Chương 2 Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đối với các hệ vòng kim liên tục, mặt phẳng p được sử dụng để khảo sát ổn định của hệ thống. Tương tự với các hệ thống rời rạc, mặt phẳng z được dùng để khảo sát ổn định của hệ thống. Trong phần này chúng ta xét đến quan hệ tương đương

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2 Thiết kế hệ thống điều khiển số sử dụng vi điều khiển và máy tính

Ch−¬ng 2 æn ®Þnh cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè Trong ch−¬ng n y, chóng ta sÏ quan t©m ®Õn mét sè kü thuËt c¬ b¶n ®−îc dïng ®Ó ph©n tÝch æn ®Þnh c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè. Nh− ®· tr×nh b y ë ch−¬ng 1, gi¶ thiÕt ta cã h m truyÒn cña hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè vßng kÝn cã d¹ng nh− sau y ( z) G ( z) N ( z) = = r ( z) 1 + GH ( z ) D ( z) ë ®©y 1 + GH ( z ) = 0 ®−îc gäi l ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh. C¸c gi¸ trÞ cña z øng víi N ( z ) = 0 ®−îc gäi l kh«ng (zeros) v c¸c gi¸ trÞ cña z øng víi D ( z ) = 0 ®−îc gäi l c¸c cùc (poles). TÝnh æn ®Þnh cña hÖ thèng sÏ phô thuéc v o vÞ trÝ cña c¸c cùc hay gèc cña ph−¬ng tr×nh D ( z ) = 0 . 2.1. ¸nh x¹ tõ mÆt ph¼ng p v o mÆt ph¼ng z §èi víi c¸c hÖ vßng kÝn liªn tôc, mÆt ph¶ng p ®−îc sö dông ®Ó kh¶o s¸t æn ®Þnh cña hÖ thèng. T−¬ng tù ®èi víi c¸c hÖ thèng rêi r¹c, mÆt ph¼ng z ®−îc dïng ®Ó kh¶o s¸t æn ®Þnh cña hÖ thèng. Trong phÇn n y chóng ta sÏ xÐt ®Õn quan hÖ t−¬ng ®−¬ng gi÷a mÆt ph¼ng p cña hÖ liªn tôc v mÆt ph¼ng z cña hÖ rêi r¹c. Tr−íc tiªn chóng ta l m mét phÐp ¸nh x¹ tõ nöa tr¸i cña mÆt ph¼ng p v o mÆt ph¼ng z. NÕu ph−¬ng tr×nh p = σ + jω m« t¶ mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng p th× däc theo trôc ¶o jω ta cã (2.1) z = e pT = eσ T e jω T V× σ = 0 nªn (2.2) z = e jω T = cos ω T + j sin ω T = 1∠ω T Tõ ph−¬ng tr×nh (2.2), vÞ trÝ cña c¸c cùc trªn trôc ¶o cña mÆt ph¼ng p ®· ®−îc ¸nh x¹ lªn trªn vßng trßn ®¬n vÞ cña mÆt ph¼ng z. Khi ω thay ®æi däc theo trôc ¶o cña mÆt ph¼ng p, gãc cña c¸c cùc trªn vßng trßn ®¬n vÞ trong mÆt ph¼ng z sÏ thay ®æi. NÕu ω ®−îc gi÷ nguyªn kh«ng ®æi v t¨ng gi¸ trÞ σ ë nöa tr¸i mÆt ph¼ng p, th× vÞ trÝ cña c¸c cùc sÏ di chuyÓn vÒ phÝa gèc xa khái vßng trßn ®¬n vÞ. T−¬ng tù nÕu gi¶m gi¸ trÞ σ ë nöa tr¸i mÆt ph¼ng p, th× c¸c cùc trong mÆt ph¼ng z sÏ di chuyÓn xa ra khái gèc nh−ng vÉn n»m trong vßng trßn ®¬n vÞ. Qua c¸c ph©n tÝch trªn ta thÊy to n bé nöa tr¸i cña mÆt ph¼ng p sÏ t−¬ng ®−¬ng víi phÇn bªn trong cña vßng trßn ®¬n vÞ trong mÆt ph¼ng z. T−¬ng tù to n bé nöa bªn ph¶i cña mÆt ph¼ng p sÏ t−¬ng ®−¬ng víi miÒn n»m bªn ngo i vßng trßn ®¬n vÞ cña mÆt ph¼ng z nh− trªn h×nh 2.1. NÕu mét hÖ thèng liªn tôc ®−îc coi l æn ®Þnh khi c¸c cùc n»m bªn tr¸i mÆt ph¼ng p th× mét hÖ thèng rêi r¹c ®−îc coi l æn ®Þnh nÕu c¸c cùc n»m bªn trong vßng trßn ®¬n vÞ.
jω 1 σ MÆt ph¼ng z MÆt ph¼ng p H×nh 2.1. ¸nh x¹ tõ nöa tr¸i mÆt ph¼ng p v o bªn trong vßng trßn ®¬n vÞ cña mÆt ph¼ng z Tõ mÆt ph¼ng z chóng ta cã thÓ ph©n tÝch æn ®Þnh cña hÖ thèng b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh. Tuy nhiªn ph−¬ng ph¸p n y chØ cho chóng ta biÕt hÖ cã æn ®Þnh hay kh«ng m kh«ng cho chóng ta biÕt hÖ cã æn ®Þnh hay kh«ng khi bÞ t¸c ®éng bëi c¸c th«ng kh¸c. Sau ®©y chóng ta sÏ xÐt mét sè vÝ dô. VÝ dô 2.1: Cho mét hÖ thèng vßng kÝn cã s¬ ®å khèi nh− trªn h×nh 2.1. X¸c ®Þnh xem hÖ cã æn ®Þnh hay kh«ng nÕu chu kú lÊy mÉu T = 1s . r ( p) e( p) e* ( p ) 1 − e − Tp 4 y ( p) p+2 p H×nh 2.1. HÖ thèng vßng kÝn trong vÝ dô 2.1 Lêi gi¶i: H m truyÒn cña hÖ cã d¹ng nh− sau y ( z) G ( z) = r ( z) 1 + G ( z) ë ®©y ( )     2 z 1 − e −2 T   1 − e − Tp 4     4 ( ) ( ) ( z − 1) G ( z ) = Z  −1 −1   = 1 − z Z   = 1 − z (z − e )  p ( p + 2 )   −2 T  p p + 2       ( ) 2 1 − e −2 T G ( z) = −2 T z−e Víi T = 1s ta cã 1, 729 G ( z) = z − 0,135 Ta cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh nh− sau
1, 729 z + 1,594 1 + G ( z) = 1 + =0 = z − 0,135 z − 0,135 hay z = −1,594 n»m ngo i vßng trßn ®¬n vÞ nªn hÖ kh«ng æn ®Þnh VÝ dô 2.2: X¸c ®Þnh T sao cho hÖ thèng trªn h×nh 2.1 l æn ®Þnh. Lêi gi¶i: Tõ vÝ dô 2.1 ta cã h m truyÒn G ( z ) nh− sau ( ) 2 1 − e −2 T G ( z) = z − e −2 T Ta cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh nh− sau ( ) = z − 3e 2 1 − e −2 T −2 T +2 1 + G ( z) = 1 + =0 −2 T −2 T z−e z−e hay z = 3e−2 T − 2 §Ó hÖ æn ®Þnh th× z = 3e−2 T − 2 < 1 hay 1 2 T < ln   3 T < 0,549 VËy hÖ æn ®Þnh nÕu chu kú lÊy mÉu T < 0,549 s 2.2. Tiªu chuÈn Jury Tiªu chuÈn Jury t−¬ng tù nh− tiªu chuÈn Routh-Hurwitz ®−îc sö dông ®Ó ph©n tÝch æn ®Þnh cña c¸c hÖ liªn tôc. MÆc dï tiªu chuÈn Jury cã thÓ ¸p dông cho c¸c ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh víi bËc bÊt kú nh−ng viÖc sö dông tiªu chuÈn n y sÏ trë nªn phøc t¹p khi bËc cña hÖ thèng l lín. §Ó m« t¶ tiªu chuÈn Jury, chóng ta biÓu diÔn ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh bËc n nh− sau (2.3) F ( z ) = an z n + an −1 z n −1 + ... + a1 z + a0 ë ®©y an > 0 . Tõ ®©y ta cã thÓ x©y dùng mét d·y nh− b¶ng 2.1. C¸c phÇn tö cña d·y n y ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: C¸c phÇn tö cña mçi h ng ch½n l c¸c phÇn tö cuèi cña h ng tr−íc theo thø tù ng−îc • C¸c phÇn tö h ng lÎ ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau: •
a0 an − k b0 bn − k −1 c0 cn − k − 2 , ck = , ck = , ... bk = an ak bn −1 bk cn − 2 ck B¶ng 2.1. C¸c d·y cña tiªu chuÈn Jury ... ... zn z z z2 z n−k z n−1 0 1 ... ... a n−k a n−1 a0 a1 a2 an ... ... an a n−1 a n−2 ak a1 a0 ... ... b n− k b n−1 b0 b1 b2 ... ... b n−1 b n−2 b n−3 b k−1 b0 ... ... c n−k c0 c1 c2 ... ... c n−2 c n−3 c n−4 c k−2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... l0 l1 l2 l3 l3 l2 l1 l0 m0 m1 m2 §iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó gèc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh n»m trong vßng trßn ®¬n vÞ l n F (1) > 0 , ( −1) F ( −1) > 0 , a0 < an (2.4) b0 > bn −1 c0 > cn − 2 d0 > dn −1 (2.5) ... ... m0 > m2 Khi ¸p dông tiªu chuÈn Jury ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau: KiÓm tra ba ®iÒu kiÖn (2.4) v dõng nÕu mét trong ba ®iÒu kiÖn n y kh«ng ®−îc tháa • m·n. X©y dùng d·y c¸c hÖ sè nh− b¶ng 2.1 v kiÓm tra c¸c ®iÒu kiÖn (2.5). Dõng l¹i nÕu • mét trong c¸c ®iÒu kiÖn n y kh«ng ®−îc tháa m·n. Tiªu chuÈn Jury sÏ trë nªn phøa t¹p nÕu bËc cña hÖ thèng t¨ng lªn. §èi víi c¸c hÖ thèng bËc 2 v 3 tiªu chuÈn Jury sÏ trë nªn ®¬n gi¶n h¬n rÊt nhiÒu. §èi víi hÖ bËc 2 ta cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh nh− sau F ( z ) = a2 z 2 + a1 z1 + a0 Gèc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh sÏ kh«ng n»m trªn hoÆc bªn ngo i vßng trßn ®¬n vÞ nÕu F (1) > 0 , F ( −1) > 0 , a0 < a2
§èi víi hÖ bËc 3 ta cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh nh− sau , ë ®©y a3 > 0 F ( z ) = a3 z3 + a2 z 2 + a1 z1 + a0 Gèc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh sÏ kh«ng n»m trªn hoÆc bªn ngo i vßng trßn ®¬n vÞ nÕu F (1) > 0 , F ( −1) < 0 , a0 < a3 , a a3  a a1  det  0 > det  0 a0  a2   a3  a3   Sau ®©y chóng ta sÏ xÐt mét sè vÝ dô. VÝ dô 2.3: Cho h m truyÒn cña mét hÖ thèng cã d¹ng nh− sau y ( z) G ( z) = r ( z) 1 + G ( z) ë ®©y 0, 2 z + 0,5 G ( z) = 2 z − 1, 2 z + 0, 2 Sö dông tiªu chuÈn Jury ®Ó kiÓm tra hÖ cã æn ®Þnh hay kh«ng. Lêi gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng cã d¹ng nh− sau 0, 2 z + 0,5 1 + G ( z) = 1 + =0 2 z − 1, 2 z + 0, 2 hay z 2 − z + 0, 7 = 0 ¸p dông tiªu chuÈn Jury ta cã F (1) = 0, 7 > 0 , F ( −1) = 2, 7 > 0 , ( a0 = 0, 7 ) < ( a2 = 1) VÝ dô 2.4: Cho ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña mét hÖ thèng cã d¹ng nh− sau K ( 0, 2 z + 0,5 ) 1 + G ( z) = 1 + =0 z 2 − 1, 2 z + 0, 2 X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña K ®Ó hÖ æn ®Þnh. Lêi gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng l
z 2 + z ( 0, 2 K − 1, 2 ) + 0,5 K + 0, 2 = 0 ¸p dông tiªu chuÈn Jury ta cã F (1) = 0,7 K > 0 , F ( −1) = 0,3K + 2, 4 > 0 , 0,5 K + 0, 2 < 1 HÖ æn ®Þnh nÕu 0 < K < 1, 6 VÝ dô 2.5: Cho ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña mét hÖ thèng cã d¹ng nh− sau F ( z ) = z3 − 2 z 2 + 1, 4 z − 0,1 = 0 Sö dông tiªu chuÈn Jury ®Ó xÐt æn ®Þnh cña hÖ thèng. Lêi gi¶i: ¸p dông tiªu chuÈn Jury ta cã F (1) = 0,3 > 0 , F ( −1) = −4,5 < 0 , 0,1 < 1 VËy ®iÒu kiÖn thø nhÊt cña tiªu chuÈn Jury ®−îc tháa m·n. MÆt kh¸c ta cã a a3   −0,1 1 det  0  = det  = −0, 99 = 0, 99 −0,1 1   a3 a0  a a1   −0,1 1, 4  det  0  = det  = −1, 2 = 1, 2 −2  1   a3 a2  VËy a a3   a0 a1  det  0  < det  a a2   a3 a0  3  §iÒu ®ã cã nghÜa l ®iÒu kiÖn thø hai cña tiªu chuÈn Jury kh«ng ®−îc tháa m·n v do ®ã hÖ kh«ng æn ®Þnh. 2.3. Tiªu chuÈn Routh-Hurwitz æn ®Þnh cña mét hÖ thèng d÷ liÖu lÊy mÉu cã thÓ ®−îc ph©n tÝch b»ng c¸ch biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng sang mÆt ph¼ng p råi ¸p dông tiªu chuÈn Routh-Hurwitz. Khi ®ã ng−êi ta th−êng sö dông ph−¬ng ph¸p Tustin v z ®−îc thay thÕ nh− sau e pT / 2 1 + pT / 2 1 + w (2.6) z = e pT = ≈ = e − pT / 2 1 − pT / 2 1 − w ë ®©y w = pT / 2 . Khi ®ã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng ë d¹ng w nh− sau
(2.7) F ( w ) = bn w n + bn −1w n −1 + bn − 2 w n −2 + ... + b1w + b0 Khi ®ã d·y Routh-Hurwitz ®−îc thiÕt lËp nh− sau: ... wn bn bn −2 bn − 4 ... w n −1 bn −1 bn −3 bn −5 ... w n−2 c1 c2 c2 ... ... ... ... ... 1 j1 w 0 k1 w Hai h ng ®Çu cña d·y Routh-Hurwitz ®−îc x¸c ®Þnh trùc tiÕp tõ ph−¬ng tr×nh (2.7) cßn c¸c h ng kh¸c ®−îc tÝnh nh− sau: bn −1bn −2 − bn bn −3 , c1 = bn −1 b b −b b c2 = n −1 n − 4 n n −5 , bn −1 b b −b b c3 = n −1 n −6 n n − 7 , bn −1 c b −b c d1 = 1 n −3 n −1 2 , c1 ... Tiªu chuÈn Routh-Hurwitz cã nghÜa l sè gèc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh ë bªn ph¶i mÆt ph¼ng p b»ng sè lÇn ®æi dÊu cña c¸c hÖ sè cña cét ®Çu cña d·y. Do ®ã, hÖ ®−îc xem l æn ®Þnh nÕu tÊt c¶ c¸c hÖ sè trong cét ®Çu ph¶i cïng dÊu. VÝ dô 2.6: Cho ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña mét hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè cã d¹ng nh− sau: z 2 − z + 0, 7 = 0 Sö dông tiªu chuÈn Routh-Hurwitz ®Ó xÐt ®é æn ®Þnh cña hÖ. Lêi gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh trong mÆt ph¼ng z cã thÓ ®−îc chuyÓn th nh ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh trong mÆt ph¼ng w cã d¹ng nh− sau: 2  1+ w   1+ w   + 0, 7 = 0  −   1− w  1− w  hay 2, 7w 2 + 0, 6w + 0, 7 = 0 Ta cã d·y Routh-Hurwitz cã d¹ng nh− sau:
2,7 0,7 w2 0,6 0 w1 0,7 w0 Tõ d·y Routh-Hurwitz ta thÊy c¸c hÖ sè ë cét ®Çu tiªn cïng dÊu do ®ã hÖ æn ®Þnh. VÝ dô 2.7: Mét hÖ thèng ®iÒu khiÓn sè cã s¬ ®å khèi nh− trªn h×nh 2.2. Sö dông tiªu chuÈn Routh- Hurwitz ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña K ®Ó hÖ æn ®Þnh víi gi¶ thiÕt K > 0 v T = 1s G ( p) r ( p) e( p) e* ( p ) 1 − e − Tp K y ( p) p ( p + 2) p H×nh 2.2. HÖ thèng vßng kÝn trong vÝ dô 2.7 Lêi gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng 1 + G ( p ) = 0 , ë ®©y 1 − e − Tp K G ( p) = p ( p + 1) p BiÕn ®æi z cña G ( p ) cã d¹ng nh− sau:     K ( ) G ( z ) = 1 − z −1 Z  2   p ( p + 1)    hay K ( 0,368z + 0,264 ) G ( z) = ( z − 1)( z − 0,368) Do ®ã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh sÏ cã d¹ng nh− sau: K ( 0,368z + 0, 264 ) 1+ =0 ( z − 1)( z − 0,368) hay z 2 − z (1,368 − 0,368K ) + 0,368 + 0, 264 = 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh sang mÆt ph¼ng w ta cã:
2 1+ w  1+ w   (1,368 − 0,368 K ) + 0,368 + 0, 264 = 0  −   1− w  1− w  hay w 2 ( 2, 736 − 0,104 K ) + w (1, 264 − 0,528K ) + 0, 632 K = 0 Tõ ph−¬ng tr×nh trªn ta cã thÓ x©y dùng ®−îc d·y Routh-Hurwitz nh− sau: 2, 736 − 0,104 K 0, 632 K w2 0 1,264 − 0,528K w1 0, 632 K w0 §Ó hÖ æn ®Þnh c¸c hÖ sè cña cét thø nhÊt ph¶i cïng dÊu dã ®ã 1,264 − 0,528K > 0 hay K < 2, 4 2.4. Quü tÝch gèc (Root Locus) Quü tÝch gèc l mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p m¹nh ®−îc sö dông ®Ó xÐt ®é æn ®Þnh cña c¸c hÖ thèng vßng kÝn. Ph−¬ng ph¸p n y còng ®−îc sö dông ®Ó thiÕt kÕ c¸c bé ®iÒu khiÓn víi c¸c ®Æc tÝnh thêi gian theo yªu cÇu. Quü tÝch gèc l h×nh ¶nh cña quü tÝch c¸c gèc cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh khi hÖ sè khuyÕch ®¹i cña hÖ thèng thay ®æi. C¸c quy t¾c quü tÝch gèc cña hÖ thèng rêi r¹c còng t−¬ng tù nh− c¸c quy t¾c quü tÝch gèc cña hÖ liªn tôc bëi v× c¸c gèc cña ph−¬ng tr×nh Q ( z ) = 0 trong mÆt ph¼ng z t−¬ng tù nh− gèc cña ph−¬ng tr×nh Q ( p ) trong mÆt ph¼ng p. Trong phÇn n y chóng ta sÏ t×m hiÓu c¸ch x©y dùng quü tÝch gèc cña c¸c hÖ thèng ®iÒu khiÓn rêi r¹c qua c¸c vÝ dô. Cho h m truyÒn cña mét hÖ thèng ®iÒu khiÓn kÝn cã d¹ng nh− sau: G ( z) 1 + GH ( z ) Chóng ta cã viÕt ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh nh− sau 1 + kF ( z ) = 0 v quü tÝch gèc cã thÓ ®−îc vÏ khi gi¸ trÞ cña k thay ®æi. Quy t¾c x©y dùng quü tÝch gèc cã thÓ ®−îc tãm t¾t nh− sau: 1. Quü tÝch b¾t ®Çu tõ c¸c cùc (poles) cña F ( z ) v kÕt thóc t¹i c¸c kh«ng (zeros) cña F ( z) . 2. Quü tÝch gèc ®èi xøng qua trôc thùc. 3. Quü tÝch gèc bao gåm c¸c ®iÓm trªn trôc thùc tíi phÇn bªn tr¸i cña sè lÎ c¸c cùc v kh«ng. 4. NÕu F ( z ) cã c¸c kh«ng ë v« cïng, quü tÝch gèc sÏ cã c¸c tiÖm cËn khi k → ∞ . S« c¸c tiÖm cËn b»ng sè c¸c cùc n p trõ ®i sè c¸c kh«ng nz . Gãc cña c¸c tiÖm cËn ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:
180 r , ë ®©y r = ±1, ±3, ±5,... θ= np − nz Giao cña c¸c tiÖm cËn t¹i σ víi σ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: σ = (Tæng c¸c cùc cña F ( z ) - Tæng c¸c kh«ng cña F ( z ) )/( np - nz ) 5. §iÓm c¾t xa trªn trôc thùc cña quü tÝch gèc l gèc cña ph−¬ng tr×nh dF ( z ) =0 dz 6. Trªn mét ®iÓm cña quü tÝch gèc, gi¸ trÞ cña k ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 1 1 + kF ( z ) = 0 hay k = − F ( z) VÝ dô 2.8: Mét hÖ kÝn cã ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cã d¹ng nh− sau: 0,368 ( z + 0, 717 ) 1 + GH ( z ) = 1 + K =0 ( z − 1)( z − 0,368) VÏ quü tÝch gèc v tõ ®ã xÐt ®é æn ®Þnh cña hÖ thèng. Lêi gi¶i: C¸c quy t¾c ®Ó x©y dùng quü tÝch gèc: 1. Ph−¬ng tr×nh ®Æc tÝnh cña hÖ thèng cã thÓ ®−îc viÕt d−íi d¹ng 1 + kF ( z ) = 0 , ë ®©y 0,368 ( z + 0, 717 ) F ( z) = ( z − 1)( z − 0,368) HÖ thèng cã hai cùc t¹i z = 1 v z = 0,368 . HÖ thèng cã hai zero, mét t¹i z = −0, 717 v mét t¹i ©m v« cïng. Quü tÝch sÏ b¾t ®Çu t¹i hai cùc v kÕt thóc ë hai zero. 2. PhÇn trªn trôc thùc gi÷a z = 0,368 v z = 1 l trªn quü tÝch. T−¬ng tù, phÇn trªn trôc thùc gi÷a z = −∞ v z = 0, 717 l trªn quü tÝch. 3. Khi m n p − nz = 1 , th× cã mét tiÖm cËn v gãc cña tiÖp cËn ®ã ®−îc tÝnh nh− sau: 180r = ±180 0 ®èi víi r = ±1 θ= np − nz Chó ý r»ng nÕu gãc cña tiÖp cËn l ±180 0 ®iÒu ®ã kh«ng cã nghÜa l t×m ®−îc ®iÓm giao cña c¸c tiÖm cËn trªn trôc thùc. 4. C¸c ®iÓm t¸ch rêi cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh sau:
dF ( z ) =0 dz hay 0,368 ( z − 1) ( z − 0,368 ) − 0,368 ( z + 0, 717 ) ( 2 z − 1,368 ) = 0 z 2 + 1, 434 z − 1,348 = 0 Ph−¬ng tr×nh trªn cã c¸c gèc t¹i z = −2, 08 v z = 0, 648 . 5. Gi¸ trÞ cña k t¹i c¸c ®iÓm t¸ch rêi cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 1 k=− F ( z ) z =−2,08; z = 0,648 hay k = 15 v k = 0,196 Quü tÝch gèc cã thÓ ®−îc vÏ nh− trªn h×nh 2.3. Ta thÊy quü tÝch gèc l mét vßng trßn b¾t ®Çu tõ c¸c cùc v t¸ch ra t¹i z = 0, 648 sau ®ã l¹i héi víi trôc thùc t¹i z = −2, 08 . T¹i ®iÓm n y mét phÇn cña quü tÝch dÞch chuyÓn vÒ phÝa cùc z = −0, 717 v mét phÇn dÞch chuyÓn vÒ phÝa −∞ . Root Locus 1.5 1 0.5 Imaginary Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis H×nh 2.3. Quü tÝch gèc trong vÝ dô 2.8. H×nh 2.4 l h×nh ¶nh cña quü tÝch gèc víi vßng trßn ®¬n vÞ ®−îc vÏ trªn cïng mét trôc. HÖ thèng sÏ n»m ë biÕn giíi æn ®Þnh nÕu khi quü tÝch n»m trªn vßng trßn ®¬n vÞ. Gi¸ trÞ cña k t¹i c¸c ®iÓm n y cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh theo tiªu chuÈn Jury hay tiªu chuÈn Routh-Hurwitz.