Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Loogarít

Chia sẻ: Thái Đức Thuần | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

147
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu chương 2 "Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Loogarít" giới thiệu đến các bạn những nội dung lý thuyết và bài tập về hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Loogarít. Mời các bạn cùng tham khảo để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số Loogarít

1 TĐT CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA – HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOÂGARÍT LÝ THUYẾT A. LŨY THỪA VÀ LÔGARÍT: I. LŨY THỪA 1. Caùc ñònh nghóa: 2. Caùc tính chaát : o 1 o o o a− n = m+ n an = a.a...a { an m n a .a = a (a.b)n = an.bn m n th�� a so� am o o 1 a =a o an = a n m o n = am−n nn a �a � a ∀a o �� = o 0 m o �b � bn a =1 − 1 1 a n = = (am)n = (an)m = am.n o ∀a 0 m n m −n n a �a � �b � an � � =� � �b � �a � II. LÔGARIT 1. Ñònh nghóa: 2. Caùc tính chaát : 3. Đoåi cô soá o loga b = α � aα = b o loga1= 0 o loga b = logc b a > 0 o loga a = 1 �b � logc a loga � 1 �= loga b1 − loga b2 α �b2 � * Heä quaû: o Điều kiện: a 1 o loga a = α o loga bα = α.loga b 1 b > 0 o aloga b = b loga b = logb a o o loga b2 = 2.loga b 1 loga(b1.b2) = loga b1 + loga b2 log α b = loga b 1 a α o loga n b = log a b n B. HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LÔGARÍT: 1) Haø m so á luy õ thyö=øxaα ( laø haèng soá) Soá muõ Haøm soá y = xα Taäp xaùc ñònh D =n (n nguyeândöông) y = xn D =R =n (n nguyeânaâmhoaëcn =0) y = xn D =R \ {0} laø soáthöïc khoângnguyeân y = xα D =(0; + ) 1 Chuù yù: Haøm soá y= xn khoâng ñoàng nhaát vôùi haøm soá y = n x (n N *) . 2) Haøm soá muõ y = a x (a > 0, a 1).y y y=ax y=ax Taäpxaùcñònh: D =R. Taäpgiaùtrò: T =(0; + ). Khi a >1 haømsoáñoàngbieán,khi1 0
2 TĐT Ñoà thò: 3) Haøm soá logarit y = loga x (a > 0, a 1) Taäpxaùcñònh: D =(0; + ). Taäpgiaùtrò: T =R. Khi a >1 haømsoáñoàngbieán,khi 0 0); ( ln u ) = x u C. PHÖÔNG TRÌNH MŨ THÖÔØNG GẶP Dạng cơ bản: ax = m (1) + m 0 : phương trình (1) vô nghiệm + m > 0 : ax = m � x = loga m D. PHÖÔNG TRÌNH LÔGARÍT THÖÔØNG GẶP
3 TĐT Dạng cơ bản: loga x = m � x = am , ∀m ﾡ Phöôngphaùp: 1) Đưa về cùng cơ số : loga M = loga N M=N 2) Ñaët aån phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá. E. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG G ẶP Ñònh lyù: Vôùi 0 1 thì : a < a M N M < N (ñoàng bieán ) Phöông phaùp: 1) Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn :, > a,M < aN ( ) 2) Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá. F. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG G ẶP Ñòn h lyù : Vôùi 0 < a N (nghòch bieán) Ñòn h lyù : Vôùi a > 1 thì : loga M < loga N M < N (ñoàng bieán) Phöông phaùp: 1) Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô baûn: loga M < loga N ( , >, ) 2) Ñaët aån phuï chuyeån veà baát phöông trình ñaïi soá. BÀI TẬP Bài toán 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức Baøi 1 : Tính giaùtrò caùcbieåuthöùcsau : 1 3 23.2−1 + 5−3.54 − �1 �3 �1 �5 − 80 1) A = −3 −2 ĐS: A= 10 2) B = 81 −0,75 +� � −� � ĐS:B= − 10 :10 − (0, 25)0 125 � �32 � � 27 2 −0,75 1� 5 3) C = 27 + � 3 � � − 250,5 ĐS: C=12 4) D = log 2 4 + log1 2 2 ĐS: D= 16 � � 2 2 6) F = 8 + log 1 27 − log121 25.log 5 11 ĐS:F=23 log 2 3 log3 5 log9 36 4log9 4 ĐS:E=857 5) E = 81 + 27 +3 3 1 log3 135 log3 5 7) G = 2log1 6 − log1 400 + 3log1 45 ĐS:G= 4 8)* H = − 3 ĐS: H=3 3 2 3 3 log15 3 log405 3 Baøi 2 * : Ruùtgoïn bieåuthöùc: 1 1 1) A = (a4 – b4) : ( a2 – b2) ĐS: A = + a2 b2 1 1 1 1 1 1 2) B = x 4 y 4 x 2 y 2 x 4 y4 ĐS: B = x − y 1 2 2 1 2 4 3) C = a 3 b 3 a 3 a b 3 3 b 3 ĐS: C = a− b2 Bài toán 2: Giải phương trình Bài 1. Phương trình mũ 1. P hö ô n g trình ũ : Đ m ưa về cùng 2. Phöông trình m ũ : Ñaët aån phuï cơ số a = a M = N M N Ví dụ: Giải phương trình 5 x −5 x +8 = 25 Ví dụ: Giải phương trình 32x+ 8 − 4.3x+ 5 + 27 = 0 2
4 TĐT Bài tập: Giaûi caùcphöôngtrìnhsau Bài tập: Giaûi caùcphöôngtrìnhsau: 1) 9 x + 1 = 27 2 x + 1 2) 2x2−3x+ 2 = 4 1) 9 x − 10.3x + 9 = 0 2) 25 x + 3.5 x − 10 = 0 �7 � 2 x −3 �11 � 3 x −7 3) 2.16 x − 17.4 x + 8 = 0 4) 4 x +1 − 9.2 x + 2 = 0 3) � � = � � 4) 5 2 x + 3x = 625 5) 4 x − 3.2 x+1 + 8 = 0 6) 9 x − 10.3x + 9 = 0 �11 � �7 � x − 2 x −3 Bài tập: Giaûi caùcphöôngtrìnhsau: 2 1� 5) 2 x −3 x +6 = 16 6) � 2 x +1 �� = 7 1) 3x + 31− x = 4 2) 2 x − 23− x − 2 = 0 �7 � 3) 6.9 x 13.6 x 6.4 x 0 4) 2.22 x − 9.14 x + 7.7 2 x = 0 Bài 2. Phương trình logarit Dạng cơ bản: loga x = α � x = aα , ∀α ﾡ 1. Phöông phaùp 1: Đưa về cùng cơ số : 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån loga M = loga N M=N phuï chuyeån veà phöông trình ñaïi soá. Ví dụ: Giải phương trình Ví dụ: Giải phương trình 1) log 3 ( 5 x + 3) = 2 2) log 2 ( x − 3 ) + log 2 ( x − 1 ) = 3 4 log 22 x + log 2 x = 2 log 1 ( x - 1) + log 1 ( x + 1) - log 1 ( 7 - x ) = 1 Bài tập: Giaûi caùcphöông 3) 2 2 2 trìnhsau: Bài tập: Giaûi caùcphöôngtrìnhsau: 1) log 22 x − log 2 x − 6 = 0 1) log 4 ( x + 3) − log 2 ( x + 7 ) + 2 = 0 2) log 3 x + log 3 ( x + 2 ) − 1 = 0 2) 3log 32 x = 10 log 3 x − 3 3) log 7 ( x + 2 ) + log 1 ( 8 − x ) = 0 2 4) 3) log 22 x − 5log 2 x + 4 = 0 7 4) log 52 x − 4 log5 x + 3 = 0 log 3 ( 2 x − 7 ) + log 1 ( x + 5 ) = 0 3 Bài tập: Giaûi caùcphöôngtrìnhsau: 1) log 2 ( x − 5 ) + log 2 ( x + 2 ) = 3 log 3 ( x 2 − x − 5) = log 3 ( 2 x + 5 ) 2) 3) log 5 x = log5 ( x + 6 ) − log5 ( x + 2 ) 4)log 3 ( 2 x − 7 ) + log 1 ( x + 5 ) = 0 3 Bài toán 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG GẶP Định lý: Với 0 0 2 2 x>2 −4 x −11 1� 2) � 2 > 2x + 6 x +8 � 4 x + 11 > x 2 + 6 x + 8 � x 2 + 2 x − 3 < 0 1 < x < 3 2 �� 24 x +11 > 2 x + 6 x +8 �2 �
5 TĐT x −1 x+2 2x x 50 50 3) 2 + 2 25 � + 4.2 x �25 ۳ 9.2 x 50 ۳ 2 ۳ x log 2 2 9 9 x 2 � � x < log 2 3 4) 2 x > 3x+1 � 2 x > 3x.3 � � � �> 3 �3 � 3 x −3 x +1 5) ( 10 + 3 ) x −1 < ( 10 − 3 ) x +3 Giải: ( )( ) ( ) −1 Nhận xét rằng: 10 + 3 10 − 3 = 1 � 10 − 3 = 10 + 3 x −3 x +1 Khi đó bất phương trình được viết dưới dạng: ( 10 + 3 ) x −1 ( 10 − 3 ) x +3 x −3 x +1 x −3 x +1 ( ) ( ) − � 10 + 3 x −1 � 10 + 3 x +3 − x −1 x+3 x − 3 x +1 x2 − 5 −3 < x < − 5 � + 4 �� 9 � 7 �3 � −4 x −11 1� 1 x −1 7) � 2 x −1 ( ) ( ) 2 + 6 x +8 3 �� > 2x 8) x2 − 2 x 9) 5 + 2 6 x+2 > 5−2 6 �2 � 2 2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ. Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : . x + 2 < 0 � 2 − 3.2 + 2 < 0 (1) 2x x 1) 4x − 32 Đặt t = 2 x , t > 0 (1) trở thành t 2 − 3t + 2 < 0 � 1 < t < 2 � 1 < 2 x < 2 � 0 < x < 1 . x + 2 > 0 � 2 − 3.2 + 2 > 0 (1) 2x x 2) 4x − 32 Đặt t = 2 x , t > 0 t>2 2x > 2 x >1 (1) trở thành t − 3t + 2 > 0 2 t
6 TĐT x 5� Đặt t = � � �, t > 0 �2 � t < −1 (loa� i) x �5 � 1 � x > − log 5 2 (1) trở thành 1 − 2.t < t � 2.t + t − 1 > 0 2 2 1 � � �> t> �2 � 2 2 2 Bài tập: Giải các bất phương trình sau : 1) 22 x − 3.2 x+ 2 + 32 < 0 2) 2 x + 23− x 9 3) 9 x − 5.3x + 6 < 0 4) 9 x < 2.3x + 3 5) 52 x +1 > 5 x + 4 6) 16 x − 20.4 x + 64 0 2 1 7) 4 > 2 8) �1�x �1 � x + 32 � � � � > 12 9) 251+ 2 x − x + 91+ 2 x − x 34.152 x − x x x+ 2 2 2 2 + �3 � �3 � 3. Phương pháp: Lôgarit hóa. Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 3log 3 11 + 1 1) 32 x −1 < 113− x � 2 x − 1 < log 3 113− x � 2 x − 1 < ( 3 − x ) log 3 11 � x < 2 + log 3 11 Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1) ( x − 2 ) x 2 −6 x +8 > 1 v�i 2< x � 3 2) 5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 3) 54 x −6 > 33 x −4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT THƯỜNG GẶP Định lý: Với 0 23 � x > 8 5 1� 1 2) log 1 x > 5 � 0 < x < � � �� 0 < x < 3 �3 � 243 x2 + 4 x x2 + 4x >0 >0 3 x2 + 4 x 2x − 3 2x − 3 2x − 3 < 0 x< 3) log 3 −2 x < −4 �x > −2 1) log 0,5 ( 5 x + 10 ) < log 0,5 ( x + 6 x + 8 ) 2 5 x + 10 > x + 6 x + 8 2 x + x−2
7 TĐT x −3 > 0 x>3 x>3 2) log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 2 ) 1 � x−2>0 � x>2 x2 − 5x + 4 0 log 2 ( x − 3) ( x − 2 ) log 2 2 ( x − 3) ( x − 2 ) 2 x>3 � 3 < x �4 1 x 4 Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1) log 1 ( x + 1) log 3 ( 2 − x ) 2) log 2 ( 9 + 7 ) > log 2 ( 3 + 1) + 2 3) log x ( 5 x − 8 x + 3) > 2 x −1 x −1 2 3 4x + 5 1 1 4) log x < −1 5) log 1 x + log 1 ( x − 1) + log 2 6 0 6 − 5x 2 2 4 2 3. Phương pháp: Đặt ẩn phụ. Ví dụ : Giải bất phương trình sau: log 2 ( 2 x − 1) .log 2 ( 2 x+1 − 2 ) < 2 � log 2 ( 2 x − 1) .log 2 2 ( 2 x − 1) < 2 � log 2 ( 2 x − 1) . � log 2 2 + log 2 ( 2 x − 1) � � �< 2 Đặt t = log 2 ( 2 − 1) x (1) trở thành t ( 1 + t ) < 2 � t 2 + t − 2 < 0 � −2 < t < 1 � −2 < log 2 ( 2 − 1) < 1 x 1 5 5 � 2−2 < 2 x − 1 < 21 � + 1 < 2 x < 2 + 1 � < 2 x < 3 � log 2 < x < log 2 3 4 4 4 � log 2 5 − 2 < x < log 2 3 Bài tập: Giải các bất phương trình sau: 1 1) 2 log 5 x − log x 125 < 1 2) log x 2.log x 2 > 3) 6log6 x + x log6 x 2 log 2 x − 6 12 16 BT bổ sung: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ THÖÔØNG GẶP 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình 2. Phöông phaùp 2: Ñaët aån phuï veà daïng cô baûn : a , ) M N Ví dụ: Giải bất phương trình Ví duï : Giaûi caùc baát phöông trình sau : � 1 −4x−11 � 2 + 6x+ 8 1) 22 x + 6 + 2 x +7 > 17 2) 1) 2 x +3 x − 4 > 4 x −1 2) � � >2 x 2 3 −4 x x 1 �2 � x +1 x +1 < x −1 3 −4 7 ( ) ( ) 3 3) 5 + 2 6 x + 2 > 5 − 2 6 Bài tập: Giaûi caùc phöông trình sau : x+ 2 2) 2x + 23− x 9 Bài tập: Giaûi caùc baát phöông trình sau1) : 2x − 3.2 + 32 < 0 2x 3) 9 − 5.3x + 6 < 0 4) 9x < 2.3x + 3 1) 23−6x > 1 2) 3x − x < 9 2 2 x 2 −3 x 5) 52x+1 > 5x + 4 6) 16 x − 20.4 x + 64 0 7� 9 3) 2− x + 3 x < 4 4) � 7) 4 x > 2 x+ 2 + 32 2 �� 9 � 7 BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT THÖÔØNG GẶP 1. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi phöông trình veà daïng cô 2. Phöông phaùp 2: Ñaët baûn : loga M < loga N ( , >, ) aån phuï Ví dụ: Giải bất phương trình Bài tập: Giải bất phương 1) log ( x − 1) > log ( 5 − x ) + 1 2) 2 log 3 ( 4x − 3 ) + log 1 ( 2x + 3 ) 2 2 2 trình 3
8 TĐT log 3) 2 x − ( 2 − 2) > 6 log 1 3x − 5 4) 1 log 2x −1 < 0 1) log22 x + log2 x − 2 0 2 x +1 2) log x − 17 log x + 4 0 2 8 2 2 Bài tập: Giaûi caùcbaátphöôngtrìnhsau: 3) 3.log 3 x − 14.log 3 x + 3 > 0 2 1) log2(x + x − 2) > log2(x + 3) 2 2) log0,5(4x + 11) < log0,5(x + 6x + 8) 2 4) log 2 x + 2 log x 4 − 5 0 3) log1 (x2 − 6x + 5) + 2log3 (2 − x) 0 3 4) log1 x + 2log1 ( x − 1) + log2 6 0 2 4 5) log3 ( 4x − 3) < 2 ( 6) log0,5 x − 5x + 6 2 ) −1 7) log1 ( 2x + 4) ( log1 x2 − x − 6 ) ( 8) log2 ( 7x + 1) log2 10x − 11x + 1 2 ) 3 3 9) log 1 ( x − 2 x ) > −1 10) log2 2 2x + 1 3x − 5 >0 11) log3 1 3 x−1 x+1 Bài toán 4: Giải hệ PT mũ và logarit (5 bài) Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: y2 = 4x + 8 (1) 1) 2 x +1 + y + 1 = 0 (2) Từ (2): 2 x +1 + y + 1 = 0 � y = −2 x +1 − 1 (3) Thay (3) vào (1) ta được: ( −2 x +1 − 1) = 2 2 x + 8 � ( 2.2 x + 1) = 22 x + 8 (*) 2 2 Đặt t = 2 x , t > 0 t =1 (*) trở thành ( 2t + 1) = t + 8 � 3t + 4t + 7 = 0 2 2 2 7 t = − (loa� i) 3 t = 1 � 2 x = 1 � x = 0 . Suy ra: y = −3 . Vậy nghiệm của hệ là ( 0; −3) Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 1 3x.2 y = 3.2 x + 2.3 y = 2, 75 x + y = 20 1) 9 2) x 3) 2 − 3 y = −0, 75 log 4 x + log 4 y = 1 + log 4 9 y−x=2 log 2 ( x − y ) = 5 − log 2 ( x + y ) log 5 x + log 5 7.log 7 x = 1 + log 5 2 4) 5) log x − log 4 3 + log 2 y = log 2 5 ( 1 + 3log 5 x ) = −1 log y − log 3 Bài toán 5: Liên quan đến đạo hàm hàm số mũ và logarit Bài tập: Bài 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: ( 1) y = ln x + x + 1 2 ) 2) y = ( 3x − 2 ) ln x 2 3) y = x 2 + 1.ln 2 x 1 ln ( x 2 + 1) ex 4) y = x.ln 5) y = 6) y = ln 1+ x x 1 + ex
9 TĐT x +1 7) y = 2 xe x + 3sin 2 x 8) y = 5 x 2 − 2 x cos x 9) y = x 3 log 3 x 11) y = log ( x + x + 1) 2 10) y = 3x 2 − ln x + 4sin x 12) y = x �1 � �1 � x 2 Bài 2: Chứng minh rằng: 2 f � �= 3 f � � biết rằng f ( x ) = xe − 2 �2 � �2 �