Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.4

BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> CHUYÊN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN<br /> CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN<br /> <br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> I. HÌNH HỌC PHẲNG<br /> 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:<br /> Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có:<br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> BC 2 = AB 2 + AC 2<br /> AH .BC = AB.AC<br /> AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> =<br /> +<br /> , AH 2 = HB.HC<br /> AH 2<br /> AB 2 AC 2<br /> 2AM = BC<br /> <br /> 2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:<br /> <br /> Chọn góc nhọn là nhọn là α<br /> Chọn góc α<br /> caïnh ñoá  ñ <br /> caïnh ñoáii  ñii <br /> sin α =<br /> sin α =<br /> ;; <br /> <br /> caïnh huyeàn  hoïc <br /> caïnh huyeàn  hoïc <br /> <br /> <br /> caïnh keà  khoâng <br /> caïnh keà  khoâng <br /> cos α =<br /> cos α =<br /> ;; <br /> <br /> caïnh huyeàn  hö <br /> caïnh huyeàn  hö <br /> <br /> <br /> caïnh ñoá  ñoaøn <br /> caïnh ñoáii  ñoaøn <br /> tan α =<br /> tan α =<br /> ;; <br /> <br /> caïnh keà  ke <br /> caïnh keà  keátát <br /> <br /> <br /> caïnh keà  keá <br /> caïnh keà  keátt <br /> cot α =<br /> cot α =<br /> ;; <br /> <br /> caïnh ñoá  ñoaøn <br /> caïnh ñoáii  ñoaøn <br /> <br /> <br /> <br /> Cạnh huyền<br /> Cạnh<br /> đối<br /> α<br /> <br /> Cạnh kề<br /> <br /> 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường:<br /> a. Định lý cosin:<br /> A<br /> <br /> b 2 + c2 − a 2<br /> ∗ a = b + c − 2bc cos A ⇒ cos A =<br /> 2bc<br /> a 2 + c2 − b2<br /> ∗ b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ⇒ cos B =<br /> 2ac<br /> 2<br /> a + b2 − c2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> ∗ c = a + b − 2ab cosC ⇒ cosC =<br /> 2ab<br /> 2<br /> <br /> b<br /> <br /> c<br /> a<br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> b. Định lý sin:<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 1|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> A<br /> <br /> c<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> =<br /> =<br /> = 2R<br /> sin A sin B<br /> sinC<br /> (R là bá n kınh đường trò n ngoaị tiế p ∆ABC)<br /> ́<br /> <br /> b<br /> R<br /> <br /> a<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> c. Công thức tính diện tích tam giác:<br /> <br /> A<br /> <br /> c<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> S ∆ABC = a.ha = b.hb = c.hc<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> abc<br /> S ∆ABC =<br /> , S ∆ABC = p.r<br /> 4R<br /> p = p ( p − a )( p − b )( p − c )<br /> <br /> b<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> a<br /> <br /> p nửa chu vi<br /> r- bán kính đường tròn nộ i tiếp<br /> <br /> d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:<br /> <br /> A<br /> K<br /> <br /> AB 2 + AC 2 BC 2<br /> −<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> BA + BC<br /> AC 2<br /> ∗ BN 2 =<br /> −<br /> 2<br /> 4<br /> ∗ AM 2 =<br /> <br /> N<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> CA2 + CB 2 AB 2<br /> ∗ CK =<br /> −<br /> 2<br /> 4<br /> <br /> M<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4. Định lý Thales:<br /> <br /> A<br /> M<br /> <br /> N<br /> ∗<br /> <br /> B<br /> <br /> AM<br /> AN<br /> MN<br /> =<br /> =<br /> =k<br /> AB<br /> AC<br /> BC<br /> 2<br />  AM <br />  = k2<br /> <br /> =<br /> <br /> <br />  AB <br /> <br /> <br /> <br /> ∗ MN / /BC ⇒<br /> <br /> C<br /> <br /> S ∆AMN<br /> S ∆ABC<br /> <br /> (Tı̉ diên tıch bằ ng tı̉ bınh phương đồ ng dang)<br /> ̣ ́<br /> ̣<br /> ̀<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 2|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> 5. Diện tích đa giác:<br /> B<br /> <br /> a. Diên tı́ ch tam giá c vuông:<br /> ̣<br /> <br /> Diên tıch tam giá c vuông bằ ng ½ tıch 2 canh<br /> ̣ ́<br /> ̣<br /> ́<br /> gó c vuông.<br /> <br /> C<br /> <br /> A<br /> <br /> b. Diên tı́ ch tam giá c đề u:<br /> ̣<br /> <br /> Diên tıch tam giá c đề u: S ∆<br /> ̣ ́<br /> <br /> Chiề u cao tam giá c đề u: h∆<br /> <br /> B<br /> <br /> (canh)2 3<br /> ̣ .<br /> =<br /> đề u<br /> 4<br /> =<br /> <br /> đề u<br /> <br /> (canh) 3<br /> ̣ .<br /> 2<br /> <br /> c. Diên tı́ ch hı̀ nh vuông và hı̀ nh chữ nhât:<br /> ̣<br /> ̣<br /> <br /> Đường ché o hınh vuông bằ ng canh nhân 2 .<br /> ̣<br /> ̀<br /> Diên tıch hınh chữ nhâṭ bằ ng dà i nhân rông.<br /> ̣ ́<br /> ̣<br /> ̀<br /> <br /> a<br /> <br /> h<br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> a<br /> <br /> O<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> A<br /> <br /> d. Diên tı́ ch hı̀ nh thang:<br /> ̣<br /> 1<br /> SHınh Thang = .(đá y lớn + đá y bé ) x chiề u cao<br /> ̀<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> a2 3<br /> S<br /> =<br />  ∆ABC<br /> <br /> 4<br /> ⇒<br /> <br /> <br /> h = a 3<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> B<br /> <br /> A<br /> <br /> Diên tıch hınh vuông bằ ng canh bınh phương.<br /> ̣ ́<br /> ̣<br /> ̀<br /> ̀<br /> <br /> 1<br /> ⇒ S ∆ABC = AB.AC<br /> 2<br /> <br /> S HV = a 2<br /> <br /> <br /> ⇒<br /> <br /> AC = BD = a 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D<br /> <br /> ⇒S =<br /> B<br /> <br /> 2<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> <br /> e. Diên tı́ ch tứ giá c có hai đường ché o vuông<br /> ̣<br /> gó c:<br /> <br /> Diên tıch tứ giá c có hai đường ché o vuông gó c A<br /> ̣ ́<br /> nhau bằ ng ½ tıch hai đường ché o.<br /> ́<br /> Hınh thoi có hai đường ché o vuông gó c nhau<br /> ̀<br /> taị trung điể m củ a mỗ i đường.<br /> <br /> (AD + BC ) .AH<br /> <br /> B<br /> C ⇒ S H .Thoi =<br /> <br /> 1<br /> AC .BD<br /> 2<br /> <br /> D<br /> <br /> ́<br /> ́<br /> ́<br /> II. CAC PHƯƠNG PHAP CHƯNG MINH HÌNH HỌC<br /> 1. Chứ ng minh đường thẳ ng song song với mặt phẳng :<br /> <br /> d ⊄ (α) <br /> <br /> <br /> d d ′  ⇒ d (α) (Định lý 1, trang 61, SKG HH11)<br /> <br /> <br /> d ′ ⊂ (α)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (α)<br />  ⇒ d (α) (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)<br /> <br /> d ⊂ (β ) <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (β )<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 3|THBTN<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> <br /> d ⊥ d '<br /> <br /> <br /> (α) ⊥ d ' ⇒ d (α) (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)<br /> <br /> <br /> d ⊄ (α) <br /> <br /> <br /> <br /> 2. Chứ ng minh hai mặt phẳng song song:<br /> <br /> (α) ⊃ a, a (β )<br /> <br /> <br /> (α) ⊃ b, b (β )  ⇒ (α) (β ) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11)<br /> <br /> <br /> <br /> a ∩b =O<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (Q )<br />  ⇒ (α) (β ) (Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)<br /> <br /> (β ) (Q ) <br /> <br /> <br /> (α)<br /> <br /> <br /> (α) ≠ (β )<br /> <br /> <br /> (α) ⊥ d  ⇒ (α) (β ) . (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)<br /> <br /> <br /> (β ) ⊥ d <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ́<br /> 3. Chứ ng minh hai đường thẳ ng song song: Ap dung môṭ trong cá c đinh lı́ sau<br /> ̣<br /> ̣<br /> Hai mặt phẳng (α), (β ) có điể m chung S và lầ n lươṭ chứa 2 đường thẳ ng song song a,b thı̀ giao<br /> <br /> tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.<br /> <br /> S ∈ (α) ∩ (β ) <br /> <br /> <br /> (α) ⊃ a, (β ) ⊃ b ⇒ (α) ∩ (β ) = Sx ( a b) . (Hệ quả trang 57, SKG HH11)<br /> <br /> <br /> <br /> a b<br /> <br /> <br /> <br /> Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) . Nếu mặt phẳng (β ) chứa a và cắt (α) theo<br /> giao tuyến b thì b song song với a.<br /> <br /> a (α), a ⊂ (β )<br /> <br />  ⇒ b a . (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)<br /> (α) ∩ (β ) = b <br /> <br /> <br /> <br /> Hai măṭ phẳ ng cù ng song song với môṭ đường thẳ ng thı̀ giao tuyế n củ a chú ng song song với<br /> đường thẳ ng đó .<br /> <br /> <br /> (α) (β )<br /> <br />  ⇒ (P ) ∩ (β ) =d ′,d ′ d . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)<br /> (P ) ∩ (α) = d <br /> <br /> <br /> Hai đường thẳ ng phân biệt cù ng vuông gó c với mô ṭ măṭ phẳ ng thı̀ song song với nhau.<br /> <br /> d ≠ d′ <br /> <br /> <br /> <br /> d ⊥ (α)  ⇒ d ⊥ d ′ (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)<br /> <br /> d ′ ⊥ (α)<br /> <br /> <br /> <br /> Sử dung phương phá p hınh hoc phẳ ng: Đường trung bınh, đinh lı́ Talé t đả o, …<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> ̀<br /> 4. Chứ ng minh đường thẳ ngvuông góc với mặt phẳng:<br /> Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau<br /> nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.<br /> <br /> d ⊥ a ⊂ (α) <br /> <br /> <br /> d ⊥ b ⊂ (α)  ⇒ d ⊥ (α ) .<br /> <br /> <br /> a ∩ b = {O }<br /> <br /> <br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 4|THBTN<br /> <br /> BTN_7_2<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông<br /> góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia.<br /> <br /> d d′ <br /> ⇒d ⊥ α .<br /> <br /> ( )<br /> d ′ ⊥ (α)<br /> <br /> <br /> Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông<br /> góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.<br /> <br /> (α) (β ) ⇒ d ⊥ α .<br /> <br /> ( )<br /> <br /> d ⊥ (β ) <br /> <br /> <br /> <br /> Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai măṭ phẳ ng cắ t nhau và cù ng vuông gó c với măṭ<br /> phẳ ng thứ ba thı̀ giao tuyế n củ a chú ng vuông gó c với măṭ phẳ ng thứ ba đó.<br /> <br /> (α) ⊥ (P ) <br /> <br /> <br /> (β ) ⊥ (P )  ⇒ d ⊥ (P ) .<br /> <br /> <br /> <br /> (α) ∩ (β ) = d <br /> <br /> <br /> <br /> Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai măṭ phẳ ng vuông gó c thì bất cứ đường thẳng nào<br /> nà o nằ m trong măṭ phẳ ng nà y và vuông gó c với giao tuyế n đều vuông gó c với măṭ phẳ ng kiA.<br /> <br /> (α) ⊥ (P ) <br /> <br /> <br /> a = (α ) ∩ (P )  ⇒ d ⊥ (P )<br /> <br /> <br /> <br /> d ⊂ (α ), d ⊥ a <br /> <br /> <br /> <br /> 5. Chứ ng minh hai đường thẳ ng vuông góc:<br /> Cách 1: Dùng định nghĩa: a ⊥ b ⇔ a, b = 900.<br /> <br /> ( )<br /> <br /> ( )<br /> <br /> Hay a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ⇔ a .b = 0 ⇔ a . b .cos a ,b = 0<br /> Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải<br /> vuông góc với đường kia.<br /> <br /> b//c <br />  ⇒a ⊥b.<br /> <br /> a ⊥ c<br /> <br /> <br /> Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọ i đường<br /> thẳng nằm trong mặt phẳng đó.<br /> <br /> a ⊥ (α )<br /> <br />  ⇒ a ⊥ b.<br /> b ⊂ (α ) <br /> <br /> <br /> <br /> Cách 4: (Sử dung Đinh lý Ba đường vuông gó c) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P )<br /> ̣<br /> ̣<br /> <br /> và a là đường thẳng không thuộc (P ) đồng thời không vuông góc với (P ) . Gọi a’ là hình chiếu<br /> vuông góc của a trên (P ) . Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’.<br /> <br /> a ' = hchα (P )<br />  ⇒ b ⊥ a ⇔ b ⊥ a '.<br /> <br /> <br /> b ⊂ (P )<br /> <br /> <br /> <br /> Cách khác: Sử dung hı̀ nh hoc phẳ ng (nếu được).<br /> ̣<br /> ̣<br /> 6. Chứ ng minh mp (α ) ⊥ mp (β ) :<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Cách 1: Theo định nghĩa: (α ) ⊥ (β ) ⇔ (α), (β ) = 900. Chứng tỏ gó c giữa hai măṭ phẳ ng bằ ng<br /> 90° .<br /> Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 5|THBTN<br /> <br />