intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 19: Khối nón

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 19: Khối nón" giới thiệu các bài toán liên quan đến khối nón trong hình học không gian. Các bài tập chủ yếu bao gồm việc tính thể tích, diện tích mặt bên và diện tích toàn phần của khối nón. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để hiểu rõ hơn về các công thức tính toán liên quan đến khối nón trong kỳ thi tốt nghiệp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán – Chuyên đề 19: Khối nón

  1. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 19. KHỐI NÓN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Dạng 1. Thể tích, diện tích… khối nón Câu 1. Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC  a , AB  a 3 , AD  3a . Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 3 3 a 3 8 3 a 3 5 3 a 3 4 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 16 3 16 16 Câu 2. Cho tam giác nhọn ABC , biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh AB , BC , CA ta lần 3136 9408 lượt được các hình tròn xoay có thể tích là 672 , , .Tính diện tích tam giác ABC . 5 13 A. S  1979 . B. S  364 . C. S  84 . D. S  96 . Câu 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD  2 AB  2 AD  4 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC bằng 28 2 20 2 32 2 10 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD ; tứ giác ABCD là hình thang vuông cạnh đáy   AD , BC ; AD  3BC  3a , AB  a , SA  a 3 . Điểm I thỏa mãn AD  3 AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng  ABCD  .  a3  a3  a3  a3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 5 5 10 5 5 5 Câu 5. Cho hình tứ diện ABCD có AD  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC  2(cm ) , AB  2 3(cm ), AD  6(cm) . Quay các tam giác ABC và ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 5 3 3 3 64 3 (cm 3 ) (cm 3 ) (cm 3 ) A. 3(cm 3 ) B. 2 C. 2 . D. 3 . Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng 3a . Một thiết diện đi qua đỉnh 3a của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng . Diện tích 2 của thiết diện đó bằng 2a 2 3 12a 2 24a 2 3 A. . B. 12a 2 3 . C. . D. . 7 7 7 Câu 7. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 . Diện tích của thiết diện này bằng a2 2 a2 2 a2 2 A. . B. . C. 2a 2 . D. . 3 2 4 Câu 8. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ bên) quanh trục DB . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 9 a3 3 3 a3 3 2 a3 3  a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 3 12 Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC  a , AC  b , AB  c , b  c . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC , quay cạnh AC , quanh cạnh AB , ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Sa , Sb , Sc . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Sb  Sc  S a . B. Sb  Sa  Sc . C. Sc  Sa  Sb . D. Sa  Sc  Sb . Câu 10. Cho hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc bằng 60 ta được một thiết diện tích bằng 2a 2 2 2a 2 2a 2 6a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3 Câu 11. Trong không gian. cho hình thang cân ABCD , AB //CD , AB  3a , CD  6a , đường cao MN  2a , với M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi quay hình thang cân ABCD xung quanh trục đối xứng MN thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là A. 3,75 a 2 . B. 11, 25 a 2 . C. 7,5 a 2 . D. 15 a 2 . Câu 12. Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là h ). Người ta đổ một lượng nước vào 1 ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly 4 rồi úp ngược ly lại thì tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu? 4  3 63 3 63 4  63 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Câu 13. Cho hình nón đỉnh S , có đáy là đường tròn tâm O , thiết diện qua trục là tam giác đều. Mặt phẳng  P  đi qua đỉnh S và cắt đường tròn đáy tại A , B sao cho   120 . Biết khoảng cách từ O AOB 3 13a đến  P  bằng . Thể tích của khối nón đã cho bằng 13 3 a 3 3 a 3 A. . B.  a3 . C. . D. 3 a3 . 3 2 Câu 14. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt đáy một góc 60 o . Tính diện tích tam giác SBC . 2a 2 2a 2 a2 3a 2 A. S SBC  . B. S SBC  . C. SSBC  . D. S SBC  . 2 3 3 3 Câu 15. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h  20  cm  , bán kính đáy r  25 cm . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm . Tính diện tích thiết diện đó. A. S  406 cm2 .  B. S  400 cm 2 .   C. S  300 cm 2 .   D. S  500 cm 2 .   Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạch bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2. Gọi H , K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lê các cạnh SB, SC , SD. Xét khối nón  N  có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD. Tính thể tích khối nón  N  .  a3  a3  a3  a3 A. . B. . C. . . D. 12 6 8 24 Câu 17. Cho hình nón T  đỉnh S , có đáy là đường tròn  C1  tâm O , bán kính bằng 2, chiều cao hình nón T  bằng 2. Khi cắt hình nón T  bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn  C2  tâm I . Lấy hai điểm A và B lần lượt trên     hai đường tròn  C 2  và  C1  sao cho góc giữa IA và OB là 600 . Thể tích của khối tứ diện IAOB bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. 6 12 4 24 Câu 18. Cho hình nón đỉnh S , đường tròn đáy có tâm O và bán kính 3a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Thiết diện qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm M , N gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mp  SMN  và F là trung điểm của MN . Khi tam giác SMN có diện tích lớn nhất, tính thể tích của khối nón tạo thành khi quay OHF xung quanh cạnh OH . 9 2 a 3 5 2 a 3 7 2 a 3 3 2 a 3 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 19. Một cốc thủy tinh hình nón có chiều cao 25cm , người ta đổ vào cốc thủy tinh một lượng nước, 3 sao cho chiều cao của lượng nước trong cốc bằng chiều cao cốc thủy tinh, sau đó người ta bịt 5 kín miệng cốc, rồi lật úp cốc xuống (như hình vẽ) thì chiều cao của nước lúc này là bao nhiêu? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   A. 25  6 90 cm .   B. 25  5 3 68 cm .   C. 25  4 3 98 cm .   D. 5 5  3 98 cm . Câu 20. Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng một phần ba chiều cao của phễu. Hỏi: nếu bịt miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên, thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu? Biết chiều cao của phễu là 15 cm A. 0,5 cm. B. 0,216 cm. C. 0,3 cm. D. 0,188 cm. Dạng 2. Min – max Câu 1. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50 cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là: A. 10 2  cm  . B. 50 2  cm  . C. 20  cm  . D. 25  cm  . Câu 2. Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phễu lớn nhất?   2 6  A. . B. . C. . D. . 4 3 3 2 Câu 3. Cho hình nón S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 1200. Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A. 3. B. vô số. C. 2. D. 2. Câu 4. Cho tam giác OAB vuông cân tại O , có OA  4 . Lấy điểm M thuộc cạnh AB ( M không trùng với A , B ) và gọi H là hình chiếu của M trên OA . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác OMH quanh OA . 128 81 256 64 A. . B. . C. . D. . 81 256 81 81 Câu 5. Huyền có một tấm bìa như hình vẽ, Huyền muốn biến đường tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Huyền phải cắt bỏ hình quạt tròn AOB rồi dán OA , OB lại với nhau. Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để thể tích phểu lớn nhất? 2 6    A.  B. C. D. 3 3 2 4 Câu 6. Tại trung tâm một thành phố người ta tạo điểm nhấn bằng cột trang trí hình nón có kích thước như sau: chiều dài đường sinh l  10 m , bán kính đáy R  5m . Biết rằng tam giác SAB là thiết diện qua trục của hình nón và C là trung điểm SB . Trang trí một hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C trên mặt nón. Xác định giá trị ngắn nhất của chiều dài dây đèn điện tử. A. 10m . B. 15m . C. 5 5 m . D. 5 3 m . Câu 7. Cho hình nón  N  có đáy là hình tròn tâm O , đỉnh S , thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 2a . Cho điểm H thay đổi trên đoạn thẳng SO . Mặt phẳng  P  vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn  C  . Khối nón có đỉnh O và đáy là hình tròn  C  có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 3 3 3 4 3 .a 2 3 .a 3 3 .a 3 .a 3 A. . B. . C. . D. . 81 81 81 81 Câu 8. Hình vẽ dưới đây mô tả một ngọn núi có dạng hình nón. Nhà đầu tư du lịch dự định xây dựng một con đường nhằm phục vụ việc chuyên chở khách du lịch tham quan ngắm cảnh vòng quanh ngọn núi bắt đầu từ A đến B và dừng ở vị trí B .Biết rằng người ta chọn xây dựng đường đi ngắn nhất vòng quanh núi từ A đến B , đoạn đường đầu lên dốc từ A và đoạn sau sẽ xuống dốc từ B . Tính quãng đường xuống dốc khi đi từ A đến B 400 300 A. . B. 0 . C. . D. 10 91 . 91 91 Câu 9. Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R  a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác. Diện tích lớn nhất của tam giác đó bằng 3 2 A. 3a 2 . B. 2a 2 . C. a . D. 2 3a2 . 2 Câu 10. Cho một hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn O , bán kính R  5 và góc ở đỉnh bằng 2 với 2 sin   . Một mặt phẳng  P  vuông góc với SO tại H và cắt hình nón theo đường tròn tâm H . 3 Gọi V là thể tích khối nón đỉnh O và đáy là đường tròn tâm H . Biết V đạt giá trị lớn nhất khi b b SH  với a, b  N * và là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức T  3a 2  2b 3 a a A. 21 . B. 23 . C. 32 . D. 12 . Câu 11. Khi cắt hình nón có chiều cao bằng 16 cm và đường kính đáy bằng 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh, ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? A. 170 cm2 . B. 260 cm2 . C. 294 cm2 . D. 208 cm2 . Câu 12. Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  song song với nhau cắt khối cầu tâm O , bán kính R tạo thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn, đáy trùng với hình tròn còn lại. Tính khoảng cách giữa  P  ,  Q  để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất. 2R 3 A. R . B. R 2 . .C. D. 2 R 3 . 3 Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Điện thoại: 0946798489 Chuyên đề 19. KHỐI NÓN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương Dạng 1. Thể tích, diện tích… khối nón Câu 1. Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC  a , AB  a 3 , AD  3a . Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 3 3 a 3 8 3 a 3 5 3 a 3 4 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 16 3 16 16 Lời giải Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA , đáy là đường tròn bán kính AE  3 cm. Gọi I  AC  BE , IH  AB tại H . Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH . IC BC 1 Ta có IBC đồng dạng với IEA     IA  3IC . IA AE 3 AH IH AI 3 3 3a Mặt khác IH //BC      IH  BC  . AB BC AC 4 4 4 Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H 1 V1   .IH 2 . AH . 3 1 V2   .IH 2 .BH . 3   9a 2 3a 3 3  V  V1  V2  V  .IH 2 . AB  V  . .a 3  V  . 3 3 16 16 Câu 2. Cho tam giác nhọn ABC , biết rằng khi quay tam giác này quanh các cạnh AB , BC , CA ta lần lượt 3136 9408 được các hình tròn xoay có thể tích là 672 , , .Tính diện tích tam giác ABC . 5 13 A. S  1979 . B. S  364 . C. S  84 . D. S  96 . Lời giải Vì tam giác ABC nhọn nên các chân đường cao nằm trong tam giác. Gọi ha , hb , hc lần lượt là đường cao từ đỉnh A , B , C của tam giác ABC , và a , b , c lần lượt là độ dài các cạnh BC , CA , AB . Khi đó Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  7. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh AB là . .hc 2 .c  672 . 3 1 3136 + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh BC là . .ha 2 .a  . 3 5 1 9408 + Thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác quanh CA là . .hb 2 .b  . 3 13 Do đó 2 2 1 2 4 S  4S  3 c.hc  672  3 c  672 c  3.672     1 2 3136  4 S 2 3136  20S 2  a.ha     a  3 5 3 a 5  3.3136  1 2 9408  4 S 2 9408  52S 2 3 b.hb    b  13 3 b 13  3.9408 1 1 1 1 1 1   a  b  c  a  b  c  b  c  a  c  a  b   S 8 . 4 . .  16 S 2  S 8 . 4 . . 3 9408 28812 3 9408 28812  S 6  16.81.9408.28812  S  84 . Câu 3. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD  2 AB  2 AD  4 . Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC bằng 28 2 20 2 32 2 10 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A  Dễ thấy hai tam giác: ADB; DBC vuông cân. Góc DBC  900  DB  BC . Tam giác DCB quay quanh trục BC ta được khối nón  N1  có bán kính r1  2 2 và chiều cao h1  2 2 Tam giác ABI quay quanh trục BC ta được khối nón  N 2  có bán kính r2  2 và chiều cao h2  2 . Tam giác ADB quay quanh trục BC ta được khối vật thể  H  có thể tích V3 . Hình thang vuông ADBI quay quanh trục BC ta được khối nón cụt có thể tích V4 . 1 1 2 16 2 3 3    Thể tích của khối nón  N1  là: V1   r12 h1   2 2 . 2 2  3 .  1 1 2 2 2 Thể tích của khối nón  N 2  là: V2   r22 h2   2 . 2  3 3     3 . Thể tích của khối nón cụt: 1 1 2 2 14 2 V4   h2  r12  r22  r1r2    2  2 2  2  2 2. 2         . 3 3     3 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  8. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 14 2 2 2 Thể tích của khối vật thể  H  : V3  V4  V2    4 2 . 3 3 Vậy thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quay xung quanh đường thẳng 16 2 28 2 BC là: V1  V3   4 2  . 3 3 Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD có SA   ABCD ; tứ giác ABCD là hình thang vuông cạnh đáy AD , BC ;   AD  3BC  3a , AB  a , SA  a 3 . Điểm I thỏa mãn AD  3 AI , M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng  ABCD .  a3  a3  a3  a3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 2 5 5 10 5 5 5 Lời giải Chọn C *) Có SA   ABCD  SA  AD  SAD vuông tại A .   Có SA  a 3 ; AD  3a  SD  3a  SDA  30  MAI  30 .  Xét SAI vuông tại A có SA  a 3 , AI  a ,  SIA  60 , AHI vuông tại H  AH  SI , AH  CI  AH  SC (1) Ta có AE  SB ta chứng minh được AE  SC (2) AF  SC (3) Từ (1), (2), (3)  SC   AEFH  và AEFH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AF . Gọi K là trung điểm AF , O là trung điểm AC  OK / / SC mà SC   AEFH   OK   AEFH  nên hình nón cần tìm có đỉnh O và đáy là tâm đường tròn đường kính AF . *) Tính AF , OK . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  9. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 1 1 1 1 5 a 6 Xét SAC vuông tại A có 2  2 2  2  2  2  AF  . AF SA AC 3a 2a 6a 5 1 1 CA2 a OK  CF  .  . 2 2 CS 5 Vậy thể của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng 1 1 a 6a 2  a3  ABCD là V  h R 2  . . .  . 3 3 5 4.5 10 5 AD  ABC  Câu 5. Cho hình tứ diện ABCD có , ABC là tam giác vuông tại B . Biết BC  2(cm ) , AB  2 3(cm ), AD  6(cm ) . Quay các tam giác ABC và ABD ( bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng 5 3 3 3 64 3 3 (cm 3 ) (cm 3 ) (cm 3 ) A. 3(cm ) B. 2 C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn C Dễ thấy AD  ABC   AD  R1 Gọi M   BD  AC và N là hình chiếu của M trên AB. Dễ dàng chứng minh được tỉ lệ: MN AN MN BN (1) AD AN AN 3 BN 1  (1) ; và  (2)     3  ;  BC AB AD AB (2) BC BN AB 4 AB 4 3 3 3 3  AN  ; BN  ; MN  2 2 2 Phần thể tích chung của 2 khối tròn xoay là phần thể tích khi quay tam giác  AMB xung quanh trục AB. Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác BMN xung quanh AB Và V2 là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác  AMN xung quanh AB 3 3 9 3 3 3 Dễ tính được: V1  ( dvtt ) và V2  ( dvtt )  V1  V2  ( dvtt ) . Chọn C. 8 8 2 Câu 6. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 2a , bán kính đáy bằng 3a . Một thiết diện đi qua đỉnh của 3a hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện bằng . Diện tích của 2 thiết diện đó bằng Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  10. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 2 2a 3 12a 2 24a 2 3 A. . B. 12a 2 3 . C. . D. . 7 7 7 Lời giải Chọn D Xét hình nón đỉnh S có chiều cao SO  2a , bán kính đáy OA  3a . Thiết diện đi qua đỉnh của hình nón là tam giác SAB cân tại S . + Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trong tam giác SOI , kẻ OH  SI , H  SI .  AB  OI +   AB   SOI   AB  OH .  AB  SO OH  SI 3a +  OH   SAB   d  O ,  SAB    OH  . OH  AB 2 1 1 1 4 1 7 6a Xét tam giác SOI vuông tại O , ta có 2  2  2  2 2 2  OI  . OI OH SO 9a 4 a 36a 7 36a 2 8a SI  SO 2  OI 2  4a 2   . 7 7 36a 2 3 3a Xét tam giác AOI vuông tại I , AI  AO 2  OI 2  9a 2   7 7 6 3a  AB  2 AI  . 7 1 1 8a 6 3a 24a 2 3 Vậy diện tích của thiết diện là: S SAB  .SI . AB  . .  . 2 2 7 7 7 Câu 7. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 . Diện tích của thiết diện này bằng a2 2 a2 2 a2 2 A. . B. . C. 2a 2 . D. . 3 2 4 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  11. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giả sử hình nón có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O . Thiết diện qua trục là SAB , thiết diện qua đỉnh là SCD ; gọi I là trung điểm của CD . a 2 Theo giả thiết ta có SAB vuông cân tại S , cạnh huyền AB  a 2  r  OA  2 2a 2 a 2 SA  SB  l  a  h  SO  SA2  OA2  a 2   . 4 2 a 2  SO SO a 6 Ta lại có SIO  60  sin 60   SI   2  ; SI sin 60 3 3 2 2 6a a 3 2a 3 ID  SD 2  SI 2  a 2    CD  . 9 3 3 1 1 2a 3 a 6 a 2 2 Diện tích thiết diện cần tìm là S SCD  .CD.SI  . .  . 2 2 3 3 3 Câu 8. Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay mô hình (như hình vẽ bên) quanh trục DB . 9 a3 3 3 a3 3 2 a3 3  a3 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 3 12 Lời giải Chọn B Thể tích của vật thể tròn xoay gồm hai phần bao gồm thể tích V1 của hình nón tạo bởi tam giác vuông ABC khi quay quanh cạnh AB và thể tích V2 của hình nón tạo bởi tam giác vuông ADE khi quay quanh cạnh AD . *Xét tam giác vuông ABC vuông tại B ta có: r1  BC  AC.sin 30o  a ; h1  AB  AC.sin 60o  a 3 1 2 1 2  3a3 Vậy ta có V1   .r1 .h1   .a .a 3  . 3 3 3 *Xét tam giác vuông ADE vuông tại D ta có: a a 3 r2  DE  AE .sin 30o  ; h2  AD  AE.sin 60o  2 2 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  12. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 2 3 1 1  a  a 3  3a Vậy ta có V2   .r22 .h2   .   .  . 3 3 2 2 24  3a 3  3a 3 3 3a 3 Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là V  V1  V2    . 3 24 8 Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , BC  a , AC  b , AB  c , b  c . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC , quay cạnh AC , quanh cạnh AB , ta thu được các hình có diện tích toàn phần theo thứ tự bằng Sa , Sb , Sc . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Sb  Sc  S a . B. Sb  Sa  Sc . C. Sc  Sa  Sb . D. Sa  Sc  Sb . Lời giải Chọn A C H b a h c B A Gọi H là hình chiếu của A lên cạnh BC, AH  h . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh BC ta thu được hình hợp bởi hai hình nón tròn xoay có chung đáy bán kính bằng h , đường sinh lần lượt là b, c . Do đó Sa   bh   ch . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AC ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng c , đường sinh bằng a , Sb   ac   c2   c  a  c  . Khi quay tam giác vuông ABC một vòng quanh cạnh AB ta thu được hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng b , đường sinh bằng a , Sc   ab   b2   b  a  b  .  ab  ac Do b  c nên  2 2  Sc  Sb . b  c bc c b Ta có h   Sa   b2 .   c 2 . . a a a c c c2 b Tam giác ABC vuông nên  1   b2   b2 ; 2  1   c 2   ab . a a a a  S a   b 2   ab   b  a  b   S c . Do đó Sa  Sc . Vậy Sb  Sc  Sa . Câu 10. Cho hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90 . Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc bằng 60 ta được một thiết diện tích bằng 2a 2 2 2a 2 2a 2 6a 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 6 3 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  13. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ S a 60° M A O I N Giả sử cắt hình nón bởi một mặt phẳng  SMN  đi qua đỉnh của hình nón, với M , N thuộc đường tròn đáy. Gọi O là tâm của đường tròn đáy của hình nón. Cắt mặt nón bởi mặt phẳng đi qua trục của hình nón và cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M . a 2 Theo giả thiết: SA  SM  a ;   90  SAM vuông cân tại S  SO  ASM . 2 Gọi I là trung điểm của MN  MN  OI  MN   SIO  Góc giữa mặt phẳng  SMN  và   mặt đáy của hình nón là góc SIO  SIO  60 . a 2 SO a 6 Ta có SI   2  .  sin SIO 3 3 2 2a 2 2a 3  MN  2 MI  2 SM 2  SI 2  2 a 2   . 3 3 1 1 a 6 2a 3 a 2 2 Diện tích thiết diện là S SMN  SI .MN  . .  . 2 2 3 3 3 Câu 11. Trong không gian. cho hình thang cân ABCD , AB //CD , AB  3a , CD  6a , đường cao MN  2a , với M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi quay hình thang cân ABCD xung quanh trục đối xứng MN thì được một hình nón cụt có diện tích xung quanh là A. 3,75 a 2 . B. 11, 25 a 2 . C. 7,5 a 2 . D. 15 a 2 . Lời giải Chọn B Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  14. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 Gọi S là giao điểm của hai cạnh bên AD và BC của hình thang. Khi đó S , M , N thẳng hàng. Khi quay quanh SN , tam giác SCD sinh ra khối nón  N1  có diện tích xung quanh là S1 , tam giác SAB sinh ra khối nón  N 2  có diện tích xung quanh S2 còn hình thang ABCD sinh ra một khối tròn xoay  H  có diện tích xung quanh S  S1 – S2 . 1 SC Do AB //CD và AB  CD nên AB là đường trung bình của tam giác SCD nên SB  BC  . 2 2 2 2  3  5 Ta có BC  MN 2   NC  MB   4a 2   3a  a   a .  2  2 2 Khi đó S1   NC .SC   3a.5a  15 a . 3 5 15 S2   MB.SB   a. a   a 2 . 2 2 5 15 Vậy S  S1 – S2  15 a 2   a 2  11, 25 a 2 . 4 Câu 12. Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là h ). Người ta đổ một lượng nước vào 1 ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly 4 rồi úp ngược ly lại thì tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu? 4  3 63 3 63 4  63 3 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  15. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ r h' khoảng không h h/4 x nước r 1 Giả sử ly có chiều cao h và đáy là đường tròn có bán kính r , nên có thể tích V   hr 2 . 3 1 Khối nước trong ly có chiều cao bằng chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có 4 2 h r 1 h r 1 1  1 chiều cao bằng và bán kính đáy thể tích nước bằng .     .   hr 2   V . 4 4 3 4 4 64  3  64 1 63 Do đó thể tích khoảng không bằng V  V  V . 64 64 x h' r.h ' Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:   x  . r h h 2 3 3 1 1  r.h '  1 2  h'   h' Suy ra: thể tích khoảng không bằng: h '. x 2  .h '. .     hr .      .V . 3 3  h  3 h h 3 3 63  h'   h '  63 h' 63 3 63 3 63  V   V     3   h'  h. 64 h  h  64 h 64 4 4 3 63 4  3 63 Nên chiều cao mực nước bằng: h  h '  h  h h. 4 4 4  3 63 Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng . 4 Câu 13. Cho hình nón đỉnh S , có đáy là đường tròn tâm O , thiết diện qua trục là tam giác đều. Mặt phẳng  P  đi qua đỉnh S và cắt đường tròn đáy tại A , B sao cho   120 . Biết khoảng cách từ O AOB 3 13a đến  P  bằng . Thể tích của khối nón đã cho bằng 13 3 a 3 3 a 3 A. . B.  a3 . C. . D. 3 a3 . 3 2 Lời giải Chọn D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  16. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12  Từ O kẻ OH  AB  H  AB  , do OA  OB  r nên H là trung điểm AB . Do OH  AB, SH  AB  AB   SOH    SAB    SOH  . 3 13a Từ O kẻ OK  SH  OK   SAB   OK  d  O;  SAB    . 13 1 1 1 OH .OS  Xét SOH vuông tại O có 2    OK  1 OK OS OH 2 2 OH 2  OS 2 r Vì   120    60  OH  OA cos   . AOB AOH AOH 2 2r 3 Mà thiết diện qua trục là tam giác đều có độ dài cạnh là 2r nên SO  r 3. 2 r .r 3 3 13a 2 3 13a r 39  Từ 1 ta có     r  a 3. 13 r 2 2 13 13      r 3 2 1 Vậy thể tích của khối nón đã cho V   .r 2 .r 3  3 a 3 . 3 Câu 14. Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt đáy một góc 60 o . Tính diện tích tam giác SBC . 2a 2 2a 2 a2 3a 2 A. S SBC  . B. S SBC  . C. SSBC  . D. S SBC  . 2 3 3 3 Lời giải Chọn B Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón. AD a 2 Ta có SAD vuông cân tại S với AD  a 2  SA  a và SO   . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  17. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Gọi H là giao điểm của AD và BC . Suy ra AD  BC và H là trung điểm BC . Khi đó SH  BC .   Vậy góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy là góc SHO hay SHO  60o . Trong SOH vuông tại O ta có  OH  a 2 .cot 60o  a 6 . cot SHO   OH  SO.cot SHO  SO 2 6 2 2 2 2 2 2a 6a 24a 2 6a Suy ra SH  SO  OH     . 4 36 36 6 Trong SHB vuông tại H ta có 24a 2 12a 2 2 3a 2 3a BH  SB 2  SH 2  a 2     BC  2BH  . 36 36 6 3 Vậy diện tích tam giác SBC là 1 1 2 6 a 2 3a 2a 2 S SBC  .SH .BC  . .  (đvdt). 2 2 6 3 3 Câu 15. Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h  20  cm  , bán kính đáy r  25 cm . Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12 cm . Tính diện tích thiết diện đó.  A. S  406 cm2 .   B. S  400 cm2 .   C. S  300 cm 2 .   D. S  500 cm 2 . Lời giải Chọn B  DE  IH  Gọi H là trung điểm của DE ta có   DE   SHI  .  DE  SI   Kẻ IK  SH  IK   SDE   d I ;  SDE   IK  12 cm . 1 1 1 1 1 1 IK.SI  Ta có: 2  2  2  2  2  2  IH  . IK IH SI IH IK SI SI 2  IK 2 12.20   15 . 20 2  12 2 2 2 2 2 2 2 2 2  SH  IH  SI  15  20  25 , HE  r  IH  25 15  20 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  18. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 1 1  Vậy diện tích thiết diện là S  SDE 2 2   SH .DE  20.40  400 cm 2 .  Câu 16. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạch bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2. Gọi H , K , L lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lê các cạnh SB, SC , SD. Xét khối nón  N  có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác HKL và có đỉnh thuộc mặt phẳng ABCD. Tính thể tích khối nón  N  .  a3  a3  a3  a3 A. . B. . C. . D. . 12 6 8 24 Lời giải Ta có  CD  SA   CD   SAD   CD  AL CD  AD  AL  SD   AL   SCD   AL  LK , AL  SC  AL  CD Tương tự ta có AH   SCB   AH  HK , AH  SC Ta có AK  SC , AL  SC , AH  SC  A, H , K , L đồng phẳng và SC   HKL  . Do AH  HK , AK AL  LK nên AK là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL  R HKL   . 2 +) Tam giác SAC vuông tại A có SA  AC  a 2  K là trung điểm của SC AK SC 1 1 SC , AK   R HKL     SA 2  a (*) 2 2 4 4 2 +) Do AK là đường kính đường tròn ngọa tiếp tam giác HKL nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HKL là trung điểm của AK. Gọi trung điểm của AK là I, Tâm của đáy là O  IO // SC , Mặt khác ta có SC   HKL   IO   HKL  KC SC 1 IO là đường cao của khối nón  N  , IO    a. (**) 2 4 2 2 1 1  1   a3 Từ (*) và (**)  V N    a  a   . 3 2 2  24 Câu 17. Cho hình nón T  đỉnh S , có đáy là đường tròn  C1  tâm O , bán kính bằng 2, chiều cao hình nón T  bằng 2. Khi cắt hình nón T  bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy của hình nón, ta được đường tròn  C2  tâm I . Lấy hai điểm A và B lần lượt trên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  19. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/     hai đường tròn  C2  và  C1  sao cho góc giữa IA và OB là 600 . Thể tích của khối tứ diện IAOB bằng 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. 6 12 4 24 Lời giải Vì khi cắt hình nón T  bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy của r hình nón, ta được đường tròn  C2  tâm I nên IA  JI   1. 2 Khi đó, IA  IJ  SJ 2  SI 2  1 . Suy ra d  IA, OB   OI  1 \. 1 1 3 3 Do đó VOABI  IA.OB.d  IA, OB  sin  IA, OB   .2.1.1.  . 6 6 2 6 Câu 18. Cho hình nón đỉnh S , đường tròn đáy có tâm O và bán kính 3a 3 , góc ở đỉnh là 120 . Thiết diện qua đỉnh của hình nón cắt đường tròn đáy tại hai điểm M , N gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mp  SMN  và F là trung điểm của MN . Khi tam giác SMN có diện tích lớn nhất, tính thể tích của khối nón tạo thành khi quay OHF xung quanh cạnh OH . 9 2 a 3 5 2 a 3 7 2 a 3 3 2 a 3 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải S H N A O F B M Gọi AB là đường kính hình tròn đáy và AB  MN  F . OB Ta có: SOB vuông tại O  SO   3a . tan 60  Đặt OF  x 0  x  3 3a .  Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  20. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ VD-VDC TOÁN 12 2 2 2 2 FN  ON  OF  27a  x SF  SO  OF  9 a 2  x 2 . 2 2 1 SSMN  SF .MN  SF .FN  27a 2  x 2 9a 2  x 2 2      x 4  18a 2 x 2  243a 4 Xét hàm số f  x    x 4  18a 2 x 2  243a 4 . f   x   4 x 3  36 a 2 x x  0 f  x  0    x  3a Bảng biến thiên x 0 3a 3a 3 f'(x) + 0 - 324a4 f(x) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy Smax  324a 4  18a 2 tại x  3a . Khi đó OF  3a , SOF vuông tại O có OS  OF  3a  SOF vuông cân tại O . Từ O kẻ OH  SF  OH   SMN   H là hình chiếu vuông góc của O lên mp  SMN  . Do đó OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của SOF , suy ra 3a 2 OH  SH  HF  . 2 3a 2 Khi quay OHF xung quanh cạnh OH ta được khối nón có chiều cao OH  và bán kính 2 3a 2 đáy HF  . 2 2 1  3a 2  3a 2 9 2 a 3 Vậy thể tích của khối nón tạo thành là: V   .   .  . 3  2    2 4 Câu 19. Một cốc thủy tinh hình nón có chiều cao 25cm , người ta đổ vào cốc thủy tinh một lượng nước, 3 sao cho chiều cao của lượng nước trong cốc bằng chiều cao cốc thủy tinh, sau đó người ta bịt 5 kín miệng cốc, rồi lật úp cốc xuống (như hình vẽ) thì chiều cao của nước lúc này là bao nhiêu?  A. 25  6 90 cm .   B. 25  5 3 68 cm .   C. 25  4 3 98 cm .   D. 5 5  3 98 cm . Lời giải Gọi V ,Vnc ,V  lần lượt là thể tích cốc hình nón, thể tích nước và thể tích phần không chứa nước. 1 Ta có: V  h. .R 2 . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
8=>2