intTypePromotion=1

Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2

Chia sẻ: Phan Tour Ris | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

0
74
lượt xem
6
download

Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2 Vecto trong không gian trình bày các kiến thức cơ bản về sự đồng phẳng của ba vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2

BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN<br /> A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT<br /> Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN<br /> I.<br /> <br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Định nghĩa và các phép toán:<br /> Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn<br /> tương tự như trong mặt phẳng.<br /> Phép cộng, trừ vectơ:<br /> • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB + BC = AC .<br /> <br /> • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC .<br /> • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' .<br /> Lưu ý:<br /> • Điều kiện để hai vectơ cùng phương:<br /> Hai vectơ a và b ( b ≠ 0 ) ⇔ ∃!k ∈ ℝ : a = k .b .<br /> • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1 ), điểm O tùy ý.<br /> OA − kOB<br /> 1− k<br /> • Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> MA = k .MB<br /> <br /> OM =<br /> <br /> Ta có: IA + IB = 0<br /> OA + OB = 2OI<br /> • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ ABC, điểm O tùy ý.<br /> Ta có:<br /> <br /> GA + GB + GC = 0<br /> <br /> OA + OB + OC = 3OG<br /> <br /> 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:<br /> Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt<br /> phẳng.<br /> Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng<br /> phương.<br /> <br /> Khi đó: a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ ℝ : c = m.a + n.b<br /> Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.<br /> <br /> .<br /> .<br /> Khi đó: ∃!m, n, p ∈ℝ : x = ma + nb + p.c<br /> 3. Tích vô hướng của hai vectơ:<br /> Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB = u, AC = v .<br /> <br /> Khi đó: ( u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 )<br /> Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos u , v<br /> • Với u = 0 hoặc v = 0 , quy ước: u.v = 0<br /> • Với u , v ≠ 0 , ta có: u ⊥ v ⇔ u.v = 0<br /> II.<br /> <br /> BẢ<br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng.<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 1|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> • Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một<br /> vectơ với một số).<br /> • Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng<br /> tâm của tam giác.<br /> Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M<br /> <br /> là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b ,<br /> <br /> AA ' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?<br /> 1<br /> 1<br /> A. AM = b − a + c .<br /> B. AM = a − c + b .<br /> 2<br /> 2<br /> Hướng dẫn :<br /> <br /> 1<br /> C. AM = a + c − b .<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> D. AM = b + c − a .<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> AB + AB′ . Khi đó :<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> AM = AB + AB ′ = AB + AB + BB ′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = − a + b + c .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song<br /> với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng<br /> • Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng<br /> Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và<br /> đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:<br /> <br /> Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM =<br /> <br /> A. OA + OC = OB + OD .<br /> 1<br /> 1<br /> C. OA + OB = OC + OD .<br /> 2<br /> 2<br /> Hướng dẫn:<br /> <br /> B. OA + OB + OC + OD = 0 .<br /> 1<br /> 1<br /> D. OA + OC = OB + OD .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD . Khi đó<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> A. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD AB = DC .<br /> B. OA + OB + OC + OD = 0 : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> C. OA + OB = OC + OD ⇔ OA − OC = OD − OB ⇔ CA = BD .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> D. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Vậy chọn A.<br /> <br /> Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG<br /> THỨ CƠ BẢ<br /> III. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:<br /> <br /> Vectơ a ≠ 0 được gọ i là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng<br /> với đường thẳng d.<br /> 2. Góc giữa hai đường thẳng:<br /> <br /> ( ) (<br /> <br /> Cho a //a ' , b //b ' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a, b = a ', b '<br /> <br /> )<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u , v = ϕ .<br /> ϕ<br /> <br /> Khi đó: a, b = <br /> 0<br /> 180 − ϕ<br /> <br /> <br /> ( )<br /> <br /> ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )<br /> ( 90 < ϕ ≤ 180 )<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 0<br /> <br /> 2|THBTN<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Nếu a //b hoặc a ≡ b thì a, b = 00 .<br /> 3. Hai đường thẳng vuông góc:<br /> <br /> ( )<br /> <br /> a ⊥ b ⇔ a, b = 900 .<br /> Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a ⊥ b ⇔ u.v = 0<br /> Cho a //b . Nếu a ⊥ c thì b ⊥ c .<br /> Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.<br /> BẢ<br /> IV. KỸ NĂNG CƠ BẢN :<br /> Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc<br /> Ví dụ :Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,<br /> mệnh đề nào sai?<br /> A. A′C ′ ⊥ BD .<br /> B. BB ′ ⊥ BD .<br /> C. A′B ⊥ DC ′ .<br /> D. BC ′ ⊥ A′D .<br /> Hướng dẫn<br /> Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB ′ ⊥ BD<br /> <br /> Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG<br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> I. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Định nghĩa: d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α )<br /> d ⊥ a<br /> d ⊥ b<br /> <br /> 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: <br /> ⇒ d ⊥ (α )<br /> a, b ⊂ (α )<br /> a ∩ b = I<br /> <br /> 3. Tính chất:<br /> Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung<br /> điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách<br /> đều hai đầu mút của đoạn thẳng.<br /> a ∈ b<br />  α ⊥ a ⇒ (α ) ⊥ b<br /> ( )<br /> a ≠ b<br /> <br /> a ⊥ (α ) ⇒ a //b<br /> b ⊥ α<br /> ( )<br /> <br /> (α ) // ( β )<br /> <br /> ⇒ a ⊥ (β )<br /> <br />  a ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> (α ) ≠ ( β )<br /> <br /> (α ) ⊥ a ⇒ (α ) // ( β )<br /> <br /> ( β ) ⊥ a<br /> a // (α )<br /> <br /> ⇒b⊥a<br /> <br /> b ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 3|THBTN<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br />  a ⊄ (α )<br /> <br /> a ⊥ b ⇒ a // (α )<br />  α ⊥b<br /> ( )<br /> 4. Định lý ba đường vuông góc:<br /> <br /> Cho a ⊂ (α ) và b ⊄ (α ) , b ' là hình chiếu của b lên (α ) . Khi đó: a ⊥ b ⇔ a ⊥ b '<br /> 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:<br /> <br /> Nếu d vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là 900 .<br /> Nếu d không vuông góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là thì góc giữa d và d ' với d ' là<br /> hình chiếu của d trên (α ) .<br /> Chú ý: góc giữa d và (α ) là ϕ thì 00 ≤ ϕ ≤ 900 .<br /> II.<br /> <br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> BẢ<br /> Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng<br /> Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?<br /> A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α ) .<br /> B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .<br /> C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d vuông góc với<br /> <br /> bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .<br /> D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a || (α ) thì d ⊥ a .<br /> Hướng dẫn :<br /> A. Đúng vì d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α ) .<br /> B. Sai vì Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) .<br /> d ⊥ a<br /> d ⊥ b<br /> <br /> C. Đúng vì <br /> ⇒ d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ c, ∀c ⊂ (α ) .<br />  a, b ⊂ ( α )<br /> a ∩ b = I<br /> <br /> <br /> a // (α )<br /> <br /> D. Đúng vì <br /> ⇒d ⊥a<br />  d ⊥ (α )<br /> <br /> <br /> Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG<br /> I.<br /> <br /> KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> 1. Góc giữa hai mặt phẳng:<br /> <br />  a ⊥ (α )<br /> <br /> Nếu <br /> thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b.<br /> b ⊥ (β )<br /> <br /> <br /> a ⊥ d , a ⊂ (α )<br /> Giả sử (α ) ∩ ( β ) = d . Từ điểm I ∈ d , dựng <br /> thì góc giữa hai mặt phẳng (α )<br /> b ⊥ d , b ⊂ ( β )<br /> và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b .<br /> Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là ϕ thì ϕ ∈  00 ;900  .<br /> <br /> <br /> 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:<br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 4|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong (α ) và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu<br /> vuông góc của đa giác ℋ lên ( β ) . Khi đó S ' = S .cos ϕ với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) và<br /> <br /> (β ).<br /> 3. Hai mặt phẳng vuông góc:<br /> <br /> Nếu hai mặt phẳng (α ) vuông góc mặt phẳng ( β ) thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và<br /> <br /> ( β ) bằng 900.<br /> a ⊂ (α )<br /> Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: <br /> ⇒ (α ) ⊥ ( β )<br /> a ⊥ ( β )<br /> 4. Tính chất:<br /> <br /> (α ) ⊥ ( β )<br /> <br /> (α ) ∩ ( β ) = d<br /> ⇒ a ⊥ (β )<br /> <br />  a ⊂ (α )<br /> a ⊥ d<br /> <br /> (α ) ⊥ ( β )<br /> <br />  A ∈ (α )<br /> ⇒ a ⊂ (α )<br /> <br /> A∈ a<br /> a ⊥ ( β )<br /> <br /> (α ) ⊥ ( γ )<br /> <br /> ⇒ d ⊥ (γ )<br /> ( β ) ⊥ ( γ )<br /> <br /> (α ) ∩ ( β ) = d<br /> II.<br /> <br /> BẢ<br /> KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng<br /> Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau<br /> đây sai?<br /> <br /> S<br /> <br /> A. ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .<br /> B. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) .<br /> C. Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC thì góc ∠ASH là góc giữa hai<br /> <br /> mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )<br /> D. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) là góc<br /> <br /> ∠SCB.<br /> Hướng dẫn :<br /> <br /> SA ⊂ ( SAB )<br /> <br /> A. Đúng vì <br /> ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .<br /> SA ⊥ ( ABC )<br /> <br />  AB ⊥ AC<br /> B. Đúng vì <br /> ⇒ AB ⊥ ( SAC ) ,<br />  AB ⊥ SA<br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> H<br /> C<br /> <br />  AB ⊂ ( SAB )<br /> <br /> ⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAC )<br /> <br />  AC ⊥ ( SAC )<br /> <br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 5|THBTN<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2