Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 8

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu chuyên toán - bất đẳng thức hiện đại - phần 8', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu chuyên toán - Bất đẳng thức hiện đại - phần 8

203 L i gi i. B t đ ng th c tương đương v i X a + 2b Xa 3 2 3 c + 2b b+c cyc cyc P P P P a3 + 3abc a2 b a3 2 3 2 ab(a + b) cyc cyc cyc cyc , (2a + b)(2b + c)(2c + a) (a + b)(b + c)(c + a) " # X X X X (2a + b)(2b + c)(2c + a) , 2 a3 + 3abc 3 a2 b 2 a3 ab(a + b) (a + b)(b + c)(c + a) cyc cyc cyc cyc P P (2a+b)(2b+c)(2c+a) a3 Do 2 ab(a + b) 0 và 2 nên ta ch c n ch ng minh đư c (a+b)(b+c)(c+a) cyc cyc " # X X X X 3 3 a2 b 2 2 a3 2 a + 3abc ab(a + b) cyc cyc cyc cyc X X X , 2 a3 ab2 + a2 b 2 3abc 0 cyc cyc cyc Theo b t đ ng th c AM-GM, ta có X X X 2 a3 2 ab2 a2 b 0; 3abc 0: cyc cyc cyc B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: 1 1 1 Bài toán 2.4 Cho các s dương a; b; c th a mãn (a + b + c) + + = 10: Ch ng a b c minh r ng p p p p 7+8 2 5 5 ab c 7+5 5 82 ++ : 2 b ca 2 (Ph m Kim Hùng, Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Do tính thu n nh t, không m t tính t ng quát gi s a + b + c = 1; đ t q = ab + bc + ca; r = abc thì ta có q = 10r: Ta có ab2 + bc2 + ca2 ab c ++= b ca abc
204 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Do đó, đ ch ng minh b t đ ng th c bên trái, ta ch c n xét nó trong trư ng h p c b a là đ , t đó p ab2 + bc2 + ca2 q 3r + q 2 4q 3 + 2(9q 2)r 27r2 ab c ++ = = b ca abc 2r v u q2 7 1 u q 2 4q 3 + 2(9q 2) 10 27 10 q +t = q2 22 10 s q p 71 1 71 = + 253 40 10q + + 253 80 10 22 q 22 p p 7+8 2 5 5 = 2 Ti p theo, ta s ch ng minh b t đ ng th c bên ph i, rõ ràng ta ch c n xét nó trong trư ng h p a b c là đ , khi đó p ab2 + bc2 + ca2 q 2 4q 3 + 2(9q 2)r 27r2 q 3r ab c ++ = = b ca abc 2r v u q2 7 1 u q 2 4q 3 + 2(9q 2) 10 27 10 q t = q2 22 10 s q p 71 1 71 = 253 40 10q + 253 80 10 22 q 22 p p 7+5 5 8 2 = : 2 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c b t đ ng th p bên trái x y c p p p p p p ra khi và ch khi c = 10 10+5 2 2 5 ; b = 10 ; a = 10 10 20 2+2 5 và các hoán 10 5 20 b t p ng p cpbên ph i x y ra khi và ch khi a = v tương p ng.pĐ ng th c đ th p p 10 10+5 2 2 5 10 10 10 5 2+2 5 ; b = 10 ; c = và các hoán v tương ng. 20 20 Bài toán 2.5 Cho các s dương a; b; c th a mãn a + b + c = 3: Ch ng minh r ng p p p a4 + b4 + c4 + 4 ab + bc + ca 15: (Dương Đ c Lâm) L i gi i. Trư c h t, ta s ch ng minh r ng P P a a X1 cyc cyc P + P2 a+b ab 2 a cyc cyc cyc
205 ! ! P P a ab X c(a + b) + ab X cyc cyc P , a+ a2 a+b 2 cyc cyc cyc ! ! P P a ab X ab cyc cyc P , a2 a+b 2 cyc cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !2 P ab X ab cyc P a+b ab(a + b) cyc cyc Nên ta ch c n ch ng minh ! ! !" # X X X X 2 2 a ab a ab(a + b) cyc cyc cyc cyc X b)2 , ab(a 0 cyc Tr l i bài toán c a ta, s d ng b t đ ng th c GM-HM, ta có Xp X ab ab 2 a+b cyc cyc Nên ta ch c n ch ng minh đư c X X ab a4 + 8 15 a+b cyc cyc X 8 X ab(a + b + c) a4 + , 15 3 cyc a+b cyc X 8X X1 8 a4 + , ab + abc 15 3 cyc 3 a+b cyc cyc Theo trên, ta có 1X 1 1 1 P + P2 3 cyc a + b ab 2 a cyc cyc
206 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Nên ta ch c n ch ng minh đư c 0 1 X 8X B1 1C a4 + ab + 8abc @ P + P 2 A 15 3 cyc ab 2 a cyc cyc cyc Đ t q = ab + bc + ca; r = abc thì ta có X a4 = 81 36q + 2q 2 + 12r cyc Nên b t đ ng th c tương đương v i 12r(3 + 4q q 2 ) 50 q + q2 + 33 0 3 q (9 2q ) N u9 4q thì ta có 50 q + q2 33 0 3 nên b t đ ng th c đúng. (4q 9)(9 q ) N u 4q 9 thì theo b t đ ng th c Schur b c 4, ta có r nên ta ch c n 18 ch ng minh q2 ) 50 2(4q 9)(9 q )(3 + 4q q + q2 + 33 0 3 3q (9 2q ) 50q + 3q 2 )q (9 q2 ) , (99 2q ) + 2(4q 9)(9 q )(3 + 4q 0 3 2 , (q 3)(2q + 11q 117q + 162) 0 3 2 , f (q ) = 2q + 11q 117q + 162 0 D th y f (q ) là hàm l i nên 9 729 f (q ) max f (3); f = max 36; < 0: 4 32 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1: Bài toán 2.6 Cho các s dương a; b; c th a mãn a b + c: Ch ng minh r ng s a b c abc + + + 2: b+c c+a a+b (a + b)(b + c)(c + a) (Dương Đ c Lâm)
207 L i gi i. Do a b + c nên (a + b)(a + c)(b + c) b+c bc = a+b+c+ abc bc a b+c bc (a b c)(ab + ac bc) = 2b + 2c + + bc b+c a(b + c) 2(b + c)2 b+c bc 2b + 2c + = +1 9 bc b+c bc ) (a + b)(a + c)(b + c) 9abc Do đó p Xa abc(a + b)(b + c)(c + a) VT = + 2 b+c (a + b)(b + c)(c + a) cyc Xa 3abc + 2 b + c (a + b)(b + c)(c + a) cyc (a b c)(a + b c)(a b + c) = 0: (a + b)(b + c)(c + a) B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b; c = 0 ho c a = c; b = 0 ho c a = 2b = 2c: Bài toán 2.7 Cho các s không âm a; b; c, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng r r r 2 2 2 3 a + bc 3 b + ca 3 c + ab 1 2+ p : + + 2 + c2 2 + a2 2 + b2 b c a 3 2 (Võ Qu c Bá C n) L i gi i. Không m t tính t ng quát, gi s a b c; ta s ch ng minh (r ) r r a2 + bc b2 + ca 2 2 3 4(a + b ) 3 3 + max 2; b2 + c2 c2 + a2 c2 + ab Chú ý r ng (a2 + bc)(b2 + ca) (a2 + c2 )(b2 + c2 ) =1 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) (a2 + c2 )(b2 + c2 ) nên s r r a2 + bc b2 + ca (a2 + bc)(b2 + ca) 3 3 26 + 2 b2 + c2 c2 + a2 (a2 + c2 )(b2 + c2 )
208 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Ta c n ch ng minh r r r a2 + bc 2 2 2 3 b + ca 3 4(a + b ) 3 + 2 + c2 2 + a2 2 + ab b c c s ! r r a2 + bc b2 + ca 2 2 2 2 3 (a + bc)(b + ca) 3 a + bc 3 b + ca ,2 +2 +3 + b + c2 c + a2 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) b2 + c2 c2 + a2 4(a2 + b2 ) c2 + ab L i có b2 + ca a2 + bc b)(a2 + b2 + c2 + ab ac c(a bc) = 0 b2 + c2 a2 + c2 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) b2 + ca a2 + bc ) 1 b2 + c2 a2 + c2 Do đó, theo b t đ ng th c AM-GM, s s ! r r 2 2 2 2 (a2 + bc)(b2 + ca) 3 (a + bc)(b + ca) 3 a + bc 3 b + ca 3 + 6 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) b2 + c2 c2 + a2 (a2 + c2 )(b2 + c2 ) 6(a2 + bc) a2 + c2 T đó, ta ch c n ch ng minh đư c a2 + bc b2 + ca 6(a2 + bc) 4(a2 + b2 ) +2 +2 b2 + c2 c + a2 a + c2 c2 + ab , f (c) + g (c) 0 trong đó f (c) = (a + 7b)c5 + 3(a2 b2 )c4 + 2(a + b)(a + 3b)bc3 0 3 2 2 3 2 23 4 23 b)4 g (c) = (a b)(3b + 2ab + 4a b 3a )c + (b a + 6b a + a b )c + ab(a 0. N u 3b3 + 2ab2 + 4a2 b 3a3 Ta s ch ng minh r ng g (c) 0, đi u này là hi n nhiên. N u 3b + 2ab + 4a b 3a3 0, khi đó do g (c) là hàm lõm theo c nên 3 2 2 g (c) min fg (0); g (b)g, mà 1 b)4 b)[(2a2 b2 )2 + 43b4 ] + 8b5 g (0) = ab(a 0; g (b) = b (a 6ab 0 4 Kh ng đ nh đư c ch ng minh. Tr l i bài toán c a ta, có 2 trư ng h p x y ra 2 +b2 c2 N u a2 +ab 2 , a2+ab 1 2 , khi đó t kh ng đ nh trên, ta d dàng đi đ n k t lu n. +b2 c a2 +b2 2, khi đó t kh ng đ nh trên, ta ch c n ch ng minh Nu c2 +ab r r 2 2 2 3 4(a + b ) 3 c + ab 1 2+ p + c2 + ab a2 + b2 3 2
209 p p 1 B t đ ng th c này hi n nhiên đúng do hàm 3 4x + x là hàm tăng v i m i x 3 2. B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b; c = 0 ho c các hoán v . Bài toán 2.8 Cho a; b; c là các s không âm th a mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng 3 a2 b + b2 c + abc 4: 2 (Vasile Cirtoaje, Võ Qu c Bá C n) L i gi i. N u a 2b thì 3 bc(a 2b + 2c) (a + c)2 b a2 b b2 c abc = 0 2 2 3 a+c a+c ) a2 b + b2 c + abc (a + c)2 b = 4 b 2 2 2 3 a+c a+c + +b 2 2 4 =4 3 N u 2b a, b t đ ng th c tương đương v i 81 f (c) = 4(a + b + c)3 27a2 b 27b2 c abc 0 2 Ta có 3 f 0 (c) = [8(a + b + c)2 9b(3a + 2b)] 2 3p f 0 (c) = 0 , c = p b(3a + 2b) a b 22 p 3 Do 2b a nên b(3a + 2b) a + b, và ta d dàng ki m tra đư c p 22 3p 2b)2 (2a + b) 27ab(a p f (c) f b(3a + 2b) a b = 0: q 22 3 4 a2 + 5ab + 2b2 + b(3a+2b) 2 B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = 2; b = 1; c = 0 ho c a = 0; b = 2; c = 1. Bài toán 2.9 Cho a; b; c là các s không âm, không có 2 s nào đ ng th i b ng 0. Ch ng minh r ng 1 1 1 9 +2 +2 : a2 2 2 c + ca + a2 (a + b + c)2 + ab + b b + bc + c (Vasile Cirtoaje)
210 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C L i gi i. B t đ ng th c đư c vi t l i như sau X (a + b + c)2 1 6 a2 + ab + b2 cyc X c(a + b + c) + ab + bc + ca , 6 a2 + ab + b2 cyc ! ! ! ! X X X X c 1 , a + ab 6 2 + ab + b 2 2 + ab + b2 a a cyc cyc cyc cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !2 P P c a X c cyc cyc P =P 2 + ab + b2 c(a2 + ab + b2 ) a ab cyc cyc cyc !2 !2 P P c a X 1 cyc cyc P = !2 a2 + ab + b2 c2 (a2 + ab + b2 ) P P cyc cyc 2 ab 3abc a cyc cyc Nên ta ch c n ch ng minh đư c !2 !2 ! P P P a a ab cyc cyc cyc P + 6 !2 ab P P cyc 2 ab 3abc a cyc cyc P Do tính thu n nh t, ta có th gi s a + b + c = 1. Đ t q = ab; r = abc, b t đ ng cyc th c tr thành 1 q +2 6 q 2q 3r (4q 1)(1 q ) S d ng b t đ ng th c Schur b c 4, ta có r , nên 6 (1 3q )(4q 1)2 1 q 1 q +2 6 + 6= 0: q (8q 2 5q + 1) (4q 1)(1 q ) q 2q 3r q 2q 2 2 B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c:
211 Bài toán 2.10 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng a4 b4 c4 a3 + b3 + c3 +2 +2 : a2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a2 a+b+c (Phan Thành Vi t) L i gi i. Ta có a3 + b3 + c3 3abc = a2 + b2 + c2 ab bc ca + a+b+c a+b+c Nên b t đ ng th c đã cho tương đương v i X a4 3abc a2 + ab a2 + ab + b2 a+b+c cyc X ab3 3abc , a2 + ab + b2 a+b+c cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có ! ! !2 X X a2 + ab + b2 X ab3 a a2 + ab + b2 ab cyc cyc cyc Nên ta ch c n ch ng minh !2 X 3abc X a2 + ab + b2 a a + b + c cyc ab cyc !3 X X c(a2 + ab + b2 ) , a 3 cyc cyc ! ! X X X a2 , a ab 0: cyc cyc cyc Đi u này hi n nhiên đúng. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c ho c c = 0; a ! 0 b ho c các hoán v tương ng. Bài toán 2.11 Cho a; b; c; d là các s không âm th a mãn a + b + c + d = 1: Ch ng minh r ng a b c d 3 p +p +p +p : 2 a+b b+c c+d d+a (Mircea Lascu)
212 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C 1 L i gi i. Không m t tính t ng quát, ta có th gi s a + c b+d ) x = a+c 2: S d ng b t đ ng th c Jack Garfunkel, ta có 5p 5p a b c p +p +p a+b+c= 1 d 4 4 c+a a+b b+c 5p a b c )p +p p 1 d 4 c+a a+b b+c 5p 5p c d a p +p +p a+c+d= 1 b 4 4 a+c c+d d+a 5p c d a )p +p 1bp 4 a+c c+d d+a Suy ra X 5p 5p p p p a p 1 b+ 1 d a+c2(2 b d) c+a 4 4 a+b cyc p p 5p p ( x 1) (17 x 7) 3 3 x= p p = 2(x + 1) + : p p 4 2 2 2 2 5 x + 1 + 2 (2 x + 3) B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c không x y ra. Bài toán 2.12 Cho a; b; c; d là các s không âm, không có 3 s nào đ ng th i b ng 0: Ch ng minh r ng 5p a b c d p +p +p +p a + b + c + d: 4 a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b L i gi i. Gi s d = minfa; b; c; dg và đ t x = a + c; khi đó ta d th y a d a d x p +p p +p =p a+b+c d+a+b a+b+d d+a+b x+b b b p p b+c+d b+c Nên ta ch c n ch ng minh 5p x b c p +p +p a+b+c+d 4 x+b b+c c+d+a 5p x b c ,p +p +p x+b+d 4 c+x x+b b+c Đây chính là b t đ ng th c Jack Garfunkel nên b t đ ng th c đã cho đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = 1 = 0 = d ho c các hoán v tương ng. b c 3 0
213 Bài toán 2.13 Cho a; b; c là các s dương. Ch ng minh r ng 2(a + b + c)(bc + ca + ab) 1 ((2a + b)(2b + c)(2c + a)) 3 : a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca (Sung Yoon Kim) L i gi i 1. S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có a2 b + b2 c + c2 a (ab+bc+ca)2 . Suy ra a+b+c ) (2a + b)(2b + c)(2c + a) = 2(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc + 2(a2 b + b2 c + c2 a) 2(ab + bc + ca)2 2(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc + a+b+c Ta c n ch ng minh 2(a + b + c)(bc + ca + ab) a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca 1 2(ab + bc + ca)2 3 2(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc + a+b+c Do tính thu n nh t, ta có th chu n hóa cho a + b + c = 1: Đ t q = ab + bc + ca; r = abc; max 0; 4q9 1 . B t đ ng th c khi đó theo b t đ ng th c Schur b c 3, ta đư c r tr thành 2q 1 (3r + 2q 2 + 2q ) 3 1q N u1 4q; thì 1 1 (3r + 2q 2 + 2q ) 3 (2q 2 + 2q ) 3 và 8q 3 4q 2 + 2q 3 q4 ) 2q (1 2q 4q 2 ) 2q (1 2q 2q 2 + 2q = (1 q )3 (1 q )3 (1 q )3 2q (1 3q ) 0 (1 q )3 N u 4q 1; thì 1 1 6q 2 + 10q 4q 1 1 3 3 1 2 2 (3r + 2q + 2q ) 2q + 2q + = 3 3 3 và 6q 2 + 10q 8q 3 3q )(2q 4 2q 3 + 3q 2 + 10q 1 (1 1) = 0: (1 q )3 (1 q )3 3
214 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: L i gi i 2. S d ng b t đ ng th c Holder, ta có [(a + b + c)(bc + ca + ab)]3 = [(a + b)(b + c)(c + a) + abc]3 [(a + b)3 + a3 ][(b + c)3 + b3 ][(c + a)3 + c3 ] = (2a + b)(2b + c)(2c + a)(a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) Ta c n ch ng minh 8(a2 + ab + b2 )(b2 + bc + c2 )(c2 + ca + a2 ) (a2 + b2 + c2 + bc + ca + ab)3 B t đ ng th c này có th đư c ch ng minh b ng phép khai tri n. L i gi i 3. Ta s ch ng minh k t qu m nh hơn là 3(a2 + b2 + c2 ) a + 2b b + 2c c + 2a + + a + 2c b + 2a c + 2b ab + bc + ca C ng 3 vào hai v , ta vi t đư c b t đ ng th c trên d ng 3(a2 + b2 + c2 ) 1 1 1 2(a + b + c) + + +3 a + 2c b + 2a c + 2b ab + bc + ca T đây, s d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có th suy ra b t đ ng th c ban đ u c a bài toán. Do (a + b + c)2 = (a + 2b)(a + 2c) + (b c)2 nên (b c)2 a+b+c a + 2b = + a + 2c a + b + c (a + 2c)(a + b + c) Xa+b+c X (b c)2 ) =3+ a + 2c (a + 2c)(a + b + c) cyc cyc Do đó, b t đ ng th c trên tương đương v i X (b c)2 3(a2 + b2 + c2 ) 6+2 +3 (a + 2c)(a + b + c) ab + bc + ca cyc c)2 + y (c a)2 + z (a b)2 , x(b 0 3(a+b+c) 1 v ix= và y; z tương t . 4(ab+bc+ca) a+2c Không m t tính t ng quát, gi s b là s h ng n m gi a a và c; t c là (b a)(b c) 0:
215 T đó, ta có (a b)(a c) 0 và (c a)(c b) 0: Chú ý r ng (a + 2b)(a + 2c) = 3(ab + bc + ca) + (a b)(a c), ta có 3(ab + bc + ca) (a b)(a c) 9(a + b + c) = a + 2b a + 2b 2(a + b + c) a + 2c a + 2c 4 nên x 0: Tương t , ta cũng có z 0: N ua b c; khi đó d th y y 0 do 1 1 a+b+c 3(a + b + c) b + 2a a+b+c 3(ab + bc + ca) 4(ab + bc + ca) nên b t đ ng th c đúng. N u c b a và n u y 0 nên b t đ ng th c đúng. Gi s y 0; khi đó ta có 9(a + b + c) 1 2 x + 2y = 0 4(ab + bc + ca) a + 2c b + 2a do 1 2 4a + b + 4c 2(a + b + c) 9(a + b + c) + = a + 2c b + 2a (a + 2c)(b + 2a) ab + bc + ca 4(ab + bc + ca) và 9(a + b + c) 1 2 z + 2y = 0 4(ab + bc + ca) c + 2b b + 2a do 1 2 2a + 5b + 2c 2(a + b + c) 9(a + b + c) + = c + 2b b + 2a (c + 2b)(b + 2a) ab + bc + ca 4(ab + bc + ca) c)2 b)2 + 2(b c)2 ; ta đư c T đây, v i chú ý r ng (a 2(a c)2 + y (c a)2 + z (a b)2 c)2 + (z + 2y )(a b)2 x(b (x + 2y )(b 0: B t đ ng th c đư c ch ng minh. Bài toán 2.14 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng 3(a2 + b2 + c2 ) a(a + b) b(b + c) c(c + a) + + : a+b+c a+c b+a c+b (Ph m H u Đ c) L i gi i 1. Chú ý r ng X a(a + b) X a(a + b + c) X ac = a+c a+c a+c cyc cyc cyc ! ! X Xa X ab = a a+c a+b cyc cyc cyc ! ! X Xc X ab = a 3 a+c a+b cyc cyc cyc
216 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C Ta có th vi t l i b t đ ng th c như sau P ! ! 3 a2 X ab X Xc X cyc P + + a 3 a a a+b a+c cyc cyc cyc cyc cyc S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có !2 !2 P P ab ab X ab cyc cyc ! ! P = a+b ab(a + b) P P cyc a ab 3abc cyc cyc cyc và !2 !2 P P c a X c cyc cyc P = !2 a+c c(a + c) P P cyc cyc a ab cyc cyc Ta c n ch ng minh !2 !3 P P P ab a a2 3 X cyc cyc cyc ! ! P + + 3 a !2 a P P P P cyc a ab 3abc cyc a ab cyc cyc cyc cyc Do tính thu n nh t, ta có th chu n hóa cho a + b + c = 1: Đ t q = ab + bc + ca; r = abc; khi đó theo b t đ ng th c Schur b c 3, ta có r 4q9 1 . B t đ ng th c tr thành q2 1 3(1 2q ) + + 3 q 3r 1 q q2 1 , + 6q 0 q 3r 1 q Ta có q2 q2 (1 3q )2 1 1 + 6q + 6q = 0: 4q 1 q 3r 1 q 1 q 1q q 3 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c:
217 L i gi i 2. B t đ ng th c đã cho tương đương v i X a(a + b)(a + b + c) 3(a2 + b2 + c2 ) a+c cyc X ab(a + b) X X a2 , 2 ab a+c cyc cyc cyc G i x; y; z là m t hoán v c a a; b; c sao cho x y z ; khi đó v i chú ý r ng xy (x + y ) xz (x + z ) y z (y + z ) S d ng b t đ ng th c s p x p l i, ta có X ab(a + b) xy (x + y ) yz (y + z ) zx(z + x) + + a+c y+z y+x z+x cyc xy (x + y ) yz (y + z ) = + + xz y+z y+x Bây gi , ta th y xy (x + y ) yz (y + z ) xy (x z ) yz (z x) + (xy + yz ) = + y+z y+x y+z x+y y (x z )2 (x + y + z ) z )2 = (x (x + y )(y + z ) T đây, ta có X ab(a + b) z )2 + (xy + yz + xz ) (x a+c cyc 2(x2 + y 2 + z 2 ) (xy + yz + zx): B t đ ng th c đư c ch ng minh. Bài toán 2.15 Cho các s không âm a; b; c; không có 2 s nào cùng b ng 0: Ch ng minh r ng r r r a b c 3 + + : b + 3c c + 3a a + 3b 2 (Vasile Cirtoaje) 2 2 x2 L i gi i. Đ t a+3b = z4 ; c+3a = y4 ; b+3c = c b a 4; v i x; y; z là các s không âm. Khi đó, ta d dàng ki m tra đư c đ ng th c sau 16 = 7x2 y 2 z 2 + 3(x2 y 2 + x2 z 2 + y 2 z 2 )
218 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C và ta c n ch ng minh x+y+z 3 Gi s x + y + z < 3; khi đó t n t i k > 1 sao cho kx + ky + kz = 3. Đ t kx = u; ky = v; kz = w thì u + v + w = 3 và 7u2 v 2 w2 3(u2 v 2 + u2 w2 + v 2 w2 ) < 7u2 v 2 w2 + 3(u2 v 2 + u2 w2 + v 2 w2 ) 16 = + 6 k4 k Nhưng ta d dàng ch ng minh đư c 7u2 v 2 w2 + 3(u2 v 2 + u2 w2 + v 2 w2 ) 16 v i m i u; v; w 0 th a mãn u + v + w = 3; đi u này d n đ n mâu thu n nên b t đ ng th c c n ch ng minh đúng. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.16 Cho các s dương a; b; c: Ch ng minh r ng p p p 3 3 3 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 + 4 a2 b2 c2 : (Sung Yoon Kim) L i gi i. S d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có s s b)2 (b c)2 (c a)2 a2 b2 c2 3 (a +43 2 (b + c)2 (a + c)2 2 (b + c)2 (a + c)2 (a + b) (a + b) s s (a b)2 (b c)2 (c a)2 ab bc ca =3 +43 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 1 X (a b)2 4X ab + 2 3 cyc (a + b)2 3 cyc (a + b) 1 X (a b)2 4ab = + = 1: 3 cyc (a + b)2 (a + b)2 B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c: Bài toán 2.17 Cho a; b; c là các s dương th a mãn a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = 3: Ch ng minh r ng r r r a + bc2 b + ca2 c + ab2 3 + + : 2 2 2 abc (Sung Yoon Kim)
219 L i gi i. S d ng b t đ ng th AM-GM, ta có r r X X 1X 1 ab + b2 c2 a + bc2 1 ab + b2 c2 = + 2 b 2 2 cyc b 2 cyc cyc ! X1 X 1 = 2 + ab + 3 4 a cyc cyc và X 1X 2 2 ab (a b + 1) = 3 2 cyc cyc P ab X1 3 cyc ) = a abc abc cyc Do đó r X a + bc2 1 6 3 3 3 +6 = + : 2 4 abc 2abc 2 abc cyc B t đ ng th c đư c ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c = 1: Bài toán 2.18 Cho k > 0 là m t h ng s cho trư c. Tìm h ng s l n nh t sao cho v i m i a b c d 0 th a a + b + c + d = 1; b t đ ng th c sau đúng ab bc cd da + + + (a b)(b c)(c d): k+a+b k+b+c k+c+d k+d+a (Shalex) 1 1 1 1 ! 0+ , b t đ ng th c L i gi i. Cho a = +3 ;b = + ;c = ;d = 3 vi 4 4 4 4 tr thành 64 3 2 0 (2k + 1)3 2 64(2k + 1) ! 0+ , ta đư c Cho 64 (2k + 1)3
220 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C M t khác, đ t x = a b; y = b c; z = c d ) x; y; z 0, ta có ab bc cd da + + + k+a+b k+b+c k+c+d k+d+a ab cd bc da = + + + k+a+b k+c+d k+b+c k+d+a d) + (a2 b2 + c2 d2 )] = [k (a b+c 1 1 (k + a + b)(k + c + d) (k + b + c)(k + c + d) [(k + a + b)x + (k + c + d)z ](x + y )(y + z ) = (k + a + b)(k + b + c)(k + c + d)(k + d + a) p 8xyz (k + a + b)(k + c + d) (k + a + b)(k + b + c)(k + c + d)(k + d + a) 8xyz =p (k + a + b)(k + c + d)(k + b + c)2 (k + d + a)2 64 xyz: (2k + 1)3 v i b t đ ng th c cu i đúng theo b t đ ng th c AM-GM và gi thi t a + b + c + d = 1: T đó, ta đi đ n k t lu n 64 max = : (2k + 1)3 P n Bài toán 2.19 Cho x1 ; x2 ; :::; xn là các s dương th a mãn xi = 1: Ch ng minh i=1 r ng Xq n 1 x2 + x2+1 2 : P p i i n x2 2 + i i=1 2 xi+1 i=1 L i gi i. B t đ ng th c đã cho tương đương q n X 1 x2 + x2+1 xi + xi+1 P p i i n x2 2 + i i=1 2 xi+1 i=1 n X x2 1 i q , p P x2 n x2 xi x2 x2+1 + xi + + i 2 + 2 xi+1 i i=1 x i i xi+1 i+1 i=1
221 S d ng b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có 0 1" # xi q 2 n n X X x2 x2 @ A i i 2 q + xi + xi + xi+1 x2 xi+1 xi+1 + xi + xx+1 x2 + x2+1 i i i=1 x i=1 i i i+1 i !2 n X xi =1 i=1 Ta c n ch ng minh xi q 2 n X p x2 i xi + x2+1 2 1 i xi+1 xi+1 i=1 n X p xi xi+1 q , 2 1 x2 + x2+1 + xi i=1 i i Do q xi + xi+1 x2 + x2+1 p i i 2 Nên ta ch c n ch ng minh đư c p n X xx 2 p i i+1 1 2 1 + 2 xi + xi+1 i=1 ! p p n n X X xx 3 22 21 p i i+1 , xi + xi+1 2 2 1 + 2 xi + xi+1 i=1 i=1 p n X 1 (xi xi+1 )2 2 p , 0: 2 1 + 2 xi + xi+1 i=1 B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = 1 = xn = n : Bài toán 2.20 Cho các s th c a; b; c; d: Ch ng minh r ng ! ! 5X 4 X 2 2 X X 3 a+ ab a a + (a b)(b c)(c d)(d a): 2 cyc sym cyc cyc (Ph m Minh Khoa)
222 CHƯƠNG 2. SÁNG T O B T Đ NG TH C L i gi i. Do !2 5X 4 X 2 2 X 1X 2 2 b2 )2 a+ ab a = (a 2 cyc 2 sym sym cyc ! ! !2 X X X X 3 2 b)2 a a a = ab(a cyc cyc cyc sym Nên ta có th vi t l i b t đ ng th c như sau 1X 2 X b2 )2 ab(a b)2 + (a (a b)(b c)(c d)(d a) 2 sym sym 1X b)2 (a2 + b2 ) , (a (a b)(b c)(c d)(d a) 2 sym 1 Chú ý r ng a2 + b2 b)2 , nên 2 (a 1X 1X b)2 (a2 + b2 ) b)4 (a (a 2 sym 4 sym 1 [(a b)4 + (b c)4 + (c d)4 + (d a)4 ] 4 j(a b)(b c)(c d)(d a)j (a b)(b c)(c d)(d a): B t đ ng th c đư c ch ng minh xong. Bài toán 2.21 Cho các s dương a; b; c th a a2 + b2 + c2 = 3: Ch ng minh r ng r r r p a2 b2 c2 + + 3: 2+b+c 2+c+a 2+a+b a b c L i gi i. Theo b t đ ng th c Cauchy Schwarz, ta có a + b + c 3. T đó !2 ! ! r X X X a2 a a a2 + b + c a2 + b + c cyc cyc cyc ! ! X X a a 1 a2 + 3 (b + c)(a + b + c) cyc cyc Ta c n ch ng minh ! ! X X a a 3 1 a2 + 3 (b + c)(a + b + c) cyc cyc