zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề Vectơ trong không gian

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Báo xấu

359
lượt xem 55
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Vectơ trong không gian

CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ÁP DỤNG VÉCTƠ GIẢI TOÁN A. TÓM T ẮT KIẾN THỨC 1) Định nghĩa: Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 2) Tính chất:      a. Đ iều kiện để ba véctơ a, b, c ( a , b không cùng phương) đồng phẳng là tồn tại   các số m, n sao cho c = ma  nb . Hơn nữa các số m, n là duy nhất. b. Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ     AB , AC , AD đồng phẳng.    ma  nb  pc  0 và có một trong ba số m, n, p khác 0 thì c. Nếu    a, b, c đồng phẳng.       ma  nb  pc  0 và a , b , c hông đồng phẳng thì d . Nếu k m  n  p 0 .      a, b, c không đồng phẳng thì với mỗi véctơ d , ta tìm được các số m, n, p e. Nếu     sao cho d = ma  nb  pc . Hơn nữa các số m,n, p là duy nhất. B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Để áp dụng vectơ để giải bài tập h ình học không gian ta thường theo các bước sau:     B ước 1 : Chọn ba véctơ x, y, z không đồng phẳng.     x, y, z } gọi là hệ cơ sở). (H ệ ba véctơ {    a, b, c , ...) qua h ệ cơ sở. Bước 2 : Biểu diễn các véctơ liên quan ( chẳng hạn B ước 3 : Tuỳ yêu cầu bài toán mà có phương án xử lý tiếp theo. Trong quá trình biến đ ổi, kết quả sau thường được vận dụng:   Mệnh đề: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), tức là MA  k MB , thì với mỗi điểm O, ta có      OA  kOB  OM  1 k * Chú ý   Ở bước 1: Hệ cơ sở { x , y , z } thường được chọn là ba véctơ chung gốc, chẳng hạn     { AB , AD , AA '} trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’. http://kinhhoa.violet.vn 1 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN    Ở bước 2: Để biểu thị, chẳng hạn véctơ M N qua x, y , z trước hết ta biểu thị         AM , AN qua x, y , z và sau đó áp dụng công thức MN AN AN . Ởbước 3: Để giải quyết bài toánvề tính tính song song tathườngdùng hệ quả :“Nếu       x, y, z không đồng phẳng và mx  ny  pz  m 'x  n ' y  p 'z thì m=m’, n=n’, p=p’”, còn để giải quyết bài toán về tính vuông góc hoặc liên quan đến tính toán ta thường áp dụng tích vô hướng của hai véctơ. C. BÀI TOÁN I. Bài toán 1: Chứng minh, tìm đ iều kiện ba đ iểm thẳng hàng. * Nhận xét:    Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB , AC cùng phương, tức là    AB  k AC . Ví dụ . Cho tứ diện ABCD; M, N lần lượt là các đ iểm thuộc các cạnh AB, CD sao cho     MA  m MB, ND  m NC , (m  1) . Các đ iểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC          IA  k ID, JM  k JN, KB k KC ( k  1). Chứng minh các đ iểm I, J, K sao cho thẳng hàng. Lời giải:          z Đặt x  AB , y  AC, z  AD , thì     x x, y , z không đồng phẳng. Ta có y     m MA  m MB  AM  x m 1  m     ND  m NC  AN  ( z ) mx m 1    k IA  k ID  AI  z k 1         1 JM  k JN  AJ  ( m x  km y  k z ) (1  k )(m  1) http://kinhhoa.violet.vn 2 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN     1    AK  ( x  k y) KB  k KC  1 k Từ đó ta có    1   IK  AK  AI  ( k y k z ) x 1 k         m IJ  AJ  AI  ( x  k y  k z) (1  k )(m  1)    m Suy ra: IJ  IK , do đó I, J, K thẳng hàng. m 1 Nhận xét: Trong bài toán trên, nếu chọn m = -1 thì ta có kết quả: Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD thì J là trung điểm của IK. II. Bài toán 2: Chứng minh, tìm đ iều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. *Nhận xét:   Điều kiện để hai đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau là hai véctơ AB  và CD cùng phương. Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc đường thẳng CD hoặc ngược lại thì hai đường thẳng AB và CD song song. Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm các điểm M, N lần lượt thuộc A’C và C’D sao cho MN song song với đường thẳng BD’. Lời giải            x Đ ặt x  BA, y  BB ', z  BC thì x, y, z z không đồng phẳng. V ì M, N lần lượt thuộc A’C, C’D nên giả sử          MA '  k MC , NC '  l ND (k  1, l  1), theo y đó ta có          BA '  k BC k 1 1 BM  x y z  1 k 1 k 1k 1k      BC '  l BD l 1   BN  x y z  1 l 1 l 1l http://kinhhoa.violet.vn 3 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN      1 1  k l 1 MN  BN  BM  ( )x  ( )y  (1 )z   1 l 1 k 1 l 1 k 1 k       BD '  x  y  z . Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc Mà đường thẳng C ’D nên đường thẳng MN không trùng với đường BD ’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi l 1   1  l 1  k p     l  1      1 1 M N  p BD'    p   k  3   1 l 1 k 1 k   p p 1  4  1 k         Vậy M, N cần tìm được xác đ ịnh bởi các đẳng thức: MA'  MC , NC '  ND . 3 Chú ý: C ó thể giải bài toán trên bằng các cách khác, chẳng hạn: - X ét phép chiếu song song theo phương BD’ lên mặt phẳng (A’B’C’D’) ; - H oặc: Xem đường thẳng MN cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD’A’) (chứa BD’) và mặt phẳng (C’DE), trong đó E đối xứng với A qua B (chứa DC’ và song song với BD’) . http://kinhhoa.violet.vn 4 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN III. Bài toàn 3: Chứng minh, tìm đ iều kiện để đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng. * Nhận xét:     A B , a , b không Đường thẳng AB song song hoặc nằm trong (P) nếu ba véctơ  a ,b đồng phẳng, trong đó là hai véctơ nằm trong (P). Khi đó nếu có một điểm thuộc đường thẳng AB mà không thuộc (P) thì đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), nếu ngược lại thì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (P). Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M , N lần lượt là trung đ iểm CD và DD’; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’).   Lời giải:  y         x Đặt x  AB , y  AD, z  AA' , thì x, y, z không đồng phẳng.  Vì G, G’ lần lượt là trọng tâm của tứ diện A’D’MN, z BCC’D’ nên  1       AG= ( AA '  AD '  AM  AN ) 4  1         AG '  ( AB  AC  AC '  AD ') , 4 theo đó    1         GG '  AG '  AG  ( A ' B  D 'C  MC '  ND ') 4 1     1  1  ( x  z  x  z  x  z  z) 4 2 2 1   1     (5 x  z )  (5 AB  AA ') 8    8   Điều này chứng tỏ AB, AA', GG' đồng phẳng, mặt khác G không nằm trên mặt phẳng (ABB’A’) nên đường thẳng GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’). http://kinhhoa.violet.vn 5 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Chú ý: Ta dùng cách thường làm, đó là chứng minh GG’ song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (ABB’A’) tuy nhiên lời giải sẽ dài và hình ph ải vẽ thêm nhiều nét. IV. Bài toán 4: Chứng minh, tìm đ iều kiện để bốn đ iểm nằm trong một mặt phẳng. *Nhận xét: 1) Bốn điểm A, B, C, D nằm trong một mặt phẳng khi và chỉ khi ba véctơ     AB , AC , AD đồng phẳng. 2) Cho tam giác ABC và một điểm O bất kì thì điều kiện cần và đủ để M nằm trên mặt      phẳng (ABC) là: OM  kOA  lOB  mOC trong đó k + l + m = 1. Ví dụ : Cho tứ diện ABCD; I, J lần lượt là trung đ iểm của AB, CD; các điểm M, N lần lượt       thuộc AC, BD sao cho M A  k M C, N B  k ' N D Chứng minh rằng các đ iểm I, . J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k=k’. Lời giải:           x = IA , y = IC , z = ID ,  thì x , y , z Đặt x không đồng phẳng. T a có            IA  k IC  x k y MA  k MC  IM   z 1 k 1 k         IB  k ' ID   x  k 'z N B  k ' N D  IN   y 1 k ' 1 k '      1 1 I J  ( I C  I D)  ( y  z) 2 2 Bốn đ iểm M, N, I, J cùng thuộc một mặt phẳng khi      và ch ỉ khi ba véctơ IM , IN , IJ đồng phẳng, tức là     1 k  p  q   pk '  q IM  p IN  q IJ  x y x  y ( )z  1 k 1 k 1 k ' 1 k ' 2 2 http://kinhhoa.violet.vn 6 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN p 1  1  k 1 k '   k q    1 k 2  pk ' q   1 k ' 2  k p'k 'k   , từ đây ta có k=k’. Suy ra 1 k 1 k ' 1k V.Bài toán 5: Tính độ dài đ oạn thẳng, tính góc giữa hai đường thẳng, chứng minh các đường thẳng, mặt phẳng vuông góc, khoảng cách. *Nhận xét:   MN 1)Để tính độ dài đoạn thẳng MN ta biểu thị qua hệ cơ sở và dùng công thức  2  MN MN= 2) Để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta dùng công thức       AB.CD cos( AB , CD )  c os( AB , CD )  AB.CD 3) Đ ể chứng minh các đối tượng vuông góc ta đưa về việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc.   4) Xác định khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB  xác đ ịnh | CM | với M      AM   . AB  thoả mãn:     CM . AB  0  5) Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳngchéo nhau AB và CD  xác định   | MN | với M , N thoả mãn:     AM   . AB      MN . AB  0    CN   .CD      MN .CD  0 http://kinhhoa.violet.vn 7 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Ví dụ 1 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, BAD  600 , BAA '   DAA'  1200 . a) Chứng minh tứ giác ADC’B’ là hình vuông; b) Tính diện tích tứ giác A’B’CD. Lời giải:         Đặt x = AB , y = AD , z = AA '   z  thì x , y , z không đồng phẳng và  2  2  2   a     x 2 2   a x  y  z  a2 , x y  , x z  y z   . . .  y 2 2 a) D ễ thấy ADC’B’ là hình bình hành. Vì BAA '  120z 0 0 nên AA ' B '  60 , từ đó AB’=a, cho nên ADC’B’ là hình thoi. Ta có          a 2   a2 AB '  x  z  AB '. AD  ( x  z ). y  (  ) 0 AB’  AD  2 2 Vậy ADC’B’ là hình vuông.             A ' B '  x, A ' D  y  z, D B '  x  y  z nên b) T a có , 2 2 2   A ' D  x  z 2 x. z 3a 2  A ' D  a 3  2  2  2 2         BD '  x  y  z  2 x. y  2 x. z  2 y. z  2 a 2  DB '  a 2 Đặt   B ' A ' D thì A ' B '2  A ' D 2  B ' D 2 a2  3a2  2a2 cos   2 A ' B '.A ' D 2 a .a 3 1  3  6 2  sin   1 c os   z  3 x Từ đó:   y http://kinhhoa.violet.vn 8 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 6 2 S A ' B ' CD  A' B '. A' D.sin  a. a 3. a 2 3 Ví dụ 2 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Trên các đoạn thẳng BB’, CD , A’D’ lần lượt lấy các đ iểm M, N, P sao cho B’M = CN = D ’P = a (0 < a
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN                 SI   SF  y   z ,CK   CE  x  y  2 2 2  z               x IK  IS  SC  CK  x  y  (  1) z 2 2   1     11         y , z E  C x y SF  SC  C F  . 2 2 2 y Giả sử IK là đường vuông góc chung của S F và CE, khi đó  1              ( y  z )( x  y  (  1)z ) 0  0  2  SF IK   SF  IK .  2 2                 C E  IK  C E . IK  0  ( 1 x  1 y )( x    y  (  1)z ) 0  2  2 2 2 2 1 Từ hệ này ta tìm được   ,   . Vậy đ oạn vuông góc chung của SF và CE là IK 3 3  1  1  1    2     1   SF, CK  CE Khi đó ta có IK  x  y  ,z được xác đ ịnh bởi SI  . 6 6 3 3 3 do đó  2 1 1 1  1   2 2 2 IK  IK  ( x  y  z) ( x  y  2 z)  6 6 3 36 1 2 2  2      12 (x  y  4z  2 x .y  4 x .z  4 y .z )  = 36 9 23 Suy ra IK= . 3 D. CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Cho tứ diện ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua  cắt BC tại E, cắt AD tại F. Chứng minh rằng: IK     1) Nếu BE   .BC thì AF   . AD . 2) Nếu IK  AB và IK  CD thì IK  EF tại trung điểm O của EF. Bài 2 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích của lăng trụ biết: AB’  BC’ Bài 3 http://kinhhoa.violet.vn 10 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Cho tứ diện O ABC có tổng góc  AOB +  BOC = 1800 . Gọi OD là ph ân giác trong của góc  AOC. T ính góc  BOD. Bài 4 Cho h ình chóp S.ABCD có đáy ABCD là h ình bình hành. Gọi K llà trung đ iểm của SC. Một mặt phẳng qua AK cắt SB, SD lần lượt tại M, N Chứng m inh rằng: SB SD 3  SM SN Bài 5 Cho h ình lăng trụ đứng ABC.A’B’C ’ đáy là tam giác vuông cân: AC = BC = a. X ét tứ diện đều MNPQ có M, N, P, Q lần lượt nằm trên các đường thẳng C A’, CA’, AB’, AB’. Tính thể tích h ình lăng trụ và khoảng cách giữa trung đ iểm các đoạn thẳng MN và PQ. Bài 6 Cho h ình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. M thuộc đoạn AD’, N thuộc đoạn BD sao cho AM = DN = x ( 0< x < a 2 ). 1) CMR: MN // mp’(A’BCD’) a2 2) Khi x  thì MN ngắn nhất. Ngược lại khi MN ngắn nhất thi MN là đường 3 vuông góc chung của AD’ và BD đồng thời MN // A’C . Bài 7. Cho h ình tứ diện đều cạnh a, I và K lần lượt là trung đ iểm của các cạnh AB và CD, mặt phẳng (P) chứa IK cắt h ình tứ diện đều theo một thiết diện, xác định vị trí của mặt phẳng (P) đ ể thiết diện tạo thành có diện tích là nhỏ nhất; lớn nhất. Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất đó. Bài 8. Cho h ình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đ ều AB = BC = CD = a. Cạnh bên SB vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1) Tìm trên cạnh SB m ột đ iểm M khác B sao cho góc  AMD = 900. 2) Mặt phẳng (AMD) cắt h ình chóp theo một thiết diện, tính diện tích thiết diện đ ó. Bài 9. Cho h ình hình tứ diện SABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các đ iểm D , E, F. Các m p’(ABF), mp’(BCD), mp’(ACE) cắt nhau tại M. Đường thẳng SM cắt m p’(DEF) tại N, cắt m p’(ABC) tại P. PN 3 PM Chứng m inh rằng: .  NS MS Bài 10. ABC.A’B’C’ là một h ình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Xét các đoạn thẳng có hai đầu lần lượt nằm trên hai đường chéo BC’ và C A’ của h ai mặt bên http://kinhhoa.violet.vn 11 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn
CHUYÊN Đ Ề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN lăng trụ và song song với mp’(ABB’A’). T ính chiều dài của đoạn thẳng n gắn nhất trong các đoạn thẳng như thế. Bài 11. Cho h ình lập phương ABCD.A’B’C’D’ c ạnh a. Trên cạnh AA’ kéo dài về ph ía A’ lấy một đ iểm M và trên cạnh BC kéo dài về ph ía C lấy một đ iểm N sao cho đường thẳng MN cắt cạnh C’D’. T ìm giá trị nhỏ nhất của đ oạn thẳng MN. Bài 12. Cho h ình chóp S.ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. M ột mặt ph ẳng (P) cắt SA, SB, SC , SG theo thứ tự tại A’, B’ C’ , G’ . Chứng m inh rằng: 3SG SA SB SC    SA ' SB ' SC ' SG ' Bài 13. (ĐH 1987) Hình chóp tứ giác đ ều S.ABCD có cạnh bên bằng l. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lấy lần lượt các đ iểm M, N, P, Q sao cho SM = m, SN = n, SP = p, SQ = q. Chứng m inh 11 11 rằng:   mp nq Bài 14. ( ĐH Quốc phòng khối A – 2002) Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a, SA = a, cạnh SA vuông góc với đáy. M là một đ iểm trên cạnh SB, N là một đ iểm trên cạnh SC sao MS cho MN // BC và AN vu ông góc CM. Tính tỷ số : . MB Bài 15. Cho h ình lập phương ABCD.A’B’C’D’ c ạnh a. Tính bán kính của hình cầu nhỏ nhất tiếp xúc với các đường thẳng AB’, B’C, CD, DA. http://kinhhoa.violet.vn 12 VŨ NGỌC VINH Sưu t m b i: www.daihoc.com.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.