Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 9

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu chuyên toán - bất đẳng thức hiện đại - phần 9', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 9

233 a 6b 4b 3a 4c a2 2b 2 x + 2y = + + + + + + 12 b a c c a bc ca a2 2b2 a 6b 4b 3a 4c + + + + + + 12 b a c c a ba ba 2a 8b 4b 3a 4c = + + + + 12 b a c c a a 4b 4b a c c =2 + + +3 + + 12 b a c c a a 8 + 4 + 6 + 0 12 = 6 > 0 Do đó N uy 0 thì ta có X b)2 c)2 + z (a b)2 b)2 z (a y (a (y + z )(a 0 cyc N uy 0 thì ta có X z (a b)2 c)2 + y [2(b c)2 + 2(a b)2 ] + z (a b)2 x(b cyc c)2 + (z + 2y )(a b)2 = (x + 2y )(b 0: B đ đư c ch ng minh xong. 1 1 1 Tr l i bài toán c a ta, đ t a = x ; b = y ; c = thì b t đ ng th c tr thành z Xa X bc 3 2a2 + bc b cyc cyc Xa X a2 , +6 9 2a2 + bc b cyc cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !2 P a X a2 cyc P P 2a2 + bc a2 + 2 bc cyc cyc cyc M t khác, theo b đ trên, ta có P a2 9 Xa cyc !2 b P cyc a cyc
234 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Nên ta ch c n ch ng minh đư c !2 P P 2 a a2 3 cyc cyc P P !2 + 3 a2 + 2 bc P cyc cyc a cyc P bc 1 cyc Đ tt= thì b t đ ng th c tr thành !2 3 P a cyc 2 3(1 2 t) + 3 2(1 2 t) + t 3t)2 2(1 , 0: 2 3t B t đ ng th c cu i hi n nhiên đúng nên ta có đpcm. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z: Bài toán 2.30 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a4 b4 c4 a+b+c +3 +3 : a3 3 3 c + a3 +b b +c 2 (Vasile Cirtoaje) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !" # !2 X X X a4 2 3 3 3 a (a + b ) a a3 + b3 cyc cyc cyc Ta c n ch ng minh !2 !" # X X X 3 2 3 3 2 a a a (a + b ) cyc cyc cyc
235 !2 P P 1 3 2 ab a S d ng b t đ ng th c Vasile , ta có 3 cyc cyc P ! ! ab X X X X X cyc 2 3 3 5 3 22 2 a+P a (a + b ) = ab + ab abc a a cyc cyc cyc cyc cyc cyc P2 3 !2 ! ab X X X X 1 cyc a+P 4 2 25 5 2 2 a + ab abc a a 3 cyc cyc cyc cyc cyc Do tính thu n nh t, ta có th chu n hóa cho a + b + c = 1. Đ t q = ab + bc + ca; r = abc, khi đó ta có P2 3 !2 ! ab X 1 X2 X X cyc a5 + P 4 a2 b2 5 abc a2 a + a 3 cyc cyc cyc cyc cyc 1 14q + 11q 2 + 7q 3 ] = [3(4 5q )r + 3 3 và !2 X a3 3q + 3r)2 = (1 cyc Ta ph i ch ng minh 1 3q + 3r)2 14q + 11q 2 + 7q 3 ] 2(1 [3(4 5q )r + 3 3 , 54r2 + 3(8 22q + 43q 2 7q 3 28q )r + 3 9qr 0 4q 1 và chú ý r ng f (r) = 54r2 + 3(8 S d ng b t đ ng th c Schur b c 3, ta có r 9 28q )r tăng v i m i r 4q9 1 , ta có 4q 1 22q + 43q 2 7q 3 22q + 43q 2 7q 3 f (r) + 3 9qr f +3 9qr 9 22 49 q + q2 7q 3 =1 9qr 3 3 b)2 (b c)2 (c a)2 T b t đ ng th c (a 0, ta suy ra đư c 1h i p r 9q 2 + 2(1 3q ) 1 3q 27
236 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Do đó, ta ch c n ch ng minh 1h i p 22 49 q + q2 7q 3 1 q 9q 2 + 2(1 3q ) 1 3q 0 3 3 3 p 1 (1 3q ) 7q 2 11q + 3 2q 1 3q , 0 3 S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có p 7q 2 11q + 3 2q 1 3q 7q 2 11q + 3 (q 2 + 1 3q ) = 2(1 q )(1 3q ) 0: B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.31 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng p p p 3 3 3 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 + 4 a2 b2 c2 : (Sung Yoon Kim) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có s s b)2 (b c)2 (c a)2 a2 b2 c2 3 (a +43 2 (b + c)2 (a + c)2 2 (b + c)2 (a + c)2 (a + b) (a + b) s s (a b)2 (b c)2 (c a)2 ab bc ca =3 +43 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 1 X (a b)2 4X ab + 2 3 cyc (a + b)2 3 cyc (a + b) 1 X (a b)2 4ab = + = 1: 3 cyc (a + b)2 (a + b)2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.32 Cho các s dương a; b; c th a mãn abc = 1: Tìm h ng s k l n nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng 1 1 1 k 3 k + + + a(1 + bc)2 b(1 + ca)2 c(1 + ab)2 (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) 4 8 (Võ Qu c Bá C n) 1 L i gi i 1. Cho a = 2; b = 1; c = 2 ; ta đư c k 4: Ta s ch ng minh đây là giá tr mà ta c n tìm, t c là X 1 16 4 1+ a(1 + bc)2 (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) cyc
237 X a 16 ,4 1+ (a + 1)2 (1 + a)(1 + b)(1 + c) cyc 1a 1b 1c Đ tx= 1+a ; y = 1+b ; z = 1+c ; thì ta có x; y; z 2 [ 1; 1] và (1 x)(1 y )(1 z ) = (1 + x)(1 + y )(1 + z ) ) x + y + z + xyz = 0 B t đ ng th c tr thành X x2 ) (1 1 + 2(1 + x)(1 + y )(1 + z ) cyc , x2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) + 2(x + y + z + xyz ) 0 , (x + y + z )2 0 hi n nhiên đúng. B t đ ng th c đư c ch ng minh. V y ta đi đ n k t lu n kmax = 4: L i gi i 2. Tương t như trên, ta c n ph i ch ng minh X 1 16 4 1+ a(1 + bc)2 (1 + ab)(1 + bc)(1 + ca) cyc = y;c = x z Vì a; b; c > 0; abc = 1 nên t n t i các s x; y; z > 0 sao cho a = y;b x. Bt z đ ng th c tr thành X xy 1 4xyz + (x + y )2 4 (x + y )(y + z )(z + x) cyc
238 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Ta có 4xyz (x + y )(y + z )(z + x) 2[(x + y )(y + z )(z + x) xy (x + y ) y z (y + z ) z x(z + x)] = (x + y )(y + z )(z + x) P2 (x + yz )(y + z ) cyc =2 (x + y )(y + z )(z + x) ! Xx Xy x z =2 + x+y x+z x+y x+z cyc cyc " ! ! # Xx Xy Xx y =2 x+y x+z x+y x+y cyc cyc cyc ! ! Xx Xy X xy =2 + (x + y )2 x+y x+z cyc cyc cyc B t đ ng th c tương đương v i ! ! X X x y 9 x+y x+z 4 cyc cyc S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có ! ! !2 X X X Xy x y 1 x 9 + = : x+y x+z 4 x+y x+y 4 cyc cyc cyc cyc Bài toán 2.33 Cho các s không âm a; b; c th a mãn a2 + b2 + c2 = 1: Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = (a b)(b c)(c a)(a + b + c): (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. N u a b c 0; thì P 0: N u c b a 0; thì b)(b a)(c2 + bc a2 P = (c b)(b a)(c a)(a + b + c) = (c ab) 1 1 b)(c2 + bc) = (c2 bc)(b2 + bc) (b2 + c2 )2 = b(c 4 4
239 M t khác, cho a = 0; b = sin 8 ; c = cos 8 ; ta có P = 1 : V y nên 4 1 max P = : 4 Bài toán 2.34 Cho các s dương a; b; c; d: Ch ng minh r ng b(a + c) c(b + d) d(c + a) a(d + b) + + + 4: c(a + b) d(b + c) a(c + d) b(d + a) (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Vi t l i b t đ ng th c như sau b d c a (a + c) + + (b + d) + 4 c(a + b) a(c + d) d(b + c) b(d + a) a+c b+d , (abc + abd + acd + bcd) + 4 ac(a + b)(c + d) bd(b + c)(d + a) ! 1 1 1 1 a+c b+d 1111 , +++ 1+1 4 1 1 1 1 1 1 ab cd a+b c+d b+c d+a S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 4 + 4 + + + a c b d a c b d + + 2 12 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + 1 1 +1+d 1 1 1 1 + + + + a b c d b c d a a b c a b c d 4 = 1: 1 1 +1+d + a b c B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = c và b = d: Bài toán 2.35 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng a2 + bc b2 + ca c2 + ab 18 a2 + b2 + c2 +2 +2 : a2 + (b + c)2 b + (c + a)2 c + (a + b)2 5 (a + b + c)2 (Ph m H u Đ c) L i gi i. B t đ ng th c đã cho tương đương v i X (b + c)2 bc 18 a2 + b2 + c2 + 3 2 + (b + c)2 5 (a + b + c)2 a cyc
240 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Do (b + c)2 4bc, nên ta ch c n ch ng minh đư c X (b + c)2 6 a2 + b2 + c2 + 1 4[a2 + (b + c)2 ] 5 (a + b + c)2 cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có X (b + c)2 (a + b + c)2 (a + b + c)2 P2 = 4[a2 + (b + c)2 ] 2] 2 + b2 + c2 ) + (a + b + c)2 [a + (b + c) 2(a cyc cyc Chu n hóa cho a + b + c = 1. Đ t x = a2 + b2 + c2 ) 3x 1, ta ph i ch ng minh 1 6x + 1 2x + 1 5 , x(3x 1) 0: Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.36 Cho các s dương a; b; c; d: Ch ng minh r ng 4(abc + bcd + cda + dab)2 : (a + b)(a + c)(a + d)(b + c)(b + d)(c + d) (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có (abc + bcd + cda + dab)2 (ac + bc + ad + bd)(ab2 c + bcd2 + ac2 d + a2 bd) = (a + b)(c + d)(ab2 c + bcd2 + ac2 d + a2 bd) (abc + bcd + cda + dab)2 (bc + bd + ac + ad)(a2 bc + bc2 d + acd2 + ab2 d) = (a + b)(c + d)(a2 bc + bc2 d + acd2 + ab2 d) Công tương ng v v i v 2 b t đ ng th c trên, ta đư c 2(abc + bcd + cda + dab)2 (a + b)(c + d)(ab2 c + bcd2 + ac2 d + a2 bd + a2 bc + bc2 d + acd2 + ab2 d) = (a + b)2 (c + d)2 (ab + cd) Tương t , ta cũng có 2(abc + bcd + cda + dab)2 (a + c)2 (b + d)2 (ac + bd) 2(abc + bcd + cda + dab)2 (a + d)2 (b + c)2 (ad + bc)
241 Nhân tương ng v v i v , ta đư c Y 8(abc + bcd + cda + dab)6 (a + b)2 (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) sym M t khác, theo b t đ ng th c AM-GM thì (ab + cd + ac + bd)2 = (a + d)2 (b + c)2 4(ab + cd)(ac + bd) Tương t , (a + c)2 (b + d)2 4(ab + cd)(ad + bc) (a + b)2 (c + d)2 4(ac + bd)(ad + bc) Do đó Y 64(ab + cd)2 (ac + bd)2 (ad + bc)2 (a + b)2 sym 1Y , (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) (a + b) 8 sym Q K t h p v i b t đ ng th c 8(abc + bcd + cda + dab)6 (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) (a + sym b)2 , ta suy ra đư c " #" # 1Y Y 1Y 8(abc + bcd + cda + dab)6 (a + b)2 = (a + b)3 : (a + b) 8 sym 8 sym sym T đây, ta suy ra đpcm. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = d: Bài toán 2.37 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng s ab c 111 3+ + + 2 (a + b + c) ++ : b ca ab c (Ph m H u Đ c) L i gi i. Đ t x3 = a; y 3 = b; z 3 = c. S d ng b t đ ng th c Schur b c 3, ta có X x2 x3 y3 z3 ab c xyz y z 3+ ++ =3 + 3+ 3+ 3 + y2 b ca yzx y z x z x cyc X x2 X xz = + y2 yz cyc cyc
242 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C M t khác, theo b t đ ng th c AM-GM thì X x2 X xz x3 + y 3 + z 3 (xz )3 + (yx)3 + (zy )3 + = + y2 (xyz )2 yz xyz cyc cyc s (x3 + y 3 + z 3 )(x3 z 3 + y 3 x3 + z 3 y 3 ) 2 x3 y 3 z 3 s 1 1 1 = 2 (x3 + y 3 + z 3 ) + 3+ 3 x3 y z s 111 = 2 (a + b + c) ++ : ab c Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.38 Cho các s dương a; b; c. Ch ng minh r ng abc + 2(a2 + b2 + c2 ) + 8 5(a + b + c): (Tr n Nam Dũng) L i gi i. S d ng b t đ ng th c AM-GM và b t đ ng th c Schur b c 3, ta có 6abc + 12(a2 + b2 + c2 ) + 48 30(a + b + c) = 3(2abc + 1) + 12(a + b2 + c2 ) + 45 5 2 (a + b + c) 3 2 p 3 9 a2 b2 c2 + 12(a2 + b2 + c2 ) + 45 5[(a + b + c)2 + 9] 9abc + 7(a2 + b2 + c2 ) 10(ab + bc + ca) =p 3 abc 27abc + 7(a2 + b2 + c2 ) 10(ab + bc + ca) a+b+c 3[4(ab + bc + ca) (a + b + c)2 ] + 7(a2 + b2 + c2 ) 10(ab + bc + ca) = 4(a2 + b2 + c2 ab bc ca) 0: Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1: Bài toán 2.39 Cho các s không âm a; b; c th a mãn ab + bc + ca + 6abc = 9: Tìm h ng s k nh nh t sao cho b t đ ng th c sau đúng a + b + c + kabc k + 3: (Võ Qu c Bá C n)
243 L i gi i. Cho a = b = 3; c = 0, ta đư c k 3. Ta s ch ng minh đây là giá tr mà ta c n tìm, t c là a + b + c + 3abc 6 Đ t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc thì ta có q + 6r = 9. S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có p2 3q 9. B t đ ng th c tr thành p + 3r 6 , 2p q 3 N up 6, b t đ ng th c là hi n nhiên. p 3 và n u p2 4q , thì N u6 p2 (p 2)(6 p) 2p q 2p = +3 3 4 4 p(4q p2 ) 3 và n u p2 N u6 p 4q , theo b t đ ng th c Schur b c 3, ta có r 0. 9 Do đó p2 ) 27 = 3q + 18r 3q + 2p(4q 2p3 + 27 ) 2p q 2p 8p + 3 Ta c n ch ng minh 2p3 + 27 2p 3 8p + 3 , (p + 1)(p 3)(p 6) 0: hi n nhiên đúng. V y ta đi đ n k t lu n kmin = 3: Bài toán 2.40 Cho các s dương a; b; c th a mãn a + b + c = 3: Ch ng minh r ng 3(a4 + b4 + c4 ) + a2 + b2 + c2 + 6 6(a3 + b3 + c3 ): (Vasile Cirtoaje) L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i X 3a4 6a3 + a2 + 4a 2 0 cyc X 1)2 (3a2 , (a 2) 0 cyc
244 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C X c)2 (3a2 , (2a b 2) 0 cyc X c)(4a2 + b2 + c2 , (a b)(a 4) 0 cyc Không m t tính t ng quát, gi s a b c 0; khi đó ta d dàng ki m tra đư c 4a2 + b2 + c2 4b2 + c2 + a2 4c2 + a2 + b2 4 4 4 M t khác (a + b)2 1)2 (3c 4c2 + a2 + b2 4c2 + 4 4= 0 2 2 Do đó 4a2 + b2 + c2 4b2 + c2 + a2 4c2 + a2 + b2 4 4 4 0 T đây, vi t l i b t đ ng th c như sau c)(4a2 + b2 + c2 c)(4b2 + a2 + c2 (a b)[(a 4) (b 4)] 2 2 2 + (c a)(c b)(4c + a + b 4) 0: Ta thu đư c k t qu c n ch ng. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1 ho c a = b = 3 ; c = 1 ho c các hoán v tương ng. 4 3 Bài toán 2.41 Cho a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng b+c c+a a+b 3(a + b + c) + + : a2 + bc b2 + ca c2 + ab ab + bc + ca (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Vi t l i b t đ ng th c như sau X X1 1 b+c 3(a + b + c) a2 + bc a a ab + bc + ca cyc cyc X (a X bc(a b)(a c) b)(a c) , a(a2 + bc) abc(ab + bc + ca) cyc cyc X 1 1 , (a b)(a c) 0 a(a2 + bc) a(ab + bc + ca) cyc X (a b)(a c)(b + c a) , 0 a2 + bc cyc
245 Gi s a b c; do a; b; c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác nên b(a b) a c c Do a b c nên X (a b)(a c)(b + c a) a2 + bc cyc (b c)(b a)(c + a b) (c a)(c b)(a + b c) + b2 + ca c2 + ab (b c)(b a)(c + a b) b(a b)(b c)(a + b c) + b2 + ca c(c2 + ab) b(a + b c) c + a b = (a b)(b c) c(c2 + ab) b2 + ca b(c + a b) c + a b (a b)(b c) c(c2 + ab) b2 + ca 3 3 (a b)(b c)(c + a b)(b c) = 0: c(c2 + ab)(b2 + ca) a b c Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c = = ho c các hoán v tương 2 1 1 ng. Bài toán 2.42 Ch ng minh r ng v i m i a; b; c 2 R và a2 + b2 + c2 = 9; ta có 3 min fa; b; cg abc + 1: (Virgil Nicula) L i gi i. Gi s c b a; b t đ ng th c tr thành abc + 1 3a N ua 0; s d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có a(b2 + c2 ) a2 ) (a + 1)2 (2 a(9 a) abc + 1 3a +1 3a = +1 3a = 0 2 2 2 p 1 Nua 0; vì c b a; ta đư c 3 a 0: Nêu a 3 ; b t đ ng th c là hi n p 1 nhiên. N u 3 a ; ta có th d dàng ki m tra đư c 3 p p bc a b2 + c2 a2 = a 9 2a2 Do đó, ta ph i ch ng minh p a2 2a2 + 1 9 3a
246 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C , f (a) = 2a6 9a4 + 9a2 6a + 1 0 1 N u1 a 3; ta có 2f (a) = a2 (a 1) 4a(a 1)2 + 12a2 3a)(7a2 18a + 7 + (1 6a + 3) 0 p N u 3 a 1; thì 2a6 9a4 + 9a2 5 = (a2 1)(2a4 7a2 + 2) f (a) 3 3
247 Ta có p p 2 t2 (a + 1)2 (b + ac)(c + ab) = a(a + 1)2 a(b c)2 a+b a+c p p 2 c)2 (a + 1)2 a(b a+b+ a+c = p p 2 a+b+ a+c M t khác !2 r p p p 2 1 bc a+ a+ a+b+ a+c = 0 a a và !2 r p p 1 1 2 = a2 + 1 2 a2 + 1 (a + 1) a+ a+ a a p p 1 a2 + 1 a2 + 1 2 = a p p p 1 9 45 22 + 1 22 + 1 2 = >0 2 2 Ti p theo, ta ph i ch ng minh p 2 1 p +p 22 a + t2 t(a + 1) r 2 t ,p + 2 2t3 t2 + 1 2 1 + 2t t !2 r 2 t ,p + 4 2 t3 t 2 + 1 1 + 2t t2 p p t(7 6t 7t2 + 20t3 8t4 ) , 4 (1 + 2t t2 )(2t3 t2 + 1) Do a 2)1 4t, do đó t2 )(2t3 t2 + 1) = 1 + t4 (5 (1 + 2t 2t) + 2t(1 t) 1 7 6t 7t2 + 20t3 8t4 = 7 t2 (7 8 t4 6t 20t) 7 p p p 7t2 + 20t3 8t4 ) ) 4 (1 + 2t t2 )(2t3 t2 + 1) t(7 6t 4 7t 0 1 N u2 a p; s d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có 3 1 1 1 3 p p +p +p a + bc b + ca c + ab 6 (a + bc)(b + ca)(c + ab)
248 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Do đó, ta ch c n ch ng minh đư c 729 (a + bc)(b + ca)(c + ab) 512 p 0; khi đó t a 2; ab + bc + ca = 1; ta suy ra 5 Đ t p = a + b + c; r = abc p 3: p2 p 2 p+2 p2 3 p p 3 M t khác, l y u = và v = ; ta d dàng ki m tra đư c 3 3 p p 5 + 2 13 1 5 13 2 u2 v p 2u + v = p; u + 2uv = 1; v u ; r 0 6 6 3 Ta có (a + bc)(b + ca)(c + ab) = r2 + (p2 2p 1)r + 1 = f (r) D th y f (r) là hàm l i nên max f (0); f (u2 v ) = max 1; f (u2 v ) f (r) Ta còn ph i ch ng minh 729 f (u2 v ) 512 729 , v 2 (u + 1)2 (v + u2 ) 512 u2 )2 (2u3 u2 + 1) (1 + 2u 729 , g (u) = u 64 Ta có 3u2 )(1 + 2u u2 )(4u3 7u2 + 2u (1 1) g 0 (u) = 0 u2 ! p p 5 13 14141 559 13 729 ) g (u) g = < : 6 1458 512 1 B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = p ;z =0 2 ho c các hoán v tương ng. Bài toán 2.44 Cho các s không âm x; y; z th a mãn xy + yz + zx = 1: Ch ng minh r ng p 1 1 1 26 p +p +p : 3 2x2 + 3yz 2y 2 + 3zx 2z 2 + 3xy
249 L i gi i. Đ t a = yz; b = zx; c = xy (a; b; c 0), khi đó t xy + yz + zx = 1; ta đư c a + b + c = 1. B t đ ng th c tr thành p Xr a 22 rP 3a2 + 2bc 3a cyc cyc Ta s ch ng minh X a 4 P 3a2 + 2bc 3 a cyc cyc X ab 4 !2 (3a2 + 2bc)(3b2 + 2ca) P cyc 9 a cyc Th t v y, ta có Q Q Q c)2 + 21 a(b + c) + 7 a2 18 (b X a 4 cyc cyc cyc ! P = 0 3a2 + 2bc 3 a P Q cyc (3a2 + 2bc) 3 a cyc cyc cyc X ab 4 !2 (3a2 + 2bc)(3b2 + 2ca) P cyc 9 a cyc !3 Q P Q Q Q c)2 + 15 a2 18 (b a a + 36 a(b + c) + 22 cyc cyc cyc cyc cyc = 0 !2 P Q (3a2 9 a + 2bc) cyc cyc M t khác, v i m i m; n; p 0; ta có p m2 + n2 + p2 + 2(mn + np + pm) m+n+p = q p m2 + n2 + p2 + 2 m2 n2 + n2 p2 + p2 m2 + 2mnp(m + n + p) = q p m2 + n2 + p2 + 2 m2 n2 + n2 p2 + p2 m2 q q q a b c S d ng b t đ ng th c này v i m = 3a2 +2bc ; n = 3b2 +2ca ; p = 3c2 +2ab ; ta đư c v s Xr uX X u a a ab t +2 2 + 2bc 2 + 2bc 2 + 2bc)(3b2 + 2ca) 3a 3a (3a cyc cyc cyc
250 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C T 2 b t đ ng th c đã ch ra trên, ta đư c v s Xr uX X u a a ab t +2 2 + 2bc 2 + 2bc 2 + 2bc)(3b2 + 2ca) 3a 3a (3a cyc cyc cyc v v p u u u4 4 22 u P + 2u !2 = r P : u u3 a u u 3a t9 P a t cyc cyc cyc B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Bài toán 2.45 Cho các s không âm a; b; c th a mãn a + b + c = 3: Ch ng minh r ng q q q q p p p p 2 + c2 + 2 + a2 + 2 + b2 a+ b b+ c c+ a 3 2 + 1: (Phan H ng Sơn) L i gi i. Sau khi bình phương 2 v và thu g n, ta có th vi t l i b t đ ng th c như sau r Xp p p X p a2 + b2 + 2 a + b2 + c2 b + a2 + c2 9 2+6 cyc cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có s r p p X X b+c a+c a + b2 + c2 b + a2 + c2 a+ p b+ p 2 2 cyc cyc r 1X p p =p 2 1 a+3 2 1 b+3 2 cyc p 1X 2 1 Xp p p 9 p p ab + p 2 1 ab + 3 = 2 cyc 2 cyc 2 Do đó, ta c n ch ng minh Xp Xp p a2 + b2 + 2 2 ab 6 cyc cyc Đ ch ng minh b t đ ng th c này, ta ch c n ch ng minh b t đ ng th c sau v i m i x; y 0 p p 2 xy x2 + y 2 x4 + y 4 + 2
251 Th t v y, ta có p p p 2(x2 + y 2 ) 2(x4 + y 4 ) + 2 2 1 xy ! p (x + y )2 y )2 p = (x 2+1 2(x4 + y 4 ) + x2 + y 2 ! p (x + y )2 2 p (x y) 2+1 2(x2 + y 2 )2 + x2 + y 2 p y )2 2 2 1 xy (x = 0: x2 + y 2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1: Bài toán 2.46 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng ab2 bc2 ca2 6(a2 + b2 + c2 ) + 2 + 2 +a+b+c : c2 a b a+b+c L i gi i. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có " #" # " #" # X ab2 X X X a(b2 + c2 ) X 1 1 + a = c2 a(b2 + c2 ) c2 a(b2 + c2 ) cyc cyc cyc cyc cyc !2 X1 a cyc Suy ra, ta ch c n ch ng minh đư c ! !2 !" # X X1 X X 1 a2 a 6 a(b2 + c2 ) a cyc cyc cyc cyc ! !2 ! X X1 X1 X X1 2a , a 9 3 b2 + c2 a a a cyc cyc cyc cyc cyc X (a 2 3(a + b)(c2 ab) b) 111 , +++2 0 c (a + c2 )(b2 + c2 ) ab ab cyc 2(a+b) 1 ab ; Nu thì c 3(a + b)(c2 ab) 111 111 3(a + b) +++2 ++ 0 c (a + c2 )(b2 + c2 ) ab ab c ab
252 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C 2(a+b) 1 ab ,c 2(a+b) ; Nu thì c ab 3(a + b)(c2 ab) 111 abc(a2 + c2 )(b2 + c2 ) +++2 c (a + c2 )(b2 + c2 ) ab = c4 (ab + bc + ca) + abc2 (a2 + b2 ) + (a + b)(a2 + b2 + 3ab)c3 + a3 b3 2a2 b2 c(a + b) abc2 (a2 + b2 ) + (a + b)3 c3 + a3 b3 2a2 b2 c(a + b) a3 b3 (a2 + b2 ) + (a + b)3 c3 + a3 b3 2a2 b2 c(a + b) 4(a + b)2 9 9 (a + b)3 c3 + a3 b3 + a3 b3 2a2 b2 c(a + b) 16 16 r 81 2 2 a b c(a + b) 2a2 b2 c(a + b) 0: 3 3 256 Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.47 Cho các s th c a; b; c khác 0 th a mãn a2 + b2 + c2 = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2 : Ch ng minh r ng ab c P (a; b; c) = ++ 5 b ca a2 b + b2 c + c2 a 1 5 Q(a; b; c) = : (a + b + c)3 12 36 (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. N u t n tai 2 trong 3 s a; b; c, ch ng h n a; b < 0, ta có th thay a; b; c b i a; b; c; khi đó ta có th th y đi u ki n bài toán và 2 bi u th c P Q v n không thay đ i, do đó ta ch c n xét bài toán trong trư ng h p trong 3 s a; b; c, t n t i ít nh t 2 s dương, ch ng h n a; b > 0. N u c < 0 thì b)2 + (b c)2 + (c a)2 (a2 + b2 + c2 ) = (a b)2 + c2 (a 2c(a + b) > 0 Do đó, ta ph i có c > 0. T đây, v i gi thi t a = maxfa; b; cg, ta có b)2 + (b c)2 + (c a)2 (a2 + b2 + c2 ) 0 = (a p p p p p p p p p p p p = a+ b+ c a+ b c b+ c a c+ a b p p p ) a= b+ c