Chuyên đề Toán chọn lọc lần 1 năm 2013

Chia sẻ: Lê Thị Trà Giang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:292

Thêm vào BST

Báo xấu

86
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập được tốt hơn mời các bạn tham khảo tài liệu chuyên đề Toán chọn lọc lần 1 năm 2013.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Toán chọn lọc lần 1 năm 2013

VipLam.Net CHUYÊN Đ TOÁN CH N L C L N1 DI N ĐÀN TOÁN TRUNG H C PH THÔNG Ngày 20 tháng 3 năm 2013
VipLam.Net M cl c I CÁC CHUYÊN Đ 3 1 PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH - B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T (Nguy n Th Ngân) 4 1 Các phương pháp gi i (D ng cơ b n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Ph n riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I B t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (Đ Đư ng Hi u) 17 1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I Phương pháp đưa v cùng cơ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III Phương pháp s d ng tính ch t đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . . 19 IV Phương pháp lôgarit hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I Phương pháp đưa v cùng cơ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 III Phương pháp s d ng tính ch t đ ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s . . 23 IV Phương pháp mũ hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 CÁC BÀI T P T NG H P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 C C TR C A HÀM NHI U BI N (Lê Trung Tín) 35 1 S d ng b t đ ng th c c đi n: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 S d ng phương pháp mi n giá tr (Đi u ki n có nghi m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 S d ng phương pháp đưa v kh o sát hàm 1 bi n . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2
4 PHƯƠNG PHÁP S D NG TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S TRONG CÁC BÀI TOÁN CH NG MINH B T Đ NG TH C 52 1 M T S VÍ D TÌM GTLN, GTNN C A HÀM S . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 K THU T GI M BI N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I K thu t tìm GTLN, GTNN b ng phương pháp th . . . . . . . . . . . . 53 II Bài toán tìm GTLN, GTNN c a bi u th c đ i x ng. . . . . . . . . . . . 55 III Bài toán tìm GTLN, GTNN c a bi u th c ch a 3 bi n . . . . . . . . . . 56 3 BÀI TOÁN T NG H P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5 S D NG B T Đ NG TH C Đ GI I B T PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 68 6 CH NG MINH B T Đ NG TH C, TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T B NG PHƯƠNG PHÁP HÀM S (Nguy n H u Phương) 77 7 S D NG CÁC B T Đ NG TH C CƠ B N GI I H PHƯƠNG TRÌNH (Ngô Hoàng Toàn) 101 1 KI N TH C CHU N B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 I M T S B T Đ NG TH C THƯ NG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 102 2 CON ĐƯ NG ĐI T BÀI TOÁN Đ N SUY NG M C A B N THÂN . . . . 104 I B T Đ NG TH C & H PHƯƠNG TRÌNH 2 N . . . . . . . . . . . . 104 II B T Đ NG TH C & H PHƯƠNG TRÌNH 3 N . . . . . . . . . . . 122 III T NG H P CÁC BÀI TOÁN H PT GI I B NG PHƯƠNG PHÁP B T Đ NG TH C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IV SÁNG T O H QUA CÁC BÀI TOÁN B T Đ NG TH C . . . . . . . 148 8 TH TÍCH VÀ KHO NG CÁCH (Nguy n Trung Kiên) 151 9 THAM S HÓA HÌNH GI I TÍCH TRONG M T PH NG (Nguy n Th Th a) 161 1 KI N TH C CƠ B N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 I ĐƯ NG TH NG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 II ĐƯ NG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 III ELIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 2 BÀI T P CƠ B N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3 BÀI T P NÂNG CAO RÈN LUY N KĨ NĂNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 II CÁC BÀI TOÁN HAY 172 10 B T PHƯƠNG TRÌNH (hthtb22) 173 3
11 H PHƯƠNG TRÌNH (Lê Nh t Duy) 180 12 H PHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO (Lê Trung Tín) 187 13 PHƯƠNG TRÌNH & B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T (Đinh Văn Trư ng) 195 14 S D NG KĨ THU T ĐÁNH GIÁ ĐƯA V CÙNG M U Đ CH NG MINH B T Đ NG TH C (Hoàng Trung Hi u) 240 15 S D NG CÁC B T Đ NG TH C C ĐI N ĐƯA BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN C A HÀM NHI U BI N V HÀM M T BI N (Lê Hoàng H i) 249 1 Ki n th c c n nh v các b t đ ng th c c đi n thư ng dùng. . . . . . . . . . . 249 I B t đ ng th c AM-GM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 II B t đ ng th c Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 2 Các ví d minh h a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 I Bài t p t luy n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 16 S D NG PHÉP BI N HÌNH TRONG GI I TOÁN HÌNH H C GI I TÍCH PH NG (Lê Hoàng H i) 260 1 Ki n th c c n nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 I Phép d i hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 II Phép đ ng d ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 2 Các ví d minh h a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 I Phép d i hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 II Phép đ ng d ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 3 Bài t p t luy n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 17 PHƯƠNG PHÁP T A Đ HOÁ Đ CH NG MINH HÌNH H C PH NG Lưu Giang Nam - Hoàng Trung Hi u 266 1 Các ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 I Bài t p t luy n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 III CÁC Đ THI T LUY N 277 VipLam.Net 4
PH N TH I CÁC CHUYÊN Đ 5
VipLam.Net CHUYÊN Đ 1 PHƯƠNG PHÁP GI I CÁC BÀI PHƯƠNG TRÌNH - B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T (Nguy n Th Ngân) L i nói đ u Phương trình- b t phương trình là chuyên đ mà chúng ta thư ng g p trong các kì thi các c p và đ c bi t là thi đ i h c. Phương trình-b t phương trình vô t r t đa d ng và phong phú v c đ bài và l i gi i. M t bài phương trình- b t phương trình có th có nhi u cách x lý bài toán khác nhau. Tuy nhiên, đ tìm ra l i gi i cho bài toán c a mình thì r t khó đ i v i đa s các b n. Đ ng trư c 1 bài phương trình- b t phương trình chúng ta thư ng r t lúng túng và khó khăn. Như các b n đã bi t phương trình- b t phương trình luôn luôn có trong đ thi đ i h c, thư ng thì nó n m câu II. Bài vi t này s giúp các b n ph n nào đó v phương trình-b t phương trình.Nh ng l i gi i dư i đây tuy không ph i là nh ng l i gi i hay nh t nhưng nó s giúp các b n n m rõ đư c chuyên đ này. Hy v ng chuyên đ này s đ ng hành v i các b n, giúp đ các b n trên con dư ngđi đ n thành công, đi đ n m c đích cu i cùng c a chúng ta là c ng trư ng đ i h c mơ ư c và có th nó s khi n cho các b n đam mê v i môn h c này ( Khó- kh - khô). M c dù đã r t c g ng trình bày c n th n nhưng s không tránh kh i nhi u sai sót trong chuyên đ .Mong các b n thông c m. N u có gì th c m c và nh ng ý ki n v chuyên đ c a mình thì các b n liên l c cho mình v i đ a ch cobebuon_2_4@yahoo.com nhé! § 1. Các phương pháp gi i (D ng cơ b n) M t s phép toán bi n đ i tương đương khi s d ng đ gi i phương trình- b t phương trình. f (x) = g (x) 1. f (x) = g (x) ⇐⇒ g (x) ≥ 0 f (x) = [g (x)]2 2. f (x) = g (x) ⇐⇒ g (x) ≥ 0 6
f (x) > g (x) 3. f (x) > g (x) ⇐⇒ g (x) ≥ 0  f (x) > [g (x)]2   g (x) ≥ 0 4. f (x) > g (x) ⇐⇒    f (x) ≥ 0 g (x) < 0    f (x) < [g (x)]2 5. f (x) < g (x) ⇐⇒ f (x) ≥ 0  g (x) ≥ 0  § 2. Ph n riêng I. B t phương trình Ngoài nh ng cách gi i trên. M t s d ng gi i b t phương trình  g (x) < 0  1 1  f (x) > 0 1. > ⇐⇒  f (x) g (x)   g (x) > 0 f (x) < g (x)  g (x) > 0 2. f (x) g (x) ≥ 0 ⇐⇒  f (x) ≥ 0  g (x) = 0 3. af (x) + bg (x) + c f (x) g (x) < 0 (đ ng c p) N u g (x) =0 thì d dàng r i nhé! f (x) f (x) Gi s g (x) > 0 chia cho g (x) ta đư c: a +b+c
L i gi i: Công vi c đ u tiên c a chúng ta không th thi u đư c đó chính là tìm đi u ki n cho bài toán.   x2 − x − 6 ≥ 0    x≥0 Đ i v i bài toán này thì : ĐK: ⇐⇒ x ≥ 3  x2 + 5x − 2 ≥ 0   x + 3 = 2 (x2 + 10)  x + 3 < 2 (x2 + 10) ⇐⇒ x2 − 6x + 11 > 0 Khi đó, (Luôn đúng) ⇐⇒ (x − 3)2 + 2 > 0 √ √ B t phương trình đã cho tr thành: x2 − x − 6 + 7 x ≥ 6 (x2 + 5x − 2) Vì hai v c a b t phương trình này đ u dương nên cho phép chúng ta bình phương 2 v Nên: √ √ x2 − x − 6 + 7 x ≥ 6 (x2 + 5x − 2) ⇐⇒ x2 − x − 6 + 49x + 14 x (x2 − x − 6) ≥ 6x2 + 5x − 2 ⇐⇒ −5x2 + 18x + 6 + 14 (x2 − 3x) (x + 2) ≥ 0 Đ n đây th y trong căn xu t hi n 2 nhân t là x2 − 3x và x + 2 , ta nghĩ ngay đ n vi c phân tích −5x2 + 18x + 6 cũng xu t hi n 2 nhân t đó. Qu nhiên ông tr i không ph lòng ngư i, ta phân tích đư c −5x2 + 18x + 6 = −5 x2 − 3x + 3 (x + 2) Tuy t v i!!! Công vi c bây gi là bi n đ i phương trình trên thôi, ta đư c: −5 x2 − 3x + 14 (x2 − 3x) (x + 2) + 3 (x + 2) ≥ 0 Vì x ≥ 3 nên x + 2 > 0 Chia 2 v c a b t phương trình cho x + 2 > 0, đư c: x2 − 3x x2 − 3x −5. + 14 + 3 ≥ 0(1) x+2 x+2 x2 − 3x Đ t = a (a ≥ 0) , khi đó x+2 −1 (1) ⇐⇒ −5a2 + 14a + 3 ≥ 3 ⇐⇒ ≤a≤3 5 Mà a ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 3 Ta ch c n xét a ≤ 3 ,lúc đó: x2 −3x −3x 2 ≤ 3 ⇐⇒ xx+2 ≤ 9 x+2 √ √ ⇐⇒ 6 − 3 6 ≤ x ≤ 6 + 3 6 Hi, v y bài toán đư c gi i quy t tr n v n.Nhưng trư c đó b n đ ng v i vàng k t lu n mà nh ph i đ i chi u v i đi u ki n nhé! √ Th t v y, k t h p v i đi u ki n ta có t p nghi m c a b t phương trình là: S = 3; 6 + 3 6 Bài 2. Gi i b t phương trình sau: √ (2x − 1) x + 3 √ √ √ ≥1 2 x + (2 + x) 1 − x + 1 − x 8
L i gi i: ĐK: 0 ≤ x ≤ 1 V i đi u ki n đó thì, √ √ √ 2 x+ 2+ x 1−x+1−x>0 B t phương trình đã cho tr thành: √ √ √ √ (2x − 1) x + 3 ≥ 2 x + (2 + x) 1 − x + 1 − x √ √ √ √ ⇐⇒ (2x − 1) x + 3 ≥ x+ 1−x 2+ 1−x √ √ Đ t x = a; 1 − x = b (a, b ≥ 0) Ta có a2 + b 2 = 1 2a2 + b2 − 1 = x B t phương trình tr thành: √ (a2 − b2 ) 2a2 + b2 + 2 ≥ (a + b) (2 + b) √ ⇐⇒ (a − b) 2a2 + b2 + 2 ≥ 2 + b ⇐⇒ (a − b)2 (2a2 + b2 + 2) ≥ (2 + b)2 ⇐⇒ (1 − 2ab) (a2 + 3) ≥ 4 + 4b + b2 = 4 + 4b + 1 − a2 ⇐⇒ (2a2 − 2) − 2b (a3 + 3a + 2) ≥ 0 Mà a2 ≤ 1, ∀0 ≤ a ≤ 1 và a3 + 3a + 2 > 0, ∀a ≥ 0 , nên: 2a2 − 2 − 2b a3 + 3a + 2 ≤ 0 √ a=1 x=1 D u ‘=’ x y ra ⇐⇒ ⇐⇒ √ ⇐⇒ x = 1 b=0 1−x=0 Đ i chi u l i v i đi u ki n đ u bài. V y b t phương trình đã cho có nghi m duy nh t là x = 1 Bài 3. Gi i b t phương trình sau: √ 6 − 3x + 2x2 + 5x + 2 1−x √ ≤ 3x − 2x2 + 5x + 2 x L gi i: i  x=0  √ ĐK: 3x = 2x2 + 5x + 2 ⇐⇒ x ∈ (−∞; −2] ∪ −1 ; +∞ \ {0; 1} 2  2x2 + 5x + 2 ≥ 0  B t phương trình đã cho tương đương √ 6 − 3x + 2x2 + 5x + 2 1−x √ +1≤1+ 3x − 2x2 + 5x + 2 x 6 1 ⇐⇒ √ ≤ 3x − 2x2√ 5x + 2 + x 6x − 3x + 2x2 + 5x + 2 ⇐⇒ √ ≤0 x 3x − 2x2 + 5x + 2 √ 3x + 2x2 + 5x + 2 ⇐⇒ √ ≤0 (1) x 3x − 2x2 + 5x + 2 9
VipLam.Net Đ n đây ta chia thành 2 trư ng h p Trư ng h p 1: √ 2x2 + 5x + 2 + 3x = 0 ⇐⇒ 2x2 + 5x + 2 = 9x2 −2  ⇐⇒  x= 7 x=1 −2 Đ i chi u v i đi u ki n đ u bài thì x = là nghi m c a b t phương trình (2) 7 Trư ng h p 2: √ 3x + 2x2 + 5x + 2 = 0 Khi đó, b t phương trình (2) tr thành: √ 2 3x + 2x2 + 5x + 2 ≤0 x (7x2 − 5x − 2) ⇐⇒ x (7x2 − 5x − 2) < 0  0 0. 2 x+2 2 x+6 2x − 1 Nên f (x) đ ng bi n. M t khác: f (7) = 4 , nên (1) ⇐⇒ f (x) ≤ f (7) ⇐⇒ x ≤ 7. Đ i chi u v i đi u ki n đ u bài t p nghi m c a b t phương trình đã cho là: S = −1 ; 7 2 Bài 5. Gi i b t phương trình sau: x+2 1 ≥ 2 (x4 − x2 + 1) − 1 x−1 L i gi i: ĐK: x = 1 Khi đó: 3 2 (x4 − x2 + 1) − 1 = 2(x2 − 1)2 + −1>0 2 10
Trư ng h p 1: N u x > 1 B t phương trình đã cho tương đương x2 + x − 1 ≥ 2 (x4 − x2 + 1) (1) V i ∀a, b ta luôn có a + b ≤ 2 (a2 + b2 ) D u ’=’ x y ra ⇐⇒ a = b Áp d ng: Đ t a = x; x2 − 1 = b Khi đó, x + x2 − 1 ≤ 2 x2 + (x2 − 1)2 = 2 (x4 − x2 + 1) (2) T (1) và (2) =⇒ x2 − x + 1 = 2 (x4 − x2 + 1) √ 1− 5  √ x= 1+ 5 2 ⇐⇒ x − 1 = x ⇐⇒   2√ ⇐⇒ x = 1+ 5 2 x= 2 Trư ng h p 2: N u x < 1 B t phương trình đã cho tương đương x2 + x − 1 ≤ 2 (x4 − x2 + 1) Luôn đúng ∀x < 1 (Vì đã ch ng minh (2)) √ 1+ 5 V y b t phương trình đã cho có t p nghi m là S = (−∞; 1) ∪ 2 Bài 6. Gi i b t phương trình sau: √ √ 3 + 3x + 3 − x 4 √ √ ≥ 3 + 3x − 3 − x x L i gi i: ĐK: x ∈ [−1; 3] \ {0} Trư ng h p 1: x ∈ (0; 3] √ √ Ta c n ch ng minh 3 + 3x − 3 − x > 0 √ √ Th t v y, 3 + 3x − 3 − x > 0 ⇐⇒ 3 + 3x > 3 − x ⇐⇒ x > 0 (đúng) Do đó, b t phương trình đã cho tương đương √ √ 2 3 + 3x + 3 − x 4 ≥ (3 + 3x) − (3 − x) x ⇐⇒ 6 + 2x + 2 (3 + 3x) (3 − x) ≥ 16 ⇐⇒ (3 + 3x) (3 − x) ≥ 5 − x(⊕) Vì c 2 v đ u dương nên ⊕ ⇐⇒ (3 + 3x) (3 − x) ≥ (5 − x)2 ⇐⇒ x2 − 4x + 4 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 2)2 ≤ 0 Mà (x − 2)2 ≥ 0 , nên =⇒ x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2 Trư ng h p 2: x ∈ [−1; 0) 11
√ √ D dàng ch ng minh 3 + 3x − 3 − x < 0 √ √ Th t v y, 3 + 3x − 3 − x < 0 ⇐⇒ x < 0 (đúng) Do đó, b t phương trình đã cho tương đương √ √ 3 + 3x + 3 − x 4 √ √ ≤ 3 − x − 3 + 3x −x √ √ 2 3 + 3x + 3 − x 4 ⇐⇒ ≤ (−x > 0) (3 − x) − (3 + 3x) −x √ √ 2 ⇐⇒ 3 + 3x + 3 − x ≤ 16 ⇐⇒ 6 + 2x + 2 (3 + 3x) (3 − x) ≤ 16 ⇐⇒ (3 + 3x) (3 − x) ≤ 5 − x Vì 5 − x > 0 nên ta có th bình phương 2 v lên đ m t căn Khi đó ta s có đi u ta mong mu n, (3 − x) (3 + 3x) ≤ (5 − x)2 ⇐⇒ (x − 2)2 ≥ 0 (Luôn đúng) V y b t phương trình đã cho có t p nghi m là : S = [−1; 0) ∪ {2} Bài 7. Gi i b t phương trình sau: 1 |2x + 1| 4− 2 + ≥0 x x L i gi i: ĐK: x ≤ −2 hay x ≥ 2 B t g p d u giá tr tuy t đ i chúng ta thư ng liên tư ng đ n bình phương 2 v và đánh giá ho c ch đánh giá, bình phương.. . . Nhưng l n này đ i v i tôi, phép bình phương xu t hi n đ u tiên. Chúng ta cùng th xem nhé! Chuy n v b t phương trình đã cho thành: 1 |2x + 1| 4− 2 ≥ x −x Trư ng h p 1: V i x ≥ 2 thì b t phương trình luôn đúng Trư ng h p 2: x ≤ −2 Vì c 2 v đ u dương nên bình phương 2 v đư c: 1 (2x + 1)2 1 4− ≥ ⇐⇒ 4x2 − 1 ≥ (2x + 1)2 ⇐⇒ −4x ≥ 2 ⇐⇒ x ≤ − x2 x2 2 Đ i chi u v i đi u ki n trong trư ng h p x ≤ −2 thì nghi m b t phương trình là x ≤ −2 K t h p 2 trư ng h p l i v i nhau t p nghi m c a b t phương trình là: S = [2; +∞) ∪ (−∞; −2] Bài 8. G ai b t phương trình sau: √ 1 1 2 − x2 + 2+ 2 < 4 + |x| + x |x| L i gi i: Ôi! L i m t bài toán có ch a d u giá tr tuy t đ i n a. Li u l n này cách bình phương lên còn có th giúp đư c gì cho chúng ta không nh ??? Th xem nhé! 12
√ √ − 2≤x≤ 2 ĐK: x=0 B t phương trình đã cho tr thành: 1 1 1 8 4+ − x2 + 2 (2 − x2 ) 2 + < x2 + + 18 + 8 |x| + x2 x2 x2 |x| 2 4 ⇐⇒ 3+ 2 − 2x2 < x2 + 7 + 4 |x| + x |x| √ ⇐⇒ 3x2 − 2x4 + 2 < (|x|)3 + 7 |x| + 4x2 + 4 (1) Bây gi đ n đây thì làm sao nh ? √ Đ ng n n chí v i, đây ta th đánh giá bi u th c v trái 3x2 − 2x4 + 2 xem sao nhé! Mà v ph i có 1 h ng s nên, ta th xem nó có m i quan h gì đ n bi u th c ta đang tìm hi u.Th nhé! √ Ta có: 3x2 − 2x4 + 2 < 4 2 ⇐⇒ 3x2 − 2x4 + 2 < 16 ⇐⇒ 2x4 − 3x2 + 14 > 0 ⇐⇒ 2 x2 − 1 + x2 + 12 > 0 Đây là 1 di u hi n nhiên đúng v i m i x Do đó, (1) luôn đúng V y t p xác đ nh c a b t phương trình chính là nghi m c a nó. P/S: M t l n n a cách bình phương 2 v l i đư c phát huy 1 cách tri t đ . Bài 9. G ai b t phương trình sau: √ (x2 + 4) 2x + 4 ≤ 3x2 + 6x − 4 L i gi i: ĐK: 2x + 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ −2 Khi đó, b t phương trình tương đương 2 2 (x2 + 4) (2x + 4) ≤ (3x2 + 6x − 4) 3x2 + 6x − 4 ≥ 0  2 x2 − 2x − 4 = 0 (2x + 3) (x2 − 2x − 4) ≤ 0   ⇐⇒ ⇐⇒ 2x + 3 ≤ 0 3x2 + 6x − 4 ≥ 0  3x2 + 6x − 4 ≥ 0    √  x=1+ 5 √   x2 − 2x − 4 = 0   x=1− 5      √    2x + 3 ≤ 0 −3        √  x≤ x=1+ 5 √   21 − 3  ⇐⇒ ⇐⇒ √2 ⇐⇒  −3 − 21 x≥  21 − 3 x≤ 3 √   x≥      3 −3 − 21       3 √ x≤     −3 − 21   3    x≤ 3 √ Đ i chi u v i đi u ki n ta th y, B t phương trình đã cho có nghi m duy nh t là x = 1 + 5 13
Nh n xét: Ch c các b n đang th c m c t i sao đo n cu i tôi l i suy ra đư c k t qu là  √ x=1+ 5 √  −3 − 21 x≤ 3 ph i không? Lúc đ u khi làm bài toán này tôi cũng bó tay đo n này đ y, nhưng sau khi th y tôi gi i thích thì tôi đã hi u ra. Nh n th y phía trên có 2 d u ngo c vuông cùng 1 lúc, đ ng nghĩ nó ph c t p quá làm gì mà th c ra thì đó cũng chính là 1 d u ngo c vuông mà thôi. Đ i v i nh ng bài toán này thì đ x lý 1 cách nhanh g n và đ p thì cách v tr c s là bi n pháp h u hi u nh t.Trong bài toán này chúng ta cũng dùng cách v tr c s như v y đ y.( Có th v 2 tr c s ra đ d nhìn hơn đó !) M t đi u n a tôi mu n nói v i các b n chú ý khi gi i nh ng bài b t phương trình. Đó là, đ bình phương 2 v c a b t phương trình thì ph i tho mãn đi u ki n 2 v đi u dương. Nh nhé, tuy v n đ này có nhi u b n v n ch quan, nhưng ch c n sơ su t 1 chút thôi là u ng phí công s c toàn bài. Bài 10. G ai b t phương trình sau: √ √ x x + 1 − x2 √ √ ≥1 x x + 1 − x2 − x3 L i gi i: ĐK: 0 ≤ x ≤ 1 Nhìn bài b t đ ng th c này sa tôi l i mu n nhân chéo nó lên nh . Haizz, th xem nào.Nhưng trư c tiên ta đi xét m u xem sao nhé!( B t mí nhé: Mu n nhân chéo 1 b t phương trình nào đó thì chúng ta ph i đ m b o r ng c 2 v đ u dương). Mà bài toán này thì t s luôn dương r i, v ph i ch c ch n 100% dương. V i đi u ki n trên thì, √ √ √ √ √ x x + 1 − x2 − x3 ≥ x x + 1 − x2 = x x + 1 − x > 0, ∀0 ≤ x ≤ 1 Woa, th t là may m n.Chúng ta đã x lý xong m u r i, gi ch vi c nhân chéo lên.hì! B t phương trình đã cho tr thành √ √ √ √ x x + 1 − x2 ≥ x x + 1 − x2 − x 3 √ ⇐⇒ x2 − x3 ≥ 1 − x (1 − x2 ) ⇐⇒ x2 − x3 ≥ 1 + x (1 − x2 ) − 2 x (1 − x2 ) ⇐⇒ x + 1 − x2 − 2 x (1 − x2 ) ≤ 0 √ √ 2 ⇐⇒ 1 − x2 − x ≤ 0 √ √ 2 Mà 1 − x2 − x ≥ 0, ∀x Nên: √ √ 1 − x2 − x = 0 √ √ ⇐⇒ 1 − x2 = x ⇐⇒ x2 + x − 1 = 0 √ 1− 5   x= 2 √ ⇐⇒  −1 − 5 x= 2 14
√ −1 + 5 Đ i chi u v i đi u ki n thì x = tho mãn bài toán 2 √ −1 + 5 V y b t phương trình đã cho có ngi m duy nh t là x = 2 Trên đây là 1 s ví d tôi đua ra cho các ban. Sau đây s là 1 s bài t p đ các b n làm nhé! Áp d ng: G ai các b t phương trình sau: √ 1. 2 (x2 + 2) < 3 2x + x3 + 8 √ √ 2. 17x + 53 − x + 5 − 4x < 12 2x √ 3. x + √ >3 5 x2 − 4 √ √ 12x − 8 4. 2x + 4 − 2 2 − x > √ 9x2 + 16 1 1 2 5. x+ 2 + x− 2 > x x x 1 6. 4 −x ≥x+ 1 2 √ √ √ √ 7. 1 + x − 1 − x ≥ x 5 − 4 x + 5 + 4 x ≥ 4 √ 8. (x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0 1 3x 9. 2 +1> √ 1−x 1 − x2 √ 10. (x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2 B t phương trình chúng ta đã đi đư c 1 quãng đư ng r i nh , bây gi giành ít th i gian cho phương trình nhé! II. Phương trình V phương trình thì th này. Nó có r t nhi u cách gi i quy t. Đa s là + Đánh giá + Nhân liên h p + Đ t n ph + Hàm s Sau đây, tôi s làm các ví d v phương trình nhé! Tuy nó ch là 1 ph n nh , chưa đi h t đư c các d ng toán nhưng nó s giúp ích cho các b n ph n nào. Bài 1. Gi i phương trình √ x3 + 1 = 2 3 2x − 1 L i gi i: √ Đ t 3 2x − 1 = a ⇐⇒ 2x = a3 + 1 Do đó, ta có h x3 + 1 = 2a (1) a3 + 1 = 2x (2) Tr v v i v (1) cho (2) ta có: x3 − a3 = 2 (a − x) ⇐⇒ (x − a) x2 +ax+a2 + 2 = 0 15
M t khác: Do a 2 3 x2 +ax+a2 + 2 = x + + a2 + 2 > 0, ∀x, a =⇒ x − a = 0 ⇐⇒ x = a 2 4 Thay vào (1) ta đư c:  x=1 √ x3 + 1 = 2x ⇐⇒ x3 + 1 − 2x = 0 ⇐⇒ (x − 1) x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒  −1 ± 5 x= 2  x=1 √ V y phương trình đã cho có nghi m là  −1 ± 5 x= 2 Chú ý: Ngoài cách đã làm trên, thì ta có th làm như sau: Phương trình đã cho đư c vi t l i thành x3 + 1 √ = 3 2x − 1 2 x3 + 1 √ Ta th y hàm s f (x) = và g(x) = 3 2x − 1 là 2 hàm s ngư c nhau, do đó đ th c a 2 chúng đ i x ng nhau qua đư ng y = x . 1 M t khác hai hàm s này không trùng nhau vì f (0) = ; g(0) = −1 , nên: 2 N u 2 đ th c t nhau thì ph i c t nhau trên đư ng y = x . Do đó ta chuy n đư c vi c gi i phương trình đã cho v vi c gi i phương trình x3 + 1 =x 2 Đ n đây các b n giúp mình gi i ti p nhé! Bài 2. Gi i phương trình √ √ 3 2+ x − 2 = 2x + x+6 L i gi i: ĐK: x ≥ 2 Theo thói quen c a tôi m i khi làm nh ng bài b t phương trình ho c phương trình là nhanh chóng l y chi c máy tính ra nh m nghi m c a bài toán.Ch 1 lúc sau chúng ta đã th y k t qu . Th t là may m n vì ài này nghi m c a nó có 1 nghi m r t đ p đó nha!! Ta th y x = 3 là m t nghi m c a phương trình. Ta nghĩ ngay đ n vi c đưa bài toán v d ng:(x − 3) f (x) = 0 , nên ta bi n đ i phương trình như sau: √ √ 2 (x − 3) + x+6−3 x−2 =0 √ √ V n đ còn l i là đi phân tích x + 6 − 3 x − 2 ra th a s x − 3 . Sao nhìn vào bi u th c này mà tôi l i liên tư ng ra h ng đ ng th c a2 − b2 = (a − b) (a + b) . V y ta th đi theo hư ng này xem sao, Ta bi n đ i √ √ −8 (x − 3) x+6−3 x−2= √ √ x+6+3 x−2 16
VipLam.Net , cách nhân liên h p đây mà! V y thì phương trình đã cho tr thành  8 x=3 (x − 3) 2 − √ √ = 0 ⇐⇒  8 x+6+3 x−2 √ √ =2 x+6+3 x−2 Đ n đây bài toán tr nên d dàng bi t m y. x = 3 là 1 nghi m c a phương trình đã cho nên ta 8 ch c n đi theo con đư ng gi i quy t phương trình √ √ = 2 n a thôi. x+6+3 x−2 Th t d ! ta vi t l i phương trình đó thành √ √ x+6+3 x−2=4 Đ n đây thì ti p t c gi i đư c r i nh . Các b n trình bày ti p cho tôi v i nhé! √ 11 − 3 5 T đây suy ra đư c x = 2  x=3 √ V y nghi m c a phương trình đã cho là  11 − 3 5 x= 2 Thông thư ng n u ta g p phương trình d ng : √ √ √ √ A+ B= C+ D ta thư ng bình phương 2 v ho c l p phương. . . nhưng đôi khi vi c làm này s d n đ n cho ta nh ng v n đ khó khăn hơn nhi u. √ √ √ √ √ √ Ví d như: 3 A + 3 B = 3 C =⇒ A + B + 3 3 AB 3 A + 3 B = C Và ta l i s d ng phép √ √ √ √ th . Th 3 A + 3 B = 3 C vào đ đư c A + B + 3 3 ABC = C Khó khăn th t nh ! Sau đây tôi đưa ra ví d đ các b n xem cách gi i quy t v n đ này như th này như th nào nhé! Bài 3. Gi i phương trình: √ √ √ √ x+3+ 3x + 1 = 2 x + 2x + 2 L i gi i: ĐK: x ≥ 0 N u theo cách làm như tôi nói trên thì. Bình phương 2 v không âm c a phương trình ta đư c: 1+ (x + 3) (3x + 1) = x + 2 x (2x + 1) Đ gi i phương trình này không khó nhưng hơi ph c t p thôi. Cách gi i quy t bài toán này r t đơn gi n n u ta chuy n v c a phương trình đã cho v √ √ √ √ 3x + 1 − 2x + 2 = 4x − x + 3 Khi đó bình hương 2 v lên th t đơn gi n ta đưa v đư c √ √ 6x2 + 8x + 2 = 4x2 + 12x 17
D dàng gi i ra k t qu ph i không, tôi tin các b n s làm đư c và k t qu là x = 1 Đ i chi u v i đi u ki n th y tho mãn, t đây ta c th k t lu n đư c r i! Nh n xét: N u phương trình có d ng f (x) + g(x) = h(x) + k(x) Mà ta l i có đư c: f (x) + h(x) = g(x) + k(x) , lúc đó ta bi n đ i phương trình v d ng f (x) − h(x) = k(x) − g(x) Sau đó bình phương lên thôi. Nhanh g n.hì hì!!! Chú ý: Ngoài ra n u chúng ta b t g p nh ng bài phương trình mà có d ng như trên nhưng thay vì có f (x) + h(x) = g(x) + k(x) mà nó có f (x).h(x) = k(x).g(x) thì cũng bi n đ i đư c f (x) − h(x) = k(x) − g(x) Nh nhé! M t s bài t p áp d ng: √ 1. (1 − 4x) 4x2 + 1 = 8x2 + 2x + 1 √ √ 2. x − x2 − 1 + x + x2 + 1 = 2 (x3 + 1) √ 3. x2 + 1 − √ 1 5 = x x2 − 3 √ 4. x 2+ x (x − 3) = x (2x + 1) √ √ 5. x + x + 11 + x − x + 11 = 4 M t l n n a chân thành c m ơn các b n đã đón đ c tuy n t p này. Tuy n t p này còn chưa đ y đ l m, nó m i ch đưa chúng ta đi m t đo n đư ng nh trên ch ng đư ng h c t p nói chung, trên con đư ng chinh ph c tuy n t p phương trình - b t phương trình nói chung. Các b n nh đón đ c tuy n t p c a mình l n sau nhé, hi v ng nó s c ng c ki n th c đ y đ hơn. Chúc các b n thành công, chinh ph c ư c mơ c a mình. 18
VipLam.Net CHUYÊN Đ 2 PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT (Đ Đư ng Hi u) § 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Phương pháp đưa v cùng cơ s S d ng các phép bi n đ i, ta đưa phương trình v m t trong các d ng sau: • af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g (x) v i 0 < a = 1 • af (x) = b ⇐⇒ f (x) = loga b n u b > 0 2 Ví d 1. Gi i phương trình: 3x −4x+5=0 = 9 L i gi i: Phương trình tương đương v i: 2 −4x+5=0 3x = 32 ⇐⇒ x2 − 4x + 5 = 2 x=1 x2 − 4x + 3 = 0 ⇐⇒ x=3 V y, phương trình có hai nghi m x = 1 và x = 3. √3 −x 2x−3 2 Ví d 2. Gi i phương trình: 0, 125.4 = 8 L i gi i: Đưa hai v v cùng cơ s 2, ta đư c: 8 −x 8 2−3 .24x−6 = 2− 3 ⇐⇒ 24x−9 = 2 3 x 8 27 4x − 9 = x ⇐⇒ x = 3 4 27 V y phương trình có nghi m x = . 4 Ví d 3. Gi i phương trình: 5x+1 − 5x = 2x+1 + 2x+3 L i gi i: Phương trình đã cho tương đương v i: 5.5x − 5x = 2.2x + 8.2x ⇐⇒ 4.5x = 10.2x x 5 5 ⇐⇒ = ⇐⇒ x = 1 2 3 19