zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Chương 1: Tập hợp – ánh xạ quan hệ số phức

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Báo xấu

442
lượt xem 46
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1: Tập hợp – ánh xạ quan hệ số phức sau đây trang bị cho các bạn những kiến thức về khái niệm tập hợp, tập hợp con, các phép toán trên tập hợp; ánh xạ - các ánh xạ đặc biệt; quan hệ hai ngôi; số phức. Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Tập hợp – ánh xạ quan hệ số phức

Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ QUAN HỆ SỐ PHỨC Bài 1: Khái niệm về tập hợp, tập hợp con, các phép toán trên tập hợp __________________________________________________________ 1. Tập hợp: 1.1 Khái niệm: Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không được định nghĩa, mà được hiểu một cách trực giác như sau: “Một tập hợp là một sự quần tụ các đối tượng có cùng thuộc tính nào đó; những đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên của một trường đại học. Tập hợp các số nguyên tố. Ta thường ký hiệu tập hợp bởi chữ cái viết hoa như A, B, C,…, X, Y, Z, … và các phần tử của tập hợp thường được ký hiệu bởi một chữ cái viết thường a, b, x, y. Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a A và đọc là “a thuộc A”. Nếu b không phải là phần tử của A thì ta ký hiệu b A và đọc là “b không thuộc A”. Ví dụ: ﾥ là tập hợp các số tự nhiên ﾥ là tập hợp các số nguyên ﾥ là tập hợp các số thực ﾥ là tập hợp các số hữu tỉ S = {1; 2;3} là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 4. Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào. Ký hiệu: . Ví dụ: tập hợp các số thực mà bình phương của số đó bằng – 1 là tập rỗng. 1.2 Cách xác định một tập hợp: Một tập hợp có thể được xác định bằng các cách như: Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cách liệt kê ra hết các phần tử thuộc tập hợp đó. Phương pháp này chỉ dùng đối với tập hợp hữu hạn. Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7} Phương pháp chỉ ra thuộc tính đặc trưng : Một tập hợp có thể nhận biết bằng cách chỉ ra thuộc tính của đối tượng và dựa vào thuộc tính này ta có thể biết phần tử nào đó có thuộc tập hợp này hay không. Ví dụ: B = {M | OM = r} là tập hợp các điểm nằm trên mặt cầu tâm O bán kính r. C = {n ﾥ | nM3} là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3. 1.3 Sự bằng nhau của hai tập hợp: Đại số tuyến tính 1 1
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Định nghĩa: Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi mọi phần tử của A đều là phần tử của B và ngược lại mỗi phần tử của B đều là phần tử của A. Khi đó ta viết A = B. Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh các điều sau: Nếu x A thì x B Nếu x B thì x A 2. Tập hợp con: 2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì khi đó ta nói tập A chứa trong B, hay tập A là tập hợp con của tập hợp B. Ký hiệu: A B Ví dụ: ﾥ �ﾥ �ﾥ Tập hợp {1; 3} là tập hợp con của tập hợp {1; 2; 3} Tập hợp các tam giác đều là tập hợp con của tập hợp các tam giác. 2.2 Tính chất: Với mọi tập hợp A thì A A ; Với mọi tập hợp A thì ��A ; Nếu A B và B C thì A C (tính chất bắc cầu); Nếu A B và B A thì A = B . 2.3 Tập các tập con của một tập hợp Cho A là một tập hợp, ký hiệu P( A) là tập các tập con của tập A. Nếu A có n phần tử thì P(A) sẽ có 2n phần tử. Ví dụ: A = {a} khi P( A) = { , a} A = {a, b, c} thì P( A) = { ,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} 3. Các phép toán trên tập hợp 3.1 Hợp của các tập hợp 3.1.1 Định nghĩa: Cho A và B là hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A, B là hợp của hai tập A, B. Ký hiệu: C = A B hoặc A �B = {x | x �A hoặc x B} A Biểu đồ Venn: A B Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C là các tập như sau: A = {x | f ( x) = 0} và B = {x | g ( x) = 0} thì C = {x | f ( x ).g ( x) = 0} . Khi đó C = A B 3.1.2 Định lý: Với A, B, C là các tập nào đó khi đó i) Nếu B A thì A �B = A ; ii) Với mọi tập hợp A thì A ��= A và A �A = A ; Đại số tuyến tính 1 2
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức iii) A �B = B �A ; iv) A �( B �C ) = ( A �B ) �C . 3.2 Giao của các tập hợp 3.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A, B là giao của hai tập hợp A, B. Ký hiệu: C = A �B = {x | x �� A và x B} A Biểu đồ Venn: A B 3.2.2 Định lý: Với A, B, C là các tập hợp tùy ý thì ta có các khẳng định sau: i) Nếu B A thì A �B = B . Với mọi tập hợp A thì A ��= � và A �A = A ; ii) A �B = B �A ; iii) ( A �B ) �C = A �( B �C ) . 3.2.3 Định lý: Cho A, B, C là các tập tùy ý khi đó: i) A �( A �B) = A ; ii) ( A �B) �B = B ; iii) A �( B �C ) = ( A �B ) �( A �C ) ; iv) A �( B �C ) = ( A �B ) �( A �C ) . 3.3 Hiệu của hai tập hợp 3.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý. Ta gọi tập hợp C gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B là hiệu của tập A và tập B. Ký hiệu: C = A\B hoặc A \ B = {x | x �� A và x B} Biểu đồ Venn: A\ B A B 3.3.2 Định lý: Với A, B, C, D là các tập nào đó, khi đó: 1. A \ B = khi và chỉ khi A B ; 2. Với A, B bất kỳ thì A \ B A ; 3. Nếu A B và D C thì A \ C B \ D ; 4. Nếu A B thì với tập C bất kỳ ta có C \ B C \ A . 3.4 Phần bù Nếu B A thì A\B được gọi là phần bù của B trong A, ký hiệu C A ( B) hay C A ( B) = {x �� A | x B} . Đại số tuyến tính 1 3
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Thực chất phần bù C A ( B) là hiệu A\B với điều kiện B A nên mọi tính chất liên quan đến phần bù được suy ra từ tính chất của phép hiệu A\B. 3.4.1 Định lý: Với các tập A, B, C tùy ý ta có A \ ( B �C ) = ( A \ B) �( A \ C ) ; A \ ( B �C ) = ( A \ B ) �( A \ C ) . Công thức đối ngẫu De Morgan C A (U Bi ) = I(C A ( Bi )) ; i i C A (IBi ) = U(C A ( Bi )) . i i Ta có thể phát biểu phần bù của hợp bằng giao các phần bù, phần bù của giao bằng hợp các phần bù. 3.5 Hiệu đối xứng của A và B: Ký hiệu: A∆ B = ( A \ B) ( B \ A) Biểu đồ Venn: A\ B A B 3.6 Tích Descartes của các tập hợp Giả sử a và b là hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng này ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) và gọi là cặp (a; b). Hai cặp (a; b) và (c; d) được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d. Nếu a b thì cặp (a; b) và (b; a) được coi là khác nhau. 3.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes của n tập hợp A1 , A2 ,..., An là tập hợp gồm tất cả các dãy sắp thứ tự (a1 ; a2 ;...; an ) trong đó a1 �A1 , a2 �A2 ,..., an �An . Ta ký hiệu tích Descartes trên là A1 A2 ... An . Nếu A1 = A2 = ... = An thì tích Descartes của chúng được ký hiệu là An . 3.6.2 Ví dụ: Cho A1 = {a; b} , A2 = {c; d }, A3 = {1; 2} . Khi đó: A1 A2 A3 = {(a; c;1), (a; d ;1), (a; c; 2), ( a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)} 3.6.3 Nhận xét: A B = khi và chỉ khi A = hoặc B = . Nếu A B thì A '�̴B ' A B khi và chỉ khi A ' A và B ' B . Đại số tuyến tính 1 4
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Bài 2: Khái niệm cơ bản về ánh xạ Các ánh xạ đặc biệt ______________________________________________________ 1. Ánh xạ: 1.1 Khái niệm: Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc tương ứng f mỗi phần tử x X với một và chỉ một phần tử y Y được gọi là ánh xạ từ tập X vào tập Y. Ký hiệu: f : X Y hoặc X f Y . Phần tử y Y , tương ứng với phần tử x X qua ánh xạ f, khi đó, x được gọi là tạo ảnh của y và y được gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ngoài ra, X được gọi là tập nguồn (miền xác định), Y còn được gọi là tập đích (miền giá trị) của ánh xạ f. 1.2 Ví dụ: Hàm số y = x – 1 là ánh xạ từ tập số thực ﾥ vào ﾥ Hàm số y = lg x là ánh xạ từ ﾥ + vào ﾥ Phép tương ứng mỗi số x ﾥ + với một số y ﾥ sao cho x = y 2 không là ánh xạ vì với một giá trị x > 0 ta sẽ có hai giá trị của y là: y = x và y = − x đều tương ứng với x. 1 Phép tương ứng f : ﾥﾥ sao cho f ( x ) = không phải là ánh xạ vì với x = −1 ﾥ thì x +1 không có y ﾥ tương ứng với x đã cho. 1.3 Định nghĩa: Bộ phận A của tập X được gọi là ổn định đối với ánh xạ f với f : X � Y � ∀a �A, f (a) �A . 1.4 Ánh xạ bằng nhau: Định nghĩa: Cho f và g là hai ánh xạ từ X vào Y. Ánh xạ f được gọi là bằng ánh xạ g nếu f(x) = g(x) với mọi x X . Nếu với mọi x X đều có f ( x) = a với a là một phần tử xác định của Y, thì ta nói f là một ánh xạ không đổi, hay ánh xạ hằng số. Nếu X = Y và f ( x) = x, với mọi x X thì f được gọi là ánh xạ đồng nhất của X. Ký hiệu 1X . Đại số tuyến tính 1 5
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Nhận xét: Hai ánh xạ f và g là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có chung tập nguồn và chung tập đích và ∀x �X , f ( x) = g ( x) . 2. Ảnh và tạo ảnh: 2.1 Ảnh của một tập hợp: a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X Y và A là một tập con của X. Tập con của Y gồm ảnh của tất cả các phần tử của A được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Ký hiệu: f(A). Hay, f ( A) = { f ( x) | x A} . Khi đó, y �f ( A) � ∃x �A, y = f ( x) . b) Định lý: Cho ánh xạ f : X Y . Với hai tập con tùy ý A và B của X ta có: f ( A �B) = f ( A) � f ( B) và f ( A �B) � f ( A) � f ( B) . (Sinh viên tự chứng minh như bài tập.) 2.2 Tạo ảnh của một tập hợp: a) Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X Y và U là một tập con tùy ý của Y. Tập con của X gồm các phần tử x X sao cho f ( x) U được gọi là tạo ảnh toàn phần của U qua ánh xạ f . Ký hiệu: f −1 (U ) . Khi đó, f −1 (U ) = {x �� X | f ( x ) U } và x �f −1 (U ) � f ( x ) �U . b) Định lý: Cho ánh xạ f : X Y . Với hai tập con bất kỳ A, B của Y thì f −1 ( A �B ) = f −1 ( A) � f −1 ( B ) ; f −1 ( A �B ) = f −1 ( A) � f −1 ( B ) . (Sinh viên tự chứng minh như bài tập nhỏ). 3. Các loại ánh xạ đặc biệt 3.1 Đơn ánh: 3.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X Y được gọi là một đơn ánh nếu với hai phần tử khác nhau x1 và x2 bất kỳ của X thì f ( x1 ) f ( x2 ) . Nói cách khác, f là một đơn ánh nếu mọi phần tử của tập đích chỉ có tối đa một tạo ảnh trong tập nguồn. Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một đơn ánh ta chứng minh: ∀x1 , x2 ι X , x1 x2 thì f ( x1 ) f ( x2 ) . Hoặc ∀x1 , x2 �X , f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x1 = x2 . 3.1.2 Ví dụ: Ánh xạ f : ﾥﾥ xác định bởi f ( x ) = x 2 không là đơn ánh vì f(1) = f(1) = 1. 1 Ánh xạ f : ﾥﾥ xác định bởi f (n) = là một đơn ánh vì với hai số tự nhiên khác nhau n 1 1 m, n thì . n m iA : A E Nếu A E , ánh xạ nhúng chính tắc là một đơn ánh được gọi là đơn ánh chính x a x tắc từ A vào E. 3.2 Toàn ánh: Đại số tuyến tính 1 6
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức 3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X Y được gọi là một toàn ánh nếu f(X) = Y. Nói cách khác f :X Y là toàn ánh nếu với mọi y Y đều tồn tại x X sao cho f(x) = y. Toàn ánh f : X Y còn được gọi là ánh xạ toàn ánh từ X lên Y. Từ định nghĩa trên, để chứng minh f là một toàn ánh thì ta cần chứng minh ∀y �Y , ∃x �X sao cho f(x) = y. Nhận xét: Nói cách khác một ánh xạ f : X Y là toàn ánh khi và chỉ khi mọi phần tử của Y có ít nhất một tạo ảnh trong X. 3.2.2 Ví dụ: Ánh xạ f : ﾥﾥ xác định bởi công thức f ( x) = cos x không là toàn ánh vì tồn tại số 2 ﾥ mà không có x ﾥ để cos x = 2 . Tuy nhiên nếu xét ánh xạ g từ tập số thực ﾥ vào đoạn [1, 1] thì g là toàn ánh. 3.3 Song ánh 3.3.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Để chứng minh một ánh xạ f là song ánh thì ta phải chứng minh f là đơn ánh và f là toàn ánh, hoặc chứng minh rằng ∀y Y tồn tại duy nhất x X sao cho f ( x) = y . 3.3.2 Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất 1X : X X là một song ánh. f :ﾥﾥ Ánh xạ không là song ánh vì nó không phải là toàn ánh (cũng không là đơn ánh). x a x 2 Nhận xét: Một ánh xạ bất kỳ từ E vào E gọi là một hoán vị của E. Ví dụ: f :ﾥﾥ Cho x a 2 x và g :ﾥﾥ y Nếu y chẵn 2 y a y −1 Nếu y lẻ 2 Khi đó f là đơn ánh không là toàn ánh. g là toàn ánh không là đơn ánh. (Sinh viên tự kiểm tra.) 3.4 Tích các ánh xạ: h: X Z 3.4.1 Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z . Ánh xạ được x a g ( f ( x)) gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g. Ký hiệu h = g o f hay h = gf. Đại số tuyến tính 1 7
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Nhận xét: Theo định nghĩa ta chỉ xác định được tích gf khi tập đích của f chứa trong tập nguồn của g. Nếu f : X X và g : X X thì ta có thể xác định được tích fg và tích gf, tuy nhiên gf có thể khác với fg, hay tích của hai ánh xạ không giao hoán. Ví dụ: Nếu f và g là hai ví dụ cho ở trên thì g o f = Id N nhưng f og :ﾥﾥ Nếu y chẵn x x a Nếu y lẻ x −1 3.4.2 Định lý: Cho f : X Y , g : Y T và h : T U thì h(gf)=(hg)f. 3.4.3 Định lý: Giả sử f : X Y và g : Y T là hai ánh xạ và h = gf : X T . Khi đó: a) Nếu f, g là các đơn ánh thì h là đơn ánh; b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh; c) Nếu h là đơn ánh và f là toàn ánh thì g là đơn ánh; d) Nếu f, g là toàn ánh thì h là toàn ánh; e) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh; f) Nếu h là toàn ánh và g là đơn ánh thì f là toàn ánh. 3.4.4 Hệ quả: Giả sử f : X Y và g : Y T là các song ánh thì gf cũng là song ánh. 3.5 Ánh xạ ngược 3.5.1 Định nghĩa: Giả sử f : X Y và g : Y X là hai ánh xạ thỏa: gf = 1X và fg = 1Y thì khi đó g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. f :ﾥﾥ f −1 : ﾥﾥ Ví dụ: Ánh xạ 3 có ánh xạ ngược x a x y a 3 y Trong trường hợp các hàm, khái niệm ánh xạ ngược chính là khái niệm hàm số ngược. 3.5.2 Định lý: Ánh xạ f : X Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh. Nếu f là song ánh thì f −1 cũng là song ánh. 3.5.3 Định lý: IÁnh xạ ngược của một ánh xạ là duy nhất. 3.5.4 Định lý: Nếu f : E F và g : F G là những song ánh, thì g o f : E G là song ánh và ( g o f ) = f −1 o g −1 −1 3.6 Thu hẹp và thác triển (hoặc mở rộng) ánh xạ: 3.6.1 Thu hẹp ánh xạ: Cho X và Y là hai tập hợp và f : X Y là một ánh xạ, gọi A là một tập con của X. Khi đó thu hẹp của f vào A là ánh xạ ký hiệu là f | A xác định bởi: f |A: A Y x a f ( x) 3.6.2 Thác triển (mở rộng) ánh xạ: Đại số tuyến tính 1 8
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Cho X và Y là hai tập hợp và f : X Y là một ánh xạ, X’ là tập hợp sao cho X X ' . Khi đó, mở rộng của f trên X’ là ánh xạ g : X ' Y sao cho ∀x �X , g ( x ) = f ( x) . Ví du: * f :ﾥﾥ sin x x a x g :ﾥﾥ sin x Khi đó, ánh xạ g là một mở rộng của f được xác định bởi: x 0 x a x 1 x = 0 Nhận xét: g là mở rộng duy nhất của f và liên tục tại 0. Bài 3: Phép thế _____________ 1. Khái niệm: Phép thế trên một tập hợp X là một song ánh từ X lên chính nó. Khi X là tập có n phần tử thì phép thế trên X gọi là phép thế bậc n. Không mất tính tổng quát ta lấy tập n phần tử là X = {1, 2, … , n} Tập hợp các phép thế của tập {1,2, …, n} được ký hiệu là S n . Thông thường ta ký hiệu một phép thế như sau: �1 2 ... n � π =� �π (1) π (2) ... π (n) �� Ta có thể xem (π (1), π (2),..., π ( n)) như là một cách sắp xếp thứ tự của tập {1, 2, … , n} nên ta có thể viết gọn phép thế π dưới dạng (π (1), π (2),..., π ( n)) . Vì π là một song ánh nên các phần tử π (1), π (2),..., π (n) ở dòng dưới đều khác nhau do đó chúng là một hoán vị của n phần tử 1, 2, …, n. Vậy, mỗi một hoán vị xác định một phép thế bậc n nên số các phép thế bậc n bằng số các hoán vị của tập có n phần tử và bằng n!. Nếu phép thế π chỉ đổi chỗ hai phần tử i
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức � 1 2 3� Trong đó: � �= (1 2) là một chuyển vị. �2 1 3 � Cho a1 , a2 ,..., ak là các phần tử khác nhau của {1, 2, …, n}. Phép thế π giữ nguyên các phần tử khác a1 , a2 ,..., ak và thỏa mãn π (a1 ) = a2 , π (a2 ) = a3 ,..., π (ak −1 ) = ak , π (ak ) = a1 được gọi là một vòng xích độ dài k. Ký hiệu: (a1 , a2 ,..., ak ) . Khi đó ta có (a1 , a2 ,..., ak ) = ( a1 , a2 ,..., ak −1 ) o ( ak −1 , ak ) . Vòng xích độ dài 1 chính là phép thế đồng nhất. Vòng xích độ dài 2 gọi là phép chuyển vị hoặc (chuyển trí). 1 2 3 4 5 6 7 8� � Ví dụ: Cho phép thế π = � �= ( 1 7 2 6 3 5 4 ) là vòng xích 7 6 5 1 4 3 2 8� � độ dài 7. Hai vòng xích f = (i1...im ) và g = ( j1... jk ) gọi là độc lập nếu {i1 , i2 ,..., im } �{ j1 , j2 ,... jk } = �. Ví dụ: Vòng xích f = ( 1 2 3 4 ) và g = ( 5 6 7 ) là hai vòng xích độc lập. Nếu f, g là các phép thế bậc n thì tích f o g , g o f (là tích của hai ánh xạ), ánh xạ ngược f −1 và ánh xạ đồng nhất 1X cũng là phép thế bậc n. Nhận xét: Phép nhân các vòng xích độc lập có tính chất giao hoán. Ví dụ: Cho các phép thế bậc 4 f và g như sau: 1 2 3 4� � �1 2 3 4� f =� � và g = � � khi đó: �2 4 3 1� �4 3 2 1 � 1 2 3 4� � 1 2 3 4� � −1 �1 2 3 4� f .g = � �; g. f = � � và f = � � 1 3 4 2� � 3 1 2 4� � �4 1 3 2 � 3. Định lý: Mọi phép thế bậc n khác phép thế đồng nhất đều phân tích được duy nhất (không kể thứ tự) thành tích các vòng xích độc lập độ dài lớn hơn hoặc bằng 2. 4. Hệ quả: Mọi phép thế đều phân tích được thành tích các chuyển vị. 1 2 3 4 5 6 7 8 9� � Ví dụ: f = � �= ( 1 8 2 4 3) ( 5 9 6 7 ) 8 4 1 3 9 7 5 2 6� � 5. Dấu của phép thế 5.1 Định nghĩa: Ta gọi cặp (i j ) {1, 2,..., n} là một nghịch thế của phép thế π nếu i – j trái dấu với π (i ) − π ( j ) (hoặc i π ( j ) ). Phép thế với số nghịch thế chẵn (lẻ) được gọi là phép thế chẵn (lẻ). Dấu của π nhận giá trị bằng 1 nếu π là phép thế chẵn và bằng – 1 nếu π là phép thế lẻ. Ta ký hiệu dấu của phép thế π là sign(π ) . 1 2 3� � Ví dụ: Xét phép thế � � thì cặp (1 3) là một nghịch thế vì 1 π (3) = 1 . Đây là một phép thế lẻ. Đại số tuyến tính 1 10
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức 1 2 3 4� � Xét phép thế � � có các cặp nghịch thế là (1 4) và (2 3) nên đây là một phép thế �4 3 2 1� chẵn. 5.2 Tính chất: n! Số phép thế chẵn bậc n bằng số các phép thế lẻ bậc n và bằng . 2 Tích của hai phép thế có cùng tính chẵn, lẻ là phép thế chẵn. Tích của hai phép thế khác tính chẵn lẻ là phép thế lẻ. Khi phân tích một phép thế thành tích của các chuyển vị thì số các chuyển vị tham gia trong tích là số chẵn hay lẻ tùy theo phép thế đó là chẵn hay lẻ. π (i ) − π ( j ) 5.3 Định lý: Với mọi phép thế π S n ta có sign(π ) = . 1 i< j n i− j Nhận xét: Sign(1X ) = 1, Sign( f −1 ) = Sign( f ) với mọi f S n . 5.4 Định lý: Với mọi σ , π S n ta có sign(σπ ) = sign(σ ).sign(π ) . Bài 4: Quan hệ hai ngôi _______________________ 1. Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, ta nói S là một quan hệ hai ngôi trên X nếu S là một tập con của tích Descartes X 2 . Nếu hai phần tử a, b thỏa (a; b) S thì ta nói a có quan hệ S với b. Khi đó, thay vì viết (a; b) S ta có thể viết là aSb. 2.Ví dụ: Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên. Quan hệ bằng nhau. Quan hệ lớn hơn. 3. Một số quan hệ thường gặp: 3.1 Quan hệ tương đương: 3.1.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất sau: i) Phản xạ: xSx, với mọi x X , ii) Đối xứng: Nếu xSy thì ySx, với mọi x, y X . Đại số tuyến tính 1 11
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức iii) Bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz với mọi x, y, z X . Khi trên tập X đã xác định một quan hệ tương đương, khi đó thay vì viết xSy ta thường ký hiệu x : y . 3.1.2 Ví dụ: Quan hệ bằng nhau ở các tập hợp số ﾥ ; ﾥ ; ﾥ ; ﾥ ... là một quan hệ tương đương vì thỏa các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. Xét trong ﾥ quan hệ S xác định bởi xSy � x 2 − y 2 = x − y là một quan hệ tương đương. Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương của hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. (Chú ý: Hai đường thẳng được gọi là cùng phương là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.) Quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng không phải là quan hệ tương đương vì không thỏa tính phản xạ. Quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên ﾥ không phải là quan hệ tương đương vì không có tính chất đối xứng. Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp số tự nhiên ﾥ không là quan hệ tương đương vì không có tính chất bắt cầu. Ví dụ (2, 3) = 1; (4, 3) = 1 nhưng (4, 2) 1 . Cho S là một quan hệ tương đương trên tập X và x X . Ta gọi tập hợp S ( x) = { y X | y : x} là lớp tương đương của x theo quan hệ tương đương S. Khi đó ta có: S ( x) vì x S ( x) . U S ( x) = X . x X ∀x, y X thì hoặc S(x) = S(y) hoặc S ( x) �S ( y ) = �. Từ tính chất trên ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đương S(x). Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/S và gọi là tập thương của X qua quan hệ tương đương S. 3.2 Quan hệ thứ tự: 3.2.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu quan hệ đó có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng (tức là nếu xSy và ySx thì suy ra x = y với mọi x, y X ). Nếu tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận S thì ta nói X là một tập được sắp thứ tự bởi S. Ta thường dùng ký hiệu để chỉ một quan hệ thứ tự bộ phận. Với hai phần tử x, y X , nếu x có quan hệ với y ta viết x y (đọc là “x bé hơn hay bằng y”) hoặc viết y x (đọc là “y lớn hơn hay bằng x”). Khi x y thì thay cho x y (hay y x ) ta viết x x) và đọc là “x bé hơn y” (hay “y lớn hơn x”). Quan hệ thứ tự trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu với mọi x, y X ta đều có x y hoặc y x . Một quan hệ thứ tự không toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay từng phần). 3.2.2 Các phần tử đặc biệt. Quan hệ thứ tự tốt. Cho X là tập được sắp thứ tự bởi và A là một tập con của X. Đại số tuyến tính 1 12
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Phần tử a A được gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của A nếu với mọi x A thì a x ( x a ). Phần tử a A được gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) của A nếu với mọi A,=x �� x Σ� a = x a, (a x a x ) . Phần tử x0 X được gọi là cận dưới (cận trên) của A nếu với mọi a Σ� A : x0 a (a x0 ). Quan hệ thứ tự trong X được gọi là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Khi đó, X gọi là được sắp tốt bởi . Ví dụ: a) Cho X là một tập hợp, trên P(X) ta xét quan hệ bao hàm . Ta chứng minh được đây là một quan hệ thứ tự bộ phận trên P(X). Ngoài ra, nếu X chứa ít nhất hai phần tử x y thì quan hệ thứ tự trên không phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự toàn phần) vì {x} không so sánh được với {y}. b) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên ﾥ là một quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không phải quan hệ thứ tự tốt vì không phải mọi tập con khác rỗng của ﾥ đều có phần tử bé nhất. Ví dụ: Tập {..., 2, 1, 0} không có phần tử tối tiểu. c) Quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên ﾥ là một quan hệ thứ tự bộ phận, nhưng không phải là quan hệ tuyến tính. d) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp số tự nhiên ﾥ là một quan hệ thứ tự tuyến tính, hơn nữa đây còn là một quan hệ thứ tự tốt. Với phần tử bé nhất là phần tử 0, nhưng không có phần tử lớn nhất. e) Trong tập các số tự nhiên lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết các phần tử tối tiểu là các số nguyên tố. 3.3 Các nguyên lý tương đương: 3.3.1 Tiên đề chọn: Với mọi họ không rỗng ( X α )α I các tập hợp khác rỗng X α , α I đều có một ánh xạ f : I UX α I α sao cho f (α ) X α với mọi α I. 3.3.2 Nguyên lý sắp tốt: Mọi tập hợp không rỗng đều có thể được sắp tốt (tức là tồn tại một quan hệ thứ tự tốt trên tập đó). 3.3.3 Bổ đề Zorn: Cho X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bởi . Nếu mọi tập con A của X được sắp toàn phần bởi , đều có cận trên thì X có phần tử tối đại. Đại số tuyến tính 1 13
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Bài 5: Số phức ______________ Số phức được sử dụng để giải phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 khi ∆ = b 2 − 4ac < 0 . Ta xét tập hợp sau: ﾥ = {a + bi | a, b ﾥ } , trong đó i được gọi là đơn vị ảo thỏa mãn i 2 = −1 . Trong tập hợp này, ta xác định hai phép toán như sau: Phép cộng +: Với mọi a + bi, c + di ﾥ thì (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i. Phép nhân .: Với mọi a + bi, c + di ﾥ thì (a + bi )(c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc)i Nhận xét: Nếu z = a + bi và z ' = a '+ b ' i thì Đại số tuyến tính 1 14
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức z �ac + bd � �bc − ad � z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i và =� �+ � i � z ' �c 2 + d 2 � �c 2 + d 2 � 1. Định nghĩa: Tập hợp với hai phép toán như trên được gọi là trường số phức. Ký hiệu: ﾥ . Một số dạng a + bi, với i 2 = −1 được gọi là số phức. Nhận xét: ﾥﾥ Ta gọi biểu thức dạng c = a + bi là dạng đại số của số phức c trong đó a là phần thực, ký hiệu là Re(c) và b được gọi là phần ảo của số phức c, ký hiệu Im(c) . Khi đó, c = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức c. c �ﾥ � Im(c ) = 0 . Nếu c 0 và Re(c) = 0 thì ta nói c là số thuần ảo. Số c.c = a 2 + b 2 được gọi là modul của số phức c (hay còn gọi là chuẩn của số phức c). Ký hiệu: |c|. Hai số phức α = a + bi và β = c + di được gọi là bằng nhau nếu a = c và b = d. Ví dụ: z = 2 + 3i thì z = 2 − 3i và | z |= 4 + 9 = 13 1. Một số tính chất của số phức: Với mọi số phức α và β thì: a) α β = α β và α β = αβ . b) α = α c) α = α �� α ﾥ . d) | α |=| α | . 1 1 α α e) | αβ |=| α || β | . f) Nếu β 0 thì = và = β β β β g) | α + β | | α | + | β | (bất đẳng thức tam giác) 3. Biểu diễn hình học của số phức: Ta xét một ánh xạ từ tập số phức ﾥ vào mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho một số phức a + bi ứng với một điểm có tọa độ (a; b). Khi đó, ta nói điểm (a; b) là ảnh của số phức a + bi còn số phức a + bi là tạo ảnh của điểm (a; b). Ảnh của một số thực a nằm trên trục hoành Ox, một số thuần ảo bi có ảnh nằm trên trục tung Oy. Do đó, ta gọi Ox là trục thực và trục Oy là trục ảo còn mặt phẳng Oxy là mặt phẳng phức. Về mặt hình học số phức liên hợp c = a − bi chính là ảnh của số phức c = a + b i qua phép đối xứng qua trục thực. Hình: Biểu diễn dạng đại số của số phức trên mặt phẳng phức 4. Dạng lượng giác của số phức: Cho số phức α = a + bi , khi đó | α | là khoảng cách từ điểm (a; b) đến gốc tọa độ O. Đại số tuyến tính 1 15
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức Hình: Dạng lượng giác của số phức a Với | α |= a 2 + b 2 = r > 0 thì a = r cos θ và b = r sin θ suy ra cos θ = và a + b2 2 b sin θ = trong đó θ là góc định hướng tạo thành giữa tia Ox và tia đi từ gốc tọa độ O a 2 + b2 đến điểm (a; b). Khi đó, α được viết dưới dạng: α = r (cos θ + i sin θ ) với 0 < r =| α | . Đây gọi là dạng lượng giác của số phức α . Ta thấy rằng, vị trí điểm (a; b) trong mặt phẳng hoàn toàn xác định bởi modul r =| α | và góc định hướng θ . Góc định hướng θ được gọi là biến của số phức α và ký hiệu là arg(α ) . Giá trị arg(α ) có thể nhận bất kỳ giá trị nào khác 0, với quy định hướng dương của góc định hướng là hướng ngược chiều kim đồng hồ. Do đó, nếu hai góc hơn kém nhau k 2π , k ﾥ thì chúng cùng xác định một số phức. Ví dụ: Tìm dạng lượng giác của số phức α = 1 + i 1 1 Giải: Ta có r = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2 , suy ra cos θ = ,sin θ = 2 2 π π π Nên ta chọn được θ = . Vậy α = 2(cos + i sin ) . ■ 4 4 4 Ngoài ra số phức α = a + bi còn có thể biểu diễn tương ứng với một số phức khác là α e = e a (cos b + i sin b) . Suy ra, nếu β là một số thực thì eiβ = cos β + i sin β . Vì vậy, nếu số phức α được viết dưới dạng lượng giác α = r (cos θ + i sin θ ) thì α có thể được biểu diễn dưới dạng khác là α = reiθ , trong đó r là modul và θ là biến của α . eiθ + e − iθ eiθ − e − iθ Công thức Euler: cos θ = , sin θ = , ∀θ ﾥ . 2 2i 5. Lũy thừa Công thức Moivre: Dựa vào dạng lượng giác của số phức ta có thể thực hiện một cách dễ dàng phép tính nâng lên lũy thừa của một số phức dựa vào các công thức sau: Với hai số phức α1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) và α 2 = r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) , khi đó: α1.α 2 = r1r2 (cos(θ1 + θ 2 ) + i sin(θ1 + θ 2 )) . Từ công thức này ta có thể suy ra trường hợp α1 = α 2 = α thì α 2 = r 2 (cos 2θ + i sin 2θ ) . Bằng quy nạp ta có công thức tổng quát, gọi là công thức Moivre để tính lũy thừa của một số phức α n = r n (cos nθ + i sin nθ ) hoặc nếu α được viết dưới dạng α = reiθ thì α n = r n einθ . Đại số tuyến tính 1 16
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức � π π� Ví dụ: Cho z = 1 + 3i . Khi đó, dạng lượng giác của z là: z = 2 �cos + i sin � suy ra � 3 3� � nπ nπ � z n = 2n � cos + i sin � hoặc có thể viết z = 2e và z = 2 e iπ 3 n n inπ 3 � 3 3 � 6. Khai căn Căn bậc n của đơn vị: 6.1 Khai căn bậc n: 6.1.1 Định nghĩa: Căn bậc n (n 1) của số phức α là tập hợp tất cả các số phức thỏa mãn phương trình x n = α . Việc tìm tập hợp ấy được gọi là việc khai căn bậc n của số phức α. Giả sử cần khai căn bậc n của số phức α = r (cos θ + i sin θ ) thì ta cần tìm số phức β = p (cos ϕ + i sin ϕ ) sao cho α = β n . Áp dụng công thức Moivre ta tìm được p = n r và θ + k 2π � θ + k 2π θ + k 2π � ϕ= .Từ đó suy ra: β = n r �cos + i sin , k = 0, n − 1 � n � n n � Ví dụ: Khai căn bậc 3 của số phức sau: � 3π 3π � α = 3 �cos + i sin � � 4 4 � Giải: � 3π 3π � � + k 2π + k 2π � Ta có β = α = 3 �cos 3 3 4 + i sin 4 � � 3 3 � � � π π Với k = 0 thì β 0 = 3 2(cos + i sin ) 4 4 � 11π 11π � Với k = 1 thì β1 = 3 2 �cos + i sin � � 12 12 � � 19π 19π � Với k = 2 thì β 2 = 3 2 �cos + i sin � � 12 12 � 6.1.2 Căn bậc n của đơn vị: k 2π k 2π Ta có 1 = cos 0 + i sin 0 nên n 1 = cos + i sin , k := 0, n − 1 . Ký hiệu ε 0 , ε1 , ε 2 ,..., ε n −1 là các n n căn bậc n của đơn vị. Vì | ε k |= 1, ∀k : 0, n − 1 nên trong mặt phẳng phức các số ε k nằm trên đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn đơn vị. Ví dụ: Các căn bậc 6 của 1 là Đại số tuyến tính 1 17
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức ε 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 π π 1 3 ε1 = cos + i sin = + i 3 3 2 2 2π 2π 1 3 ε 2 = cos + i sin = − +i 3 3 2 2 ε 3 = cos π + i sin π = −1 4π 4π 1 3 ε 4 = cos + i sin = − −i 3 3 2 2 5π 5π 1 3 ε 5 = cos + i sin = −i 3 3 2 2 Sinh viên hãy biểu diễn các căn bặc 6 của 1 lên đường tròn đơn vị. 7. Định lý cơ bản của đại số: Mọi đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghiệm phức. Hay Trường các số phức là trường đóng đại số. Tóm tắt chương: Chương này giới thiệu một số kiến thức nền tảng của Toán học bao gồm: Khái niệm tập hợp, ánh xạ, quan hệ, một số nội dung về phép thế và số phức. Sinh viên cần tham khảo thêm phụ lục 1, giới thiệu một số nội dung cơ bản của logic toán nhằm bước đầu làm quen với cấu trúc các mệnh đề toán học và một số phương pháp chứng minh một mệnh đề toán học. Đây là những nội dung cơ bản để học tốt các mảng kiến thức sau này. Khi học xong chương này, sinh viên phải trả lời được các câu hỏi sau: 1. Tập hợp là gì? Có những cách nào để xác định một tập hợp? Chứng minh tập con và chứng minh hai tập bằng nhau như thế nào? 2. Ánh xạ là gì? Cách chứng minh một phép tương ứng là ánh xạ? Muốn chứng minh một ánh xạ là đơn ánh, toàn ánh, song ánh như thế nào? 3. Quan hệ hai ngôi là gì? Có những loại quan hệ hai ngôi đặc biệt nào thường gặp trong Toán học? Các khái niệm và tính chất liên quan đến loại quan hệ này? 4. Phép thế, các phép toán trên các vòng xích và cách phân tích biểu diễn phép thế thành tích các chu trình độc lập? 4. Biểu diễn lượng giác của số phức như thế nào? Cách tính lũy thừa, khai căn của một số phức? Bài tập: A. Về tập hợp 1. Chứng minh với mọi tập A, B, C ta luôn có: a) A \ ( A \ B) = A B ; Đại số tuyến tính 1 18
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức b) A �( B \ C ) = ( A �B) \ ( A �C ) ; c) ( A \ B) �( A \ C ) = A \ ( B �C ) ; d) ( A \ B) �( B \ A) = ( A �B) \ ( A �B); e) A �( B \ A) = � f) A \ B = A \ ( A �B) = ( A �B) \ B 2. Các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? a) A \ � = A ; b) ( A \ B) \ C = A \ ( B \ C ); c) A �( B \ C ) = ( A �B ) \ ( A �C ) . 3. Chứng minh rằng: a) ( A Ǵ�B )= �Ǵ (C D) ( A C ) ( B D) ; b) A ��(B = C �Ǵ) ( A B) ( A C ) c) A ��(B = C �ȴ ) ( A B) ( A C ) d) A ( B \ C ) = ( A B) \ ( A C ) C ) = Ǵ� e) ( A �Ǵ ( B D) ( A B ) (C D) 4. Tích Descartes có tính chất kết hợp không? Vì sao? 5. Giả sử X là tập có n phần tử và r là số tự nhiên khác không bé hơn bằng n. Tính a) Số các tập con của X gồm r phần tử; b) Số các phần tử của P(X). B. Về phép thế 1. Tìm tất cả các phép thế của mỗi tập sau và xác định dấu của mỗi phép thế: a) X 3 = {1, 2,3} b) X 4 = {1, 2,3, 4} 2. Cho các phép thế sau: 1 2 3 4 5 6� � 1 2 3 4 5 6� � 1 2 3 4 5 6� � i) σ = � � ii) µ = � � iii) ω = � � 6 5 4 3 2 1� � �4 1 3 6 5 2 � 3 4 1 2 6 5� � a) Với mỗi phép thế trên hãy xác định dấu của nó, tìm phép thế nghịch đảo và dấu của phép thế nghịch đảo đó. b) Tính σµ và ϖµ 3. Chứng minh rằng: a) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (k, k+1) trong đó 1 k < n . b) Mỗi phép thế bậc n (n>1) đều có thể phân tích thành tích các chuyển trí dạng (1, k) trong đó 1 < k n . 4. Chứng minh rằng mỗi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tích các vòng xích độ dài 3. 5. Xác định dấu của các phép thế sau: Đại số tuyến tính 1 19
Chương 1. Tập hợp – Ánh xạ Quan hệ Số phức �1 2 3� � 1 2 3 4� �1 2 3 4 5� �1 2 3 4 5� a) � �b) � � c) � � d) � � �2 3 1 � � 3 2 4 1� �2 1 5 3 4 � �4 3 2 5 1 � 6. Tính σπ , πσ , σ 2 , π 2 , σπ −1 trong các trường hợp sau: 1 2 3 4 5� � 1 2 3 4 5� � a) σ = � ,π = � � � �2 1 5 3 4� � 3 5 2 4 1� 1 2 3 4� � 1 2 3 4� � b) σ = � ,π = � � � 3 4 2 1� � � 4 1 2 3� 7. Tìm số nghịch thế của phép thế sau, từ đó suy ra đâu là phép thế chẵn, đâu là phép thế lẻ: � 1 2 3 4 5� 1 2 3 4 5 6 7 8 9� � �1 2 ... n � a) � � b) � � c) � � � 5 3 2 4 1� 1 9 6 3 2 5 4 7 8� � �n n − 1 ... 1 � 8. Cho π là một phép thế thuộc Sn , chứng minh rằng sign(π ) = s ign(π −1 ) C. Về quan hệ 1. Cho X là tập các điểm trong không gian và O là một điểm cố định của X. Trong X ta xác định quan hệ R như sau: PRP’ khi và chỉ khi O, P, P’ thẳng hàng. a/ R có phải là quan hệ tương đương trong X hay không? b/ R có phải là quan hệ tương đương trong X\{O} hay không? 2. Trong tập các số nguyên ﾥ xác định các quan hệ R và T như sau: a R b khi và chỉ khi a + b lẻ a T b khi và chỉ khi a + b chẵn. Hãy xét xem các quan hệ trên có những tính chất gì? 3. Cho tập X 0 . Trên tập P( X ) các tập con của X xác định các quan hệ P, Q, R, S như sau: A P B � A �B = A A Q B A\B = A A R B � A �B A S B � A �B=� Hãy xét xem những quan hệ trên có những tính chất gì? 4. Trên tập số thực ﾥ cho quan hệ T như sau: aTb nếu a 2 = b 2 Chứng minh T là một quan hệ tương đương. E. Về ánh xạ 1. Trong các ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Trong trường hợp song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược. a. X = ﾥ , Y = (0, π ), f ( x) = arc cot x b. X = [1; 2], Y = [1, 7], f ( x) = x 2 + 3x − 3 c. X = Y = ﾥ , f ( x) = 3 x − 4 | x |; Đại số tuyến tính 1 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.