Chương 2 Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt

Chia sẻ: Vo Van Huong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:128

Thêm vào BST

Báo xấu

290
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 2 giải phương trình đại số và phương trình siêu việt', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2 Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TIỂU LUẬN TOÁN PHƢƠNG PHÁP TÍNH VÕ VĂN HƢỜNG Chƣơng 2 Giải phƣơng trình Đại Số và phƣơng trình Siêu Việt Bài 1: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Chia đôi và đánh giá sai số với độ chính xác là  = 10-3 Câu1: x sin x  1.125 x   1.5,1 Đặt f ( x)  x sin x  1.125 x   1.5,1 ba   1  1.5  ln   ln       1   10 3  1  9 Tính số lần chia đôi h  n  ln 2 ln 2 f (b)  f (1)  0.283529  0 Thuật toán f (a)  f (1.5)  0.371242  0 (a  b)  1.5  1 c   1.25  0 2 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 -1.5 -1 -1.25 + + - 2 -1.25 -1 -1.125 - + - 3 -1.25 -1.125 -1.1875 - + - 4 -1.25 -1.1875 -1.217875 + + - 5 -1.21875 -1.1875 -1.203125 - + - 6 -1.21875 -1.203125 -1.210937 + + - 7 -1.2109375 -1.203125 -1.207031 + + - 8 -1.207031 -1.203125 -1.205078 + + - 9 -1.207031 -1.205078 -1.206054 + + - Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x  1.206054
Đánh giá sai số: Giả sử : C* là nghiệp gần đúng của phương trình X* là nghiệm chính xác của phương trình b  a  1.205078  1.207031   C X*  n 1  10  1.907226.10 6 2 2 Vậy sai số của phuong trình là 1.907226.10 -6 Câu 2: x  cos 2 x  0 x  0,1 Đặt f ( x)  x  cos 2 x 1 0  ln  3  h  10  Số lần chia đôi  1  10 ln 2 f (a)   cos(2.0)  1 f (b)  1  cos(2.1)  6,09172.10  4 ab 1 f (c )    0.5 2 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 0 1 0.5 + - + 2 0 0.5 0.25 - - + 3 0.25 0.5 0.375 - - + 4 0.375 0.5 0.4375 + - + 5 0.375 0.4375 0.40625 - - + 6 0.40625 0.4375 0.421875 - - + 7 0.421875 0.4375 0.429688 + - + 8 0.421875 0.429688 0.425781 - - + 9 0.425781 0.429688 0.427735 + - + 10 0.425781 0.427735 0.426758 - - + Vậy x = 0.426785 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C* là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 0.427735  0.425781   C  X*  n 1  11  9.541015.107 2 2
Câu 3: x  tg ( x  0.25)  0 x  1.5,2 Xét f ( x)  x  tg ( x  0.25) x  1.5,2 Số lần chia đôi: ba  2  1.5  ln   ln  3  h     1   10   1  9 ln 2 ln 2 Thuật toán: f (a)  1.5  tg (1.5  0.25)  1.509570  0 f (b)  2  tg (2  0.25)  7.520380  0  ab c   1.75  2  f (c)  1.75  tg (1.75  0.25)  12.351420  0 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1.5 2 1.75 - - + 2 1.75 2 1.875 + - + 3 1.75 1.875 1.8125 - - + 4 1.8125 1.875 1.843750 + - + 5 1.8125 1.843750 1.828125 + - + 6 1.8125 1.828125 1.820313 - - + 7 1.820313 1.828125 1.820781 - - + 8 1.820781 1.828125 1.824453 + - + 9 1.820781 1.824450 1.826617 + - + Vậy x = 1.826617 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 1.824450  1.820781   X* C  n 1  10  3.583007.10 6 2 2
Câu 4: tg ( x  1)  x 2 x  0,1 Đặt f ( x)  tg ( x  1)  x 2 x  0,1 ba  1  ln   ln  3    h  1   10  Tính số lần chia đôi :  1  10 ln 2 ln 2 Thuật toán: f (a)  tg (1)  0  1.557408  0 f (b)  tg (1  1)  4  6.185040  0 ab c  0.5 2 f (c)  11.851420  0 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 0 1 0.5 + + - 2 0.5 1 0.75 - + - 3 0.5 0.75 0.625 - + - 4 0.5 0.625 0.5625 + + - 5 0.5625 0.625 0.593750 - + - 6 0.5625 0.593750 0.578125 - + - 7 0.5625 0.578125 0.570313 + + - 8 0.570313 0.578125 0.574219 - + - 9 0.570313 0.574219 0.572266 - + - 10 0.570313 0.572266 0.571290 - + - Vậy x  0.571290 được gọi là nghiệm gần đúng cuả phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 0.572266  0.570313   X *  C  n1  11  1.042481.10 6 2 2 Câu 5: x3 x 2  0 x  3,4 Đặt f ( x)  x  3 x  2 x  3,4
Số lần chia đôi:  43 ln  3  h  10   1  10 ln 2 Thuật toán: f (a )  f (3)  0.442250  0 f (b)  f (4)  0.412599  0 a b 3 4 C   3.5 2 2 f (c)  f (3.5)  0.018294 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 3 4 3.5 - - + 2 3.5 4 3.75 + - + 3 3.5 3.75 3.625 + - + 4 3.5 3.625 3.5625 + - + 5 3.5 3.5625 3.531250 - - + 6 3.53125 3.5625 3.546875 + - + 7 3.53125 3.546875 3.539073 + - + 8 3.53125 3.539063 3.535156 + - + 9 3.53125 3.535146 3.533203 + - + 10 3.53125 3.533203 3.532227 + - + Vậy x  3.532227 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình 3.533203  353125   X * C  11  1.10 6 2 Câu 6: x 2  4 sin x  0 x  1,3 Đặt f ( x)  x 2  4 sin x x  1,3 2 ln 3 h  10  1  11 Số lần chia đôi: ln 2
Thuật toán: f (a)  f (1)  12  4 sin 1  2.365884  0 f (b)  f (3)  32  4 sin 3  8.435520  0 a  b 1 3 c  2 2 2 f (c)  2 2  4 sin 2  0.362810 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1 3 2 + - + 2 1 2 1.5 - - + 3 1.5 2 1.75 - - + 4 1.75 2 1.875 - - + 5 1.875 2 1.9375 + - + 6 1.875 1.9375 1.90625 - - + 7 1.906250 1.9375 1.921875 - - + 8 1.921875 1.9375 1.929688 - - + 9 1.929688 1.9375 1.933594 - - + 10 1.933594 1.9375 1.935547 + - + Vậy x  1.935547 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 1.9375  1.933594   X * C  n 1  11  2.10 6 2 2 Câu 7: lnx – 3xsinx + 2 = 0 ; x [0.1;0.7] Tính số lần chia đôi: 0.7  0.1 ln( 3 ) 10 n  1  10 ln 2 f(a) = f(0.1) = ln0.1 – 3.0,1sin0.1 + 2 = -0.332553 < 0 f(b) = f(0.7) > 0
a  b 0.7  0.1 c   0.4 2 2  f ( x)  0.616407  0 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 0.1 0.7 0.4 + - + 2 0.1 0.4 0.25 + - + 3 0.1 0.25 0.175 + - + 4 0.1 0.175 0.1375 - - + 5 0.1375 0.175 0.15625 + - + 6 0.1375 0.15625 0.14675 + - + 7 0.1375 0.14675 0.142188 - - + 8 0.142188 0.14675 0.144469 + - + 9 0.142188 0.144469 0.143328 - - + 10 0.143328 0.144469 0.143899 - - + Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 0.143899 Đánh giá sai số: Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 0.144469  0.143328   X* C  n 1  11  57.132.10 6 2 2 Câu 8: f (x) = x2 - 4sinx - 5 ; x  2,3 Tính số lần chia đôi: ba ln   n     1  10 ln 2 f (a)  f (2)  0 Thuật toán: f (b)  f (3)  0
ab 23 c   2.5 2 2  f ( x)  f (2.5)  1.143889 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 2 3 2.5 - - + 2 2.5 3 2.75 + - + 3 2.5 2.75 2.625 - - + 4 2.625 2.75 2.6875 + - + 5 2.625 2.6875 2.65625 + - + 6 2.625 2.65625 2.640625 + - + 7 2.625 2.640625 2.632813 - - + 8 2.632813 2.640625 2.636719 + - + 9 2.632813 2.636719 2.634766 - - + 10 2.634766 2.636719 2.635742 + - + Vậy nghiệm gần đúng của phương trình là x = 2.635742 Đánh giá sai số: Gọi x* là nghiệm chính xác của phương trình C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 2.636719  2.634766   X *  C  11  11  9.536.10 6 2 2 Cau 9: f ( x)  x ln( x  1)  x sin 3x  1 x  1.1,2 ba ln( ) Tính số lần chia đôi: h   1  10 ln 2 f (a)  f (1.1)  0 f (b)  f (2)  0 a  b 1.1  2 Đặt c   1.55 2 2
n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1.1 2 1.55 + - + 2 1.1 1.55 1.325 + - + 3 1.1 1.325 1.2125 - - + 4 1.2125 1.325 1.26875 + - + 5 1.26875 1.325 1.310375 + - + 6 1.26875 1.310375 1.289563 + - + 7 1.26875 1.289563 1.279156 + - + 8 1.26875 1.279156 1.273953 + - + 9 1.26875 1.273953 1.271352 + - + 10 1.26875 1.271352 1.270051 + - + Vậy x=1.270051 là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Gọi x* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 1.271352  1.26875   C  X *  n1  11  1.27.10 6 2 2 Câu 10: x ln( x  1)  3x cos e x  2  0 x  1,2 f ( x)  x ln( x  1)  3x cos e x  2 Tính số lần chia đôi :  2 1 ln  3  h  10   1  10 ln 2 f (a)  f (1)  1.428349 f (b)  f (2)  2.492913 ab Với c  1.5 f (c)  f 1.5  0.403401 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1 2 1.5 + + - 2 1.5 2 1.75 - + - 3 1.5 1.75 1.625 - + -
4 1.5 1.625 1.5625 - + - 5 1.5 1.5625 1.53125 - + - 6 1.5 1.53125 1.515625 + + - 7 1.515625 1.53125 1.523438 - + - 8 1.515625 1.523438 1.519531 + + - 9 1.519531 1.523438 1.521485 + + - 10 1.521482 1.523438 1.522461 - + - Vậy x = 1.522461 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* được gọi là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số : 1.0009765  1.001953   X * C  11  9.54.10 7 2 Câu 11: 2x 1 8  x  15 x  20  0 x   1.5,1 x 3 2x 1 8 Đặt f ( x)   x  15 x  20 x   1.5,1 x 3  1  1.5 ln( ) h 10 3  1  9 Tính số lần chia đôi : ln 2 Thuật toán: f (a)  f (1.5)  27.462240  0 f (b)  f (1)  4.5  0 a  b  1.5  1 c   1.25 2 2 f (c)  f (1.25)  3.893968  0
n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 -1.5 -1 -1.25 - - + 2 -1.25 -1 -1.125 + - + 3 -1.25 -1.125 -1.1875 - - + 4 -1.1875 -1.125 -1.15625 + - + 5 -1.1875 -1.15625 -1.175875 - - + 6 1.171875 -1.15625 -1.164062 - - + 7 -1.164062 -1.15625 -1.60156 + - + 8 -1.164062 -1.160156 -1.162109 + - + 9 -1.164062 -1.162109 -1.163086 - - + Vậy x = -1.163086 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a  1.163086  1.164062   X* C  n 1  10  1.9.106 2 2 Sai số : 1  sin x Câu 12:  x1.125  2  0 x  0.55,0.6 1  log 2 x 1  sin x Đặt f ( x)   x1.125  2 1  log 2 x  0.6  0.55  ln  3  h  10  1  6 Đánh giá số lần chia đôi : ln 2
Thuật toán : f (a)  f (0.55)  0.817336  0 f (b)  f (0.6)  0.123945  0 a  b 0.55  0.6 c   0.575  0 2 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 0.55 0.6 0.575 + + - 2 0.575 0.6 0.5875 + + - 3 0.5875 0.6 0.593750 - + - 4 0.5875 0.593750 0.590625 - + - 5 0.5875 0.590625 0.589063 + + - 6 0.589063 0.590625 0.589844 + + - Vậy x = 0.589844 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số ba 0.550781  0.551562   C X *  n 1  7  1.22.10 5 2 2 2  3ln(2 x 1) 7 Câu 13:  x 40 x  1;1.5 sin( x  1.1) 2  3ln(2 x 1) 7 Đặt f ( x)   x 4 x  1;1.5 sin( x  1.1)
 1.15  1  ln  3  h  10  1  9 Tính số lần chia đôi: ln 2 Thuật toán: f (a)  f (1)  1.443867 f (b)  f (1.5)  2.076037 1  1.5 c  1.25 2 f (c)  f (1.25)  0.212446 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1 1.5 1.25 + + - 2 1.25 1.5 1.375 - + - 3 1.25 1.375 1.3125 - + - 4 1.25 1.3125 1.281250 + + - 5 1.281250 1.3125 1.296875 - + - 6 1.281250 1.296875 1.289063 - + - 7 1.281250 1.289063 1.285156 - + - 8 1.281250 1.285156 1.283203 - + - 9 1,283203 1.285156 1.284180 - + - Vậy x = 1.284180 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trinh trình Đánh giá sai số: Gọi X* là nghiệm là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình b  a 1.285156  1.283203 Sai số :   X  C  * n 1  10  2.10 6 2 2
ln(1  x 2 ) 5  1  x 2  1.9  0 x  1;1.15 Câu 14: x  x3 2 ln(1  x 2 ) 5 Đặt f ( x)  2  1  x 2  1.9 x  1;1.15 x  x3  1.15  1  ln  3  h  10  1  8 Tính số lần chia đôi : ln 2 Thuật toán : f (a)  f (1)  0.017649  0 f (b)  f (1.15)  0.036420  0 1.15  1 c  1.075  f (c)  f (1.075)  0.009455 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1 1.15 1.075 + - + 2 1 1.075 1.0375 - - + 3 1.0375 1.075 1.05625 + - + 4 1.0375 1.05625 1.046875 - - + 5 1.046875 1.05625 1.051552 + - + 6 1.046875 1.051552 1.049214 + - + 7 1.046875 1.049214 1.048044 - - + 8 1.048044 1.049214 1.048629 - - + Vậy x = 1.048629 được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình Sai số
1.049214  1.048044   X* C  9  2.1098251.106 : 2 x 2  3x  5 Câu 15:  x10  70  0 x  1.5;1.75 2  cos(1  x ) 2 x 2  3x  5 Đặt f ( x)   x10  70 x  1.5;1.75 2  cos(1  x ) 2  1.75  1.5  ln  3  h  10  1  9 Tính số lần chia đôi : ln 2 Thuật toán f (a)  f (1.5)  15.068912 f (b)  f (1.75)  197.373119 a  b 1.5  1.75 c   1.625  f (c)  55.925718 2 2 n an bn cn f(cn) f(an) f(bn) 1 1.5 1.75 1.625 - + - 2 1.5 1,625 1.5625 - + - 3 1.5 1.5625 1.53125 + + - 4 1.53125 1.5625 1.546875 - + - 5 1.53125 1.546875 1.539063 - + - 6 1.53125 1.539063 1.535156 - + - 7 1.53125 1.535156 1.533203 + + - 8 1.533203 1.535156 1.534180 + + - 9 1.534180 1.535156 1.534668 + + Vậy x = 1.534668 được gọi là nghiệm gần đúng cuả phương trình
Đánh giá sai số : Gọi X* là nghiệm chính xác của phương trình Gọi C là nghiệm gần đúng của phương trình 1.535156  1.534180 Sai số :   X* C  10  1.106 2 Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp Lặp đơn và đánh giá sai số với độ chính xác là = 10-5. Câu 1: x3 =0 √ = Đk hội tụ: √ max= 0.029987 = q < 1 thỏa đk hội tụ. Chọn: o= n+1= (xn) = √ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Gia tri 1.357209 1.333861 1.325884 1.324939 1.324760 1.324726 1.324719 xn+1 | x7 - x6 | = 7.10-6 < 10-5 là nghiệm gần đúng của phương trình. Đánh giá sai số: Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình. là nghiệm gần đúng của phương trình. q 0.29987 Sai số: x7  x *  x7  x6  7.10 6  2.10 6 1 q 1  0.29987 Câu 2: √ = Đk hội tụ: √ thỏa đk hội tụ. Chọn n+1= (xn) = √
Giá trị 1.767059 1.875299 1.918610 1.935827 1.942651 1.945353 n+1 Giá trị n+1 1.946423 1.946846 1.947013 1.947080 1.947106 1.947116 =10-6 < 10-5 là nghiệm gần đúng của phương trình. Đánh giá sai số: Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình. Giả sử x12 là nghiệm gần đúng của phương trình. q 0.393598 Sai số: x12  x *  x12  x11  .10 6  0.649071.10 6 1 q 1  0.393598 Câu 3: x 4  2x3  4  0  x 4  2x3  4 4  x  2   ( x) x3  12   ' ( x)  4 x | | h h h giảm tr n hmax h (thỏa đi u kiện hội tụ) Chọn Tương t
Nên là nghiệm gần đúng của phương trình. Đánh giá sai số: Giả sử là nghiệm chính xác của phương trình, Giả sử là nghiệm gần đúng của phương trình sai số Câu 4: x  tgx  0 x  0.2;1 Giả sử chọn x  tg x đặt  ( x)  tg 2 x suy ra  ( x)  1  tg x 2 ' 2 h( x)  1  tg 2 x   h ' ( x)  2tg ( x). 1  tg 2 ( x)  0 Suy ra hàm không hội tụ trong khoảng x  0.2;1 Đây là hàm tăng tr n x  0.2;1 h( x) max   ' ( x)  3.425519  0 Câu 5: ,2 Đặt: f(x)= f’(x)= => | |= =h(x) h’(x)= = h(0)=0.25
Chọn = =f(x)= = 3.641593 = 3.626049 = 3.626996 = 3.626939 = 3.626942 =3 Vậy x là nghiệm gần đúng của phương trình Giả sử: x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình Câu 6: x= Đặt: f(x)= f’(x)= | | h’(x)=   Chọn . . . . .
.  x5  x6  10 6  là nghiệm gần đúng của phương trình Đánh giá sai số: Giả sử x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình . cau11: x=√ f(x)= √ f’(x)= √ . | | √ √ h’(x)= √  h’(x) giảm tr n 3, 4  Chọn . √ . √ . . . .  đ n số thập phân th 6 => là nghiệm gần đúng của phương trình Giả sử : x* là nghiệm chính xác của phương trình là nghiệm gần đúng của phương trình