Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

Chia sẻ: Paradise2 Paradise2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

165
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x 

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số. 1. Chiều biến thiên của hàm số. Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  1. Tìm tập xác định 2. Tính đạo hàm y  f   x  . Giải phương trình f   x   0 để tìm các nghiệm xi  i  1,2..., n  . 3. Sắp xếp các nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà f   x   0 và ngược lại). Ví dụ: Xét chiều biến thiên của hàm số y  4  x 2 Gợi ý giải:  Đ/k xác định: 4  x 2  0  x 2  4  2  x  2 Tập xác định của hàm số D   2;2 .  4  x   2 x  Đạo hàm: y  2 4  x2 4  x2 y  0  x  0 thuộc  2;2 Dấu của y cùng dấu với biểu thức  x .  Ta có bảng biến thiên 0 2 2 x y + 0  2 y 0 0
 Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng  2;0  và nghịch biến rtreen khoảng  0; 2  Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng  a; b  hoặc hàm số gián đoạn tại x0 thì ta cần tính các giới hạn lim y , lim y và lim y , lim y x a xb x x0 x x0 để điền vào bảng biến thiên. Bài tập: Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 1 4 1) y  x5  x3  3 x  1 ; 5 3 4 2) y  x  ; x 1 3) Chứng minh các bất đẳng thức sau:  a) tan x  sin x, 0  x  2 x b) 1  x  1  , x  0 . 2 Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x 4  8 x 2  2 . Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x 3  3 x  1 . Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng  2;0  ,  2;   H/số nghịch biến trên các khoảng  ; 2  ,  0; 2  Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng  1;1
2. Cực trị của hàm số. Lý thuyết: - Định lý 1, định lý 2 SGK Giải tích 12. Dạng 1: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x  x0 . Cách giải:  Tính y  f   x, m   Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x  x0 là y  x0   f   x0 , m   0 . Giải phương trình này tìm được m.  Thử lại (Điều kiện đủ) Với giá trị của m tìm được, ta tính y  x0  . - Nếu y  x0   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  x0 - Nếu y  x0   0 thì hàm số đạt cực đại tại x  x0 . Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.  Kết luận. Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x  x0 . x 2  mx  1 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  đạt cực đại tại x  2 . xm Gợi ý giải: 1 Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu được y  x  xm  Đ/k xác định x  m  0  x  m 1  1   Đạo hàm y   x   1  x  m 2 xm 
1 y  2   1   2  m 2  Đ/k cần để hàm số đạt cực đại tại x  2 là y  2   0 1 2  0   2  m  1  1 2  2  m 2  m  1  m  1    2  m  1  m  3  Thử lại (đ/k đủ)   1 2 2 Ta có y  1    0  2  x  m   x  m 3 3   x  m   2 - Với m  1 , ta có y  2    2  0 nên trường hợp này hàm số đạt cực tiểu 3  2  1 tại x  2 (không thỏa đề bài). 2 - Với m  3 ta có y  2    2  0 nên trường hợp này hàm số đạt cực đại 3  2  3 tại x  2 (thỏa đề bài)  Kết luận: Giá trị của m phải tìm là m  3 . Dạng 2: Chứng minh hàm số y  f  x, m  luôn có cực trị với mọi giá trị của tham s ố m. Cách giải: Chứng tỏ fy  x, m   0 luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đó. - Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y có delta dương; - Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để y có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng h àm số y  x 3  mx  2 x  1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m. Gợi ý giải:  Tập xác định của hàm số: D  2  Đạo hàm y  3x 2  2mx  2 là tam thức bậc hai có    2m   4.3.  2   4m 2  24 .  0, m  Suy ra y  0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x1 , x2 ) khi x đi qua hai nghiệm đó.  Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x có đồ thị (C). Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y  x  m2  m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). 2  Câu 2: Tìm m để hàm số y  x 3  mx 2   m   x  5 có cực trị tại x  1 . Khi đó 3   hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ? Câu 3: (TN BTTH 2006) 1 Chứng minh hàm số y  x3  mx 2   2m  3  x  9 luôn có cực trị với mọi giá trị 3 của tham số m ? Gợi ý – đáp số: Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số A  3;0  , B 1; 4  Trung điểm hai cực trị M  2; 2  . Cho M  2; 2  thuộc đường thẳng y  x  m2  m , ta có 2  2  m 2  m . Giải tìm m.
Câu 2: m  7 3 . Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . 3. Tiếp tuyến, tiệm cận của đồ thị hàm số. Lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  và M  x0 ; y0  là điểm trên  C  . Tiếp tuyến với đồ thị  C  tại M  x0 ; y0  có: - Hệ số góc: k  f   x0  - Phương trình: y  y0  k  x  x0  Hay y  y0  f   x0   x  x0  Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại M  x0 ; y0  chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0  f  x0  } - Hệ số góc k  f   x0  Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 4  2 x 2  1 tại điểm M  2;9  . Gợi ý giải:  Ta có (đạo hàm): y  4 x 3  4 x  T/tuyến tại M  2;9  có: 3 - Hệ số góc k  y  2   4  2   4  2   24
- P/trình: y  9  24  x   2   Hay y  24 x  39 Ở đây cần biết: x0  2 , y0  9 ở tọa độ của M (đề đã cho). x 1 Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số y  x 1 a) Tại điểm có hoành độ bằng 2 . b) Tại điểm có tung độ bằng 3 . Gợi ý giải:  x  1  x  1   x  1  x  1  2 a) Ta có y   x  12  x  12 Gọi tọa độ tiếp điểm là  x0 ; y0  . Theo giả thiết có x0  2 . x0  1 2  1 1  Tung độ tiếp điểm: y0    x0  1 2  1 3 1  Hệ số góc của tiếp tuyến tại  2;  bằng :   2   2 2 k  y  2    2 9  2  1 1 2 2 1  x  2  . Hay y  x   P/trình tiếp tuyến: y   3 9 9 9 x0  1 Với dạng này, đề cho x0  2 , ta cần tính y0  và tính đạo hàm, suy ra hệ x0  1 số góc của t/tuyến k  y   x0   y  2  .
 x  1  x  1   x  1  x  1  2 b) Ta có y   x  12  x  12 Gọi tọa độ tiếp điểm là  x0 ; y0  . Theo giả thiết có y0  3 . x0  1  3  x0  1  3  x0  1  x0  2  Vậy y0  x0  1  Hệ số góc của tiếp tuyến tại  x0 ; y0    2;3 là: 2 k  y  2   2  2  1 2  P/trình tiếp tuyến cần tìm: y  3  2  x   2   . Hay y  2 x  7 . Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Dấu hiệu: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : ax  by  c  0 - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  : ax  by  c  0 Cách giải:  Cần biết (rút y theo x) a c a x  nên  d  có hệ số góc k    . d  : y   b b b  Khi t/tuyến song song với  d  thì hế số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của a  d  và bằng k  k   . b  Khi t/tuyến vuông góc với  d  thì hế số góc k của t/tuyến và hệ số góc k  của  a  d  thỏa mãn k .k   1  k .    1  b Lời giải (Các bước):
 Tính đạo hàm hàm số y  f   x  Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên)  Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm  Hệ số góc của t/tuyến k  y   x0  . - Giải ph/trình này tìm được x0 - Thay vào y0  f  x0  để tính tung độ tiếp điểm  Viết p/trình t/tuyến. 2x Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số y  , biết: x 1 a) Hệ số góc của t/tuyến bằng 2 . b) T/tuyến song song với đường thẳng  d  : y   1 x . 2 c) T/tuyến vuông góc với đường thẳng    : y  9 2 x  1 Gợi ý giải: 2  x  1  2 x 2 a)  Ta có y   2  x  12  x  1  Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại  x0 ; y0  bằng 2 y  x0    x0  12 2 Theo giải thiết ta có y  x0   2   2  x0  12 x 1  1  x0  2 2   x0  1  1   0   x0  1  1  x0  0 2 x0 2.2  Với x0  2 , ta có y0   4 x0  1 2  1 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại  2;4  là
y  4  2  x  2  hay y  2 x  8 . 2 x0 2.0  Với x0  0 , ta có y0   0.  x0  1 0  1 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại  0;0  là y  0  2  x  0  hay y  2 x .  Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là y  2 x  8 ; y  2 x Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến k  y  x0   2 (đề cho). b) T/tuyến song song với  d  nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của  d  , bằng k   1 2 .  Gọi  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại  x0 ; y0  bằng 2 y  x0    x0  12 2 1 1 2 Vậy y  x0   k    x0  1   2 2 4  x0  1 x  3  x0  1  1 2  0 2   x 1   1 x  1 0 0 2 2 2. 3 2 x0 3 2  6.  Với x0  , ta có y0   x0  1 3  1 2 2 3 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại  ;6  là   2   1 27 1 3 y  6    x   hay y   x  2 4 2 2
2. 1 2 x0 1 2  2 .  Với x0  , ta có y0   1 1 2 x0  1 2 1 Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại  ; 2  là   2  1 7 1 1 y   2     x   hay y   x  2 4 2 2  Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề bài có p/trình là 1 27 1 7 ; y   x y x 2 4 2 4 9 c) Đường thẳng    : y  9 2 x  1 có hệ số góc k   . 2  Gọi k là hệ số góc của t/tuyến. Biết t/tuyến vuông góc với    nên ta có 9 2 k .k   1  k .  1  k   . 2 9 Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b).  Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là 2 32 2 8 y   x ; y   x 9 9 9 9 Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): 2x  3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  tại điểm thuộc đồ thị x 1 có hoành độ x0  3 . Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y  x3  3 x  2 tại điểm A(2;4). Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): x 1 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): 3x  2 Cho hàm số y  , gọi đồ thị của hàm số là (C). x 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng y0  2 . 1 3 Đáp số: Câu 1: y   x  ; Câu 2: y  9 x  14 4 4 4 1 Câu 3: y  x  ; Câu 4: y  5 x  2 3 3 4. Tương giao giữa hai đồ thị. Lý thuyết: Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  để biện luận theo m số nghiệm của phương trình f  x   m . Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số y  x3  3x . Dựa vào đồ thị  C  , biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3 x  1  m  0 (1). Gợi ý giải:  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  (2 điểm) Học sinh tự làm.  Đồ thị (xem hình)
y 2 01 x -3 -1 3 -2  Viết lại (1) dưới dạng (1)  x3  3 x  m  1 (2) Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị  C  của hàm số y  x3  3x với đường thẳng  d  : y  m  1 (song song với trục hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của  d  và  C  .  Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:  m  1  2  m  1 , ta thấy  d  và  C  không có điểm chung. Suy ra (2) * Với   m 1  2 m  3 vô nghiệm  m  1  2  m  1 , ta thấy  d  cắt  C  tại một điểm và tiếp xúc tại một * Với   m 1  2 m  3 điểm. Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn và một nghiệm kép) Nói đơn giản hơn là  d  và  C  có hai điểm chung nên (2) có hai nghiệm. m  1  2  m  1 , ta thấy  d  cắt  C  tại ba điểm phân biệt. Suy ra (2) * Với   m  1  2 m  3 có 3 nghiệm phân biệt.  Kết luận: * Với m  1 hoặc m  3 , p/trình (1) vô nghiệm. * Với m  1 hoặc m  3 , p.trình (1) có hai nghiệm.
* Với 1  m  3 , p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.  d  : ax  by  c  0 cắt đồ thị hàm số Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng mx  n y  f  x  tại hai điểm phân biệt, hoặc không cắt cx  d Cách giải: a c  Viết lại  d  : y   x  b b  Lập p/trình hoành độ giao điểm của  d  và  C  : mx  n a c (1)  x cx  d b b Quy đồng khử mẫu đưa về p/trình bậc hai dạng d f  x, m   Ax 2  Bx  C  0 với cx  d  0  x   c Tính   B 2  4 AC d   Đến đây cần chứng tỏ   0 với mọi m và f   , m   0 và kết luận (1) luôn c  có hai nghiệm phân biệt. Suy ra  d  cắt  C  tại hai điểm phân biệt. - Tương tự, kết luận cho tr.hợp   0;   0 . Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực x3 của m, đường thẳng  d  : y  2 x  m luôn cắt đồ thị  C  của hàm số y  tại x 1 hai điểm phân biệt M, N. Gợi ý – Giải:  P/trình hoành độ giao điểm của  d  và  C  là x3 (1)  2x  m x 1
 x  3   2 x  m   x  1 ,  x  1  0   2 x 2  1  m  x  m  3  0 ,  x  1 (2) 2  P/trình (2) là p/trình bậc hai có   1  m   4.2.  m  3 2   m 2  6m  25   m  3  16  0 với mọi m. (a) Mặt khác, thay x  1 vào vế trái của (2) ta được 2 2. 1  1  m   m  3  2  0 với mọi m. (b)  Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa x  1. Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy đ/thẳng  d  luôn cắt đồ thị  C  tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.  Cm  của hàm số Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị y  x 3   m  3  x 2  1  m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  2 .  Phân tích bài toán: - Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ y  0 . - Vậy  Cm  cắt trục hoành tại điểm  x; y    2;0  . - Điểm này thuộc  Cm  nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình  Cm  . Lời giải:  Từ giả thiết ta suy ra  Cm  cắt trục hoành tại điểm  2;0  , thay tọa độ điểm này vào p/trình của  Cm  ta được: 3 2 0   2    m  3  2   1  m 5  8  4  m  3  1  m  0  3m  5  0  m   3 5  Vậy m   là giá trị cần tìm. 3 Bài tập:
Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số y  2 x 3  3x 2  1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x 3  3x 2  1  m Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số y  x 3  3x 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3  3x 2  m  0 Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban): 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y   x3  3x 2 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình  x3  3 x 2  m  0 . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành. 5. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số. Lý thuyết: - Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên; x3 Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y  có tọa độ là những số nguyên. x 1 Giải:  Đ/k xác định: x  1  0  x  1 4  Chia tử cho mẫu ta có y  1  x 1 4 Xét điểm  x; y  thuộc đồ thị hàm số đã cho, ta có y  1  . x 1
4 4  Với x   x  1 là các ước số nguyên của 4. ta có y  1     x 1 x 1 Các trường hợp xảy ra: 33 x  1  4  x  3 , ta có y  0 3 1 x  1  4  x  5 , ta có y  2 x  1  2  x  1 , ta có y  1 x  1  2  x  3 , ta có y  3 x  1  1  x  0 , ta có y  3 x  1  1  x  2 , ta có y  5  Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:  3;0  ,  5; 2  , 1; 1 ,  3;3 ,  0; 3 ,  2;5 Bài tập: 2x  2 Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y  có tọa độ là những số nguyên. x2 6. Khảo sát hàm số Sơ đồ:  Tập xác định.  Đạo hàm y  f   x  Giải p/trình f   x   0 ax  b  Tính các giới hạn lim y ; tiệm cận với hàm hữu tỷ y  cx  d x y   để suy ra tiệm cận đứng là đ/t x  a ; Và lim c    x  d c lim y  a , suy ra tiệm cận ngang là đ/t y  a c c x   Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các giới hạn đã tính)
 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số; - Cực trị của hàm số (nếu có).  Vẽ đồ thị: - Xác định giao điểm với trục hoành: Cho y  0 , tìm x. - Xác định giao điểm với trục tung: Cho x  0 , tìm y. - Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận)