Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 11

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

126
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu chuyên toán - bất đẳng thức hiện đại - phần 11', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 11

293 c a+ 2 a q )p a + 2b 3c a + 2b + 2 r b c b c c p +p p +p b+ 2 c + 2a b + 2c b + 2c c + 2b r c a+ 2 c c c q ) f (a; b; c) + b + = f a + ;b + ;0 2 2 2 3c a + 2b + 2 Do đó, trong m i trư ng h p, ta luôn có th đưa bài toán v ch ng minh trong trư ng h p có m t bi n b ng 0. Như v y, đ ch ng minh b t đ ng th c đã cho, ta ch c n xét nó trong trư ng h p abc = 0, ch ng h n c = 0. Khi đó, ta ph i ch ng minh p p p 4 27 3 1 1b f (a; b; 0) = f (1 b; b; 0) = p p +b : 1+b 2 Ta d pdàng ch ng minh đư c b t đ ng th c này. Đ ng th c x y ra khi và ch khi p 2( 3 1 ) a = p3 ; b = 2 p3 3 ; c = 0 ho c các hoán v . Bài toán 2.79 Cho các s không âm x; y; z th a mãn xy + yz + zx + xyz = 4. Ch ng minh 1 x + y + z 3 + max (x y )2 ; (y z )2 ; (z x)2 : 4 (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Đ t x = b2ac ; y = c2ba ; z = 2c (a; b; c 0) và gi s a b c, khi đó b t + + a+b đ ng th c tr thành X 2a 2 a c 3+ b+c b+c a+b cyc X (a c)2 (a + b + c)2 (a b)2 , (a + b)2 (b + c)2 (a + c)(b + c) cyc 2 (a b)2 (b c)2 (a + b + c) 1 c)2 , (a + (a + b)2 (b + c)2 (a + b)(b + c) (a + c)(b + c) (a + b)(a + c) (a + b + c)2 b)2 (a + b) (b c)2 (b + c) (a c)2 , (a 1 + (a + b)(b + c) a+c a+c N u 2(b c) a b, khi đó ta có (a c)2 2(a b)2 + (b c)2 và (a + b + c)2 (a + b)(b + c), nên ta ch c n ch ng minh đư c (a + b + c)2 b)2 (a + b) (b c)2 (b + c) (a b)2 + (b c)2 ] [2(a 1 + (a + b)(b + c) a+c a+c
294 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C 2(a + b + c)2 a+b b)2 ,(a 2 (a + b)(b + c) a+c (a + b + c)2 b+c c)2 + (b 1 0 (a + b)(b + c) a+c 2(a+b+c)2 2 a+b (a+b+c) b+c 2 a+c ; (a+b)(b+c) 1 là các hàm đ ng bi n theo a, Chú ý r ng (a+b)(b+c) a+c nên 2(a + b + c)2 2(b + b + c)2 a+b b+b c(2b + c) 2 2 = 0 (a + b)(b + c) a+c (b + b)(b + c) b+c b(b + c) (a + b + c)2 (b + b + c)2 c2 b+c b+c 1 1 = 0 (a + b)(b + c) a+c (b + b)(b + c) b+c 2b(b + c) N u a b 2(b c), khi đó ta có (a c)2 (a b)2 +(b c)2 và (a+b+c)2 (a+b)(b+c), nên ta ch c n ch ng minh đư c (a + b + c)2 b)2 (a + b) (b c)2 (b + c) (a b)2 + (b c)2 ] [(a 1 + (a + b)(b + c) a+c a+c (a + b + c)2 a+b b)2 ,(a 1 (a + b)(b + c) a+c (a + b + c)2 b+c c)2 + (b 1 0 (a + b)(b + c) a+c (a+b+c)2 a+b 1 là m t hàm đ ng bi n theo a nên Vì (a+b)(b+c) a+c (a + b + c)2 [(3b 2c) + b + c]2 a+b (3b 2c) + b 1 1 (a + b)(b + c) a+c [(3b 2c) + b](b + c) (3b 2c) + c 20b3 42b2 c + 31bc2 7c3 = 0 2(2b c)(3b c)(b + c) (a+b+c)2 b+c 1 0: M t khác, t trư ng h p trên, ta có (a+b)(b+c) a+c B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 1 ho c x = y = 2; z = 0 ho c các hoán v tương ng. Bài toán 2.80 Cho a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a+b b+c c+a +2 +2 + + : a2 + c2 b + a2 c + b2 a+c b+a c+b (Võ Qu c Bá C n)
295 L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s c = minfa; b; cg, chú ý r ng X a2 + b2 (a2 b2 )2 (a2 c2 )(b2 c2 ) 3= 2 +2 a2 + c2 (a + c2 )(b2 + c2 ) (a + b2 )(a2 + c2 ) cyc X a+b (a b)2 (a c)(b c) 3= + a+c (a + c)(b + c) (a + b)(a + c) cyc B t đ ng th c tương đương v i (a + b)2 1 b)2 (a (a2 + c2 )(b2 + c2 ) (a + c)(b + c) (a + c)(b + c) 1 + (a c)(b c) 0 2 + b2 )(a2 + c2 ) (a (a + b)(a + c) Ta có (a + b)2 (a + b)2 1 1 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) 2 (b + c)2 (a + c)(b + c) (a + c) (a + c)(b + c) (a + b)2 (a + c)(b + c) = 0 (a + c)2 (b + c)2 Ta c n ch ng minh (a + c)(b + c) 1 (a2 + b2 )(a2 + c2 ) (a + b)(a + c) (a + c)2 (b + c)(a + b) , 1 (a2 + b2 )(a2 + c2 ) N ua b c, thì (a + c)2 (b + c)(a + b) (b + c)(a + b) a(a + b) 1 (a2 + b2 )(a2 + c2 ) a2 + b2 a2 + b2 N ub a c, thì (a + c)2 (b + c)(a + b) (b + c)(a + b) b(a + b) 1: (a2 + b2 )(a2 + c2 ) a2 + b2 a2 + b2 B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng. Bài toán 2.81 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng s a(b + c) b(c + a) c(a + b) 1 111 +2 +2 (a + b + c) ++ + 27: 2 + bc a b + ca c + ab 2 ab c (Ph m H u Đ c)
296 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C L i gi i. Bình phương 2 v và nhân c 2 v cho 4, ta có th vi t l i b t đ ng th c như sau ! ! X a2 (b + c)2 X ab(a + c)(b + c) X X1 4 +8 27 + a (a2 + bc)2 (a2 + bc)(b2 + ca) a cyc cyc cyc cyc X a2 (b + c)2 X ab(a + c)(b + c) X (b + c)2 ,4 +8 24 + (a2 + bc)2 (a2 + bc)(b2 + ca) bc cyc cyc cyc " # " # X (b + c)2 X a2 (b + c)2 X ab(a + c)(b + c) , 4 +8 3 0 (a2 + bc)2 (a2 + bc)(b2 + ca) bc cyc cyc cyc X (b + c)2 (a2 X c(a b)2 (a + b)2 bc)2 , +8 0: bc(a2 + bc)2 (a2 + bc)(b2 + ca) cyc cyc B t đ ng th c cu i hi n nhiên đúng. V y ta có đpcm. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.82 Cho các s không âm a; b; c, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) 2(a2 + b2 + c2 ) +2 +2 : b2 + bc + c2 c + ca + a2 a + ab + b2 a+b+c (Dương Đ c Lâm) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có " #" # !2 X a2 (b + c) X a2 (b2 + bc + c2 ) X a2 b2 + bc + c2 b+c cyc cyc cyc Ta c n ch ng minh ! ! X X X a2 (b2 + bc + c2 ) 2 a a 2 b+c cyc cyc cyc ! ! X X X X a a2 a2 (b + c) , a 2 2abc b+c cyc cyc cyc cyc ! X X a , a(a b)(a c) + abc 2 3 0 b+c cyc cyc
297 P a(a b)(a c) 0. M t khác, b t đ ng S d ng b t đ ng th c Schur b c 3, ta có cyc th c AM-GM cho ta X a 2 3 0: b+c cyc B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng. Nh n xét 22 Chúng ta có m t k t qu m nh hơn là r a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) a3 + b3 + c3 +2 +2 2 2 + bc + c2 2 a + ab + b2 b c + ca + a a+b+c (Võ Qu c Bá C n) Ta có th ch ng minh b ng cách tương t như sau. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có " #" # !2 X a2 (b + c) X a2 (b2 + bc + c2 ) X a2 b2 + bc + c2 b+c cyc cyc cyc Ta c n ch ng minh vP u a3 " !2 # u X X a2 (b2 + bc + c2 ) u cyc a2 2t P a cyc b+c cyc cyc L i theo b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có X a2 (b2 + bc + c2 ) X X a a2 (b + c) 2 =2 2abc b+c b+c cyc cyc cyc !2 P abc a X cyc 2 P 2 a (b + c) ab cyc cyc Ta c n ch ng minh 2 !2 3 P vP u a3 6 7 !2 abc a u 6X 7 X u cyc 6 7 cyc 2 a2 (b + c) tP P 62 7 a 6 cyc 7 a ab 4 5 cyc cyc cyc
298 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Do tính thu n nh t, ta có th chu n hóa a + b + c = n: Đ t q = ab + bc +o r = abc; 1 ca; khi đó theo b t đ ng th c Schur b c 3, ta có r max 4q9 1 ; (4q 16 q) ; 0 . B t đ ng )(1 th c tr thành p r 2q )2 (1 1 3q + 3r 2(q 3r) q p 2q )2 3q + 3r[2q 2 , f (r) = q (1 1 (1 + 6q )r] 0 Ta có 9(6q + 1)r + 2 + 6q 42q 2 42q 2 (6q + 1)(4q 1) + 2 + 6q f 0 (r) = p p 2 1 3q + 3r 2 1 3q + 3r (1 9q 2 ) + 4q (1 3q ) + 3q 2 p = 0 2 1 3q + 3r Nên f (r) đ ng bi n, do đó N u 1 4q; ta có h i p 1 f (0) = q (1 2q )2 2q )2 3q + 4q 2 ) f (r) 2q 1 3q q (1 (1 2 1 = q (1 q )(1 4q ) 0 2 (4q 1)(1 q ) 4q 1 N u 4q 1; ta có 0, nên 6 9 p 14q 2 + 24q 3 ) 2 8q 2 (4q 1)(1 q) (1 + q 2q 2 f (r) f = q (1 2q ) 6 12 p 14q 2 + 24q 3 ) 2 2q 8q 2 2(1 2q ) (1 + q 2 = q (1 2q ) 24(1 2q ) (1 + q 14q + 24q 3 )[2 2q 8q 2 + 4(1 2q )2 ] 2 2q )2 q (1 48(1 2q ) (1 + q 14q + 24q 3 )(3 9q + 4q 2 ) 2 2q )2 = q (1 24(1 2q ) 3q )(4q 1)(3 6q 8q 2 ) (1 q )(1 = 0: 24(1 2q ) B t đ ng th c đư c ch ng minh. Bài toán 2.83 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a2 (b + c) b2 (c + a) c2 (a + b) +3 +3 2: b3 + abc + c3 c + abc + a3 a + abc + b3
299 (Dương Đ c Lâm) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có " #" # !2 X X a2 (b3 + abc + c3 ) X a2 (b + c) a2 b3 + abc + c3 b+c cyc cyc cyc Ta c n ch ng minh !2 X X a2 (b3 + abc + c3 ) 2 a 2 b+c cyc cyc X X X X a2 a4 + 2 a2 b2 a2 (b2 bc + c2 ) + 2abc , 2 b+c cyc cyc cyc cyc ! X X X X a2 X 4 22 , a + abc a 2 ab abc 2 a b+c cyc cyc cyc cyc cyc X X X X (a + b + c)(a b)2 a4 + abc a2 b2 , a 2 abc (a + c)(b + c) cyc cyc cyc cyc Do (a + b + c)(a b)2 b)2 (a (a + c)(b + c) c Nên ta ch c n ch ng minh đư c X X X X (a b)2 a4 + abc a2 b2 a 2 abc c cyc cyc cyc cyc X a2 (a , b)(a c) 0: cyc hi n nhiên đúng do nó chính là b t đ ng th c Schur b c 4. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng. Bài toán 2.84 Cho m; n (3n2 > m2 ) là các h ng s cho trư c và a; b; c là các s a+b+c=m : Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c th a mãn a2 + b2 + c2 = n2 th c sau P = a2 b + b2 c + c2 a: (Võ Qu c Bá C n)
300 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C m m m L i gi i. Đ t a = x + 3 ;b =y+ 3 ;c =z+ 3, khi đó t gi thi t bài toán, ta có x+y+z =0 3n2 m2 x2 + y 2 + z 2 = 3 3n2 m2 ) xy + yz + zx = 6 !2 X X X (3n2 m2 )2 x2 y 2 = ) xy 2xyz x= 36 cyc cyc cyc và ta có th vi t l i P như sau m3 P = x2 y + y 2 z + z 2 x + 9 Ta có !2 r X 2 18 3x xy 1 3n2 m2 3n2 m2 cyc X X 3=2 324 2 x2 y 2 x2 y = 3+ 54 (3n2 m2 )2 cyc 3n2 m2 cyc X 3=2 2 x2 y = 12 54 0 3n2 m2 cyc 3=2 X 3n2 m2 2 x2 y ) 9 2 cyc 3=2 3n2 m2 m3 2 )P + 9 2 9 M t khác, cho p 8 2 m2 ) >x = 2(3n cos 29 > < p3 2(3n2 m2 ) cos 49 >y = p 3 > : 2(3n2 m2 ) cos 89 z= 3 ta đư c 3=2 3n2 m2 m3 2 P= + 9 2 9 3=2 3n2 m2 m3 2 ) max P = + : 9 2 9
301 Tương t , chú ý r ng ( x) + ( y ) + ( z ) = 0 3n2 m2 ( x)2 + ( y )2 + ( z )2 = 3 nên ta cũng có 3 =2 X 3n 2 m2 2 ( x)2 ( y ) 9 2 cyc 3=2 X 3n 2 m2 2 x2 y , 9 2 cyc và do đó 3=2 3n2 m2 m3 2 P + 9 2 9 Đ ng th c x y ra khi p 8 2(3n2 m2 ) >x = cos 29 > < p 3 2(3n2 m2 ) cos 49 >y = p3 > : 2(3n2 m2 ) cos 89 z= 3 Vy 3=2 3n2 m2 m3 2 min P = + : 9 2 9 Bài toán 2.85 Cho các s dương a; b; c. Ch ng minh r ng (a c)2 ab c ++ 3+ : b ca ab + bc + ca (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i ab c c)2 (ab + bc + ca) ++ 3(ab + bc + ca) + (a b ca ab2 bc2 ca2 , (a2 + b2 + c2 c)2 ab bc ca) + + + ab bc ca (a c a b c)2 a)2 b)2 1 a(b b(c c(a b)2 + (b c)2 + (a c)2 ] + c)2 , [(a + + (a 2 c a b
302 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C b)2 (b + 2c) (b c)2 (c + 2a) c)2 (a (a (a 2b) , + b c b S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có b)2 (b + 2c) (b c)2 (c + 2a) b) + (b c)]2 (a [(a + b c b c b+2c + c+2a c)2 (b + 2c)(c + 2a) (a = 2ab + 2bc + 2c2 Ta c n ch ng minh (b + 2c)(c + 2a) a 2b 2ab + 2bc + 2c2 a 2 2 2 2 , 4(ab + bc + ca 3abc) + 4b c + 11abc 0: hi n nhiên đúng. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.86 Cho các s không âm a; b; c; d, không có 3 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng X k a 1 4 min 1; ; : 2k 1 3k a+b+c cyc (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. N u k 1, khi đó ta có X X X k a a a =1 a+b+c a+b+c a+b+c+d cyc cyc cyc N u2 k 1, khi đó theo b t đ ng th c Holder, ta có " #" #k !k+1 X X X ak 2k a(a + b + c) a k+1 (a + b + c)k cyc cyc cyc !k+1 P 2k k+1 a k+1 2k 2k 2k 2k a k+1 + b k+1 + c k+1 + d k+1 X ak cyc ) #k = " (a + b + c)k [(a + c)2 + (b + d)2 + (a + c)(b + d)]k P cyc a(a + b + c) cyc
303 2k Do k 1) 1, nên k+1 2k 2k a+c b+d k+1 k+1 2k 2k 2k 2k a +c 2 ; b +d 2 k+1 k+1 k+1 k+1 2 2 h ik+1 2k 2k a+c b+d k+1 k+1 2 +2 X ak 2 2 ) (a + b + c)k [(a + c)2 + (b + d)2 + (a + c)(b + d)]k cyc h ik+1 2k 2k (a + c) k+1 + (b + d) k+1 1 = k1 [(a + c)2 + (b + d)2 + (a + c)(b + d)]k 2 1 k+1 a+c Không m t tính t ng quát, gi s a + c b + d, đ t t = 1; ta có b+d X ak (t2k + 1)k+1 1 1 = k 1 f (t) (a + b + c)k 2k 1 2k+2 + tk+1 + 1)k (t 2 cyc ktk (k + 1)(t2k + 1)k (t2k 2tk+1 + 2tk 1 1) f 0 (t) = (t2k+2 + tk+1 + 1)k+1 2 t=0 f 0 (t) = 0 , 4 t > 0 t2k 2tk+1 + 2tk 1 1 = 0 2 t=0 4 t>0 , 2k k1 g (t) = t +2t+1 1 2 = 0 tk 1)t2k 4tk 1 (k +k+1 h(t) g 0 (t) = = tk+2 tk+2 h0 k 2 (ktk+1 2) 0 Do h0 (t) 0, ta suy ra h(t) ngh ch bi n, do đó g 0 (t) có t i đa m t nghi m thu c (0; 1], và t đây, ta suy ra g (t) có t i đa 2 nghi m thu c (0; 1], trong đó ta đã bi t trư c m t nghi m luôn th a là 1. T đây, ta có th d dàng ki m tra đư c 2k+1 f (t) min ff (0); f (1)g = min 1; 3k X ak 1 4 ) min ; (a + b + c)k 2k 1 3k cyc
304 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Và do đó X a2 4 (a + b + c)2 9 cyc T đây, trong trư ng h p k 2, s d ng b t đ ng th c Holder, ta đư c 2P 3k P ak a2 2 (a+b+c)2 (a+b+c)k 1 6 cyc 7 cyc 4 5 3k 4 4 X ak 4 ) : (a + b + c)k 3k cyc B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Bài toán 2.87 Cho a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác nh n. Ch ng minh r ng r r r b+c a c+a b a+b c + + 3: a b c (Virgil Nicula) L i gi i. Đ t p A = a+ a(b + c a) p B = b + b(c + a b) p C = c + c(a + b c) và b+c a p p x=1 b(a + c b) + c(a + b c) c+a b p p y=1 c(a + b c) + a(b + c a) a+b c p p z=1 a(b + c a) + b(c + a b) Chú ý r ng hp i p A B = (a b) + a(b + c a) b(c + a b) " # a+b c p p = (a b) 1 = z (a b) a(b + c a) + b(c + a b)
305 B t đ ng th c tương đương v i ! r X b+c a 1 0 a cyc Xb+c 2a , 0 A cyc X 1 1 , (a b) 0 B A cyc X , (a b)(A B )C 0 cyc X b)2 , zC (a 0 cyc q b2 +c2 a Do tính đ i x ng, ta có th gi s a b c)b (vì theo gi thi t, p 2 2 tam giác đã cho là tam giác nh n), khi đó ta có p p p c(a + b c) b(a + c b) a(b + c a) p pp p Vì b(a + c b) bc; c(a + b c) bc, nên ta có b+c a b+c a p p p x=1 1 2 bc b(a + c b) + c(a + b c) p p 2 a b c p = 0 2 bc Ta s ch ng minh r ng y 0; by + cz 0 Th t v y, ta có p p c(a + b c) a(b + c a) p p p ) c(a + b c) + a(b + c a) 3a(b + c a) + c(a + b c) Do đó, đ ch ng minh y 0, ta ch c n ch ra đư c b)2 3a(b + c a) + c(a + b c) (a + c 2c2 + (3b + 2a)c (a b)(4a b) 0 , p a2 b2 , nên ta ch c n ch ng minh Đây là hàm tăng theo c và do c p 2(a2 b2 ) + (2a + 3b) a2 b2 (a b)(4a b) 0
306 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C p , (2a + 3b) a2 b2 (a b)(6a + b) p p , (2a + 3b) a + b a b(6a + b) a Do b p, ta có 2 p p a+b 2a b và 2(2a + 3b) 6a b = 5b 2a 0 Ti p theo, ta s ch ng minh by + cz 0 b(c + a b) c(a + b c) p p +p p ,b+c c(a + b c) + a(b + c a) a(b + c a) + b(c + a b) Vì p p p p a(b + c a) + b(c + a b) c(a + b c) + a(b + c a) và p p p a(b + c a) + b(c + a b) b(c + a b) + 3a(b + c a) Ta ch c n ch ng minh b(c + a b) + c(a + b c) p b+c b(c + a b) + 3a(b + c a) 4(b + c)2 a2 + (b + c)(6b2 + 3bc + 5c2 )a c)(2b3 b2 c + 4bc2 c3 ) , f (a) = (b 0 Do f (a) là hàm lõm, ta d th y n o p b2 + c2 f (a) min f (b); f Ta có f (b) = c(4b3 b2 c + 10bc2 c3 ) 0 p p b2 + c2 = (b + c)(6b2 + 3bc + 5c2 ) b2 + c2 6b4 5b3 c 13b2 c2 3bc3 5c4 f và p b2 + c2 f 0 p , (b + c)(6b2 + 3bc + 5c2 ) b2 + c2 6b4 + 5b3 c + 13b2 c2 + 3bc3 + 5c4 Do 1 b2 + c2 + bc (6b2 + 3bc + 5c2 ) (6b4 + 5b3 c + 13b2 c2 + 3bc3 + 5c4 ) 2 1 bc(2b2 bc + 5c2 ) 0 = 2
307 Ta ch c n ch ng minh p 1 b2 + c2 + bc (b + c) b2 + c2 2 hi n nhiên đúng vì 2 1 1 (b + c)2 (b2 + c2 ) b2 + c2 + bc bc(4b2 + 4c2 = bc) 0 2 4 T đây, v i chú ý r ng b3 (a + c c3 (a + b c) = (b c)[b2 (a b) + c2 (a c) + abc] 0 b) p p ) b b(a + c b) c c(a + b c) hp i p cC = b2 c2 + b b(a + c b) c c(a + b c) ) bB 0 và b2 c)2 b)2 (a (a c2 Ta có X y Bb2 b)2 c)2 + zC (a b)2 b)2 zC (a y B (a (a + Cz c2 cyc b)2 (yb + cz ) y bcC C (a b)2 (a + Cz = 0: c2 c B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.88 Cho các s dương a; b; c. Ch ng minh r ng ab3 bc3 ca3 a2 + b2 + c2 5 +2 +2 : 3a2 + 2b2 3b + 2c2 3c + 2a2 (Võ Qu c Bá C n, Nguy n Huỳnh B o Trung) L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i X 50ab3 11b2 a2 0 3a2 + 2b2 cyc X b)2 , z (a 0 cyc
308 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C 2 2 trong đó x = 22c3b26bcc23b và y; z tương t . +2 Trư ng h p 1. N u a b c, khi đó ta có 22a2 6ac 3c2 y= 0 2a2 + 3c2 Vì 22a2 3c2 22b2 3c2 6ac 6bc 0 2 2 2 a b b 2a2 + 3c2 2b2 + 3c2 3b2 + 2c2 a2 (22a2 6ac 3c2 ) 2b2 (22c2 6bc 3b2 ) ) a2 y + 2b2 x = + 2a2 + 3c2 3b2 + 2c2 2 2 6bc 3c ) 2b (22c2 6bc 3b2 ) 2 2 b (22b + 3b2 + 2c2 3b2 + 2c2 2 2 2 b (16b 18bc + 41c ) = 0 3b2 + 2c2 Tương t , ta có 22a2 3c2 22a2 3b 2 6ac 6ab 0 1 1 1 2a2 + 3c2 2a2 + 3b2 3a2 + 2b2 22a2 6ac 3c2 2(22b2 6ab 3a2 ) ) y + 2z = + 2 + 3c2 3a2 + 2b2 2a 2 2 2(22b2 6ab 3a2 ) 22a 6ab 3b + 3a2 + 2b2 3a2 + 2b2 2 2 16a 18ab + 41b = 0 3a2 + 2b2 n2 o c)2 max a2 (b c)2 ; (a b)2 , ta có Khi đó, chú ý r ng (a b X b)2 = [y (a c)2 + 2x(b c)2 ] + [y (a c)2 + 2z (a b)2 ] 2 z (a cyc a2 (b c)2 + 2x(b c)2 + [y (a b)2 + 2z (a b)2 ] y b2 (b c)2 2 (a y + 2b2 x) + (a b)2 (y + 2z ) 0 = b2 Trư ng h p 2. N u c b a, ta có 22c2 6bc 3b2 13c2 13 x= 3b2 + 2c2 3b2 + 2c2 5
309 22b2 6ab 3b2 13b2 13 z= 3a2 + 2b2 3a2 + 2b2 5 Suy ra 13 13 c)2 + z (a b)2 c)2 + (a b)2 ] c)2 x(b [(b (a 5 10 Nên ta ch c n ch ng minh đư c 13 +y 0 10 , 3c2 + 82a2 20ac 0: hi n nhiên đúng. B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.89 Cho các s không âm a; b; c, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a2 + bc b2 + ca c2 + ab 3(a2 + b2 + c2 ) 4 + + 3+ : 2 2 (a + b)2 (b + c) (c + a) ab + bc + ca (Ji Chen) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !2 P 2 a X a cyc P 4 b+c ab cyc cyc !2 P 2 a X a cyc P )0 4 ab b+c cyc cyc
310 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Suy ra !2 P 2 a X a2 + bc X a2 + bc X a cyc P 4 4 + 4 (b + c)2 (b + c)2 ab b+c cyc cyc cyc cyc !2 P 2 a X (a b)(a c) cyc P =4 + (b + c)2 ab cyc cyc P P P a2 3 a2 ab X (a b)(a c) cyc cyc cyc P +3+ P =4 + (b + c)2 ab ab cyc cyc cyc P 3 a2 X 4 1 cyc +3+ P = (a b)(a c) (b + c)2 ab + bc + ca ab cyc cyc Ta c n ch ng minh X 4 1 (a b)(a c) 0 (b + c)2 ab + bc + ca cyc X 4[bc + a(b + c)] , (a b)(a c) 1 0 (b + c)2 cyc X a(a X (a c)2 b)(a c) b)(a c)(b ,4 (b + c)2 b+c cyc cyc ! P P 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a +3 ab X a(a b)(a c) cyc cyc ,4 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 b+c cyc Do tính đ i x ng, ta có th gi s a b c, khi đó X a(a b)(a c) a(a c) b(b c) 4 4(a b) b+c b+c b+c cyc b)2 (a2 + b2 + ab c2 ) 8ab(a b)2 4(a = (a + c)(b + c) (a + c)(b + c)
311 và 8 b)2 (bP c)2 (c a)2 a2 b2 (a b)2 >(a cyc cyc : (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 ab(a + c)(b + c)(a + b)2 ! P2 P b)2 (b c)2 (c a)2 (a a + 3 ab ab(a b)2 (a + 5b) cyc cyc ) (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a + b)(a + c)(b + c) Ta c n ph i ch ng minh 8ab(a b)2 ab(a b)2 (a + 5b) (a + c)(b + c) (a + b)(a + c)(b + c) , 8(a + b) a + 5b , 7a + 3b 0: hi n nhiên đúng. B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c a = b; c = 0 ho c các hoán v tương ng. Nh n xét 23 Ta có m t k t qu tương t là a2 + bc b2 + ca c2 + ab a2 + b2 + c2 2 +2 +2 + 7 b2 + c2 c + a2 a + b2 ab + bc + ca (Võ Qu c Bá C n) Th t v y, b t đ ng th c tương đương v i P P a2 ab X 2a2 2 2 2 b c (b c) cyc cyc P + 0 b2 + c2 ab cyc cyc X X (a b)2 X (a b)2 1 1 (a2 b2 ) , + 0 b2 + c2 a2 2 2 + b2 +c a 2(ab + bc + ca) cyc cyc cyc X z (a b)2 0 , cyc 2 (b+c) 1 1 trong đó x = + và y; z tương t . (a2 +b2 )(a2 +c2 ) b2 +c2 2(ab+bc+ca) Do tính đ i x ng, ta có th gi s a b c, khi đó ta có (a + b)2 (a + c)2 (b + c)2 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) (a2 + b2 )(b2 + c2 ) (a2 + b2 )(a2 + c2 )
312 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C và 1 1 1 a2 + b2 a2 + c2 b2 + c2 )z y x Ta s ch ng minh a2 y + b2 x 0 a2 (a + c)2 b2 (b + c)2 a2 + b2 a2 b2 1 , +2 + +2 a2 + b2 b2 + c2 a + c2 a2 + c2 b + c2 2(ab + bc + ca) a2 (a2 + c2 ) b2 (b2 + c2 ) a3 b3 1 2c , + +2 +2 a2 2 2 + c2 2 + c2 2 2 + c2 b + c2 +b b a a +b b a2 + b2 c2 c2 + +2 +2 2 2(ab + bc + ca) a + c2 b + c2 Ta có a2 (a2 + c2 ) b2 (b2 + c2 ) (a2 b2 )2 (a2 + b2 + c2 ) a2 b2 = + 0 b2 + c2 a2 + c2 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) a2 (a2 + c2 ) b2 (b2 + c2 ) 1 ) + 1 a2 2 b2 + c2 a2 + c2 +b và 2a3 2b 3 2(a2 + b2 )2 (a + b)(a2 + b2 ) +2 b2 + c2 b + c2 (a + b)(ab + c2 ) ab + c2 Suy ra a3 b3 a2 + b2 2c +2 + 2 + b2 b2 + c2 b + c2 a 2(ab + bc + ca) a2 + b2 c(a + b) + ab + c2 2(ab + bc + ca) c(a + b) (a b)2 2c(a + b) = 1+ + ab + c2 2(ab + bc + ca) (a b)2 c2 (a + b)(a + b c) = 1+ + 1 2(ab + bc + ca) (ab + c2 )(ab + bc + ca) ) a2 y + b2 x 0 Khi đó t z y x, ta đư c z y 0. Ti p theo, v i chú ý r ng a2 c)2 c)2 (a (b b2