Chuyên đề dãy số

Chia sẻ: Nguyen Thai Son | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:140

Thêm vào BST

Báo xấu

1.451
lượt xem 424
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một trong những vấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11. Dãy số là dạng toán khá phức tạp, cần rèn luyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được.Tài liệu tham khảo chuyên đề toán về Cấp số - Dãy số. Dãy số sẽ giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức,......

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề dãy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ NHÓM THỰC HIỆN: Bùi Tấn Phương Nguyễn Anh Lộc Trần Mỹ Hoa Dương Minh Quân Tiêu Ngọc Diễm Quỳnh Bùi Tuấn Anh Trần Thị Thanh Huyền Tống Trung Thành Lê Thanh Tú Giáo viên hướng dẫn: Huỳnh Bửu Tính, Trần Diệu Minh. -1-
LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là m ột trong nh ững vấn đề quan trọng trong phần đại số và giải tích lớp 11. Dãy số là dạng toán khá ph ức t ạp, c ần rèn luyện, học tập thường xuyên thì mới giải nhanh và tốt được. Vì thế, dãy số thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán để đánh giá khả năng t ư duy c ủa h ọc sinh. Do đó để có thể học tốt môn dãy số, ta cần luyện tập giải các bài toán liên quan dãy s ố đ ồng th ời tích cực tìm ra những phương pháp hay để giải toán dãy số một cách hợp lý nhất. Ở chuyên đề này, tập thể tổ 02 lớp 11A1 đã tổng hợp và biên so ạn m ột số vấn đề liên quan đến dãy số để làm tài liệu học tập cho môn chuyên cũng như để nghiên c ứu v ề m ột d ạng toán khá lí thú. Chuyên đề gồm các phần: : 1. Định nghĩa và các định lý cơ bản về dãy số. 2. Các dạng dãy số đặc biệt. 3. Một số phương pháp xây dựng dãy số. 4. Phương trình sai phân tuyến tính. 5. Dãy số và các vấn đề liên quan đến giới hạn. -2-
PHẦN 01: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA DÃY SỐ I)Cac đinh nghia về day sô: ́ ̣ ̃ ̃ ́ Day sô: là ham số f : S → ¡ ̃ ́ ̀ S= { 1; 2;3;......; n} đối với dãy hữu hạn. S= ¥ đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 0. S= ¥ * đối với dãy vô hạn bắt đầu là chỉ số 1. Với dãy f: S → ¡ . n a f (n) . Ký hiêu: ( un ) ; { un } ; với un= f(n). ̣ Trong đó: + u0 hay u1 được goi là số hang đâu. ̣ ̣ ̀ + un được goi là số hang tông quat. ̣ ̣ ̉ ́ +n được goi là chỉ số cua cac số hang. ̣ ̉ ́ ̣ Day số có thể được cho theo cac cach sau đây: ̃ ́ ́ 1)Cho day số bởi công thức cua số hang tông quat: ̃ ̉ ̣ ̉ ́ n + 10 VD: Cho day số ( un ) vơi un = ̃ ́ . 2n − 9 2)Cho day số bởi hệ thức truy hôi: ̃ ̀ u1 = 20 VD:  . un = 2un + 95( n ≥ 2) 3)Cho day số bởi phương phap liêt kê cac phân tử. ̃ ́ ̣ ́ ̀ VD: dãy 0;1;2;3;4;5;……. ́ ́ II)Tinh chât: 1)Day số tăng, day số giam: ̃ ̃ ̉ Day số ( un ) được goi là day số tăng nêu với moi n ta co: un < un +1 . ̃ ̣ ̃ ́ ̣ ́ Day số ( un ) được goi là day số giam nêu với moi n ta co: un > un +1 . ̃ ̣ ̃ ̉ ́ ̣ ́ Day số tăng hay day số giam được coi là day đơn điêu. ̃ ̃ ̉ ̃ ̣ 1n ) với ∀n ∈ ¢ +. VD: Xét tính đơn điệu của dãy số sau: un= n + ( 2 1 1 > 0 ⇒ (un) là dãy tăng. Giải: ∀n ∈ ¢ + Ta có: un+1- un= (1- n )+ 2n +1 2 2)Day số bị chăn: ̃ ̣ -3-
Day số ( un ) được goi là day số bị chăn trên nêu tôn tai số M sao cho: ∀n ∈ ¥ , un ≤ M * ̃ ̣ ̃ ̣ ́ ̣̀ Số M nhỏ nhât được goi là cân trên đung cua ( un ).Ký hiêu sup un . ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̣ Day số ( un ) được goi là day số bị chăn dưới nêu tôn tai số m sao cho: ∀n ∈ ¥ , un ≥ m * ̃ ̣ ̃ ̣ ́ ̣̀ Số m lớn nhât được goi là cân dưới đung cua ( un ).Ký hiêu inf un . ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̣ Day số ( un ) được goi là day số bị chăn nêu nó vừa bị chăn trên, vừa bị chăn dưới, tức là tôn ̃ ̣ ̃ ̣ ́ ̣ ̣ ̀ * m≤u ≤M tai số m và số M sao cho ∀n ∈ ¥ ̣ . n VD: Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ +. Giải: un= (-1)n + cos n, ∀n ∈ ¢ +; -1 ≤ cos n ≤ 1 ⇒ -2 ≤ (-1)n + cos n ≤ 2. Ta có: Vậy (un) bị chặn. Chú y: ́ Moi day số ( un ) giam luôn bị chăn trên bởi u1 ̣̃ ̉ ̣ Moi day số ( un ) tăng luôn bị chăn dưới bởi u1 . ̣̃ ̣ 3) Dãy con và dãy tuần hoàn: Dãy con: Cho dãy (un) ∀n ∈ ¢ +. Lập dãy (V nk ) với các số hạng: V n1 , V n2 ,….., V nk ,……. Trong đó dãy (nk) là các số tự nhiên tăng vô hạn. Dãy (V nk ) được gọi là dãy con của (un). Nhận xét: (un) là dãy con của chính nó với nk=k. VD: Cho dãy (un) xác định bởi: 0 ≤ u1 < 1 với ∀n ∈ ¢ +.  un +1 = un (un − 1)  CMR: dãy (u2n+1) là dãy giảm và dãy (u2n) là dãy tăng. Giải: Áp dụng phương pháp quy nạp ta dễ dàng suy ra đpcm. Dãy tuần hoàn: Dãy tuần hoàn cộng tính: Dãy (un) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi ∃l ∈ ¢ sao cho un+l = un ∀n ∈ ¢ +. + Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un). Đặc biệt: (un) tuần hoàn cộng tính, chu kì l=1 là dãy hằng. -4-
VD: Dãy số (un) xác định bởi u0= 1, u1= 0, un+1= un + un-1 với n = 1,2,3,…… tuần hoàn với chu kì 6: 1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,1,……. Dãy tuần hoàn nhân tính: Dãy (un) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi ∃l ∈ ¢ +, l>1 sao cho un.l = un ∃n ∈ ¢ +. Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un). Bài tập: n(n + 2) , n ∈ ¥ và dãy (xn) xác định bởi xn= u1.u2.u3…un. 1) Cho dãy (un) với un= (n + 1) 2 a) CMR dãy (un) tăng, (xn) giảm. n+2 b) CMR xn= . 2(n + 1) 2) Dãy (un) xác định bởi: u1 = u2 = u3 = 1 , ∀n ≥ 4 .  un = un −1 + un −3 CMR: dãy (un) tăng ∀n ≥ 3. 3) Xét tính bị chặn của dãy un: 1n ) ∀n ∈ ¢ +. un= (1+ n 4) Dãy (un) xác định bởi: 0 < un < 1   + . CM: dãy (un) tăng và bị chặn. 1 un +1 (1 − un ) > 4 ∀n ∈ ¢  5) Dãy (un) xác định bởi: u1 = 1  2 + un với ∀n ≥ 1.  un +1 = 1 + u  n CM: dãy (u2n+1) tăng và dãy (u2n) giảm. 6) Cho k ∈ ¤ \ ¢ . CMR dãy (un) xác định bởi: u0 = 1  u1 = −1 u = ku − u ∀n ∈ ¥ * .  n +1 n −1 n Không là dãy tuần hoàn. -5-
PHẦN 02: MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ ĐẶC BIỆT Cấp số cộng: Định nghĩa: được gọi là cấp số cộng khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi m ỗi số hạng b ằng Dãy số hạng đứng trước nó cộng với số không đổi. Số không đổi được gọi là công sai. Ký hiệu: Có : số hạng đầu tiên : số hạng thứ n (tổng quát) : công sai Nhận xét: 1. Dãy xác định bởi: là các số thực) ( là 1 cấp số cộng. Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: 1. là CSC có Chứng minh: … Suy ra: Nhận xét: mà: thì -6-
(Thường dùng chứng minh CSC): 2. Tổng của n số hạng đầu tiên: 3. là cấp số cộng đặt: Có Hay Chứng minh: Có Nhận xét: Ví dụ: Chứng minh rằng nếu theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng (giả sử ) Giải: theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi -7-
Tức là khi và chỉ khi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Cấp số nhân: Định nghĩa: được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi kể từ số hạng thứ 2 trở đi m ỗi số hạng b ắng Dãy số hạng đứng trước nó nhân với số không đổi. Số không đổi được gọi là công bội. Ký hiệu: Có : số hạng đầu tiên : số hạng thứ n (tổng quát) : công bội Nhận xét: xác định bởi: Dãy là các số thực khác không) ( là 1 cấp số nhân. Tính chất: Công thức số hạng tổng quát: 1. là CSN có Chứng minh: … Suy ra: Nhận xét: mà: -8-
thì 2. Tổng của n số hạng đầu tiên: 3. là cấp số nhân đặt: Có Chứng minh: Có Tổng các số hạng của CSN lùi vô hạn: 1 CSN được gọi là lùi vô hạn khi và chỉ khi công bội thỏa là CSN lùi vô hạn với công bội Dãy Có Ví dụ: Tính 1. Giải: -9-
Cho dãy số xác định bởi với mọi . Chứng minh và 2. rằng dãy số xác định bởi với mọi là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó. Giải: Từ công thức xác định dãy số và , ta có: với mọi . Từ đó suy ra dãy số là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời 3. các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tìm và . Giải: Với theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, ta có: hay Ta lại có: ) ) Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, bi ết rằng n ếu hoán đ ổi v ị trí s ố h ạng th ứ 4. nhất và số hạng thứ hai đồng thời giữ nguyên số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. - 10 -
Giải: Gọi số cần thứ tự 3 tìm theo là : dưới) Ta có: (thay vào và số thoả Ta có 2 dãy mãn: +với hằng: ta có dãy là dãy 2 , 2 , 2 +với ta có dãy -4 , 2, 8 Bài tập: Chứng minh các mệnh đề sau đúng với: 1. lập thành cấp số nhân. Cmr: 3. Cho 4. Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC vuông tại A theo thứ tự lập thành c ấp số nhân. Tìm công bội của cấp số đó. 5. Cmr điều kiện cần và đủ để 3 số tạo thành cấp số cộng là 3 số lập thành cấp số nhân. Một số dãy số đặc biệt: 1. Dãy Fibonacci: Định nghĩa: Dãy xác định bởi: 1.1 - 11 -
được gọi là dãy Fibonacci Dãy Fibonacci viết dạng liệt kê: Các định lý: 1.2 Định lý 1: Cho dãy là dãy Fibonacci: Khi đó: Định lý 2: (Công thức Binet) Cho là dãy Fibonacci: Số hạng tổng quát của dãy là: - 12 -
Hệ quả: a. Khi thì: b. 2. Dãy Farey: Định nghĩa: Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối gi ản n ằm gi ữa 0 và 1 có m ẫu số không lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần. Ví dụ: bậc 1 bậc 2 bậc 3 bậc 4 Tính chất: N ếu và là các số kề nhau trong dãy Farey với thì a. N ếu với nguyên dương và là các số kề thì và b. nhau trong dãy Farey bậc Max N ếu với các số trong dãy Farey nào đó với ( được gọi là và thì c. mediant của và ) 3. Dãy Lucas: Định nghĩa: Dãy xác định bởi: - 13 -
Dãy Lucas viết dạng liệt kê: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... Tính chất: a. Với là tỉ lệ vàng ( b. Tính chia hết giữa các số Lucas chia hết cho nếu m là số lẻ. c. Mối liên hệ với các số Fibonacci: 1. Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau: Hoặc tổng quát hơn là công thức sau: với mọi 2. 3. 4. d. Khi chỉ số là số nguyên tố Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. e. Số nguyên tố Lucas Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, ... 4. Cấp số nhân cộng: được gọi là cấp số nhân cộng nếu như Dãy , ta có: là các hằng số) Đặc biệt: là CSN công bội là . dãy - 14 -
dãy là CSC công sai là . Dãy số thực: Định nghĩa: Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ là tập hợp số , trong đó tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn m ột số t ự nhiên m nào đó. Khi đó ta dùng kí hiệu thay cho . Nếu là hữu hạn ta có dãy hữu hạn: Ngược lại nó được xem là vô hạn: Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn v ới các ph ần t ử t ừ th ứ m trở đi là bằng nhau. Khi bắt đầu từ phần tử dãy thường được ký hiệu: với là phần tử thứ . Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử a1. với là phần tử thứ Ý nghĩa thực tế: Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu th ập d ữ li ệu. Các d ữ li ệu thu thập có thể gồm nhiều số từ . Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên ( ), số thứ 2 ( ) và các số tiếp theo. Biên của dãy: . Tập hợp các giá trị của dãy: Cho dãy được gọi là biên của dãy đó. - 15 -
Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy , có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1. Dãy số thực đơn điệu: Định nghĩa Cho dãy số thực với xn là các số thực. Nó là . Tăng khi và chỉ khi , . Giảm khi và chỉ khi , Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu. Ví dụ: với dãy Ta có . Do nên , hay . Suy ra là dãy tăng. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm: Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm c ủa hàm số tương ứng. Ví dụ như cho dãy . Xét hàm số: với Lấy đạo hàm của nó, ta thu được: Đạo hàm này nhỏ hơn 0 khi . Điều này xảy ra với mọi , nên dãy là dãy giảm. Dãy số thực bị chặn: - 16 -
bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại ở đó . Số được gọi là giá Dãy , trị chặn trên. Ngược lại, dãy bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại ở đó . Số , được gọi là giá trị chặn dưới. Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn. Ví dụ: dãy bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương. Giới hạn của một dãy số thực: Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát m ột số dãy số th ực, có th ể ti ến "rất gần" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực: Hay Khi cho n tăng lên vô hạn thì phân số trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ của dãy có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý . Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau: Đinh nghĩa Cho dãy số thực và một số thực . Khi đó nếu: được gọi là giới hạn của dãy hội tụ. thì . Khi đó ta cũng nói dãy Giới hạn của dãy thường được kí hiệu: Hoặc (khi ) - 17 -
Các định lý cơ bản Nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn. 1. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn. 2. 3. 4. Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới). 5. Tính chất: Nếu các dãy hội tụ và và thì và (nếu L2 và khác 0) Một số giới hạn cơ bản: - 18 -
Vô cùng bé, vô cùng lớn: Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là m ột vô cùng bé. N ếu : được gọi là vô cùng lớn. Khi đó ta thì dãy cũng viết: Dãy tuần hoàn: Dãy tuần hoàn cộng tính: 1. được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi Dãy sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Đặc biệt: tuần hoàn cộng tính, chu kì là dãy hằng. Dãy tuần hoàn nhân tính: 2. được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi Dãy sao cho Số nhỏ nhất được gọi là chu kì cơ sở của dãy Lưu ý: Dãy tuần hoàn chu kì k thì max { } và min { } i nên nó bị chặn Ví dụ: Cm dãy tuần hoàn cộng tính chu kì 2 khi và chỉ khi có dạng: Giải: xác định bởi: Xét dãy - 19 -
Bằng quy nạp ta cm có: Ngược lại, với dãy có: sẽ là dãy cộng tính, chu kì 2. PHẦN 03: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DÃY SỐ Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình Có thể xây dựng dãy số hội tụ về một số xuất phát từ một phương trình có nghiệm là theo cách sau: Ví dụ 1: Xét = là nghiệm của phương trình =2. Ta viết lại dưới dạng 2 , và ta thiết lập dãy số thỏa mãn . Nếu dãy này hội tụ thì giới hạn sẽ là . Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dáy số tiến về căn bậc của như sau: Cũng với giới hạn cần đến là , ta có thể xây dựng dãy khác theo “phong cách” như vậy: - 20 -