Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại

Chia sẻ: Tong Van Van | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:357

Thêm vào BST

Báo xấu

628
lượt xem 279
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề bất đẳng thức hiện đại

ht tp :// w w w .V NM AT H. co m
ht tp :// w w w .V NM AT H. co m
m co H. AT Chuyên đ NM B t đ ng th c hi n đ i .V Võ Qu c Bá C n-Ph m Th H ng w w w :// tp ht
ii ht tp :// w w w .V NM AT H. co m
m M cl c co H. L i nói đ u v AT 1 Tìm tòi m t s k thu t gi i toán 1 1.1 Đ i lư ng (a b)(b c)(c a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nh ng ki u l i gi i đ c bi t b ng AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . 12 NM 1.3 K thu t pqr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Nh ng đ ng th c c n nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 B t đ ng th c Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 .V 1.3.4 Đ i lư ng (a b)2 (b c)2 (c a)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.5 Làm m nh hơn n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 w 1.3.6 pqr hoán v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4 The CYH techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.4.1 L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 w 1.4.2 B t đ ng th c Cauchy Schwarz và Holder. . . . . . . . . . . . . 70 1.4.3 M t s k thu t c n chú ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 w 1.5 The Hyberbolic functional technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.5.1 L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 :// 1.5.2 M t s ví d m đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1.5.3 Đ t v n đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 1.5.4 Gi i quy t v n đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 tp 1.5.5 M t s m r ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 1.6 Các d ng t ng bình phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 1.7 Hàm l i, hàm b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 ht 1.8 Quy n p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 2 Sáng t o b t đ ng th c 201 A M t s b t đ ng th c thông d ng 343 A.1 B t đ ng th c trung bình c ng-trung bình nhân-trung bình đi u hòa (AM-GM-HM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 iii
iv M CL C A.2 B t đ ng th c AM-GM suy r ng . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 343 A.3 B t đ ng th c trung bình lũy th a . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 343 A.4 B t đ ng th c trung bình lũy th a suy r ng . . . . . . . . . . . . . . . 344 A.5 B t đ ng th c Bernoulli . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 344 A.6 B t đ ng th c Cauchy Schwarz . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 344 m A.7 B t đ ng th c Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 A.8 B t đ ng th c Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 co A.9 B t đ ng th c Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 A.10 Khai tri n Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 A.11 B t đ ng th c Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 H. A.12 B t đ ng th c Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 A.13 Hàm l i, hàm lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 AT A.14 B t đ ng th c Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 A.15 T ng, tích hoán v -đ i x ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 NM .V w w w :// tp ht
m L i nói đ u co H. B t đ ng th c là m t trong nh ng v n đ hay và khó nh t c a chương trình toán ph thông b i nó có m t trên h u kh p các lĩnh v c c a toán h c và nó đòi hòi chúng ta AT ph i có m t v n ki n th c tương đ i v ng vàng trên t t c các lĩnh v c. M i ngư i chúng ta, đ c bi t là các b n yêu toán, dù ít dù nhi u thì cũng đã t ng đau đ u trư c m t b t đ ng th c khó và cũng đã t ng có đư c m t c m giác t hào ph n khích mà mình ch ng minh đư c b t đ ng th c đó. Nh m “kích ho t” ni m say mê b t đ ng NM th c trong các b n, chúng tôi th c hi n quy n sách “Chuyên đ b t đ ng th c hi n đ i”. Sách g m 2 chương. Chương I chúng tôi xin đư c gi i thi u đ n các b n nh ng k thu t (xin ch g i là k thu t) mà chúng tôi tìm tòi tích lũy đư c trong su t th i gian .V h c t p c a mình. Do t t c các k thu t mà chúng tôi đ c p đây đ u có m i liên h khăng khít v i nhau (cái này b tr cái kia và ngư c l i) nên chúng tôi xin đư c w phép trình bày theo ki u t ng bài chuyên đ nh , m i chuyên đ là m t k thu t. Tuy nhiên, lĩnh v c b t đ ng th c hi n nay r t phát tri n (phát tri n nh t c a toán h c sơ c p hi n nay), cho nên chúng tôi không th đ c p h t các k thu t (phương w pháp) đư c, các k thu t (phương pháp) đã t ng xu t hi n các sách, chúng tôi s không nh c l i đây, các b n có th tìm đ c chúng d a vào các tài li u mà chúng tôi w đ t ph n tài li u tham kh o. V các k thu t mà chúng tôi s gi i thi u trong sách, h u h t chúng là nh ng k thu t m nh và đư c dùng đ gi i nh ng bài toán khó (đ n :// r t khó) nên đôi khi (vi c gi i các bài toán khó) thì có th g p ph i nh ng tính toán, bi n đ i ph c t p, đây là đi u không th tránh kh i. Nhưng các b n hãy yên tâm, vì các bài toán xu t hi n trong các kỳ thi h c gi i (qu c gia, olypimpic 30/4, th m chí tp thi toán qu c t ) thư ng ch là nh ng bài r t đơn gi n, bình thư ng nên vi c s d ng các k thu t này r t nh nhàng và đơn gi n. Ch ng h n như bài toán thi IMO 2006 sau ht Bài toán 0.1 Tìm h ng s nh nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng v i các s th c a; b; c ab(a2 b2 ) + bc(b2 c2 ) + ca(c2 a2 ) k (a2 + b2 + c2 )2 : L i gi i c a đáp án là m t l i gi i r t dài và ph c t p (s d ng b t đ ng th c AM- GM), đòi h i ngư i làm ph i “r t khéo léo”, nhưng v i l i gi i b ng k thu t “đánh v
vi L I NÓI Đ U giá các b t đ ng th c hoán v ”, chúng ta ch nh n đư c m t l i gi i ng n g n 1/3 so v i l i gi i g c ban đ u. Chương II c a sách là tuy n t p nh ng bài toán mà chúng tôi (theo quan ni m c a b n thân) là hay và r t khó. Chúng tôi ch y u tuy n ch n nh ng bài b t đ ng th c ch a căn ho c nh ng bài “không m u m c” vì chúng ta không th dùng nh ng bi n m đ i thông thư ng đ gi i chúng và như th thì m i thúc đ y chúng ta sáng t o đư c. Trong chương này, ph n l n chúng tôi đ u gi i b ng cách s d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz-Holder (CYH techniques) và b t đ ng th c Schur (b c 3, b c 4). co Th c t là đ i v i m t s bài toán thì không ch có m t l i gi i duy nh t mà còn có nhi u l i gi i khác n a, nhưng đây chúng tôi ch n l i gi i b ng các b t đ ng th c trên, vì chúng tôi mu n các b n “hòa nh p” vào quan đi m c a chúng tôi là “Cái đơn H. gi n nh t là cái m nh nh t!” Trong chương này, có m t s bài toán khó, l i gi i mà chúng tôi tìm đư c r t ph c t p, chúng tôi r t mong các b n s suy nghĩ v chúng và AT tìm đư c m t l i gi i đơn gi n hơn. Chúng tôi th c hi n quy n sách này v i mong mu n cung c p thêm cho các b n thêm m t ngu n bài t p (khó) v b t đ ng th c đ có th luy n t p thêm kĩ năng gi i toán c a mình. M c dù đã r t c g ng nhưng không có đi u gì là tuy t đ i c , nên khó NM tránh kh i nh ng thi u sót, sai l m. Mong các b n thông c m và góp ý cho chúng tôi đ có th quy n sách có th đư c ch nh s a và hoàn thi n hơn. Xin chân thành c m ơn. Xin g i t ng quy n sách này đ n ngư i con gái tôi yêu quý nh t, b n Ph m Th H ng, .V h c sinh chuyên toán K34, trư ng THPT Chuyên Phan B i Châu, thành ph Vinh, t nh Ngh An. w Võ Qu c Bá C n w SV l p YY0647A1, trư ng ĐHYD C n Thơ S nhà C65 khu dân cư Phú An, phư ng Phú Th , qu n Cái Răng, tp. C n Thơ w E-mail: can_hang2007@yahoo.com :// tp ht
m Chương 1 co Tìm tòi m t s k thu t gi i H. toán AT NM Đ i lư ng (a b)(b c)(c a) 1.1 V i nh ng b t đ ng th c hoán v vòng quanh, vi c x lý chúng khó hơn các b t đ ng .V th c đ i x ng r t nhi u. Tuy nhiên, m t đi m đáng chú ý các d ng b t đ ng th c này, chúng ta có th bi n đ i chúng thành d ng "bán đ i x ng" như sau Đ t f (a; b; c) chính là bi u th c hoán v vòng quanh đ bài, ta có th vi t l i f (a; b; c) w như sau 1 1 f (a; b; c) = [f (a; b; c) + f (c; b; a)] + [f (a; b; c) f (c; b; a)] w 2 2 Khi đó, có m t đi m đáng chú ý là f (a; b; c) + f (c; b; a) là m t bi u th c đ i x ng w theo a; b; c và f (a; b; c) f (c; b; a), ta có th tách ra m t đ i lư ng khá đ c bi t là (a b)(b c)(c a): T đó, vi c đánh giá bài toán tr nên đơn gi n hơn nhi u. :// Sau đây là m t vài ví d 1.1 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng Ví d tp ab bc ca 3 +2 +2 : 3a2 + b2 3b + c2 3c + a2 4 ht (Dương Đ c Lâm) L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i X (a b)(3a b) 0 3a2 + b2 cyc 1
2 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN X X a2 b2 2(3a b) a+b , (a b) 3a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 cyc cyc X (a Y a2 2 b) (3a2 2ab + 3b2 ) b2 , (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) a2 + b2 cyc cyc m S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có v uY co X (a 2 2 u (a b) (3a2 2ab + 3b2 ) b) (3a2 2ab + 3b2 ) 3t 3 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) cyc cyc H. Nên ta ch c n ch ng minh v uY AT Y a2 2 u (a b2 b) (3a2 2ab + 3b2 ) 3t3 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) a2 + b2 cyc cyc NM Y (a b) (3a2 2ab + 3b2 ) Y (a2 b2 )3 2 , 27 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) (a2 + b2 )3 cyc cyc Y Y , 27 (3a2 2ab + 3b2 )(a2 + b2 )2 (a b)(a + b)3 (3a2 + b2 ) .V cyc cyc B t đ ng th c này đư c ch ng minh n u ta ch ng minh đư c b t đ ng th c sau v i w m i x; y > 0 3(3x2 2xy + 3y 2 )(x2 + y 2 )2 y j (x + y )3 (3x2 + y 2 ) jx w Theo b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có w 1 x2 + y 2 (x + y )2 2 :// Nên ta ch c n ch ng minh 3(3x2 2xy + 3y 2 )(x2 + y 2 ) 2 x2 y 2 (3x2 + y 2 ) tp B t đ ng th c này hi n nhiên đúng do ht x2 + y 2 x2 y2 và 3(3x2 2xy + 3y 2 ) 2(3x2 + y 2 ) = 3x2 6xy + 7y 2 = 3(x y )2 + 4y 2 0: B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c:
1.1. Đ I LƯ NG (A B )(B C )(C A) 3 1.2 Cho a; b; c là đ dài ba c nh c a m t tam giác nh n. Ch ng minh r ng Ví d a3 b3 c3 a2 b2 c2 +2 +2 + + : a2 2 2 c + a2 +b b +c a+b b+c c+a m (Võ Qu c Bá C n) co L i gi i. Trư c h t, ta hãy chú ý r ng X b3 X (b a)(a2 + ab + b2 ) X X ab(b a3 a) = = (a b) + H. a2 + b2 a2 + b2 a2 b2 ) + cyc cyc cyc cyc P a)(a2 + c2 )(b2 + c2 ) ab(b cyc AT = (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! ! P 22 P P ab(b a) + abc c3 (a ab b) NM cyc cyc cyc = (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! P P a2 b2 + abc (a b)(b c)(c a) a .V cyc cyc = (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) w X a2 X b2 = (a b) = 0 w a+b cyc cyc w T đó, ta có th vi t l i b t đ ng th c như sau X a3 + b3 X a2 + b2 X b3 a3 X a2 b2 :// + a2 b2 a2 + b2 + a+b a+b cyc cyc cyc cyc ! tp P P 22 (a b)(b c)(c a) a b + abc a X ab(a b)2 cyc cyc ht , (a + b)(a2 + b2 ) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) cyc S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có s X ab(a b)2 a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 33 (a + b)(a2 + b2 ) (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) cyc
4 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN Ta c n ch ng minh s a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 33 (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! P P m a2 b2 + abc (a b)(b c)(c a) a cyc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) co 27a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 , (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) H. !3 P P 3 3 3 22 (a b) (b c) (c a) a b + abc a cyc cyc AT (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 ,27a2 b2 c2 (a2 + b2 )2 (b2 + c2 )2 (c2 + a2 )2 !3 NM X X 2 2 2 2 2 2 22 (a b )(b c )(c a) a b + abc a cyc cyc Do a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác nh n nên ta d dàng ch ng minh đư c .V a2 b2 c2 (a2 b2 )(b2 c2 )(c2 a2 ) Ngoài ra, ta cũng có w ! ! X X 2 2 2 2 2 2 2 22 a2 b2 c2 (a + b )(b + c )(c + a ) = a ab w cyc cyc ! ! X X 8 w 2 22 a ab 9 cyc cyc v :// !3 u 8u X 2 2 t3 ab 9 cyc tp v u 0P 2 2 P 13 u a b + abc a u 8 t @ cyc cyc A 3 ht 9 2 !3 X X 8 2 22 2 22 2 22 22 ) (a + b ) (b + c ) (c + a ) a b + abc a 27 cyc cyc Nhân tương ng v v i v các b t đ ng th c này, ta thu đư c b t đ ng th c trên. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 và các hoán v .
1.1. Đ I LƯ NG (A B )(B C )(C A) 5 1.3 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào cùng b ng 0: Ch ng minh Ví d r ng p a3 b3 c3 3(a2 + b2 + c2 ) +2 +2 : 2 + b2 2 c + a2 a b +c 2 (Võ Qu c Bá C n) m L i gi i. Vi t l i b t đ ng th c như sau co sX X a3 + b3 X X b3 a3 a+b a2 3 a+ a2 + b2 a2 + b2 2 cyc cyc cyc cyc H. X (a X b)2 (a + b) (a b)2 rP , P 2(a2 + b2 ) 3 a2 + a AT cyc cyc cyc cyc ! P P a2 b2 + abc (a b)(b c)(c a) a NM cyc cyc + (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) rP P Do 3 a2 a nên ta ch c n ch ng minh đư c cyc cyc .V X (a b)2 (a + b) w 2(a2 + b2 ) cyc ! P P w a2 b2 + abc (a b)(b c)(c a) a X (a b)2 cyc cyc P + (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) w 2a cyc cyc X :// a+b 1 b)2 , (a a2 + b2 a+b+c cyc ! P P tp 22 2(a b)(b c)(c a) a b + abc a cyc cyc ht (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) X 2ab + ac + bc b)2 , (a a2 + b2 cyc ! ! P P P a2 b2 + abc 2(a b)(b c)(c a) a a cyc cyc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 )
6 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có X 2ab + ac + bc b)2 (a a2 + b2 cyc s b)2 (b c)2 (c a)2 (2ab + ac + bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) m (a 33 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) co Ta ph i ch ng minh s H. b)2 (b c)2 (c a)2 (2ab + ac + bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) (a 33 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! ! AT P P 22 P 2(a b)(b c)(c a) a a b + abc a cyc cyc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) NM " #" # Y Y 2 22 , 27 (2ab + ac + bc) (a + b ) cyc cyc .V " # !3 !3 Y X X X 22 8 (a b) a a b + abc a w cyc cyc cyc cyc Vì w !3 Y X (2ab + ac + bc) 2 ab w cyc cyc :// và !2 !2 Y X X 64 (a2 + b2 )2 a2 a2 b2 tp 81 cyc cyc cyc nên ta ch c n ch ng minh đư c ht !3 !2 !2 X X X 16 2 22 ab a ab 3 cyc cyc cyc " # !3 !3 Y X X X 22 (a b) a a b + abc a cyc cyc cyc cyc
1.1. Đ I LƯ NG (A B )(B C )(C A) 7 Bây gi , chú ý r ng !2 !2 !3 X X X X 22 22 8 ab ab 3 a b + abc a cyc cyc cyc cyc !2 ! !3 X X X X X m 22 22 22 =8 ab a b + 2abc a 3 a b + abc a cyc cyc cyc cyc cyc ! co X X 22 =A ab abc a 0 cyc cyc H. trong đó !2 ! ! !2 X X X X AT a2 b2 a2 b2 + 3a2 b2 c2 A=5 + 12abc a a cyc cyc cyc cyc NM Ta còn ph i ch ng minh ! !2 " # !3 X X Y X 2 2 ab a (a b) a cyc cyc cyc cyc .V Chu n hóa cho a + b + c = 1: Đ t q = ab + bc + ca; r = abc thì ta có p w (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)(b c)(c a) p q 2 4q 3 + 2(9q 2)r 27r2 = w Ta ph i ch ng minh p w 2q )2 q2 4q 3 + 2(9q 27r2 2q (1 2)r :// N u 9q 2 thì h i p p 2q )2 2q )2 q2 4q 3 + 2(9q 27r2 2q (1 2)r q 2(1 1 4q 0 tp Do 2 p p 1 1 2q )2 4q )2 + 1] 2(1 1 4q = 1 4q + [2(1 0 ht 2 4 N u 9q 2 thì r p 4 1 q2 4q 3 27r2 3q )3 9q + 2)2 + 2(9q 2)r = (1 (27r 27 27 r 4 3q )3 (1 27
8 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN p 2q )2 q2 4q 3 + 2(9q 2)r 27r2 )2q (1 r p 4 2 2q )2 (1 3q )3 = 2q (1 2q )2 2q (1 (1 3q ) 3(1 3q ) 27 9 2 8 46 2q )2 (9q 2)(81q 2 63q + 13) + 2q (1 (1 3q ) = > 0: 9 729 729 m B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: co 111 Ví d 1.4 Cho các s dương a; b; c th a mãn a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Xác đ nh h ng s k nh nh t sao cho H. a b c ab c a b c + + k ++ + 2+ 2 : 2 2 a + b2 2 b+c c+a b ca b c a AT (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Cho a = b = c, khi đó b t đ ng th c tr thành NM 3 9k a+1 a a 1 1 ,k = .V 3(a + 1) 3 3(a + 1) 1 Cho a ! +1, ta đư c k 3 . Ta s ch ng minh đây chính là giá tr mà ta c n tìm, w t c là a b c 1ab c a b c + + ++ + 2+ 2 w b + c2 c + a2 a + b2 b2 3b ca c a X a2 X a Xb Xa , + + 3 w 3 2 b + c2 b bc cyc a cyc cyc cyc P P :// a a Do nên ta ch c n ch ng minh đư c b+c2 c2 cyc cyc X a2 Xa Xb Xa tp + + 3 b3 bc cyc a2 c2 cyc cyc cyc ht X a2 Xa Xb , + 2 0 b3 a2 bc cyc cyc cyc Đ t x = a ; y = 1 ; z = 1 , khi đó x; y; z là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. B t đ ng 1 b c th c tr thành X y 3 X yz X x2 + 2 0 2 x x y cyc cyc cyc
1.1. Đ I LƯ NG (A B )(B C )(C A) 9 ! X X yz X X y2 X x2 y3 2y 2 , +y + x+2 0 x2 x x x y cyc cyc cyc cyc cyc P 2(x y )(y z )(z x) x X y z cyc y )2 , (x + m x2 2xy xyz cyc P co 2(x y )(y z )(z x) x X (x 2 2 y ) (2y + zx) cyc , 2x2 y xyz cyc H. S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có rQ Q AT y )2 (2x2 + yz ) 33 (x X (x 2 2 y ) (2y + zx) cyc cyc 2x2 y 2xyz cyc NM Ta c n ch ng minh rQ Q P y )2 (2x2 + yz ) 33 (x 2(x y )(y z )(z x) x .V cyc cyc cyc 2xyz xyz w !3 Y X , 27 (2x2 + yz ) 64(x y )(y z )(z x) x w cyc cyc w Đ ch ng minh b t đ ng th c này, trư c h t ta s ch ng minh !3 ! :// Y X X 9 (2x2 + yz ) x xy cyc cyc cyc tp Do tính thu n nh t, ta có th chu n hóa cho x+y +z = 1. Đ t q = xy +yz +zx; r = xyz , khi đó ta có 1 q 1 và 3 4 ht Y (2x2 + yz ) = 27r2 + 2(1 9q )r + 4q 3 cyc B t đ ng th c tr thành 243r2 + 18(1 9q )r + 36q 3 q 0
10 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN 5q 1 1 Đây là m t hàm lõm theo r và v i chú ý r ng r , ta có 18 2 5q 1 243r2 + 18(1 9q )r + 36q 3 1) + 36q 3 q 243 + (1 8q )(5q q 18 1 3q )2 = (16q 1)(1 0 m 4 Ti p theo, s d ng b t đ ng th c trên, ta ch c n ch ng minh co ! ! X X 3 x xy 64(x y )(y z )(z x) H. cyc cyc Đ t x = m + n; y = n + p; z = p + m (m; n; p > 0), b t đ ng th c này tương đương AT vi ! ! X X X 2 3 m m +3 mn 32(m n)(n p)(m p) cyc cyc cyc NM T đây, gi s p = minfm; n; pg, và đ t m = p + u; n = p + v (u; v 0), ta có X m = 3p + u + v u + v cyc .V X X m2 + 3 mn = 12p2 + 8(u + v )p + u2 + 3uv + v 2 u2 + 3uv + v 2 cyc cyc w (m n)(n p)(m p) = uv (u v) w Nên ta ch c n ch ng minh 3(u + v )(u2 + 3uv + v 2 ) 32uv (u v) w , 3u3 20u2 v + 44uv 2 + 3v 3 0 :// 2 10 32 2 uv + 3v 3 , 3u u v + 0: 3 3 tp hi n nhiên đúng. V y ta có đpcm. Ví d 1.5 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng ht minh r ng (a b)(13a + 5b) (b c)(13b + 5c) (c a)(13c + 5a) + + 0: a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 (Võ Qu c Bá C n) 1 Đây chính là b t đ ng th c Schur b c 3
1.1. Đ I LƯ NG (A B )(B C )(C A) 11 L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i X 4(a b)2 + 9(a2 b2 ) 0 a2 + b2 cyc X (a X b2 b)2 a2 m ,4 9 a2 + b2 a2 + b2 cyc cyc X (a 2 2 b )(b2 c2 )(c2 a2 ) 2 co b) 9(a ,4 a2 + b2 2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a cyc H. Theo b t đ ng th c AM-GM, s X (a b)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 12 3 4 AT 2 + b2 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) a cyc Ta c n ch ng minh s NM 3(a2 b2 )(b2 c2 )(c2 a2 ) (a b)2 (b c)2 (c a)2 43 2 (a + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) B t đ ng th c này là h qu c a b t đ ng th c sau v i m i x > y 0 .V 4(x2 + y 2 )2 3(x2 y 2 )(x + y )2 , x4 6x3 y + 8x2 y 2 + 6xy 3 + 7y 4 w 0 N ux 6y thì w x4 6x3 y + 8x2 y 2 + 6xy 3 + 7y 4 = x3 (x 6y ) + 8x2 y 2 + 6xy 3 + 7y 4 0 w N ux 6y; ta có x4 6x3 y + 8x2 y 2 + 6xy 3 + 7y 4 = x2 (x 3y )2 + xy 2 (6y x) + 7y 4 0: :// V y ta có đpcm. Đ ng th c x y ra khi a = b = c: Ví d 1.6 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng tp minh r ng ab bc ca 3 +2 +2 : ht 2 + 4b2 2 2 a b + 4c c + 4a 5 Ví d 1.7 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng (a b)(3a b) (b c)(3b c) (c a)(3c a) +2 +2 0: 3a2 + 2ab + 3b2 3b + 2bc + 3c2 3c + 2ca + 3a2 (Thomas Mildorf)
12 CHƯƠNG 1. TÌM TÒI M T S K THU T GI I TOÁN 1.2 Nh ng ki u l i gi i đ c bi t b ng AM-GM 1.8 Cho các s không âm a; b; c th a a + b + c = 3: Ch ng minh r ng Ví d r r r a3 b3 c3 3 + + : m 2 + 3b2 2 + 3c2 2 + 3a2 a b c 2 (Phan Thành Vi t) co L i gi i. S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có r H. X X a2 a3 p =6 a2 + 3b2 4a(a + b + c) 3(a2 + 3b2 ) cyc cyc X AT a2 6 4a(a + b + c) + 3(a2 + 3b2 ) cyc X a2 NM = 6 7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca cyc M t khác, theo b t đ ng th c Cauchy Schwarz thì !" # .V X X a2 2 2 2 (c + 2a) (7a + 9b + 4ab + 4ca) 7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca w cyc cyc " #2 !2 X X X 2 a(c + 2a) = 2 a+ ab w cyc cyc cyc w Nên ta ch c n ch ng minh đư c !2 :// X X X a2 + (c + 2a)2 (7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca) 82 ab cyc cyc cyc X X X X X tp a4 + a2 b2 + 3 a3 b ab3 , 3 2abc a 0 cyc cyc cyc cyc cyc ht Gi s a = min fa; b; cg ; đ t b = a + x; c = a + y (x; y 0) thì b t đ ng th c tr thành 6(x2 xy + y 2 )a2 + (4x3 + 9x2 y 9xy 2 + 4y 3 )a + x4 + 3x3 y + x2 y 2 3xy 3 + y 4 0 Ta có 9 7 4x3 + 9x2 y 9xy 2 + 4y 3 = 4x3 + y (2x y )2 + y 3 0 4 4