
8
ở ộ ể ạ 3.6.2 Thác tri n (m r ng) ánh x :
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
:f X
X
X(cid:0)
'
�
g X
Y
Y '
(cid:0) ậ Cho X và Y là hai t p h p và ạ X’ là t p h p sao cho . Khi (cid:0) " ậ = x X g x ( ) , ợ f x ( ) ủ ộ đó, mở r ng c a f trên X’ ợ là ánh x ạ : ộ là m t ánh x , sao cho .
*
Ví du:
ﾥ
ﾥ
f
:
x
a
x
sin x
(cid:0)
ﾥ
ﾥ
g
:
(cid:0)
x
x
0
a
x
sin x
=
x 1
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ở ộ ộ ượ ở Khi đó, ánh x ạ g là m t m r ng c a ủ f đ ị c xác đ nh b i: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ở ộ ụ ạ Nh n xét: g là m r ng duy nh t c a ấ ủ f và liên t c t i 0.
Bài 3: Phép th ế _____________ 1. Khái ni m: ệ
Phép thế trên m t t p h p
ộ ợ X là m t song ánh t ế ậ ế ấ
ầ ử ế ủ ậ ệ ợ ầ ử là ổ thì phép th trên ượ X = {1, 2, … , n} T p h p các phép th c a t p {1,2, …, n} đ ừ X lên chính nó. Khi X là ộ ậ ấ ọ X g i là phép th b c n. Không m t tính t ng quát ta l y ậ c ký hi u là
ậ t p có n ph n t ậ t p n ph n t nS .
n
2
1
p
p
(1)
(2)
n ( )
� = � p �
p (1),
( ))n
ườ ế ư ệ ộ Thông th ng ta ký hi u m t phép th nh sau:
... p ... p ể ( ể ế ọ
p
ứ ự ủ ậ Ta có th xem c a t p {1, 2, … , n} ế ( ))n .
� � � p (2),..., ế p d t g n phép th là m t song ánh nên các ph n t
nên ta có th vi ộ Vì p
( )n ỗ ị ủ ậ
ắ p (2),..., p (2),..., ậ ị ị ủ ư ộ nh là m t cách s p x p th t p p ướ ạ ( (1), i d ng p ầ ử (1), ở dòng d ộ 1, 2, …, n. V y, m i m t hoán v xác đ nh m t phép th i đ u khác nhau do đó ế ộ
ướ ề ị ầ ử ế ậ ộ ố ầ ử chúng là m t hoán v c a n ph n t ằ ậ b c n nên s các phép th b c n b ng s các hoán v c a t p có n ph n t
ữ i < j cho nhau và gi nguyên các ph n t các v ị ằ và b ng n!. ầ ử ở
ạ ượ ọ ế trí còn l ế p N u phép th i thì phép th ỗ ỉ ổ ch đ i ch hai ph n t ế p đ c g i là ố ầ ử chuy n vể ị.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3 � � 1 2 3 �
�� ; �� ��
�� ; �� ��
�� ; �� ��
�� ; �� ��
�� ; �� ��
� � �
9
ế ồ Ký hi u:ệ (i, j). 2. Ví d : ụ Nhóm các phép thế 3S g m các phép th sau:
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
1 2 3
(1 2)
2 1 3
� � �
,...,
= p
=
=
ể ộ Trong đó: ị là m t chuy n v .
a
a
,...,
p ,...,
)
(
)
)
(
,
k
k
k
p a , 2
a 1
2
1
,...,
(
a . )k
�= � � a a a là các ph n t ầ ử , k 1 2 a a a và th a mãn ử ỏ , t k 1 2 ộ vòng xích đ dài k. Ký hi u:ệ a a , 1 2
=
- ủ a ( ượ Cho khác ầ nguyên các ph n ộ ọ c g i là m t ế p khác nhau c a {1, 2, …, n}. Phép th p a a ) ( 3 ữ gi = đ a 1
,...,
)
(
(
o ) (
,...,
)
,
a k
a k
a a , 1 2
2
1
- - .
a a a , k 1 1 ế ồ phép th đ ng nh t
a k ấ . Vòng xích đ dài 2 g i là
ọ ộ phép chuy n vể ị Vòng xích đ dài 1 chính là
1 2 3 4 5 6 7 8
(
)
1 7 2 6 3 5 4
ể Khi đó ta có ộ ho c ặ (chuy n trí).
7 6 5 1 4 3 2 8
p � = � �
� = � �
là vòng xích Ví d : ụ Cho phép th ế
=
=
�
f
g
j =
...
ộ đ dài 7.
�.
i m
,... } k
i { , 1
i 2
j ,..., } { , 1
j 2
j 1( )
Hai vòng xích và
i i 1( ... )m ( f =
j ọ )k g i là ( g =
1 2 3 4
5 6 7
o
o
1f
ộ ậ n u ế đ c l p ) ộ ậ và là hai vòng xích đ c l p. Ví d : ụ Vòng xích - ế ậ ạ ượ ủ ạ N u ế f, g là các phép th b c n thì tích (là tích c a hai ánh x ), ánh x ng c
f g g f , ấ 1X cũng là phép th b c n.
ế ậ ạ ồ và ánh x đ ng nh t
ấ ậ ộ ậ Phép nhân các vòng xích đ c l p có tính ch t giao hoán.
1 2 3 4
f
g
ế ậ ư f và g nh sau: Nh n xét: Ví d : ụ Cho các phép th b c 4
2 4 3 1
4 3 2 1
1 2 3 4 � = � �
� � �
� = � �
� � �
1 2 3 4
f
f g .
g f .
4 1 3 2
1 2 3 4 � = � 1 3 4 2 �
� ; � �
� và � �
- � = � 1 �
� � �
1 2 3 4 � = � 3 1 2 4 � ế ậ
và khi đó:
ị ọ ấ c duy nh t 3. Đ nh lý:
ấ ề ơ ớ ế ồ ộ ượ (không k th t ) thành tích các vòng xích đ c l p đ dài l n h n ho c b ng 2.
=
(
)
f
) ( 1 8 2 4 3 5 9 6 7
M i phép th b c n khác phép th đ ng nh t đ u phân tích đ ộ ậ ượ ọ ặ ằ ể ị c thành tích các chuy n v . ể ứ ự ệ 4. H qu :
� = � �
Ví d : ụ ế ề ả M i phép th đ u phân tích đ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 � � 8 4 1 3 9 7 5 2 6 �
i
p-
p>
p
i ( )
n {1, 2,..., } j i ( ) ( )
ấ ủ ế 5. D u c a phép th (cid:0) ị ủ ế ế p ế c a phép th n u i – j 5.1 Đ nh nghĩa: p Ta g i c p j ( ) ặ ấ trái d u v i
ế ẵ ọ ặ ( ) j (ho c i < j và ị Phép th v i s ngh ch th ch n (l ) đ
sign p
( )
ế ẵ ấ ủ ế ẻ là m t ộ ngh ch th ). ẻ ượ ọ c g i là ế p ằ là phép th ch n và b ng – 1 n u ế ẵ phép th ch n (l ) là phép th l ấ ủ p ậ ẻ . D u c a nh n giá ệ . Ta ký hi u d u c a
ị ớ ế ớ ố ế p ị ằ tr b ng 1 n u phép th ế p là .
� ư thì c p (1 3) là m t ngh ch th vì 1 < 3 nh ng � �
p
p= >
(1) 3
(3) 1
1 2 3 � � 3 2 1 � = . Đây là m t phép th l ế ẻ ộ .
10
ặ ế ộ ị Ví d : ụ Xét phép th ế
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
1 2 3 4
4 3 2 1
� � �
� � �
ế ặ ộ ị Xét phép th ế có các c p ngh ch th là (1 4) và (2 3) nên đây là m t phép th ế
ch n. ẵ
5.2 Tính ch t:ấ
n ! 2
ế ẵ ế ẻ ậ ằ ằ ậ ố ố S phép th ch n b c n b ng s các phép th l b c n và b ng .
ẵ ẻ ế ẵ ủ ế là phép th ch n. Tích c a hai phép th khác
ế Tích c a hai phép th có cùng tính ch n, l ế ẻ ủ ẵ ẻ là phép th l tính ch n l .
ể ộ ố ị ế ể Khi phân tích m t phép th thành tích c a các chuy n v thì s các chuy n v tham gia
p
j ( )
=
p
sign
p (
)
nS
j
j n
(cid:0) < (cid:0) i 1
1
=
=
f
Sign
Sign f (
)
)
n
X
(1 ) 1, s p
ố ẵ ẻ ẵ trong tích là s ch n hay l ủ ị ế tùy theo phép th đó là ch n hay l p - (cid:0) (cid:0) ớ ọ ế V i m i phép th ta có . ị 5.3 Đ nh lý: - ẻ . i ( ) i - ậ Nh n xét: .
sign
S(cid:0) p sign
,
Sign f ( sp (
)
(
)
).
(
nS
(cid:0) ọ ớ v i m i = s sign ọ ớ ta có . V i m i ị 5.4 Đ nh lý:
ệ
Bài 4: Quan h hai ngôi _______________________
ị ợ ệ ộ ậ Cho X là m t t p h p, ta nói S là m t ộ quan h hai ngôi trên X n u ế S là m tộ 1. Đ nh nghĩa:
2X .
S(cid:0)
ủ ậ t p con c a tích Descartes
( ; )a b
thì ta nói a có quan h ệ S v i ớ b. Khi đó, thay vì vi tế
ầ ử a, b th a ỏ ( ; )a b ể ế t là aSb. N u hai ph n t ta có th vi
ậ ợ ố ự nhiên.
ế S(cid:0) 2.Ví d :ụ ế ệ Quan h chia h t trong t p h p s t ệ ằ Quan h b ng nhau. ệ ớ Quan h l n h n.
ộ ố ơ ệ ườ 3. M t s quan h th ặ ng g p:
ệ ươ ươ ng:
3.1 Quan h t ị ệ ượ ọ ệ ươ quan h t ng đ ậ X đ c g i là ươ n u ế ng
i)
ấ ỏ ng đ ộ M t quan h hai ngôi trên t p 3.1.1 Đ nh nghĩa: nó th a các tính ch t sau:
ii)
ớ ọ x X(cid:0) Ph n x :
11
, ớ ọ ,x y X(cid:0) ả ạ xSx, v i m i ố ứ N u ế xSy thì ySx, v i m i . Đ i x ng:
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
iii)
. B c c u:
x y z X(cid:0) ọ , , ươ
y:
ớ ệ ươ ị ườ ắ ầ N u ế xSy và ySz thì xSz v i m i ộ ng đ Khi trên t p ậ X đã xác đ nh m t quan h t ng, khi đó thay vì vi ế xSy ta th t ng ký
ﾥ
ﾥ ﾥ ﾥ ;
;
...
hi u ệ x
ệ ươ ộ ươ ợ ố ; là m t quan h t ng đ ỏ ng vì th a
2
. 3.1.2 Ví d : ụ ệ ằ Quan h b ng nhau ả ở ạ ố ứ ấ ậ các t p h p s ắ ầ
�
xSy
x
= - 2 x
y
y
- ở ị ộ ệ ươ ươ ng đ
ậ ẳ ủ là m t quan h t ệ các tính ch t ph n x ; đ i x ng; b c c u. Xét trong ﾥ quan h ệ S xác đ nh b i G i ọ X là t p các đ ng c a hai đ
ẳ ườ ẳ ẳ ng th ng trong m t ph ng, quan h cùng ph ườ ươ ượ ọ ng. (Chú ý: Hai đ ươ ẳ ng th ng đ ng. ườ ng c g i là
ấ ỳ ươ ặ th ng b t k trong m t ph ng là quan h t ườ cùng ph
ệ ươ ng th ng song song ho c trùng nhau.) ặ ng là hai đ ệ ẳ ữ ặ ng đ ặ ẳ ả ẳ ng th ng trong m t ph ng không ph i là quan h ệ
ươ ươ t
ả ậ ệ ệ ươ ườ Quan h vuông góc gi a các đ ạ ỏ ng đ ng vì không th a tính ph n x . ợ ố ự Quan h chia h t cho trong t p h p s t ả ﾥ không ph i là quan h t nhiên ng đ ươ ng
(4, 2) 1(cid:0)
ố ự ậ ợ nhiên ệ ươ ng
ươ đ .
S x
x S x ( )
: y X y | (cid:0) vì X
= ( ) { ( )S x (cid:0) =U S x ( )
cùng nhau” trên t p h p s t ụ ươ ậ ậ ng trên t p ợ . Ta g i t p h p (cid:0) ớ ươ ệ ươ ế ấ ố ứ ố ấ ắ ầ ệ ươ ng đ ng đ ng vì không có tính ch t đ i x ng. ệ ﾥ không là quan h t Quan h “nguyên t ư ng vì không có tính ch t b t c u. Ví d (2, 3) = 1; (4, 3) = 1 nh ng X và x X(cid:0) ộ Cho S là m t quan h t x ươ } ng đ ọ S. Khi đó ta có: ươ c a ủ x theo quan h t ng (cid:0) là l p t .
x X
. (cid:0)
,x y X
S x ( )
" (cid:0)
thì ho c ặ S(x) = S(y) ho c ặ ấ ng đ ng
�. ủ X qua các l p t c m t phân ho ch c a ọ X/S và g i là t p th
S y =� ( ) ạ ệ c ký hi u là
ậ ượ T tính ch t trên ta nh n đ ươ ớ ươ ậ ượ ươ ộ ng này đ ng đ ươ ng c a S(x). T pậ ủ X qua quan
ừ ớ ươ ợ ấ ả h p t t c các l p t ươ ệ ươ S. h t ng đ 3.2 Quan h th t
ng ệ ứ ự : ộ ị ế
ả ả ượ ọ c g i là ứ S trên t p ậ X đ ố ứ ệ ứ ự n u quan quan h th t ế xSy và ySx thì suy ra x
ậ S thì ta nói X là m t t p đ c s p th t ứ ự ở S. b i
ệ ứ ự ộ ể ỉ ộ b ph n đ ch m t quan h th t
ọ ằ ơ ộ ậ ượ ắ ậ ệ ứ ự ộ b ph n. y(cid:0) t ế x (đ c là “ x bé h n hay b ng
(cid:0) ọ , n uế x có quan h v i ệ ớ y ta vi ơ ớ x”). y l n h n hay b ng x(cid:0) y(cid:0) (hay y ằ ) ta vi t ế x < y (hay y > x) và đ c là “ x bé h n ơ y” (hay
x
ệ ứ ự ế ế ớ quan h th t toàn ph n ệ ứ ự (cid:0) ầ (hay tuy n tính ) n u v i trong X đ y(cid:0) ho c ặ y
ượ ọ c g i là x(cid:0) . ầ m i ọ ,x y X(cid:0) ộ ệ ứ ự ộ b ph n quan h th t ệ M t quan h hai ngôi 3.2.1 Đ nh nghĩa: ấ ạ ắ ầ ệ h đó có các tính ch t: ph n x , b c c u và ph n đ i x ng (t c là n u ọ ,x y X(cid:0) ớ = y v i m i ). ộ ế ậ X có m t quan h th t N u t p ệ (cid:0) ườ ng dùng ký hi u Ta th ầ ử ,x y X(cid:0) ớ V i hai ph n t x(cid:0) ế y ọ ặ y”) ho c vi (đ c là “ t Khi x y thì thay cho x ớ ơ x”). “y l n h n Quan h th t ề ta đ u có ệ ứ ự M t quan h th t không toàn ph n g i là ừ ậ (hay t ng ph n ầ ).
t. Quan h th t
12
ầ ử ặ ậ ượ ắ 3.2.2 Các ph n t Cho X là t p đ đ c bi c s p th t ệ ứ ự ở (cid:0) b i ọ ệ ứ ự ố t t. ộ ậ và A là m t t p con c a ủ X.
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
x(cid:0)
x
a(cid:0)
ượ ọ ầ ử ớ ọ x A(cid:0) ph n t ấ ớ bé nh t (l n nh t) đ c g i là ế ấ c a ủ A n u v i m i thì a (
a
x
:
a a (
).
ế ớ i ti u (t i đ i) ọ ố ạ c a ủ A n u v i m i c g i là ầ ử a A(cid:0) Ph n t ). ầ ử a A(cid:0) Ph n t = = Σ� �� a x A x , ượ ọ đ a a , (
Σ� a A x 0
x 0
ớ ọ ậ i (c n trên) ế c a ủ A n u v i m i c g i là Ph n t
ỗ ộ quan h th t c g i là m t ọ ậ ệ ứ ự ố n u m i t p con khác r ng
x X(cid:0) ầ ử 0x ượ ọ đ ệ ứ ự (cid:0) Quan h th t ầ ử ủ c a X đ u có ph n t
ề ấ ọ X g i là đ t t ượ ắ ố ở (cid:0) t b i c s p t ế . ầ ử ố ể ph n t t x ) . ậ ướ c n d ượ ọ trong X đ bé nh t. Khi đó,
(cid:0) ệ ứ ượ . Ta ch ng minh đ c đây là
y
ộ P(X) ta xét quan h bao hàm P(X). m t quan h th t (cid:0) ả ế trên không ph i tuy n
Ví d : ụ ợ ộ ậ a) Cho X là m t t p h p, trên ậ ệ ứ ự ộ b ph n trên ứ Ngoài ra, n u ế X ch a ít nh t hai ph n t ệ ứ ự
ấ ầ toàn ph n) vì { ườ ậ ộ
ệ ứ ự ố ọ ậ thông th ả ả ỗ ầ ử x ệ ứ ự thì quan h th t ượ ớ y}. x} không so sánh đ c v i { ệ ứ ự ố ợ ﾥ là m t quan h th t ng trên t p h p các s nguyên ủ ﾥ t vì không ph i m i t p con khác r ng c a t
tính (hay quan h th t ệ ứ ự b) Quan h th t ư ế ầ ử bé nh t.
tuy n tính, nh ng không ph i quan h th t ấ ề đ u có ph n t ụ ậ i ti u.
ﾥ là m t quan h th t
ố ự ệ ậ ợ ệ ứ ự ộ ộ ầ ử ố ể t nhiên ư ậ b ph n, nh ng
ả
Ví d : T p {..., 2, 1, 0} không có ph n t ế c) Quan h chia h t trên t p h p s t ệ ế không ph i là quan h tuy n tính. ườ ệ ứ ự thông th
ﾥ là m t quan h th t bé nh t là ph n t
ầ ử ệ ứ ự ầ ử ộ ấ ộ ợ ố ự t nhiên t. V i ph n t ế tuy n ư 0, nh ng
d) Quan h th t ữ ầ ử ớ
ứ ự ệ ế ắ ớ theo quan h chia h t các ph n t ầ ử ố i t ơ nhiên l n h n 1, s p th t
ể ố ti u là các s nguyên t
a
I
X a
,X a
) a
(
I
I
ậ ng trên t p h p s t ớ ệ ứ ự ố ơ tính, h n n a đây còn là m t quan h th t ấ l n nh t. không có ph n t ố ự ậ e) Trong t p các s t ố . ươ ươ 3.3 Các nguyên lý t ng: (cid:0) (cid:0) ậ ợ ỗ ỗ các t p h p khác r ng đ u ề
a
X a
f
a (
)
I
a (cid:0)
I
(cid:0) (cid:0) ộ ớ ọ ng đ ớ ọ ọ ề ọ V i m i h không r ng 3.3.1 Tiên đ ch n: (cid:0) U sao cho X a f ạ : có m t ánh x v i m i .
ề ỗ ợ ắ ố M i t p h p không r ng đ u có th đ ể ượ ắ ố ứ c s p t t (t c là t n t ồ ạ i 3.3.2 Nguyên lý s p t
ộ m t quan h th t t
ỗ ượ ắ ọ ậ ọ ậ t: ậ t trên t p đó). Cho X là m t t p không r ng đ c s p th t ệ ứ ự ố ổ ề 3.3.3 B đ Zorn:
13
ầ ượ ắ ề ậ ủ con A c a X đ ộ ậ ở (cid:0) c s p toàn ph n b i , đ u có c n trên thì X có ph n t ứ ự ở (cid:0) ế . N u m i t p b i ầ ử ố ạ t i đ i.
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
2
+
D =
bx
2 4
2
=
b ỏ
c ơ
+ = khi < ax ac 0 ị ả ượ ọ c g i là đ n v o th a mãn
0 i = -
1
- ậ . (cid:0) ố ứ ượ ử ụ c s d ng đ gi ﾥ ươ ﾥ ể ả i ph + a bi a b , | { . ng trình b c hai } , trong đó i đ
+
+
ậ ậ ợ ợ ư
ﾥ thì
(cid:0) ọ
+ a c
ớ =
ố ứ Bài 5: S ph c ______________ S ph c đ Ta xét t p h p sau: ị Trong t p h p này, ta xác đ nh hai phép toán nh sau: a bi c di , V i m i + ) ( )
(
+ b d i ) . ( + +
ộ Phép c ng +: + + + c di a bi ) (
ﾥ thì
+
=
+
(cid:0) ớ
ad bc i )
)
(
(
a bi
z
'
= + a '
b i '
- ọ a bi c di , Phép nhân .: V i m i + + ac bd a bi c di ) )( (
14
ậ Nh n xét: = + N u ế z và thì
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
=
z
= z '
+ a a ')
(
b b i ( ')
2
2
z z
'
+ ac bd � � + 2 c d �
bc ad � � + � � + 2 c d � �
� i � �
- - - - và
ư ượ ọ ườ ị ợ ậ c g i là ố ứ . ng s ph c
i = -
1
ﾥ
ượ ọ T p h p v i hai phép toán nh trên đ a + bi, v i ớ 2 ộ ố ạ đ tr ố ứ . s ph c c g i là
ứ ạ c = a + bi là d ng đ i s c a s ph c
� �ﾥ
c g i là ự , ký ạ ố ủ ố ứ c trong đó a là ph n th c c ượ đ ầ ả c a s ph c ạ ủ ố ứ c, ký hi u ệ Im( )c . Khi đó, c ầ = - a bi
c = Im( ) 0
c = thì ta nói c là s thu n o ầ ả .
2
2
=
+
ệ hi u là ọ g i là c ố ph n o ủ ố ứ c. 0 ớ 1. Đ nh nghĩa: Ký hi uệ : ﾥ . M t s d ng (cid:0)ﾥ ậ Nh n xét: ể ọ Ta g i bi u th c d ng Re( )c và b đ ượ ọ ợ c a s ph c ố ứ s ph c liên h p c (cid:0) . N u ế và Re( ) 0
b
b = +
a = +
a bi
ẩ ủ ố ứ ọ modul c a s ph c c S ố ượ ọ đ c g i là ủ ố ứ (hay còn g i là chu n c a s ph c c).
ố ứ ằ b ng nhau n u ế a = c và b = d.
z
= + thì i 2 3
4 9
13
.c c a Ký hi uệ : |c|. Hai s ph c Ví d : ụ
ượ ọ c g i là + = và = - và |
thì:
c di đ z = | z i 2 3 ấ ủ ố ứ và b ab =
b
a=
a
(cid:0) . b) a
a= | |
|
a= �� ﾥ . a
a
1
b
ab
ộ ố 1. M t s tính ch t c a s ph c: ọ ố ứ a ớ V i m i s ph c và ab = (cid:0) b a a) a c) a . d) |
0
b= a | |
||
|
1 b
= b
a b
= b
a
+ b
+
b
(cid:0) f) N u ế thì và . e) |
a |
|
|
|
|
(cid:0) ấ ẳ g) |
ứ (b t đ ng th c tam giác) ọ ủ ố ứ ễ ể
ặ ẳ ứ ﾥ vào m t ph ng t a đ O ộ xy sao cho m t s ph c
ể
ộ ố ọ t p s ph c ọ ộ a; b). Khi đó, ta nói đi m (ể a; b) là nh c a s ph c ằ Ả ủ ụ ể
ộ ố ự a n m trên tr c hoành O ụ ụ ả a; b). nh c a m t s th c y. Do đó, ta g i Oọ ụ ứ a + ủ ố ứ a + bi còn x, y là ự x là tr c th c và tr c O
= -
ứ ặ ặ 3. Bi u di n hình h c c a s ph c: ộ ạ ừ ậ ố Ta xét m t ánh x t ộ ớ ứ bi ng v i m t đi m có t a đ ( ố ạ ả ứ a + bi là t o nh c a đi m ( s ph c ả ộ ố m t s thu n o ụ ả tr c o còn m t ph ng O
a bi
ẳ ọ ố ứ ề ặ ủ ố ứ ả chính là nh c a s ph c c = a + b i qua phép
ủ ằ ầ ả bi có nh n m trên tr c tung O ẳ xy là m t ph ng ph c. ợ c V m t hình h c s ph c liên h p ự ụ ố ứ đ i x ng qua tr c th c.
ễ ể ẳ ặ ạ ứ ạ ố ủ ố ứ Hình: Bi u di n d ng đ i s c a s ph c trên m t ph ng ph c
ượ
|
a bi
15
ng giác c a s ph c: a = + ố ứ ừ ể ố ọ ộ ế ạ 4. D ng l Cho s ph c ủ ố ứ a , khi đó | ả là kho ng cách t đi m (a; b) đ n g c t a đ O.
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
q =
2
2
=
q
=
q
cos
+
a
r
b
r
cos
sin
ạ ượ Hình: D ng l ủ ố ứ ng giác c a s ph c
a
b
r
a = |
|
= > thì 0
2
a + 2
a
b
q =
sin
V i ớ và suy ra và
2
a
+
a
i
b + 2 b a; b). Khi đó, a ể ế đ n đi m ( = q q r sin ) (cos
ị ữ ạ ừ ố ọ ộ ng trong đó q là góc đ nh h ướ t o thành gi a tia O x và tia đi t g c t a đ O
r
ượ c vi < = a r | ng giác ủ ố ứ a c a s ph c .
a= | | arg(
ị ạ d ng l ẳ ở
đ v i ớ 0 ể ị ượ ọ ng và ký hi u là
k
ươ ng d (cid:0) ấ ằ ướ )a ướ ồ ồ và )a ệ . ủ ị ng c a góc đ nh kp ﾥ thì 2 ,
a = + 1 i
q
=
=
2
2
cos
q ,sin
=
+
=
+ =
ế ướ ạ i d ng: t d ọ ượ | . Đây g i là ị ặ a; b) trong m t ph ng hoàn toàn xác đ nh b i modul Ta th y r ng, v trí đi m ( ứ a q đ q . Góc đ nh h ế ủ ố ướ ị c g i là bi n c a s ph c ng góc đ nh h ớ ể Giá tr ị arg( ướ ị ấ ỳ ị ậ có th nh n b t k giá tr nào khác 0, v i quy đ nh h ơ ế ề ượ ướ c chi u kim đ ng h . Do đó, n u hai góc h n kém nhau ng ng h ng là h ộ ố ứ ị chúng cùng xác đ nh m t s ph c. ượ ạ ủ ố ứ ng giác c a s ph c Ví d :ụ Tìm d ng l
r
a
b
1 1
2
1 2
1 2
p
p
q =
a =
+
i
2(cos
, suy ra Gi i:ả Ta có
ọ ượ . ■ . V y ậ Nên ta ch n đ c
4 a = + a bi
p sin ) 4 4 ể ể còn có th bi u di n t
a
a = e
ễ ươ ứ ộ ố ứ ớ ng ng v i m t s ph c khác là
b
=
b
+
ie
i
cos
b sin
ố ứ Ngoài ra s ph c + . b i b sin )
=
+
r
i
q sin )
q (cos
ộ ố ự là m t s th c thì .
ượ ượ ng giác có th ể
e (cos Suy ra, n u ế b ế ố ứ a ậ Vì v y, n u s ph c ễ ướ ạ ể c bi u di n d
a i d ng l , trong đó r là modul và q là bi n ế c a ủ a
q
q
q i
i
q i
i
e
e
=
q
q
=
q
ﾥ .
,
e i 2
ượ đ thì a . ế ướ ạ t d q a = ire - - " (cid:0) cos , sin ứ Công th c Euler: c vi đ i d ng khác là -+ e 2
ứ
ự ủ ố ứ ể ự ệ ễ ộ 5. Lũy th a Công th c Moivre: ượ D a vào d ng l
ng giác c a s ph c ta có th th c hi n m t cách d dàng phép tính ứ
=
+
+
a
i
q (cos
)
q sin ) 1
r 2
1
1
2
2
2
r 1 + q
i +
ừ ạ ừ ủ a ộ ố ứ ự nâng lên lũy th a c a m t s ph c d a vào các công th c sau: q = sin ớ và , khi đó:
2
2
a
q
q (cos q sin( +
1 =
i
r
1 sin 2 )
i ) 2 q 2 (cos 2
)) . T công th c này ta có th suy ra tr .
= r r 1 2 = thì
1
ừ ứ ể ườ ợ ng h p ố ứ q q (cos( a 2
n
ừ ủ ứ ổ ứ ể ọ ạ ộ B ng quy n p ta có công th c t ng quát, g i là công th c Moivre đ tính lũy th a c a m t
+
a =
a
=
nr
i
n
q n (cos
q sin
)
q ire
q n in r e
16
V i hai s ph c + a a . 1 a= a 2 ằ ố ứ s ph c = a n ượ ế ướ ạ ặ ế a ho c n u đ c vi i d ng t d thì .
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
p
=
+
z
i
p sin
z
= + 1
i 3
3
3
� 2 cos � �
� � �
n
n
p
n
n
p in
3
3
=
+
=
=
z
i
2
sin
ạ ượ . Khi đó, d ng l ng giác c a ủ z là: suy ra Ví d : ụ Cho
z
z
e
2 i e
2
p n 3
p n 3
� cos � �
� � �
ể ế ặ ho c có th vi t và
ợ ấ ả ố ứ ỏ t c các s ph c th a ủ ơ ị ậ 6. Khai căn Căn b c n c a đ n v : 6.1 Khai căn b c n:ậ 6.1.1 Đ nh nghĩa:
1) ậ
n (cid:0) Căn b c nậ ( a= . Vi c tìm t p h p y đ
nx
ươ ủ ố ứ a c a s ph c ợ ấ ượ ọ là t p h p t ệ ệ ị ng trình ậ vi c khai căn b c n c g i là ủ ố ứ ậ c a s ph c
a
=
+
r
i
q (cos
q sin )
n
n
b
a
b=
j sin )
p
mãn ph a .
q
p 2
2
n
=
+
=
b
j
=
n
r
i
q sin
0,
1
k n
� k , � �
ố ứ thì ta c n tìm s ph c r= và c Gi = p q - ừ .T đó suy ra: ủ ố ứ ụ + k n ậ ả ử ầ s c n khai căn b c n c a s ph c + j i (cos sao cho + p 2k n
+
i
sin
p 3 4
ầ ứ ượ . Áp d ng công th c Moivre ta tìm đ + p � cos � � ủ ố ứ
� � �
Ví d :ụ Khai căn b c 3 c a s ph c sau: ậ p 3 a � = 3 cos � 4 �
+
+
k
k
p 2
p 2
3
p 3 4
p 3 4
b
=
a 3
=
+
i
sin
Gi i:ả
3
3
� � 3 cos � � �
� � � � �
p
3
+
i
2(cos
Ta có
b = 0
4
p sin ) 4
3
=
b
+
i
sin
ớ V i k = 0 thì
1
� 2 cos � �
� � �
3
=
b
+
i
sin
ớ V i k = 1 thì
2
p 11 12 p 19 12
p 11 12 p 19 12
� 2 cos � �
� � �
ớ V i k = 2 thì
k
k
n
+
ậ ủ ơ ị 6.1.2 Căn b c n c a đ n v :
=
+
,
e ,...,
i
k
n
= 1 cos
sin
,
= : 0,
1
i
sin 0
n
e e e , 0 1
2
1
p 2 n
- - Ta có 1 cos 0 nên . Ký hi u ệ là các
p 2 n n
|
1
e ố k
k
- ứ ặ ằ ẳ nên trong m t ph ng ph c các s n m trên đa
k ườ
: 0, ng tròn đ n v .
ậ ề ơ ị
e = " ủ ơ căn b c n c a đ n v . Vì | 1, ạ giác đ u n c nh n i ti p trong đ Ví d :ụ Các căn b c 6 c a 1 là
17
ị ộ ế ậ ủ
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
e
=
+
=
i
0
cos 0 p
e
=
+
i
i
cos
sin 0 1 p sin
1
1 = + 2
3 2
e
=
+
i
i
cos
sin
2
3 2
1 = - + 2
e
3 p 2 3 +
=
3 p 2 3 = -
i
p cos
p sin
1
3
e
=
+
= -
i
i
cos
sin
4
p 4 3
3 2
1 2
e
=
+
i
i
cos
sin
5
p 4 3 p 5 3
3 2
p 5 3 ể
1 = - 2 ễ
-
ủ Sinh viên hãy bi u di n các căn b c 6 c a 1 lên đ ng tròn đ n v .
ớ ệ ố ứ ặ ọ ơ ị
ườ ơ ả ủ ạ ố M i đa th c b c l n h n ho c b ng 1 v i h s ph c ứ ậ ớ ườ ườ ơ ị ặ ằ ạ ố ng đóng đ i s . ố ứ ng các s ph c là tr Tr
Tóm t ươ Ch
7. Đ nh lý c b n c a đ i s : ứ ươ ớ ọ ộ ố ế ệ ồ ệ ề đ u có nghi m ph c. Hay ắ t ch ng này gi
ế ộ ố ộ ứ ố
ằ
ướ ộ ầ ệ ề
ộ ố ộ ọ ơ ả ộ ố ể ọ ố ữ ế t các m ng ki n th c sau này.
ng: ậ ủ ứ ề ả ệ i thi u m t s ki n th c n n t ng c a Toán h c bao g m: Khái ni m t p ả ầ ề ệ ợ ạ h p, ánh x , quan h , m t s n i dung v phép th và s ph c. Sinh viên c n tham kh o ơ ả ủ ệ ớ ụ ụ i thi u m t s n i dung c b n c a logic toán nh m b thêm ph l c 1, gi c đ u làm quen ươ ề ệ ớ ấ ng pháp ch ng minh m t m nh đ toán v i c u trúc các m nh đ toán h c và m t s ph ả ộ ọ h c. Đây là nh ng n i dung c b n đ h c t ươ i đ ị
ọ ỏ ng này, sinh viên ph i tr l
ứ ứ c các câu h i sau: ứ ợ ộ ậ ữ ậ ậ ợ
ư ế ậ
ứ ứ ứ ạ ố ộ ng ng là ánh x ? Mu n ch ng minh m t
ạ ơ ạ ả ả ờ ượ Khi h c xong ch ể 1. T p h p là gì? Có nh ng cách nào đ xác đ nh m t t p h p? Ch ng minh t p con và ứ ằ ch ng minh hai t p b ng nhau nh th nào? ươ 2. Ánh x là gì? Cách ch ng minh m t phép t ánh x là đ n ánh, toàn ánh, song ánh nh th nào?
ệ ườ ệ ặ ộ ư ế ạ ng g p trong t nào th
ặ ệ ệ ế ạ ọ
ệ ữ 3. Quan h hai ngôi là gì? Có nh ng lo i quan h hai ngôi đ c bi ấ Toán h c? Các khái ni m và tính ch t liên quan đ n lo i quan h này? ể ế ễ 4. Phép th , các phép toán trên các vòng xích và cách phân tích bi u di n phép th thành
ộ ậ ế tích các chu trình đ c l p?
ễ ượ ủ ố ư ế ủ ừ ứ 4. Bi u di n l ộ ng giác c a s ph c nh th nào? Cách tính lũy th a, khai căn c a m t
ể ố ứ s ph c?
\ (
)
\
ớ = (cid:0) A B
Bài t p:ậ A. V t p h p ọ ậ 1. Ch ng minh v i m i t p A, B, C ta luôn có: ;
18
ề ậ ợ ứ A A B a)
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
=
A
� (
B C \
)
(
) \ (
� A B =
A B C
A B \
)
� (
A C \
)
\ (
=
� A B
� A B
� ; A C ) � ; ) ) \ (
(
);
A B \
� (
�
A B B
� B A ) ( \ ) B A = \ ) = A B A A B \ (
\
(
) \
� =� ) ẳ
b) c) ( d) ( A e) f)
ứ 2. Các đ ng th c sau, đ ng th c nào đúng?
\ (
\
);
\A = A B C A B C =
� A B
A C
B C \
� (
)
(
) \ (
ẳ ứ A=� ; ) \ \
� . )
A C
B D
)
(
)
(
)
a) b) ( A c)
A B C
A B
A C
(
(
)
(
)
A B C
A B
A C
(
(
)
(
)
;
A B
A C
)
) \ (
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
B D
A C
A B
(
)
)
(
)
C D (
)
ằ 3. Ch ng minh r ng: =Ǵ� �Ǵ C D A B ) ( =�� �Ǵ ) =�� �ȴ ) = A B C ( ( \ =�Ǵ Ǵ� ứ a) ( b) c) d) e) (
ấ ế ợ
ậ ằ ơ 4. Tích Descartes có tính ch t k t h p không? Vì sao? 5. Gi nhiên khác không bé h n b ng n. Tính
và r là s t ầ ử ố ự ;
s ố ố
ả ử X là t p có n ph n t ầ ử ủ X g m r ph n t ậ ồ a) S các t p con c a ầ ử ủ P(X). c a b) S các ph n t ế ề
ấ ủ ỗ ậ ế ủ ế ỗ ị ấ ả B. V phép th 1. Tìm t
3
X = X =
{1, 2,3, 4}
t c các phép th c a m i t p sau và xác đ nh d u c a m i phép th : {1, 2,3} a)
4
b)
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
ế 2. Cho các phép th sau:
6 5 4 3 2 1
4 1 3 6 5 2
� � �
s � = � �
� iii) � �
w � = � 3 4 1 2 6 5 � ế
m � = � � ị
i) ii)
� � � ấ ủ ấ ủ ớ a) V i m i phép th trên hãy xác đ nh d u c a nó, tìm phép th ngh ch đ o và d u c a ế ị phép th ngh ch đ o đó. b) Tính sm ứ
ế ả ỗ ị
ả và vm ằ 3. Ch ng minh r ng:
ể ể ề ạ ỗ a) M i phép th b c n (n>1) đ u có th phân tích thành tích các chuy n trí d ng (k, (cid:0) k+1) trong đó 1 k
n
ế ậ < . n ế ậ ể ể ề ạ b) M i phép th b c n (n>1) đ u có th phân tích thành tích các chuy n trí d ng (1, k)
ỗ < (cid:0) trong đó 1 k .
ế ẵ ứ ề ể ằ ỗ ộ 4. Ch ng minh r ng m i phép th ch n đ u có th phân tích thành tích các vòng xích đ
dài 3.
19
ấ ủ ế ị 5. Xác đ nh d u c a các phép th sau:
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
1 2 3
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 1
2 1 5 3 4
4 3 2 5 1
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
� � �
a) b) c) d)
� � � 2
1 2 3 4 � � 3 2 4 1 � 2
1
sp ps s
p
,
sp ,
,
,
1 2 3 4 5
s
=
- ườ 6. Tính trong các tr ợ ng h p sau:
2 1 5 3 4
3 5 2 4 1
1 2 3 4 5 � � �
� � = p , � � � �
� � �
1 2 3 4
s
=
a)
4 1 2 3
1 2 3 4 � � 3 4 2 1 �
� � = p , � � � �
� � � ừ
b)
ế ủ ế ố ị ế ẵ 7. Tìm s ngh ch th c a phép th sau, t ế đó suy ra đâu là phép th ch n, đâu là phép th
n
...
:ẻ l
1 ... 1
� � �
1 2 � � -� n n
� � �
a) b) c)
1
� � � =
sign
p (
)
p ign (
s
)
1 2 3 4 5 � � 5 3 2 4 1 � 8. Cho p
1 2 3 4 5 6 7 8 9 � � 1 9 6 3 2 5 4 7 8 � nS , ch ng minh r ng
- ộ ế ộ ứ ằ là m t phép th thu c
ề ệ
ố ị ể ể ộ C. V quan h ậ 1. Cho X là t p các đi m trong không gian và O là m t đi m c đ nh c a ủ X. Trong X ta xác
ệ ị đ nh quan h R nh sau: PRP’ khi và ch khi
X hay không? X\{O} hay không? ng trong ng trong
ẳ O, P, P’ th ng hàng. ươ ệ ươ ng đ ươ ệ ươ ng đ ị ư ệ ậ
ố ỉ ỉ
)
ấ
0X (cid:0)
ữ ậ ủ ệ ư ỉ ả a/ R có ph i là quan h t ả b/ R có ph i là quan h t ﾥ xác đ nh các quan h R và T nh sau: 2. Trong t p các s nguyên b lẻ a R b khi và ch khi a + a + b ch n.ẵ a T b khi và ch khi ệ Hãy xét xem các quan h trên có nh ng tính ch t gì? P X các t p con c a X xác đ nh các quan h P, Q, R, S nh ư ị . Trên t p ậ ( 3. Cho t p ậ
=
� �
A
A B A
P B
sau:
A
Q B
A\B = A
(cid:0)
A R B A S B ệ Hãy xét xem nh ng quan h trên có nh ng tính ch t gì?
2
2
ữ
a
b=
ấ Tb n u ế
ệ ươ ươ ộ ậ ố ự ﾥ cho quan h ệ T nh sau: a ng. ư ng đ T là m t quan h t
ạ
ạ ừ ạ ơ X vào Y sau, ánh x nào là đ n ánh, toàn ánh, song ánh. Trong
=
=
=
ﾥ
arc
Y
f x ( )
(0,
),
,
ườ c. tr
2
ợ X a.
� � A B � � � A B= ữ 4. Trên t p s th c ứ Ch ng minh ề E. V ánh x 1. Trong các ánh x t ạ ượ ng h p song ánh, hãy tìm ánh x ng p x cot =
+
x
x
f x ( )
3
3
= =
- b. X = [1; 2], Y = [1, 7],
ﾥ
X Y
f x
x
x
= ( ) 3
,
4 |
|;
20
- c.
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
2
=
=
=
ﾥ
X
Y
,
;
f x ( )
[0;5],
4
+
+
1
=
=
ﾥ
Y
,
ln
f x ( )
d.
e. X = (1; 0)
ụ ề
2. Đ a ra ví d v ánh x ồ ạ ư fg không t n t
:f X
x 2 x x +� � x 1 . � �-� � x 1 ạ f, g sao cho ồ ạ i ề ồ ạ i nh ng khác nhau. Y ủ ậ ạ là ánh x , A và B là các t p con c a X, C và D là các t p con c a Y.
ư ư a. gf t n t i nh ng b. gf và fg đ u t n t (cid:0) ủ ậ
�
f A B
a. (
�
f B ( ); f B (
);
3. Cho ứ Ch ng minh:
b. ( 1
�
f C D
c.
(
);
)
- - -
1
�
f C D
f A ( ) f A ) ( 1 f C ( 1 f C (
d.
1 f D ( 1 f D (
);
- - -
=� ) � � f A B ) =� ) =� ) ( f X A f X ) (
) \
\
) f A (
);
e. ( 1
1
=
f
X f C
f.
)
(
).
(cid:0) - -
B
Y C ( \ \ 4. Cho ánh x ạ :f A
(cid:0) . Ch ng minh:
A
,
g X :
ứ ỉ ọ ặ ọ ậ ớ ợ ớ a) f là đ n ánh khi và ch khi v i m i t p h p X và v i m i c p ánh x ạ (cid:0) (cid:0) ơ A g X ' : thì
=
hf
Y
h f '
;
h B :
ọ ặ ọ ậ ớ ợ ạ (cid:0) (cid:0) fg = fg’suy ra g = g’. b) f là toàn ánh khi và ch khi v i m i t p h p Y và v i m i c p ánh x Y h B ' :
� � . Ch ng minh:
1
f
B
f
A
f A (
))
(
f
A
1(
f A (
))
1
f
f
B
(
(
))
f B )) ọ A X(cid:0) ọ B Y(cid:0)
B (cid:0)ﾥ
(cid:0) thì Y ỉ ớ suy ra h = h’. A X B Y ; ứ là ánh x và ạ 5. Gi - - (cid:0) (cid:0) ả ử :f X s 1( a) ; - ỉ khi và ch khi ơ f là đ n ánh. b) - ỉ khi và ch khi f là toàn ánh. c)
2
x
x
và ( = , v i m i ớ = , v i m i ớ ﾥ f : 6. Cho ánh x ạ . Hãy tìm:
a ạ a) nh c a các đo n [1, 1]; (2; 1] b) T o nh c a các đo n [1, 1], [1,
3
=
Ả (cid:0) ủ ạ ả
x
f x ( )
24
2
)
- ủ (cid:0)ﾥ ) + x ạ ﾥ b i ở
f
1(
C(cid:0)
; 7. Cho ánh x ạ :f f ﾥ a) Xác đ nhị ( - ị b) Cho A = [1; 1], xác đ nh
:g B
δ
f a g b
A B
(
( );
( )),
a b ( , )
. A ) D(cid:0) ạ ỏ 8. Cho hai ánh x ạ :f A (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ . G i h là ánh x th a: C D " và h A B : = h a b ( ; )
ằ ứ
ơ ơ
21
Ch ng minh r ng: a. N u ế f,g là đ n ánh thì h là đ n ánh; b. N u ế f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh;
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ề ề ả ủ c. Các m nh đ đ o c a hai m nh đ trên có đúng không?
ợ ườ ặ ẳ ng tròn trong m t ph ng. 9. Gi
ậ 0X là t p h p các đ ớ ườ ỗ ạ ế ả ợ ươ ứ ng ng m i tam giác v i đ ng tròn ngo i ti p tam giác đó có ph i
ạ là ánh x t
0X không? T i sao? ng ng m i đ D không? T i sao? ạ
ươ ứ ỗ ườ ả ớ ệ ệ D là t p h p các tam giác, ả ử X ậ s ắ a) Quy t c cho t D đ n ế ạ ừ X ắ b) Quy t c cho t ộ ế ng tròn v i tam giác n i ti p trong nó có ph i là
+
i
a. (2
ánh x t ạ ừ 0X đ n ế X
);
i +
(5
b.
;
+
ể - + i ) -
i
i
c. (2
3 ) ;
(2
5
+
d.
3
- ố ứ F. S ph c ứ 1. Tính các bi u th c sau: + + i (3 2 )(4 )(3 i i )(7 6 ) + i 3 + 3 )
i i
) )
-
ﾥ
(1 (1 n i n ,
e.
.
(cid:0)
= -
+
i y
i x )
ươ ng trình sau: ố ự + +
i y
(1 3 )
i 4 9 .
2. Tìm các s th c x, y th a mãn ph (1 2 ) + + ỏ i 1 4 ; = -
ượ ủ ố ứ a. (2 + i x b. (3 2 ) ạ 3. Tìm d ng l ng giác c a s ph c sau:
a. 5; b. – 2; c. 3i; d. 1 + i; e. 1 – i;
f. 3
i ;
-
-
(
+ 2
) i 3 .
g. 1
+
i
a) (1
1000 )
;
150
+
b) (1
3)
;
30
i +
i
c) ( 3
)
;
+
+
3 2
i 2
� d) 1 � � �
24 � � � �
ổ ề ạ ế ượ ứ ể ể 4. Bi n đ i v d ng l ng giác đ tính các bi u th c sau:
i
1
� 1 � � �
12 � i 3 � �+ �
- e)
cosa và sina
ị 5. Tính các giá tr sau theo
22
a) cos 5a
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
ậ ợ
ơ
ệ
ạ
ố ứ Chư ng 1. T p h p – Ánh x Quan h S ph c
ﾥ
2
b) sin 7a c) cos na và sin na ươ ng trình sau trên i các ph
x a.
2
i ; = -
i 3 4 ;
b.
x 2
= -
x c.
2
ả 6. Hãy gi =
i 12 ; + + x
5
d.
x 2
= i 4 10 +
+
+
x
0; - = i
7)
13
0.
x e.
i (2
-
6
i
a .
;
8
ế ướ ạ ượ ầ ử ủ ậ ợ 7. Vi i d ng l t d ữ ng giác nh ng ph n t c a t p h p sau:
i
b . 8 2(1
);
3 c . 1;
4
-
d
.
-
4; ;i+
e. 3 1
- f. 3 2 2i
+ i 8 24 i 3
g. 3 -
i
3)
- - h. 4 72(1
p
p
ứ ể ễ ậ ặ ợ ẳ 8. Bi u di n trên m t ph ng ph c các t p h p sau:
z
c.
1 |
< | 2,
z
z a. { |
� �
3 4
z
z b. { |
= | 3}; - + (cid:0) i 1
| 2};
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
� z � � {
z
z
z
i
d.
|
1| 1,|
- < 1
arg(z) } | 1
23
- (cid:0) -
ạ ố
ế
Đ i s tuy n tính 1
![Quyển ghi Xác suất và Thống kê [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251030/anh26012006/135x160/68811762164229.jpg)
