zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II - TS. Nguyễn Hữu Thọ

Chia sẻ: Ngo Tuan Anh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Báo xấu

173
lượt xem 16
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II. Mời các bạn tham khảo chuyên đề để nắm bắt những kiến thức về phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng; phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng; cách giải bài toán giá trị ban đầu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Phương trình vi phân cấp II - TS. Nguyễn Hữu Thọ

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II A. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT 1. Phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng Dạng : PTVPTT cấp 2 thuần nhất có dạng: ay "+ by '+ cy = 0 , (1) trong đó a, b và c là các hằng số, a ≠ 0 . Mục đích: Tìm nghiệm tổng quát của (1). Cách giải: Xét phương trình đặc trưng: ar 2 + br + c = 0. a. Trường hợp 1: PT đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt ĐNNH LÝ 1. Nếu phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực, phân biệt r1 và r2 , khi đó rx rx y(x ) = c1e 1 + c2e 2 là một nghiệm tổng quát của phương trình (1). b. Trường hợp 2:Phương trình đặc trưng có nghiệm bội ĐNNH LÝ 2. Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau r1 = r2 , khi đó rx y(x ) = (c1 + c2x )e 1 là nghiệm tổng quát của phương trình (1). c. Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng có nghiệm phức. ĐNNH LÝ 3. Nếu phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phân biệt phức liên hợp a ± bi (với b ≠ 0 ), khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng : y(x ) = e ax (c1 cos bx + c2 sin bx ) 2. Phương trình tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng ● Dạng : PTVPTT cấp hai không thuần nhất có dạng: ay ''+ by ′ + cy = f (x ). ܽ≠0 (2)
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 ● Cách giải: + Trước hết tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng + Tiếp theo phải tìm được một nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): yp(x) Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2) có dạng: y(x ) = yc (x ) + y p (x ) Như vậy nhiệm vụ còn lại của chúng ta là phải tìm yp. ● Các phương pháp tìm ࢟࢖ (࢞) a. Phương pháp hệ số bất định Tr−êng hîp 1: f (x ) = e αx Pn (x ) , trong ®ã α lµ h»ng sè vµ ܲ௡ (‫ )ݔ‬lµ ®a thøc bËc n 1) NÕu α kh«ng lµ nghiÖm ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = e αxQn (x ) 2) NÕu α lµ nghiÖm ®¬n cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = xe αxQn (x ) 3) NÕu α lµ nghiÖm kÐp cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = x 2e αxQn (x ) P (x )cos βx + P (x ) sin βx  , trong ®ã ܲ௡ (‫)ݔ‬, ܲ ௠ (‫ )ݔ‬lµ c¸c ®a Tr−êng hîp 2: f (x ) = e αx  n m  thøc bËc ݊, t−¬ng øng ݉ vµ ߙ, ߚ lµ c¸c h»ng sè. 1) NÕu α ± i β kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = e αx Ql (x )cos βx + Rl (x )sin β x  2) NÕu α ± i β lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng th× mét nghiÖm riªng cña (2) cã d¹ng: y p = xe αx Ql (x ) cos β x + Rl (x ) sin β x  víi ݈ = max (݊, ݉). b. Phương pháp biến thiên tham số Giả sử ta đã tìm được nghiệm tổng quát của PTVPTT thuần nhất tương ứng 1
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 yc (x ) = c1y1 (x ) + c2y2 (x ) + Tìm sẽ đi tìm nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2) dưới dạng: y p (x ) = u1 (x ) y1 (x ) + u2 (x ) y2 (x ) + Để tìm ‫ݑ‬ଵ (‫)ݔ‬, ‫ݑ‬ଶ (‫ )ݔ‬ta đi giải hệ phương trình sau: u1′y1 + u2′y2 = 0,  u1′y1′ + u2′y2′ = f (x )  + Giải hệ tren ta nhận được các hàm u1(x ), u2 (x ) . + Nghiệm riêng của PTVPTT không thuần nhất (2): y p (x ) = u1(x )y1(x ) + u2 (x )y2 (x ) . Và khi đó nghiệm tổng quát của PTVPTT không thuần nhất (2) là: ࢟ = ࢟ࢉ + ࢟࢖ . 3, Giải bài toán giá trị ban đầu: Xét bài toán ࢇ࢟ᇱᇱ + ࢈࢟ᇱ + ࢉ = ࢌ(࢞) (∗) ൜ ࢟(ࢇ) = ࢟૚ ; ࢟ᇱ (ࢇ) = ࢟૛ (∗∗) + Trước hết ta tìm nghiệm tổng quát của PTVP (*) + Ta chỉ lấy các nghiệm thỏa mãn (**) làm nghiệm của bài toán đã cho. B. MỘT SỐ BÀI TẬP Bài số 1 : Tìm nghiệm tổng quát của các PTVPTT thuần nhất sau 1. y "− 4y = 0 2. 2y "− 3y ' = 0 3. y "+ 3y '− 10y = 0 4. 2y "− 7y '+ 3y = 0 5. y "+ 6y '+ 9y = 0 6. y "+ 5y '+ 5y = 0 7. 4y "− 12y '+ 9y = 0 8. y "− 6y '+ 13y = 0 9. y "+ 8y '+ 25y = 0 2
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 Bài số 2 : Giải các bài toán giá trị ban đầu đối với PTVPTT thuần nhất 1. y "− 4y '+ 3y = 0; y(0) = 7, y '(0) = 11 2. 9y "+ 6y '+ 4y = 0; y(0) = 3, y '(0) = 4 3. y "− 6y '+ 25y = 0; y(0) = 3, y '(0) = 1 Bài số 3 : Tìm nghiệm của PTVPTT không thuần nhất sau 1. y ′′ + 16y = e 3x 2. y ′′ − y ′ − 2y = 3x + 4 3. y ′′ − y ′ − 6y = 2 sin 3x 4. 4y ′′ + 4y ′ + y = 3xe x 5. y ′′ + y ′ + y = sin2 x 6. 2y ′′ + 4y ′ + 7y = x 2 7. y ′′ − 4y = sinh x 8. y ′′ − 4y = cosh 2x 9. y ′′ + 2y ′ − 3y = 1 + xe x 10. y ′′ + 9y = 2 cos 3x + 3 sin 3x 11. y ′′ + 9y = 2x 2e 3x + 5 12. y ′′ + y = sin x + x cos x 13. y ′′ + y ′ + y = sin x sin 3x 14. y ′′ + 9y = sin 4 x 15. y ′′ + y = x cos3 x 3
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 Bài số 4: Sử dụng phương pháp tham số 5. y ′′ + 4y = cos 3x biến thiên để tìm một nghiệm riêng, từ đó suy ra nghiệm tổng quát. 6. y ′′ + 9y = sin 3x 1. y ′′ + 3y ′ + 2y = 4e x 7. y ′′ + 9y = 2 sec 3x 2. y ′′ − 2y ′ − 8y = 3e −2x 8. y ′′ + y = csc2 x 3. y ′′ − 4y ′ + 4y = 2e 2x 9. y ′′ + 4y = sin2 x 4. y ′′ − 4y = sinh 2x 10. y ′′ − 4y = xe x Bài số 5: Giải bài toán giá trị ban đầu đối với PTVPTT không thuần nhất sau: 1. y ′′ + 4y = 2x ; y (0) = 1, y ′ (0) = 2 2. y ′′ + 3y ′ + 2y = e x ; y (0) = 0, y ′ (0) = 3 3. y ′′ + 9y = sin 2x ; y (0) = 0, y ′ (0) = 0 4. y ′′ + y = cos x ; y (0) = 1, y ′ (0) = −1 5. y ′′ − 2y ′ + 2y = x + 1; y (0) = 3, y ′ (0) = 0 C. MỘT SỐ ĐỀ THI GẦN ĐÂY 1.(1997) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 2‫ ݕ‬ᇱ = 2 sinଶ ‫ݔ‬ 2.(1999) Giải phương trình: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 2‫ ݕ‬ᇱ + 5‫ ݁ = ݕ‬௫ cos 2‫ݔ‬ 3.(2000) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 3‫ ݕ‬ᇱ = 3‫ ݔ‬ଶ − 1 + 9 sin 3‫ݔ‬ 4.(2001) Giải phương trình vi phân sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 2‫ ݕ‬ᇱ + 10‫ ݁ = ݕ‬௫ + sin 3‫ݔ‬. 1
TS. Nguyễn Hữu Thọ - Bộ môn Toán Trường Đại học Thủy Lợi 2012 ଵ 5.(2002) Giải phương trình vi phân sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ + ‫ = ݕ‬4 ቀsin ‫ ݔ‬+ ௘ ೣ ቁ. 6.(2003) Giải phương trình vi phân cấp hai sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 4‫ = ݕ‬1 + ݁ ଶ௫ sin ‫ݔ‬. 7.(2004) Giải phương trình vi phân sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ + ‫ = ݕ‬sin 2‫ ݔ‬cos 3‫ݔ‬. 8.(2006) Giải phương trình vi phân sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 9‫ ݕ‬ᇱ + 20‫ ݔ = ݕ‬ଶ ݁ ସ௫ . 9.(2007) Giải phương trình vi phân sau: ‫ ݕ‬ᇱᇱ + ‫ ݕ‬− 2 = 2 cos ‫ ݔ‬+ 3 cos 2‫ݔ‬. 10.(2008) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: ‫ ݕ‬ᇱᇱ + 4‫ ݕ‬ᇱ + 3‫ି ݁(ݔ = ݕ‬௫ − 3). 11.(2009) Giải phương trình vi phân sau: 4‫ ݕ‬ᇱᇱ + 4‫ ݕ‬ᇱ + ‫ = ݕ‬3‫ ݁ݔ‬௫ . 12.(2010-I) Giải phương trình vi phân: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 5‫ ݕ‬ᇱ + 4‫ = ݕ‬cos ଶ ‫ݔ‬. 13.(2010-II) Giải phương trình vi phân: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − ‫ ݕ‬ᇱ = 2 sin ‫ݔ‬. 14.(2011-I) Giải phương trình vi phân: ‫ ݕ‬ᇱᇱ + 2‫ ݕ‬ᇱ + ‫ = ݕ‬−݁ ି௫ . 15. (2011-II) Giải phương trình vi phân cấp hai: ‫ ݕ‬ᇱᇱ − 4‫ ݁ = ݕ‬ଶ௫ + sin ‫ݔ‬. 16.(2012-I) Tìm nghiệm của phương trình: y ''+ 4 y = sin x thỏa mãn điều kiện y (0) = 1; y '(0) = 1. 2

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.