Chương 3 - BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Chia sẻ: Nguyễn Đình Vui | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

178
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3 - BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

Chương 3: Ch BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & F 3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆU
3.1 BIẾN ĐỔI FOURIER 3.1 3.1.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI 3.1.1 ∞ ∑ FOURIER: FOURIER: jω x ( n)e − jωn X (e ) = • Biến đổi Fourirer của x(n): n=−∞ Trong đó: ω - tần số của tín hiệu rời rạc, ω = Ω Ts Ω - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu • Ký hiệu: F x(n) ← → X(ejω )  hay X(ejω ) = FT{x(n)} F −1 X(ejω ) ← → x(n) hay x(n) = FT-1{X(ejω )} 
• X(ω ) biểu diễn dưới dạng modun & argument: X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ (ω ) X (e jω ) - phổ biên độ của Trong đó: x(n) jω ϕ (ω ) = arg[ X (e )] - phổ pha của x(n) • Nhận thấy X(e ) tuần hoàn với chu kỳ 2π , thật vậy: jω ∞ ∞ ∑ ∑ x ( n ) e − j ωn = X ( e j ω ) X (e j (ω + 2π ) ) = x ( n ) e − j ( ω + 2π ) n = n=−∞ n=−∞ Áp dụng kết quả: Biểu thức biến đổi F ngược: 2π : k = 0 π π 1 ∫π e dk =  0 : k ≠ 0 ∫ jk X ( e jω ) e jωn d ω x ( n) = 2π  − −π
Ví dụ 3.1.1: Tìm biến đổi F của các dãy: Ví x1 (n) = a nu (n) : a < 1 x2 (n) = − a nu (− n − 1) : a > 1 Giải: ( ) 1 ∞ ∞ ∑ a u ( n )e = ∑ ae − jω n jω − jωn = X 1 (e ) = n 1 − ae − jω n=−∞ n =0 ( ) ∞ −∞ X 2 (e ) = − ∑ a u (−n − 1)e = −∑ a e jω − n jω − jωn −1 n n=−∞ n = −1 ( ) ( ) ∞ ∞ = −∑ a e = −∑ a e jω m jω m −1 −1 +1 m =1 m =0 1 1 = = 1− −1 jω 1 − ae − jω 1− a e
3.1.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIER ∞ ∞ ∞ ∑ x ( n )e ∑ x ( n) ∑ x ( n) e − j ωn − jωn X (e ) = = ≤ jω n=−∞ n=−∞ n=−∞ ∞ ∑ x ( n) < ∞ Vậy, để X(ω ) hội tụ thì điều kiện cần n = −∞ là: • Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thậy vậy: 2 ∞   ∞ ∑ x ( n) ≤  ∑ x ( n)  2 Ex =  n = −∞  n=−∞ ∞ ∞ ∑ ∑ x ( n) 2 x ( n) < ∞ Ex =
Ví dụ 3.1.2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy: Ví x1 (n) = 0.5n u (n); x2 (n) = 2 n u (n); x3 (n) = u (n); x4 (n) = rect N (n) Giải: ∞ ∞ ∞ 1 ∑ x1 (n) = n∑ (0.5) u(n) = ∑ (0.5) = 1 − 0.5 = 2 n n n=−∞ =−∞ n =0 ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ 2 u ( n) = ∑ 2 n = ∞ x2 ( n ) = n X2(ejω ) không tồn n=−∞ n=−∞ n =0 tạ i ∞ ∞ ∞ ∑ x ( n) = ∑ u ( n) = ∑ u ( n) = ∞ X3(ejω ) không tồn tại 3 n=−∞ n=−∞ n =0 ∞ ∞ N −1 ∑ x (n) = ∑ rect (n) = ∑ rect N (n) = N 4 N n=−∞ n=−∞ n =0
3.2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIER 3.2 a) Tuyến tính x1 ( n) ← F → X 1 (e jω ) x2 ( n) ← F → X 2 (e jω )   Nếu: a1 x1 ( n) + a 2 x2 ( n) ← F → a1 X 1 (e jω ) + a 2 X 2 (e jω )  Thì: b) Dịch theo thời gian x ( n ) ← F → X ( e jω )  Nếu: x ( n − n0 ) ← F → e -jω n 0 X (e jω )  Thì:
δ ( n);δ ( n − 2) Ví dụ 3.2.1: Tìm biến đổi F của dãy: Giải: ∞ ∑ jω δ ( n)e − jωn = 1 x ( n) = δ ( n) ← → X ( e ) =  F n=−∞ Áp dụng tính chất dịch theo thời gian: δ ( n − 2 ) = x ( n − 2 ) ← F → e − j 2 ω X ( e jω ) = e − j 2 ω  c) Liên hiệp phức x ( n ) ← F → X ( e jω )  Nếu: x * ( n ) ← F → X * ( e − jω )  Thì:
d) Đảo biến số x ( n) ← F → X (e jω )  Nếu: x ( − n ) ← F → X ( e − jω )  Thì: y ( n) = 2 n u( − n) Ví dụ 3.2.2: Tìm biến đổi F của dãy: Giải: Theo ví dụ 6.1.1, có kết quả: 1 n 1 jω x( n) =   u( n) ← → X (e ) =  F 1 − (1 / 2)e − jω 2  1 y( n) = x ( −n) = ( 2 ) u( −n) ← → X (e − jω n  )= F 1 − (1 / 2)e jω
e) Vi phân trong miền tần số x ( n ) ← F → X ( e jω )  Nếu: dX(e jω ) n x ( n) ← F → j  Thì: dω Ví dụ 6.2.3: Tìm biến đổi F của: g ( n) = na u( n); a < 1 n ìm Giải: Theo ví dụ 6.1.1: 1 x ( n) = a n u( n) ← F → X (e jω ) =  ; a
f) Dịch theo tần số x ( n ) ← F → X ( e jω )  Nếu: e j ω0 n x ( n) ← F → X [e j (ω -ω 0 ) ]  Thì: y( n) = a n cos(ω 0 n)u( n); a < 1 Ví dụ 3.2.4: Tìm biến đổi F ìm Giảủa: c i: Theo ví dụ 6.1.1: 1 jω x ( n) = a u( n) ← → X (e ) =  ; a
{ } 1 X [e j (ω −ω 0 ) ] + X [e j (ω +ω 0 ) ] F Y ( e jω ) = ← → 2 1  1 1 jω Y (e ) =  +  − j ( ω −ω 0 ) ) (1 − ae − j (ω +ω 0 ) )  2  (1 − ae g) Tích 2 dãy x1 ( n) ←F → X 1 (e jω ) x2 ( n) ←F → X 2 (e jω )   Nếu : 1 π ∫−π X 1 (e jω ' ) X 2 [e j (ω −ω ') ]dω ' x1 ( n) x2 ( n) ← →  F Thì: 2π 1 π ∫π X 2 (e jω ' ) X 1[e j (ω −ω ') ]dω ' = 2π −
g) Tổng chập 2 dãy Nếu x1 ( n) ←F → X 1 ( e jω ) x2 ( n) ←F → X 2 ( e jω )   : x1 ( n) * x2 ( n) ← F → X 1 (e jω ) X 2 (e jω )  Thì: Ví dụ 3.2.4: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=δ (n+2)+δ (n- ìm 2) Giải: Theo ví dụ 6.2.1, có kết quả: X (e jω ) = H (e jω ) = e j 2ω + e − j 2ω Y ( e j ω ) = X ( e j ω ) H ( e j ω ) = ( e j 2ω + e − j 2ω ) 2 = e j 4 ω + 2 + e − j 4 ω y ( n) = x(n) * h( n) = F −1[Y (ω)] y ( n) = δ ( n + 4) + 2δ ( n) + δ ( n − 4)
g) Quan hệ Parseval x2 ( n) ←F → X 2 ( e jω ) x1 ( n) ←F → X 1 (e jω )   Nếu : ∞ 1 π ∑ x1 (n) x ( n) = 2π ∫π X 1 (e jω ) X 2 (e jω )dω * * Thì: (*) 2 − n=−∞ Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ Parseval Nhận xét: Nếu: x1 ( n) = x2 ( n ) = x ( n ) Theo quan hệ Parseval, ta có: ∞ 1 π 2 ∑ x( n) = 2π 2 jω ∫−π X ( e ) dω n=−∞ - gọi là phổ mật độ năng 2 jω jω Với: S xx ( e ) = X (e ) lượng
TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI F X(ω ) x(n) a1X1(ejω )+a2X2(ejω ) a1x1(n)+a2x2(n) e-jω n0 X(ejω ) x(n-n0) ejω 0n x(n) Xej (ω - ω 0) jdX(ejω )/dω nx(n) X(e-jω ) x(-n) X*(e-jω ) x*(n) ( ) 1 x1(n)x2(n) 2πj ∫C jω ' j ( ω −ω ' ) dω ' X 1 (e ) X 2 e ∞ ∑ * x1 ( n) x 2 ( n) n=−∞ X1(ejω )X2(ejω ) x1(n)*x2(n)
3.3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & Z 3.3 ∞ ∑ x ( n) z − n Z x ( n) ← → X ( z ) =  X ( e jω ) = X ( z ) z = e n = −∞ jω ∞ ∑ x ( n ) ← F → X ( e jω ) = x ( n)e − jωn  Im(z) n=−∞ ROC X(z) Hay biến đổi Fourier chính là /z/=1 biến đổi Z được lấy trên vòng /z/=1 Re(z) tròn đơn vị theo biến số ω ω • Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1 ⇒X(ejω )=X(z) với z=ejω • Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1 ⇒X(ejω ) không hội tụ
Ví dụ 3.3.1: Tìm biến đổi Z & FT của các dãy: Ví x2 ( n ) = 2 n u ( n ) x1 (n) = (0.5) n u (n) Giải: 1 X1( z) = ; z > 0.5 −1 1 − 0.5 z Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên: 1 jω X 1 (e ) = X 1 ( z ) z = e = 1 − 0.5e − jω jω 1 X 2 ( z) = ;z >2 −1 1 − 2z Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2(ejω ) không tồn tại
3.4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC 3.4 TRONG MIỀN TẦN SỐ 3.4.1 Định nghĩa đáp ứng tần số Miền n: x(n) h(n) y(n)=x(n)*h(n) F Miền ω : X(ejω ) H(ejω ) Y(ejω )=X(ejω )H(ejω ) H(ejω )=Y(ejω )/X(ejω ): gọi là đáp ứng tần số h(n) F Nếu H(ejω ) biểu diễn dạng môdun và pha: jω H (e ) - Đáp ứng biên độ H ( e jω ) = H ( e jω ) e jφ ( ω ) φ (ω ) - Đáp ứng pha
Ví dụ: 3.4.1: Tìm H(ω ), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết: h(n)=rect4(n) Giải: Biến đổi Fourier của h(n): ∞ 1 − e − j 4ω 3 ∑ H ( e jω ) = rect 4 ( n)e − jωn = ∑ e − jωn = 1 − e − jω n=−∞ n =0 sin( 2ω ) − j3ω / 2 e − j 2ω ( e j 2 ω − e − j 2ω ) = jω H (e ) = − jω / 2 jω / 2 e ) sin(ω / 2) − jω / 2 −e e (e sin( 2ω ) jω H (e ) = sin(ω / 2)  − 3ω / 2 : A(ω ) > 0 sin( 2ω ) Với A(ω ) = φ (ω ) =  sin(ω / 2)  − 3ω / 2 + π : A(ω ) < 0
/H(ejω )/ 4 -π -π /2 π /2 π 3π /2 2π 0 ω argH(ejω 3π /4 ) -π -π /2 π /2 π 3π /2 2π 0 ω -π /4 -π /2 -3π /4