zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách - Bài 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

51
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách - Bài 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau cung cấp đến bạn một số bài tập tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau theo dạng hai đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau, hai đường thẳng d1 và d2 bất kì. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Toán 11: Khoảng cách - Bài 2: Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội BÀI 2. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU Dạng 1: Hai đường thẳng d1 và d 2 vuông góc với nhau T1. Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy; SA = a 3 . Tam giác ABC đều cạnh a. Tính khoảng cách a) SA và BC b) SB và CI với I là trung điểm của AB c) Từ B tới mặt phẳng ( SAC ) d) Từ J tới mặt phẳng ( SAB ) với J là trung điểm của SC Lời giải S a 3 J N A H C a I M B  SA ⊥ AM 3 3 a)Gọi M là trung điểm của BC . Ta có:   d ( SA; BC ) = AM = BC. =a  BC ⊥ AM 2 2 b)Ta có: CI ⊥ AB và CI ⊥ SA  CI ⊥ ( SAB ) (*)  IH ⊥ SB Trong ( SAB ) kẻ IH ⊥ SB tại H. Ta có   d ( SB; CI ) = IH  IH ⊥ CI ( CI ⊥ ( SAB ) ) a Ta có IB = ; SB = SA2 + AB 2 = 2a 2 a SA a a 3 3a IHB vuông tại H nên: IH = IB.sin IBH = . = . = 2 SB 2 2a 4 Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 1
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội  BN ⊥ AC  BN ⊥ ( SAC )  d ( B; ( SAC ) ) = BN = a 3 c)Gọi N là trung điểm của AC. Ta có:   BN ⊥ SA 2 d ( J ; ( SAB ) ) =  d ( J ; ( SAB ) ) = CI (do(*)) JS 1 1 d)Ta có: CJ  ( SAB ) = S  = d ( C; ( SAB ) ) CS 2 2 1 a 3 a 3 = . = 2 2 4 T2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3 , và SA vuông góc với ( ABCD ) . Biết góc giữa ( SCD ) và đáy bằng 600 . Tính khoảng cách: a)Từ O đến ( SCD ) với O là tâm đáy b)Từ G đến ( SAB ) với G là trọng tâm tam giác SCD c) SA và BD 1 d) CD và AI với I là điểm thuộc SD sao cho SI = ID 2 Giải S S I 3a 3a P 2a 3 H G a a B A B A a 3 a 3 60° O K D M C D C a)Góc giữa ( SCD ) và ( ABCD ) là SDA = 600 Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 2
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội Ta có: SA = AD.tan 600 = 3a và SD = SA2 + AD 2 = 2 3a CD ⊥ AD Trong ( SAD ) kẻ AH ⊥ SD tại H . Ta có:   CD ⊥ ( SAD) CD ⊥ SA  CD ⊥ AH mà AH ⊥ SD nên AH ⊥ ( SCD )  d ( A; ( SCD ) ) = AH = AS . AD 3a.a 3 3a = = SD 2 3a 2 d ( O; ( SCD ) ) =  d ( O; ( SCD ) ) = . OA 1 3a Ta có: AO  ( SCD ) = C  = d ( A; ( SCD ) ) OC 2 4 GS 2 b)Gọi M là trung điểm của CD . Ta có S , G, M thẳng hàng và = MS 3 Ta có: CD / / ( SAB )  d ( M ; ( SAB ) ) = d ( O; ( SAB ) ) = DA = 3a (vì M  CD và DA ⊥ ( SAB ) ) d ( G; ( SAB ) ) =  d ( G; ( SAB ) ) = GS 2 2a 3 MG  ( SAB ) = S  = . d ( M ; ( SAB ) ) MS 3 3  AK ⊥ SA c)Trong ( ABCD ) , kẻ AK ⊥ BD tại K . Ta có   d ( SA; BD ) = AK  AK ⊥ BD 1 1 1 1 1 4 a 3 Ta có: 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = 2  AK = AK AD AB 3a a 3a 2 a 3 Vậy d ( SA; BD ) = 2 1 1 2 3 4 3 d)Theo giả thiết SI = ID  SI = SD = a và ID = a 2 3 3 3 Ta có: CD / / ( ABI )  d ( CD; AI ) = d ( CD; ( ABI ) ) = d ( D; ( ABI ) ) Trong ( SAD ) . Kẻ DP ⊥ AI tại P. Ta có AB ⊥ ( SAD )  AB ⊥ DP Do đó DP ⊥ ( ABI )  d ( D; ( ABI ) ) = DP 2 2 3  2 3 3 13 2 Ta có: IA = SI + SA − 2SI .SA.cos ISA =  2 2 2 a  + 9a 2 − 2. a.3a. = a  3  3 2 3 39  IA = a 3 Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 3
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội 1 1 4 3 SADI = DI .DA.sin ADI = . a.a 3.sin 600 = 3a 2 2 2 3 1 1 39 6 13 Và SADI = DP. AI = 3a 2 = . a.DP  DP = a 2 2 3 13 6 13 Vậy d ( CD; AI ) = a 13 Dạng 2: Hai đường thẳng d1 và d 2 bất kì. T3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với ( ABCD ) và góc giữa ( SBC ) và đáy bằng 60 . Tính khoảng cách: a) giữa hai đường thẳng BC và SD . b) giữa hai đường CD và SB . c) giữa hai đường SA và BD . d) giữa hai đường SI và AB , với I là trung điểm của CD . e) giữa hai đường DJ và SA , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC . f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC . g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC . Lời giải Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 4
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội  BC ⊥ AB Ta có:   BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB .  BC ⊥ SA ( SBC )  ( ABCD ) = BC  Khi đó:  AB  ( ABCD ) : AB ⊥ BC  ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = SBA = 60 .   SB  ( SBC ) : SB ⊥ BC Trong SAB , ta có: SA = AB.tan 60 = a 3 .  SD  ( SAD ) a) Ta có   d ( BC , SD ) = d ( BC , ( SAD ) ) = d ( B, ( SAD ) ) = BA = a .  BC AD  ( SAD )  SB  ( SAB ) b) Ta có   d ( CD, SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = AD = a . CD AB  ( SAB ) c) Gọi O là trung điểm BD  AO ⊥ BD (vì ABCD là hình vuông cạnh a ) Ta lại có AO ⊥ SA vì SA ⊥ ( ABCD ) . a 2 Vậy AO là đường vuông góc chung của hai đường SA và BD hay d ( SA, BD ) = AO = . 2 Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 5
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội  SI  ( SCD ) d) Ta có:   d ( AB, SI ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = AH với H là hình  AB CD  ( SCD ) 1 1 1 1 1 a 3 chiếu vuông góc của A lên SD . Khi đó ta có: 2 = 2+ 2 = 2 + 2  AH = AH SA AD 3a a 2 a e) Từ J kẻ JP CD, P  AD . Khi đó ta có tam giác PDJ vuông tại P và DP = ; PJ = a . 3 a 10 PJ a 3  DJ = DP 2 + PJ 2 = . Vậy sin PDJ = = = . 3 DJ a 10 10 3  AN ⊥ DJ Gọi N là hình chiếu vuông góc của A lên DJ . Khi đó ta có:   AN ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) )  AN là đường vuông góc chung của hai đường SA và DJ hay d ( SA, DJ ) = AN . AN 3 Xét tam giác AND vuông tại N . Có sin ADN =  AN = AD.sin ADN = a. . AD 10 3a Vậy d ( SA, DN ) = . 10 f) giữa hai đường DJ và SC , với J là điểm trên cạnh BC sao cho BJ = 2JC . S A B G X B A J F J V F D C V D C Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 6
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội Gọi F = DJ  AC . Kẻ GF SC với G  SA .  DJ  ( GDJ ) Khi đó:   d ( SC , DJ ) = d ( SC , ( GDJ ) ) = d ( C , ( GDJ ) )  SC GF  ( GDJ ) =  d ( C , ( DGJ ) ) = d ( A, ( DGJ ) ) . FC CJ 1 1 Lại có = AF AD 3 3 Gọi V , X lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên DJ , GV .  DJ ⊥ ( GAV )  DJ ⊥ AX  Ta chứng minh được   AX ⊥ ( DGJ )  d ( A, ( DGJ ) ) = AX .  GV ⊥ AX 3 3 3a Ta có AG = AS = . 4 4 DC a 3 Trong tam giác vuông DJC có cos JDC = = = . DJ a 2 10 a2 +   3 AV 3 3a Trong tam giác vuông ADV có cos JDC = sin ADV = =  AV = . AD 10 10 Trong tam giác vuông GAV có 1 1 1 1 1 46 3 138a 2 = 2 + 2 = 2 + 2 = 2  AV = . AX AG AV  3 3a   3a  27a 46      4   10  Vậy d ( SC , DJ ) = d ( C , ( DGJ ) ) = d ( A, ( DGJ ) ) = AV = 1 1 138a . 3 3 46 g) giữa hai đường AE và SC , với E là trung điểm của cạnh BC . Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 7
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội S A B M Q K E B A M E K D C D C  SC  ( SCK )  Gọi K là trung điểm AD    d ( AE , SC ) = d ( AE , ( SCK ) ) = d ( A, ( SCK ) ) .  AE KC  ( SKC )  Gọi M , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên KC, SM . Ta chứng minh được KC ⊥ ( SMA )  KC ⊥ AQ .  AQ ⊥ SM Vậy   AQ ⊥ ( SMC )  d ( A, ( SKC ) ) = AQ .  AQ ⊥ KC a a. AM AK CD. AK 2 a 5 Ta có AKM CKD  =  AM = = = . CD CK CK a 2 5 a2 +   2 1 1 1 1 1 16 a 3 Trong tam giác vuông SAM có = + 2 = + =  AQ = . ( ) 2 2 2 2 2 AQ AM SA a 5 a 3 3a 4    5  a 3 Vậy d ( SC , AE ) = . 4 T4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AB . Tính khoảng cách: a) từ A tới mặt phẳng ( SBD ) .B) giữa hai đường SH và CD . Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 8
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội c) giữa hai đường SH và AC . d) giữa hai đường SB và CD . Lời giải S J P I A T B H K N O M D E C a 3 a) Theo giả thiết thì SH là đường cao của hình chóp S.ABCD . Mà SAB đều  SH = . 2 Lại có H là trung điểm AB  d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) ) . 1 1 1 4 a 3 Gọi M là hình chiếu của A lên BD  2 = 2 + 2 = 2  AM = . AM AB AD 3a 2 1 a 3 Gọi N là hình chiếu vuông góc của H lên BD  HN = AM = . 2 4 Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên SN . Ta dễ dàng chứng minh được HI ⊥ ( SBD ) . Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 9
TRUNG TAÂM LUYEÄN THI NHAÁT ÑAÏO Nguyễn Đức Trung (Trung Trắng Trẻo)  034.316.3612  Xóm 1 – Lại Đà – Đông Hội – Đông Anh – Hà Nội Vậy d ( H , ( SBC ) ) = HI . Ta lại có: 1 1 1 1 1 a 15 2 = 2 + 2 = 2 + 2  HI = . HI SH HN a 3 a 3 10      2   4  Khi đó d ( A, ( SBD ) ) = 2 HI = a 15 . 5 b) Gọi E là trung điểm CD  HE ⊥ CD (vì đáy ABCD là hình chữ nhật) Lại có SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ HE . Vậy HE là đường vuông góc chung của hai đường SH và CD . Vậy d ( SH , CD ) = HE = a 3 . c) Gọi K là hình chiếu của H lên AC  HK ⊥ AC . Mà SH ⊥ ( ABCD )  SH ⊥ HK . Vậy HK là đường vuông góc chung của SH và AC  d ( SA, AC ) = HK . BC a 3 3 Trong tam giác vuông ACB có sin A = = =  A = 60 . AC 2a 2 HK a 3 a 3 Trong tam giác vuông AHK sin A =  HK = AH .sin A = . = . AH 2 2 4  SB  ( SAB ) d) Ta có:   d ( SB, CD ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( E , ( SAB ) ) = HE = a 3 . CD AB  ( SAB ) Chuyên đề: KHOẢNG CÁCH Page 10

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.