CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1)

Chia sẻ: Paradise9 Paradise9 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 3. tích phân hàm số hửu tỷ bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản 1)', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1)

CHUYÊN ĐỀ 3. TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỬU TỶ BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN dx 1)  ln x  C  x. dx dx 11 1 1  dx dx  2)   .    .dx  2a .   x  a   x  a  x  x  ax  a  2  a2 2a  x  a x  a    1  dx  a d x  a  1 1 x a .  ln x  a  ln x  a   .     .ln C   2a  x  a x a  2a 2a xa   2 2 1 d x a x.dx 1 . ln x 2  a 2  C 3)  2 2  . 2 2  x a 2 x a 2 1 d  ax  b  dx 1 4)  .  ln ax  b  C  ax  b a ax  b a  n 1 d  ax  b  1  ax  b  dx 1 n  .  ax  b  .d  ax  b   . 5)  C   ax  b    ax  b  n n a   n  1 a  P x 1. Tích phân dạng I .dx Q x  - Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x). Nếu ngược lại ta lấy P(x) chia cho
Q(x). - Trước tiên ta phân tích mẫu Q(x) thành tích những nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Trong nội dung chương trình phổ thơng ta chỉ tiếp xc với cc dạng sau của Q(x). ● Dạng 1. Q  x    x  a1   x  a 2  ...  x  a n  P x P x - Ta phân tích :  Qx  x  a1   x  a 2  ... x  a n  A1 A2 An    ...  x  a1 x  a 2 x  an - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm A1 , A 2 ,..., A n . m ● Dạng 2. Q  x    x  a1   x  a 2  ...  x  a n   x  b  P x Px - Ta phân tích :  m Qx  x  a1   x  a 2  ...  x  a n   x  b  A1 A2 An B1 B2 Bm    ...     ...  2 m x  b x  b  x  b x  a1 x  a 2 x  an - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm A1 , A 2 ,..., A n , B1 , B2 ,..., Bm . ● Dạng 3. Q  x    x  a1   x  a 2  ...  x  a n   x 2  px  q  , p  2  4q  0
P x P x - Ta phân tích :   x  a1   x  a 2  ...  x  a n   x 2  px  q  Qx A1 A2 An Bx  C    ...  2   x  a1 x  a 2 x  an x  px  q - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm A1 , A 2 ,..., A n , B, C. ● Dạng 4. Q  x    x 2  p1x  q1   x 2  p 2 x  q 2  , p  2  4q1  0; p 2 2  4q 2  0 1 - Ta phân tích : P x Px B1x  C1 B x  C2  22   x      Qx 2 2 2  p1x  q1 x  p 2 x  q 2 x  p1x  q1 x  p2x  q2 - Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm B1 , C1 , B2 , C 2 .  dx a  0 2. Tích phân dạng I , 2 ax  bx  c  Trong đó ax 2  bx  c  0,   ;   Xt   b 2  4ac 2 b ● Nếu   0 thì ax  bx  c  a  x   2   2a     dx 1 dx dx Khi đó : I  ===> Dạng cơ bản .   ax  b   .  n 2 2 a  b b   ax  x  2a  2a   
● Nếu   0 thì ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x 2  , với x1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình.  1 dx dx Khi đó : I  . ===> Dạng cơ bản . x 2  a2  x  x1   x  x 2  a 2   2  Δ  b ● Nếu   0 thì ax  bx  c  a  x     2      2a   4a 2        dx 1 dx dx Khi đó : I  === > Dạng .  ax 2  bx  c  a .   x 2  a2 2  2  Δ  b  x         2a   4a 2      BÀI TẬP 1 dx π Tính tích phân : ĐS : Bi 1. . x 2  2x  2 4 0 1 dx π Tính tích phân : ĐS : Bi 2. . x 2  2x  2 4 0 1 π3 dx Tính tích phân : ĐS : Bi 3. . x 2 9  x 1 0 0 π3 dx Tính tích phân : ĐS : . Bi 4. x 2 18  2x  4 1  mx  n .dx ,  a  0  3. Tích phân dạng I ax 2  bx  c 
mx  n liên tục trên đoạn  ;   Trong đó f  x   ax 2  bx  c A.  2ax  b  mx  n B - Ta phân tích :   2 2 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c - Bằng phương pháp đồng nhất thức ta tìm được A, B.    mx  n 2ax  b 1 - Khi đó I   .dx  A. 2 .dx  B. 2 .dx 2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c      d ax 2  bx  c    2ax  b  ln ax 2  bx  c + Tích phân  2 .dx   ax 2  bx  c ax  bx  c     1 + Tích phân .dx đ tính ở trn.  ax 2  bx  c  BÀI TẬP  2x  2  0 Tính tích phân : ĐS : Bi 1. x dx 2  4x  8 2 π ln 2  . 4 1 4x  11 9 Tính tích phân : ĐS : ln . Bi 2. .dx x 2  5x  6 2 0
x2 4. Tích phân dạng (tham khảo thm) In   .dx n  ax  b  1 22 1 1 2 2 - Sử dụng đồng nhất thức : x 2  .a x  2 .  ax   2 .  ax  b   b    2 a a a 1 2 . ax  b   2b  ax  b   b 2  2    a - Do đó 2 1  2 1  ax  b   2b  ax  b   b x2 b2 1 2b : 2  2    n n a   ax  b  n  2  ax  b  n 1  ax  b n   ax  b   ax  b  a   1 dx  x2 dx dx  b 2 . - Vậy : In  n .dx  .   2b. n   ax  b  a 2   ax  b  n  2 n 1  ax  b    ax  b    1 .  I  2b.I n 1  b 2 .In  .  2  n 2  a BÀI TẬP 3 x2 Tính tích phân : Bi 1. .dx  1  x  39 2 2 - HD: Phân tích: x 2  1  x   2 1  x   1 . ĐS : 3 x3 Tính tích phân : Bi 2. .dx  1  x  10 2 2 3 - HD: Phân tích: x 3  1  3  x  1  3  x  1   x  1 . ĐS :
dx 5. Tích phân dạng I x  a2 2 - Đặt : x  a.tan t . ==> dx  a. 1  tan 2 t  .dt   a. 1  tan 2 t .dt dx 1 dt 1 - Khi đó  2 2   .  . ln t  C.  2 2 2 x a a tan t  a at a BÀI TẬP 1 dx Tính tích phân : ĐS : Bi 1. x 2 4 0 1 dx Tính tích phân : ĐS : Bi 2.  2x 2  6x  9 0 dx 6. Tích phân dạng (tham khảo thm) In   n x  a2  2 1 2nx   u du  dx   n n 1     x2  a2 x2  a2 Đặt:  -    dv  dx v  x  dx  a  0, n  2  7. Tích phân dạng (tham khảo thm) In   , n  ax 2  bx  c  
Trong đó ax 2  bx  c  0,   ;     dx 1 dx - Ta cĩ: In  ===> Dạng  .  n n n a   ax  2 2   bx  c b     x    2  2a  4a      dx In   n  x2  a 2   BÀI TẬP 1 dx Tính tích phân : ĐS : Bi 1.  3  x 2  4x  3 0 1 dx 2 Tính tích phân : ĐS : Bi 2.  4ln2  2ln3.  2 x  3x  2  3 2 0 mx  n  a  0, k  2  8. Tích phân dạng (tham khảo thm) Ik   .dx , k  ax 2  bx  c  m mb  2ax  b   n  - Phân tích : mx  n  2a 2a  2ax  b  mx  n m mb  1  - Do đó :  . n  . k k k 2a ax 2  bx  c 2a  ax 2  bx  c  ax      2   bx  c  2ax  b  1 - Ta sẽ thu được 2 tích phân : v .dx   .dx k k  ax   ax  2 2  bx  c  bx  c   d ax 2  bx  c  2ax  b  1 1 + .dx   . C   k k k 1  1  k  ax  bx  c  ax   ax    2 2 2  bx  c  bx  c
1 + đ tính ở trn. .dx  k  ax  2  bx  c dx 9. Tích phân dạng (tham khảo thm) I m n  x  a   x  b Trong đó m,n  là các số nguyên dương, ngoài phương pháp hệ số bất định, xa để giải. ta cịn cĩ thể sử dụng php đặt t  xb 1 dx Ví dụ : Tính tích phân I   2 3  x  2   x  3 0 x2 5 1 1 t + Đặt : t   1   x 3 x3 x3 5 2 5  1 t  5dt  dt  .dx  5   .dx  dx  2 2  x  3 1  t  5 3 2 5 1 1  t  dx 1  x 3  1  t  1 5dt +   .dx   .2  4 . 2 .dt 5 2 3 2  x  2   x  3  x  3  x  2   5  t 1  t  5 t 2 1 + Đổi cận : x  0  t   ; x  1  t   . 3 4 1 1   3 1  t  4 4 1 1 1 1  + Khi đó : I   3  3  t  dt . dt    t 54 2 54 2 t t   2 2   3 3