Hình học không gian: Chuyên đề 7

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

CHUYÊN ĐỀ 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

. 2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)

CH CB .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)

HB HC .

AB BC AC + AH BC AB AC . = BH BC AC AB 1 1 AC AH

H M

. 1 2 AB (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) 2AM BC=

α = α =

(cid:1) sin (cid:1) sin

Cạnh huyền

α = α =

(cid:1) cos (cid:1) cos

     

Cạnh đối

α = α =

(cid:1) tan (cid:1) tan

Cạnh kề

α = α =

(cid:1) cot (cid:1) cot

Chọn góc nhọn là α Chọn góc nhọn là α     ñ i caïnh oái ñ ñ ñ i caïnh oái ; ;       caïnh uyeà oh ïc h n   h n oh ïc caïnh uyeà   hoâng k caïnh eà k hoâng caïnh eà k k ; ;    caïnh uyeàn h öh  öh caïnh uyeàn h     oaøn caïnh oái ñ ñ ñ ñ oaøn caïnh oái ; ;       tk caïnh eà á k e   á k e eà tk caïnh     eát caïnh eà k k eát caïnh eà k k ; ;       ñ oaøn caïnh oái ñ   ñ oaøn caïnh oái ñ

= + −

bc 2

cos

⇒

∗

ac 2

cos

= + −

⇒

∗

ab 2

cos

= + −

⇒

∗

2 c + − bc 2 2 c + − ac 2 2 b + − ab 2

A.A.A.A. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN I. HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: 2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường: a. Định lý cosin: b. Định lý sin:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

R 2

a sin

b sin

c sin

(R là bán kı́nh đườ ng trò n ngoa ̣i tiếp ∆ABC)

(cid:1)

ABC

a h . a

b h . b

c h . c

∆

1 2

(cid:1)

sin

ABC

∆

1 2

(cid:1)

p r .

ABC

∆

(cid:1)

− p b

− p c

1 2 1 2 abc R 4 ( − p p a

)(

)

p - nửa chu vi - bán kính đường tròn nội tiếp r

∗

−

2 BA

∗

−

+ 2 BC + 2

BC 4 2 AC 4

∗

−

CA CB + 2

AB 4

∗

/ /

⇒

AMN

∗

∆ S

AM AB

    

AM AN MN AB BC AC 2     

ABC

∆

(Tı̉ diê ̣n tı́ch bằ ng tı̉ bı̀nh phương đồ ng da ̣ng)

c. Công thức tính diện tích tam giác: d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: 4. Định lý Thales:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

5. Diện tích đa giác:

a. Diê ̣n tı́ch tam giá c vuông:

AB AC .

ABC

S ∆⇒

1 2

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Diê ̣n tı́ch tam giác vuông bằ ng ½ tı́ch 2 ca ̣nh

gó c vuông.

b. Diê ̣n tı́ch tam giá c đều:

ABC

∆

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Diê ̣n tı́ch tam giác đều:

2 3 4

S∆ = đều

(ca ̣nh)2 . 3 4

 S ⇒   =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Chiều cao tam giác đều:

h∆ = đều

. 3 (ca ̣nh) 2

c. Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông và hı̀nh chữ nhật:

 HVS

BD a

⇒   AC 

AD BC AH (

S ⇒ =

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông bằ ng ca ̣nh bı̀nh phương. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Đườ ng chéo hı̀nh vuông bằ ng ca ̣nh nhân 2 . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằ ng dài nhân rô ̣ng. d. Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang: (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) SHı̀nh Thang

= .(đáy lớ n + đáy bé) x chiều cao

1 2

e. Diê ̣n tı́ch tứ giá c có hai đườ ng ché o vuông

gó c:

⇒

AC BD .

H Thoi .

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đườ ng chéo vuông gó c

1 2

nhau bằ ng ½ tı́ch hai đườ ng chéo.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) Hı̀nh thoi có hai đườ ng chéo vuông gó c nhau

ta ̣i trung điểm củ a mỗi đườ ng.

II. CÁ C PHƯƠNG PHÁ P CHỨ NG MINH HÌNH HỌC

1. Chứ ng minh đườ ng thẳng song song với mặt phẳng :

(cid:2)

(Định lý 1, trang 61, SKG HH11)

α ( )

(cid:1)

 α ⊄ ( )  ′ ⇒ d d (cid:1)  ′ ⊂  α ( )

(cid:1)

(Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11)

α ( )

(cid:1)

(cid:2) ( ) β d ⊂

 ⇒ α ( )  β ( ) 

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)



⊥

(cid:2)

(Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11)

α ( )

(cid:1)

d α ( ) d

⊄

α ( )

⊥ ⇒ '  

⊃

(cid:1)

(cid:2)

(Định lý 1, trang 64, SKG HH11)

α ( )

β ( )

(cid:1)

a a , b b (cid:1) ⊃ , b O

α ( ) α ( ) a

∩ =

2. Chứ ng minh hai mặt phẳng song song:  β ( )  β ⇒ ( )  

(cid:1)

(Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11)

(cid:2)

α ( )

β ( )

(cid:1)

α ( ) β ( )

(cid:1)

(cid:2)

β ( ) d

. (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11)

α ( )

β ( )

(cid:1)

⇒

α ( ) α ( ) β ( )

 ⇒ Q ( ) Q  ( ) ≠ ⊥ ⊥ 

3. Chứ ng minh hai đườ ng thẳng song song: Á p du ̣ng mô ̣t trong các đi ̣nh lı́ sau

(cid:2) Hai mặt phẳng

( ),α β có điểm chung S và lần lươ ̣t chứ a 2 đườ ng thẳ ng song song

,a b thı̀ giao

( )

tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B.

α ( )

∈

a b

(

(Hệ quả trang 57, SKG HH11)

⊃ ⇒ ∩

α ( )

) .

(cid:1) (cid:1)

( ) β

( ) β ∩ ( ) β

α ⊃ ( ) a b (cid:1)

   

(cid:2) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )α . Nếu mặt phẳng ( )β chứa a và cắt ( )α theo

(cid:1)

a . (Định lý 2, trang 61, SKG HH11)

(cid:1)

α ( )

∩

α a ( ), ( ) β

giao tuyến b thì b song song với a. ⊂  ⇒ ( ) β  b 

(cid:2) Hai mă ̣t phẳng cù ng song song vớ i mô ̣t đườ ng thẳ ng thı̀ giao tuyến củ a chú ng song song vớ i

(cid:1)

′

′ =d ,d

d . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11)

(cid:1)

P ⇒ ∩ ( )

β ( )

α ( ) P ( )

∩

đườ ng thẳng đó .  β ( )  α d  =  ( )

(cid:2) Hai đườ ng thẳ ng phân biệt cù ng vuông gó c vớ i mô ̣t mă ̣t phẳ ng thı̀ song song vớ i nhau.

′

d (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11)

d ⇒ ⊥

′≠ d  α ⊥ ( )   ′ ⊥  α ( )

(cid:2) Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳ ng: Đườ ng trung bı̀nh, đi ̣nh lı́ Talét đảo, …

4. Chứ ng minh đườ ng thẳngvuông góc với mặt phẳng:

(cid:2) Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau

nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

d ⇒ ⊥

( ) α

a α ⊥ ⊂ ( ) b α ⊥ ⊂ ( ) b O { ∩ =

    } 

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

(cid:2) Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông

góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia.

′  ⇒ ⊥

( ) α

(cid:1)d ′ d

d  α ⊥  ( )

(cid:2) Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông

( ) α

góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. ( ) α d ⊥

 ⇒ ⊥ ( ) β (cid:1)  ( )  β 

(cid:2) Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai mă ̣t phẳng cắt nhau và cù ng vuông gó c vớ i mă ̣t

⊥

d ⇒ ⊥

⊥

( ) P

∩

phẳ ng thứ ba thı̀ giao tuyến củ a chú ng vuông gó c vớ i mă ̣t phẳng thứ ba đó. ( ) α ( ) β ( ) α

 ( ) P  ) ( P   ( ) d β = 

(cid:2) Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai mă ̣t phẳng vuông gó c thì bất cứ đường thẳng nào nào nằ m trong mă ̣t phẳ ng này và vuông gó c vớ i giao tuyến đều vuông gó c vớ i mă ̣t phẳ ng kiA. ( ) α a =

d ⇒ ⊥

( ) P

⊂

( ) P ⊥ ( ) α ∩ ( ) α ,

(cid:2) Cách 1: Dùng định nghĩa:

b ⊥ ⇔

0 90 .

  ( ) P   a ⊥  5. Chứ ng minh hai đườ ng thẳng vuông góc: ) (cid:2)( a b ,

(cid:3)

(cid:3) b

(cid:3) a

Hay

⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔

a (cid:3) (cid:3) a b .

(

)

(cid:3) (cid:3) (cid:3) a b cos a b , . (cid:2) Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải

 ⇒ ⊥

vuông góc với đường kia. b//c  a c ⊥ 

(cid:2) Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường

thẳng nằm trong mặt phẳng đó. a

⊥

b .

⊂

 ( ) α  ⇒ ⊥ a  ( )  α 

(cid:2) Cách 4: (Sử dụng Đi ̣nh lý Ba đườ ng vuông gó c) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng ( )P và a là đường thẳng không thuộc ( )P đồng thời không vuông góc với ( )P . Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên ( )P . Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’. a

⊂

 hch P = ( )  ⇒ ⊥ ⇔ ⊥ α a  ( )  P 

(cid:2) Cách khác: Sử dụng hı̀nh học phẳng (nếu được). mp

:

⊥

6. Chứ ng minh

( ) α

( ) β

Chứ ng tỏ gó c giữa hai mă ̣t phẳ ng bằ ng

(cid:2) Cách 1: Theo định nghĩa: ( ) α

( ) β ⊥ ⇔

)(cid:4) 0 ( ( ) ( ) α β 90 . ,

90° .

(cid:2) Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

III. HÌNH CHÓ P ĐỀ U

1. Đi ̣nh nghı̃a: Một hı̀nh chó p được gọi là hı̀nh chó p đều nếu có đá y là một đa giá c đều và có chân

đườ ng cao trù ng vớ i tâm của đa giá c đá y. Nhâ ̣n xét: (cid:2) Hı̀nh chó p đều có các mă ̣t bên là những tam giác cân bằ ng nhau.

Các mă ̣t bên ta ̣o vớ i đáy các gó c bằng nhau.

(cid:2) Các ca ̣nh bên củ a hı̀nh chó p đều ta ̣o vớ i mă ̣t đáy các gó c bằng

nhau.

2. Hai hı̀nh chóp đều thườ ng gặp:

.S ABC . Khi

a. Hı̀nh chóp tam giá c đều: Cho hı̀nh chó p tam giác đều

đó :

(cid:2) ĐáyABC là tam giác đều. (cid:2) Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S . (cid:2) Chiều cao: SO . (cid:2) Gó c giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: (cid:4) (cid:4) (cid:4) SAO SBO SCO = (cid:2) Gó c giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: (cid:4)SHO .

AH OH ,

AH AH ,

(cid:2) Tı́nh chất:

2 3

1 3

AB 2 Lưu ý : Hı̀nh chó p tam giác đều khác vớ i tứ diê ̣n đều. (cid:3) Tứ diê ̣n đều có cá c mặt là cá c tam giá c đều. (cid:3) Tứ diê ̣n đều là hı̀nh chó p tam giá c đều có cạnh bên

bằ ng cạnh đá y.

b. Hı̀nh chóp tứ giá c đều: Cho hı̀nh chó p tam giác đều .S ABCD .

(cid:2) ĐáyABCD là hı̀nh vuông. (cid:2) Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S . (cid:2) Chiều cao: SO . (cid:2) Gó c giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:4) SAO SBO SCO SDO = = (cid:2) Gó c giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: (cid:4)SHO .

IV. THỂ TÍCH KHỐ I ĐA DIỆN

B h .

1. Thể tı́ch khố i chóp:

1 3

:B Diê ̣n tı́ch mă ̣t đáy. :h Chiều cao củ a khố i chó p.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

6 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

V B h= .

2. Thể tı́ch khố i lăng trụ:

A’

C’

A’

C’

B’

:B Diê ̣n tı́ch mă ̣t đáy. :h Chiều cao củ a khố i chó p. Lưu ý: Lăng tru ̣ đứ ng có chiều cao cũng là

ca ̣nh bên.

V a b c= . .

3. Thể tı́ch hı̀nh hộp chữ nhật:

V a=

⇒ Thể tı́ch khố i lâ ̣p phương:

′

4. Tı̉ số thể tı́ch:

′ S A B C V

SA SB SC SA SB SC

S ABC

B’

A’

′

C’

′

′ + +

)

,B B h′

Vớ i

5. Hı̀nh chóp cụt ABC A B C′ . h ( B B 3 là diê ̣n tı́ch hai đáy và chiều cao.

B.B.B.B. BÀI TBÀI TBÀI TBÀI TẬẬẬẬP TRP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHI C NGHIỆỆỆỆMMMM C NGHI C NGHI Câu 1. Cho hình chóp

.S ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài

đường cao không đổi thì thể tích

.S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

D. A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

1 2

A. 4 .

D. 2 .

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? B. 5 .

C. 3 .

Câu 3. Cho khối đa diện đều {

};p q , chỉ số p là

A. Số các cạnh của mỗi mặt. C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện. D. Số đỉnh của đa diện.

};p q , chỉ số q là

Câu 4. Cho khối đa diện đều { A. Số đỉnh của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.

B. Số mặt của đa diện. D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .

A.

B.

C.

D.

⋅

3a .

a 6

3 2 12

3 2 4

Câu 6. Cho

.S ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp

.S ABCD biết AB a= , SA a= .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

A.

B.

C.

D.

3 2 2

3 2 6

a 3

⊥

ABC

, đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp

Câu 7. Cho hình chóp .S ABC có

(

)

.S ABC biết AB a= , SA a= .

A.

B.

C.

D.

3a .

3 3 12

3 3 4

a 3

⊥

ABCD

Câu 8. Cho hình chóp

, đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích

.S ABCD có

)

.S ABCD biết AB a= ,

a= 2

( a= SA 3

D.

A.

B.

3a .

⋅

36a .

32a .

a 3

Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông

OA a OB OC ,

là

.O ABC vuông tại O có

D.

A.

B.

C.

32a .

⋅

32 a 3

a 2

a 6

A SA ,

cm= 2

Câu 10. Cho hình chóp = cm AC AB 4 ,

.S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại cm 3

. Tính thể tích khối chóp.

A.

B.

C.

D.

3 cm .

24cm .

12 3

24 5

24 3

AB a AD

a 2

. Góc giữa

Câu 11. Cho hình chóp SB và đáy bằng

A.

C.

B.

D.

⋅

3 2 6

3 2 3

.S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, 045 . Thể tích khối chóp là 32 a 3

= C a

. Khi đó thể

.S ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy,

Câu 12. Hı̀nh chó p

.S ABCD là

A.

C.

D.

B.

⋅

tı́ch khố i chó p 3 2 2

3 3 2

3 3 3

3 2 3 Câu 13. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB∆

ABC . Tính thể tích khối chóp

là tam giác đều và .S ABC biết

thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (

)

AC a=

AB a= ,

A.

B.

C.

D.

⋅

3 6 12

3 6 4

3 2 6

a 4

SAB là tam giác vuông cân tại

)

ABCD . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên ( S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (

)

AC a=

biết BD a= ,

A.

B.

C.

D.

3a .

⋅

3 3 4

3 3 a 12

a 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

8 | T H B T N

(cid:7)

AC a=

BTN_7_2 Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 15. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ,

ABC là trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp

.S ABC biết AB a= ,

(

)

SB a=

A.

B.

C.

D.

⋅

2 3 6 6

3 3 2

3 3 6

3 6 2

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng

SB =

ABCD là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD biết

(

)

a 3 2

A.

B.

C.

D.

⋅

3a .

⋅

a 3

a 2

33 a 2

Câu 17. Hình chóp

SDa ,

.S ABCD đáy là hình vuông cạnh

. Hình chiếu của S lên (

) ABCD là

1 3 2

trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là

A.

B.

C.

D.

⋅

3 12

3 2 3

3 2 a 3

a 3

, góc (cid:4)BAD bằng

120 . Hình chiếu vuông góc của

.S ABCD đáy hình thoi,

a= 2

Câu 18. Hı̀nh chó p

ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết

S lên (

)

. Khi đó thể tı́ch khố i chó p

a 2

A.

B.

C.

D.

⋅

.S ABCD là 3 2 9

3 3 9

3 2 3

3 3 3

S ABC

Câu 19. Cho hình chóp

,SA SB . Tính tỉ số

.S ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của

V V

S MNC

D.

B.

⋅

A. 4 .

⋅

C. 2 .

1 4

1 2

Câu 20. Cho khối chop

OA OB OC lần lượt lấy ba điểm

A B C′ ’,

′ sao cho

.O ABC . Trên ba cạnh

′

. Tính tỉ số

= OA OA OB OB OC OC 2

, 4

, 3

V O A B C ' V

D.

C.

A.

B.

1 32

O ABC 1 16

1 12

1 24

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (

)α cắt SB , SC

lần lượt tại

,M N . Tính tỉ số

)α chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

biết (

C.

D.

B.

A.

1 4

1 2

)α là mặt phẳng qua A và song song với BC . ( SM SB 1 2

1 2 2

A.

C.

B.

⋅

D.

⋅

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: 3 3 3

3 2 3

3 3 4

3 2 2

A A A B A D '

. Tính thể tích

ABCD A B C D có ABCD là hình chữ nhật,

AD a=

Câu 23. Cho lăng trụ khối lăng trụ

ABCD A B C D biết AB a= ,

a= ' 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

A.

B.

C.

D.

33a .

3a .

3 3

33 a

Câu 24. Cho lăng trụ

ABC A B C có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của

'A lên (

) ABC là

AC a=

ABC A B C biết AB a= ,

trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ AA

a= ' 2 3

A.

B.

C.

D.

⋅

3 3

33 a

a 2

33 a 2

Câu 25. Cho lăng trụ

ABCD A B C D có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của

) ABCD là

ABCA B C biết AB a= ,

'A lên ( ' '

a= .

'AA

trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ (cid:4) 0120 ABC =

A.

B.

C.

D.

⋅

3 2

3 2 6

3 2 3

3 2 2

ABB C

Câu 26. Cho lăng trụ

ABC A B C . Tính tỉ số '

V V

ABCA B C '

A.

B.

C.

D.

⋅

1 2

1 6

1 3

2 3

ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ

. ’ ’ ’

diện

A.

B.

C.

D.

⋅

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều A BB C là ’ ’ ’ 3 3 a 12

3 3 4

3 3 6

a 12

′

Câu 28. Lăng trụ tam giác

ABC là trung điểm I củ a BC . Thể tích khối lăng trụ là

ABC A B C′ . 300. Hình chiếu A′ lên (

′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng )

B.

C.

D.

A.

⋅

3 3 2

3 3 a 12

3 3 8

3 3 6

Câu 29. Lăng trụ đứng

A BC ,

a AB a 2 ,

= . Mặt bên

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại

. ’ ’ ’

’ ’

(

)

BB C C là hình vuông. Khi đó thể tı́ch lăng trụ là

B.

C.

D.

A.

32 a

3 3

3 2

3 3 3

'BB . Tính tỉ số

ABC A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

'CC và

ABCMN

Câu 30. Cho lăng trụ V V

B.

C.

D.

A.

1 6

1 2

2 3

′

và khối lăng trụ đó là

.A ABC

C.

B.

D.

A.

′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp ABC A B C′ . 1 2

1 3

1 6

′

′ . Tỉ số thể tích giữa khối

và khối lập phương là:

.A ABD

B.

C.

D.

A.

ABCD A B C D . 1 8

1 6

1 3

ABC A B C . 1 3 Câu 31. Cho khối lăng trụ 1 4 Câu 32. Cho khối lập phương 1 4

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

10 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

SAB và )

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều )

(

ABCD bằng α. Tính thể tích của khối chóp

.S ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng ( .S ABCD theo h và α.

A.

B.

C.

D.

h 3 4 tan

h 4 3tan

h 8 3tan

h 3 8 tan

có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy

.S ABCD .

Câu 34. Cho hình chóp và mặt phẳng (

.S ABCD ) SAD

tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp

A.

B.

C.

D.

V =

33 a 4

33 a 8

38 a 3

34 a 3

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a= , mặt

2 3

. Tính thể

'A BC có diện tích bằng

)

phẳng ( tích khối lăng trụ

C.

B.

A.

D.

. 'A BC tạo với đáy một góc 30° và tam giác ABC A B C . ' ' ' 33 a 4

33 a 8

3 3 8

33 a 2

AA C C '

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông tạo với đáy một góc

Câu 36. Cho hình lăng trụ 'A trên ( góc của

ABC A B C . ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( )

)

bằng 45° . Tính thể tích V của khối lăng trụ

A.

B.

C.

D.

V =

33 a 16

33 a 8

ABC A B C . ' ' 33 a 4

33 a 2

Câu 37. Cho hình chóp đều

060 , khoảng

) ABC bằng

. Thể tı́ch củ a khố i chóp

cách giữa hai đườ ng thẳ ng SA và BC bằ ng

.S ABC theo a bằng

.S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ( a 3 2 7

A.

B.

C.

D.

3 3 12

3 3 18

3 3 16

3 3 24

a 2 3

, hai

a= 2

ABCD . Biết khoảng cách từ

Câu 38. Cho hình chóp đều mặt phẳng (

)

= )

SAC và ( )

.S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , SBD cùng vuông góc với mặt phẳng (

điểm O đến mặt phẳng (

) SAB bằng

. Tính thể tı́ch củ a khố i chóp

.S ABCD theo a .

A.

B.

C.

D.

3 3 16

3 3 18

3 3 3

3 3 12

Câu 39. Cho hı̀nh chó p tứ giác đều

.S ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình .S ABCD theo

chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp a .

A.

B.

C.

D.

32 a

34 a

36 a

38 a

⊥

ABCD

. ABCD là hình thang vuông tại A và B

.S ABCD có

(

)

. Tính thể tích khối chóp

.S ABCD theo a biết góc giữa

= a 3 060 .

Câu 40. Cho hı̀nh chó p tứ giác biết = a= BC AD AB 3 2 ) SCD và ( ) ( ABCD bằng

A.

B.

C.

D.

2 6a .

6 6a .

2 3a .

6 3a .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

⊥

ABCD

, ABCD là hình thang vuông tại A và B

.S ABCD có

)

biết

( . Tính thể tích khối chóp

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 41. Cho hı̀nh chó p tứ giác BC AB 3

a= 2

a 3

.S ABCD theo a , biết khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (

SCD bằng )

a .

3 6 4

A.

B.

C.

D.

6 6a .

2 6a .

2 3a .

6 3a .

'BB

Câu 42. Cho lăng tru ̣ tam giác

a= , gó c giữa đườ ng thẳ ng

'BB và (

ABC A B C có '

) ABC bằ ng

'B lên

BAC =

)

60° , tam giác ABC vuông ta ̣i C và gó c (cid:1) 60 ( ABC trù ng vớ i tro ̣ng tâm củ a ABC∆

. Thể tı́ch củ a khố i tứ diê ̣n

D.

C.

A.

B.

° . Hı̀nh chiếu vuông gó c củ a điểm '.A ABC theo a bằng 39 a 208

a 15 108

37 a 106

a 13 108 Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ

.Tính thể tích khối lăng trụ

) 'A BC bằng

tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng (

a 6

ABC A B C . '

A.

B.

C.

D.

33 a 28

33 a 4

33 a 16

. Kí hiệu

. 33 a 8 Câu 44. Cho hình chóp tam giác 2

.S ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho .S AMN . Tính tỉ

.A BMNC và

,V V lần lượt là thể tích của các khối chóp 1

số

A.

B.

C.

D.

= 3

2 = 3

1 = 2

V 1 V 2 V 1 V 2

V 1 V 2

Câu 45. ho

. Kí hiệu

, P là điểm trên cạnh SA sao cho

,V V lần lượt là thể tích 1

của các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số

C.

A.

B.

D.

2 = . 3

1 = . 9

3 = . 4

1 = . 3

V 1 V 2 V 1 V 2

V 1 V 2

.S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng (

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều )

SAB và ) ,SA SB và AB . Tính thể tích

,M N và P lần lượt là trung điểm các cạnh

ABCD bằng 45° , ( V của khối tứ diện DMNP .

A.

B.

C.

D.

V =

a 6

a 4

a 12

a 2

′

Câu 47. Cho lăng trụ

; cạnh bên

′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

ABC A B C′ .

a= 2

′ =

. Hình chiếu vuông góc của A′ trên mặt phẳng (

)

ABC là trung điểm cạnh AC .

′

′ .

AA Tính thể tích V của khối lăng trụ

ABC A B C′ . 3

A.

B.

C.

D.

V =

V a=

V =

31 a= 2

a 3

32 a 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

12 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

,AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh

G G G và , 2

a= 6 ,

ABC ABD ACD và BCD . Biết

3 a= 9

. Tính theo a thể tích khối tứ diện

4G lần lượt là trọng tâm các mặt AD

G G G G . 3

A.

B.

C.

D.

34a

108a

3 36a

. Tính thể tích khối

Câu 49. Cho tứ diện ABCD có

= AB CD

= BC AD

= BD AC

B.

C.

D. tứ diện ABCD . 3 A. 360m

3 720m

3 770m

3 340m

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác

SAB là tam giác đều và nằm trong

)

.S ABCD có đáy là vuông; mặt bên (

mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

SCD bằng )

3 7 7

Tính thể tích V của khối chóp

.S ABCD .

A.

B.

C.

D.

V a=

V =

31 a= 3

32 a= 3

33 a 2

SM=

, 2MA )H là các khối

(

Câu 51. Cho tứ diện , ( SN

.S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho )α là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu

)H và 1

đa diện có được khi chia khối tứ diện

)α , trong đó,

(

)H chứa điểm S ,

.S ABC bởi mặt phẳng (

(

)H chứa điểm A ;

(

)H và

(

)H . Tính tỉ số

1V và

2V lần lượt là thể tích của

1 V 1 V 2

A.

B.

C.

D.

4 5

5 4

3 4

4 3

Câu 52. Cho hình chóp

SAB ,

)

.S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng ( )

SBC cùng tạo với mặt phẳng (

ABC các góc bằng nhau. Biết

)

BC =

AB =

, ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp

C.

B.

D.

V =

408

680

578

600

SAC và ( ( ) AC = 26 .S ABC . V = A. C.C.C.C. ĐÁP ÁN V C NGHIỆỆỆỆMMMM I BÀI TẬẬẬẬP TRP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHI ĐÁP ÁN VÀ HÀ HÀ HÀ HƯƯƯƯỚỚỚỚNG DNG DNG DNG DẪẪẪẪN GIN GIN GIN GIẢẢẢẢI BÀI T C NGHI C NGHI I BÀI T I BÀI T ĐÁP ÁN V ĐÁP ÁN V

I – ĐÁP ÁN 7.4

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

.S ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi

Câu 1. Cho hình chóp

thì thể tích

.S ABC tăng lên bao nhiêu lần?

D. A. 4 .

B. 2 .

C. 3 .

1 2

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần.

Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

A. 4 .

D. 2 .

B. 5 .

C. 3 .

Hướng dẫn giải:

Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều.

Câu 3. Cho khối đa diện đều {

};p q , chỉ số p là

B. Số mặt của đa diện. D. Số đỉnh của đa diện.

};p q , chỉ số q là

B. Số mặt của đa diện. D. Số các mặt ở mỗi đỉnh.

A. Số các cạnh của mỗi mặt. C. Số cạnh của đa diện. Câu 4. Cho khối đa diện đều { A. Số đỉnh của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.

Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a .

Câu 5.

C.

D.

A.

B.

⋅

3a .

a 6

3 2 12

3 2 4

Hướng dẫn giải:

BCD .

Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi H là hình chiếu của A lên (

)

BH =

Ta có:

⇒

−

V⇒

S∆

BCD

ABCD

2 3 4

3 2 12

.S ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp

.S ABCD biết AB a= , SA a= .

Câu 6. Cho

A.

B.

C.

D.

3 2 2

3 2 6

a 3

Hướng dẫn giải:

ABCD

Gọi H là hình chiếu của S lên (

)

AH =

Ta có:

−

⇒ = SH

V⇒

S ABCD

ABCD

⊥

ABC

, đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp

.S ABC biết AB a= ,

Câu 7. Cho hình chóp .S ABC có

(

)

SA a= .

A.

B.

C.

D.

3a .

3 3 12

3 3 4

a 3

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

S∆

ABC

2 3 4

V⇒

S ABC

⊥

ABCD

, đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích

.S ABCD có

.S ABCD biết AB a= ,

(

)

Câu 8. Cho hình chóp SA AD

a= 2

a= 3

A.

B.

D.

⋅

3a .

36a .

32a .

a 3

Hướng dẫn giải:

⇒

a a 2 .

∆

ABCD

S ABC

OA a OB OC ,

Thể tích khối tam diện vuông

là

.O ABC vuông tại O có

Câu 9.

A.

B.

C.

D.

⋅

32a .

32 a 3

a 2

a 6 Hướng dẫn giải:

OB OC .

OBC

1 2 =

    = h OA a 

⇒

⋅ OA S

O ABC

OBC

1 3

a 2 3

A SA ,

cm= 2

cm AC ,

cm 3

.S ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại

Câu 10. Cho hình chóp

Tính thể tích khối chóp.

A.

B.

C.

D.

3 cm .

24cm .

12 3

24 5

24 3 Hướng dẫn giải:

AB AC .

ABC

1 2 =

    = h 

⇒

⋅ SA S

S ABC

ABC

1 3

12 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

AB a AD

. Góc giữa SB và đáy bằng

.S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy,

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 11. Cho hình chóp

045 . Thể tích khối chóp là

A.

B.

C.

D.

⋅

3 2 3

32 a 3

3 2 6

3 Hướng dẫn giải:

= SA AB

( .tan 45 =

)0 a 2

a a .2

   

ABCD

⇒

SA S .

S ABCD

ABCD

a 2 3

1 3

045

= C a

.S ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy,

. Khi đó thể tı́ch khối chóp

A.

B.

C.

D.

⋅

Câu 12. Hı̀nh chóp .S ABCD là 3 2 2

3 2 3

3 3 3

3 3 2 Hướng dẫn giải:

= SA a 3

ABCD

( .cos 45

= = AB AC = ⇒ a S a    

S ABCD

ABCD

là tam giác đều và thuộc mặt phẳng

AC a=

a 3 ⇒ = = V SA S . 1 3 3

ABC . Tính thể tích khối chóp .S ABC biết AB a= ,

Câu 13. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB∆ )

vuông góc với mặt phẳng (

a a a

A.

B.

C.

D.

3 6 12

3 6 4

3 2 6

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a 4

Hướng dẫn giải:

−

vuông tại B

⇒ = BC

ABC∆ AC AB a 2

∆

ABC

a 2 S BA BC . 1 2 2

Gọi H là trung điểm AB

⊥

Ta có: SAB∆ ⇒ ⊥ SH

a 3 SH⇒ = 2

(

đều )

⇒ ⊥ SH AB ( )

(vì (

)

ABC SAB ABC

⇒

S ABC

ABC

a 6 V SH S∆ . 1 3 12

SAB là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên (

)

AC a=

phẳng vuông góc với mặt phẳng (

)

ABCD . Tính thể tích khối chóp .S ABCD biết BD a= ,

a a

A.

B.

C.

D.

⋅

3a .

3 3 4

a 3

3 3 12 Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

⇒ ⊥

Gọi O là giao điểm của AC và BD . ABCD là hình thoi AC BD O là trung điểm của AC , BD .

vuông tại O

⇒ = AB

2 + AO OB

= . a

ABO∆

ABCD

SH⇒ =

Gọi H là trung điểm AB . SAB∆

vuông cân tại S cạnh AB a=

a 2

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

SH AB

ABCD

SAB

ABC

cân

Ta có: SAB∆

(

)

(vì (

)

(

)

a 3 S AC BD . 1 2 2

⇒

SH S .

S ABCD

ABCD

ABC là trung

3 1 3 12

Câu 15. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (

)

AC a=

SB a=

điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp

.S ABC biết AB a= ,

A.

B.

D.

C.

⋅

3 6 6

3 3 2

3 6 2

3 3 6

Hướng dẫn giải:

ABC∆

vuông tại A

⇒ = BC

AB AC .

∆

ABC

−

= . a

3 1 2 2

⇒

SH S∆ .

S ABC

ABC

3 1 3 6

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng (

) ABCD là trung

SB =

điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp

a 3 2

.S ABCD biết

A.

B.

D.

C.

⋅

3a .

a 3

33 a 2

a 2

Hướng dẫn giải:

ABH∆

vuông tại A

⇒

−

= . a

SB 2 a=

ABCD

⇒

SH S .

S ABCD

ABCD

5 2

a 3

1 3

SDa ,

ABCD là trung điểm

3 .S ABCD đáy là hình vuông cạnh

Câu 17. Hình chóp

. Hình chiếu của S lên (

)

H của AB . Thể tích khối chóp là

1 2

A.

B.

D.

C.

⋅

3 12

3 2 3

3 2 a 3

a 3

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

ABCD

a 4

−

⇒ = SH

− SD HD

a 13 4

a 4

⇒

S ABCD

ABCD

1 3

, góc (cid:1)BAD bằng

.S ABCD đáy hình thoi,

a= 2

120 . Hình chiếu vuông góc của S lên (

) ABCD

Câu 18. Hı̀nh chóp

là I giao điểm của 2 đường chéo, biết

.S ABCD là

. Khi đó thể tı́ch khối chóp

a 2

A.

B.

C.

D.

⋅

3 2 9

3 3 9

3 3 3

3 2 3 Hướng dẫn giải:

a 2 =

AB AD .

.sin

(cid:1) 2 = a BAD 2 3

    

ABCD

⇒

SI S .

S ABCD

ABCD

1 3

S ABC

,SA SB . Tính tỉ số

.S ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của

Câu 19. Cho hình chóp

V V

S MNC

D.

B.

⋅

A. 4 .

⋅

C. 2 .

1 4

1 2

Hướng dẫn giải:

S ABC

= 4

V V

SA SB . SM SN

S MNC

A B C′ ’,

OA OB OC lần ,

lượt

lấy ba điểm

′ sao cho

.O ABC . Trên ba cạnh

Câu 20. Cho khối chop

′

= OA OA OB OB OC OC 2

, 4

, 3

. Tính tỉ số

V O A B C ' V

O ABC

A.

B.

C.

D.

1 12

1 24

1 32

1 16 Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

18 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

B′

C′

A′

′

;

OB OB

1 4

1 3

OC OC ′

′

’

⇒

⋅

= ⋅

⋅ =

OA OB OC OA OB OC

1 1 1 2 4 3

1 24

Ta có: ′ OA 1 OA 2 V ′ O B C A V O

ABC

,M N .

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi (

)α là mặt phẳng qua A và song song với BC . (

)α cắt SB , SC lần lượt tại

Tính tỉ số

biết (

)α chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

SM SB

B.

C.

D.

A.

1 4

1 2

2 2

Hướng dẫn giải:

⇒

MN BC //

Ta có:

SM SN = SC SB

S AMN

Ta có:

 =  

  

SM SN . SB SC

SM SB

V V

S ABC

S AMN

Ta có:

SM SB

V V

1 = ⇒ 2

S ABC

Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là:

A.

⋅

B.

⋅

C.

⋅

D.

⋅

3 3 4

3 3 3

3 2 2

3 2 3 Hướng dẫn giải:

A '

⇒ =

V h S .

= h   = S 

A A A B A D '

. Tính thể tích khối lăng trụ

ABCD A B C D có ABCD là hình chữ nhật,

AD a=

Câu 23. Cho lăng trụ '

ABCD A B C D biết AB a= , '

a= 2

A.

B.

C.

D.

33 a

3a .

. 33a .

3 3 Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

⇒ =

Gọi O là giao điểm của AC và BD . ABCD là hình chữ nhật OA OB OD =

′

⊥

ABD

'A O

= Mà A A A B A D

nên

(vì

'A O là

(

)

trực tâm giác ABD )

⇒ = BD

ABD∆ ⇒ =

vuông tại A = OA OB OD a

⇒

∆

−

vuông tại O

'AA O

A O '

2 '

AB AD a

ABCD

A O S ' .

a 3

ABCD

ABCDA B C D '

C ABC là trung điểm của

ABC A B C có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của

Câu 24. Cho lăng trụ

'A lên (

)

AC a=

BC . Tính thể tích khối lăng trụ

a= 2

A.

C.

B.

D.

⋅

3 3

33 a

a 2

ABC A B C biết AB a= , ' 33 a 2

⇒

⊥

ABC

'A H

Gọi H là trung điểm của BC

(

Hướng dẫn giải: )

ABC là tam giác vuông tại A

⇒ = BC

⇒

BC a

1 2

∆

'A AH

vuông tại H

⇒

−

A H '

2 '

AB AC .

∆

ABC

1 2

A H S ' .

ABC

ABCA B C '

a 3 2

ABCD là trọng tâm của tam

ABCD A B C D có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của

Câu 25. Cho lăng trụ

'A lên (

)

ABC =

giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ

ABCA B C biết AB a= , (cid:1) 0 120

a= .

'AA

A.

B.

C.

D.

3 2

⋅

3 2 6

3 2 3

3 2 2

Hướng dẫn giải:

⊥

ABCD

−

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD ) ⇒ . (cid:1)0 ABC

BAD =

( 'A H Ta có: (cid:1) BAD . 180 Tam giác ABD cân có (cid:1) 060 nên tam giác ABD đều.

AH⇒

ABD là tam giác đều cạnh a

⇒

∆

−

'A AH

A H '

vuông tại H

S= 2

A H S ' .

;

ABCD

ABD

ABC

ABCDA B C D '

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

20 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

ABB C

ABC A B C . Tính tỉ số '

Câu 26. Cho lăng trụ

ABCA B C '

A.

B.

C.

D.

⋅

1 2

1 6

1 3

2 3

Hướng dẫn giải:

Ta có:

BB C C là hình bình hành

⇒

A BB C

BB C '

BB C C '

A BB C C '

1 2

Ta có:

A A B C '

ABCA B C '

1 V= 3

⇒

−

A BB C C '

ABCA B C '

A A B C '

ABCA B C '

2 3

ABB C

⇒

ABB C

ABCA B C '

V V

1 3

1 = 3

ABCA B C '

ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ diện

. ’ ’ ’

A BB C là ’ ’

’

Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều

A.

B.

C.

D.

⋅

3 3 12

3 3 4

a 12

3 3 6 Hướng dẫn giải:

A '

′

= h BB

′

′ ′ A B C

    

⇒

′ BB S .

′

A BB C

′ ′ A B C

1 3

′

′ có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu

ABC A B C′ .

ABC là trung điểm I củ a BC . Thể tích khối lăng trụ là

Câu 28. Lăng trụ tam giác A′ lên (

)

A.

B.

C.

D.

⋅

3 3 6

3 3 2

3 3 8

3 3 12 Hướng dẫn giải:

′ =

⋅

A I

( .tan 30

3 3

a 2

     

⇒

′ A I S .

ABC

A . ’

C ’

’

a AB a

C A BC ,

2 ,

’ ’

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại

. ’ ’ ’

Câu 29. Lăng trụ đứng

= . Mặt bên (

) BB C C là hình

vuông. Khi đó thể tı́ch lăng trụ là

A.

B.

C.

D.

3 2

32 a

3 3

3 3 3

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

′

= h BB

−

  

⇒

AB AC .

ABC

1 2

⇒

2 =

′ BB S .

ABC

ABC A B . ’ ’

’

ABCMN

'BB . Tính tỉ số

ABC A B C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của

'CC và

Câu 30. Cho lăng trụ

ABC A B C .

D.

A.

B.

C.

2 3

1 3

1 6

1 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

BB C C là hình bình hành

⇒

BCMN

BB C C '

⇒

A BCMN

A BB C C '

1 2 1 2

Ta có:

A A B C '

ABCA B C '

1 V= 3

⇒

−

A BB C C '

ABCA B C '

A A B C '

ABCA B C '

2 3

A BCMN

⇒

A BCMN

ABCA B C '

V V

1 3

ABCA B C '

′

′ . Tỉ số thể tích giữa khối chóp

và khối lăng trụ đó là

ABC A B C′ .

.A ABC

A.

B.

C.

D. Câu 31. Cho khối lăng trụ 1 4

1 2

1 3

1 6

Hướng dẫn giải:

′ AA S .

′

A ABC

ABC

ABC A B C .

1 3

′

A ABC

⇒

1 3

′

ABC A B C .

′

và khối lập phương là:

ABCD A B C D .

.A ABD

A.

C.

B.

D. Câu 32. Cho khối lập phương 1 4

′ . Tỉ số thể tích giữa khối 1 6

1 8

1 3

Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

A '

′ AA S .

D '

A ABD

ABD

’.

C '

′ AA .

AB AD .

′ AA S .

ABCD

1 3 1 2

1 6

ABCD A B C D . ’

’

1 3 1 6

A ABD

’.

⇒

1 6

ABCD A B C D . ’

’

VẬN DỤNG THẤP

SAB và ( )

ABCD bằng α.

)

.S ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng (

Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều Tính thể tích của khối chóp

.S ABCD theo h và α.

A.

B.

C.

D.

h 3 4 tan

h 4 3tan

h 3 8 tan

h 8 3tan Hướng dẫn giải: S hAMO

⊥

Gọi O là tâm của mặt đáy thì

( SO mp ABCD

)

⇒

⊂ ⊂

(cid:1) SMO

)

Ta có:

ABCD

)

(

Từ đó, SO là đường cao của hình chóp.Gọi M là trung điểm đoạn CD.  ⊥ CD SM SCD (  ⊥ CD OM ABCD (   ∩ = CD SCD ( 

V =

.SABCD. SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM

1 3

Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tanα =

⇒ OM =

SO OM

h OM

h α tan

⇒ AB =

. SO = h.

. Suy ra: B = SABCD =

h 2 α tan

h 4 2 tan

.h =

Vậy VS.ABCD =

1 3

h 4 2 tan

h 4 3tan

.S ABCD

có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng

SAD

tạo với đáy một góc 60° . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD .

Câu 34. Cho hình chóp (

)

A.

B.

C.

D.

V =

33 a 4

33 a 8

38 a 3

34 a 3

Hướng dẫn giải:

⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA.

Ta có:

= SB AB

tan 60

a 2

Vậy V =

.4a2. 2a 3 =

1 3

38 a 3

⊥  AD AB  ⊥ AD SB  (cid:1) 060 SAB⇒ = SABCD = 4a2. Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

23 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng

2 3

. Tính thể tích khối lăng trụ

với đáy một góc 30° và tam giác

'A BC có diện tích bằng

ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a= , mặt phẳng (

) 'A BC tạo '

ABC A B C . '

A.

B.

C.

D.

3 3 8

33 a 4

33 a 8

33 a 2

Hướng dẫn giải: V= Bh = SABC. A’B’C’.AA’.

A’

C’

B’

⇒ ′ ⊥ BC A B ⊥ BC AB ′ ⊥ BC AA   

Và

⊂ ( ⊂ )

⇒

ABC

) (cid:1) = ABA '

Ta có:

30o

′

A B BC .

′∆

A BC

′⇒

A B

1 2 S 2. ′∆ BC

a 2. a

′

= AB A B

(cid:1) ′ ABA

′ A B

(cid:1) ′ ABA

.cos

3.cos 30

′ a AA 3 ;

.sin

3.sin 30

a 3

′ AA

′ AB BC AA

B h .

a a a .3 . .

ABC

ABC A B C .

1 2

'A trên

có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của

 ⊥ BC AB ABC )  ′ ⊥ BC A B A BC ' (   ∩ = A BC BC ( ' ( ) )  ) (cid:1)( (cid:1)( = AB A B ABC A BC ), ( ' , ) (

Câu 36. Cho hình lăng trụ

AA C C '

tạo với đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối

)

ABC A B C . ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng ( ) ( lăng trụ

A.

B.

C.

D.

V =

ABC A B C . ' 33 a 16

33 a 8

33 a 4

33 a 2

Hướng dẫn giải:

A’

B’

Go ̣i H, M, I lần lượt là trung điểm củ a các đoa ̣n thẳng AB, AC, AM. V .

A H '

∆= S

ABC

ABC A B C .

C’

S∆

ABC

2 3 4

Ta có IH là đường trung bı̀nh của tam giác AMB , MB là trung tuyến của tam giác đều ABC.

⇒ ⊥

IH AC

Do đó:

IH MB // ⊥

  

⇒ ⊥

⇒ ⊥ AC

A HI '

AC A I '

(

)

⊥ AC A H ⊥ AC IH

  

⊂ ( ⊂

(cid:1)'A IH⇒

AA C C và '

là góc gữa hai mặt phẳng (

)

Mà:

⊥ AC IH ⊥ AC A I ' ∩

ABC ) ACC A ( =

ABC

ACC A

)

(

    

(

ABCD (cid:1)' ) A IH⇒

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

⇒

° =

= A H IH

tan 45

.tan 45

Trong tam giác

'A HI vuông ta ̣i H, ta có:

A H ' HI

V =

. Vậy

1 2

a 3 16

Câu 37. Cho hình chóp đều

.S ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy (

) ABC bằng

060 , khoảng cách giữa hai đường

a 3

. Thể tı́ch củ a khối chóp

thẳng SA và BC bằng

.S ABC theo a bằng

2 7

A.

B.

C.

D.

3 3 12

3 3 18

3 3 24

3 3 16 Hướng dẫn giải:

⊥

∈

Go ̣i M là trung điểm củ a BC . Trong mp(SAM), Kẻ

MH SA H SA ) , (

⇒ ⊥

⇒ ⊥ BC

SAM

BC MH

Ta có:

(

)

⊥ BC AM ⊥ BC SO

  

Do đó MH là đường vuông góc chung của SA và BC .

a 3

⊥ ⇒

MH =

SM BC

SMA

ABC

. Ta có:

Suy ra

) ( ,

)(cid:1) (cid:1) 0 ( ( ) SBC 60

2 7

= ⇒

OM x

x OA

3 ,

Đặt

và

)

(

ta có:

⇒ = SO OM . tan 60 ) ( Trong SAM△ = SA MH SO AM

. . a a 3 ⇔ = x x x ⇔ = x 7. 3.3 2 7 2 3

Khi đó:

⇒ = . AB a

a a 3 = = = AM x 3 3. 2 2 3

∆

S ABC

ABC

a a 3 3 = = = V S . SO . . . 1 3 1 3 4 24 a 2

BD a= 2 .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O ,

Câu 38. Cho hình chóp đều và (

)

a 2 3 ABCD . Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (

, hai mặt phẳng ( ) SAC ) SAB bằng

)

. Tính thể tı́ch củ a khối chóp

a SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ( 3 .S ABCD theo a . 4

a a a a

A.

B.

C.

D.

3 3 16

3 3 18

3 3 12

3 3 3 Hướng dẫn giải

⇒

(cid:1)0 ABO

đều.

Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO a= BO a= . Do đó AO BO Suy ra ABD∆ Ta

= = = tan 60 60 3

3a 2

⊥ SAC ABCD

⇒ ⊥ SO

có:

(

)

) ) =

⊥ SBD ABCD

) ) )

( ( (

(   (   ( 

Trong tam giác đều ABD , gọi H là trung điểm

∩ SBD SAC SO ABCD )

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

AB, K là trung điểm BH,

DH a=

và

;

suy ra DH AB⊥

Suy ra

(

)

a 3 = = OK DH OK DH và / / 1 2 2 ⊥ ⇒ ⊥ OK AB AB SOK

Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:

( d O SAB ;

)

(

)

⇒ =  OI 

  .

⇒ = SO

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao:

1 OI

1 OK

1 SO

a 2

S .

SO .

S .4.

SO .

.4.

OA OB SO .

∆

S ABCD

ABCD

ABO

1 3

1 2

⊥ ⊥ ⇒ ⊥ OI SK AB OI OI SAB ;

Câu 39. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều

đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp

.S ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác .S ABCD theo a .

A.

B.

C.

D.

36 a

38 a

32 a

34 a

Hướng dẫn giải:

kẻ đường cao OH .

Go ̣i M là trung điểm củ a CD , trong SOM∆ ⇒

⇒

⊥

OH a

SCD

= .

(

) Đặt CM x= . Khi đó OM x= ,

SM x=

−

SO Ta có:

2 . SM x 2 = SM OH SO OM .

x .

⇔

⇒ = x

a 3.

A

⇒ =

CD a

= SO a

S .

SO .

2 CD SO . .

2 a a .6 .

S ABCD

ABCD

1 3

⊥

ABCD

.S ABCD có

a= 2

(

)

Câu 40. Cho hı̀nh chóp tứ giác =

. Tính thể tích khối chóp

a 3

060 .

. ABCD là hình thang vuông tại A và B biết SCD và ( )

) ABCD bằng

.S ABCD theo a biết góc giữa (

A.

B.

C.

D.

2 6a .

6 6a .

2 3a .

6 3a .

Hướng dẫn giải:

tại M .

ABCD

Dựng AM CD⊥ Ta có: (cid:1) 060 SMA = + AD BC 2

− AD BC

(

AB BC a

ABCS

−

1 2 S

23 a

ACD

ABCD

ABC

⇒

AM CD .

ACD

S 2 ACD CD

1 2

3 2 2

= SA AM

.tan

SA S .

2 6

Ta có:

S ABCD

ABCD

(cid:1) 3 6 = SMA 2

1 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

26 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

⊥

ABCD

, ABCD là hình thang vuông tại A và B biết

.S ABCD có

(

)

. Tính thể tích khối chóp

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 41. Cho hı̀nh chóp tứ giác a= a 3 2

.S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng

(

SCD bằng )

a .

3 6 4

A.

B.

C.

D.

6 6a .

2 6a .

2 3a .

6 3a .

Hướng dẫn giải:

tại M . tại H .

Dựng AM CD⊥ Dựng AH SM⊥

Ta có:

ABCD

3 6 4 + AD BC 2

− AD BC

(

AB BC a

ABCS

−

1 2 S

23 a

ACD

ABCD

ABC

⇒

AM CD .

ACD

S 2 ACD CD

1 2

3 2 2

AH AM .

⇒ = AS

Ta có:

1 AH

1 AM

1 AS

3 6 2

2 − AM AH

SA S .

2 6

S ABCD

ABCD

1 3

'BB

)

Câu 42. Cho lăng tru ̣ tam giác

a= , góc giữa đường thẳng

'BB và (

ABC A B C có ' '

ABC bằng 60° , tam giác

'B lên (

)

ABC trù ng vớ i tro ̣ng tâm củ a

° . Hı̀nh chiếu vuông góc củ a điểm

' ABC vuông ta ̣i C và góc (cid:1) 60 BAC = . Thể tı́ch củ a khối tứ diê ̣n ABC∆

A.

B.

C.

D.

a 13 108

'.A ABC theo a bằng 37 a 106

39 a 208

a 15 108 Hướng dẫn giải:

60°

,AB AC .

⇒

⊥

ABC

'B G

B BG '

,M N là trung điểm củ a Go ̣i và G là tro ̣ng tâm củ a ABC∆ )

(

)(cid:1)( ( BB ABC

) (cid:1) 0

AC BC B G

S .

B G '

∆

A ABC

ABC

1 3

1 6

60°

∆

B BG =

Xét

'B BG

vuông ta ̣i G , có (cid:1) 0 60 3

B G⇒

. (nửa tam giác đều)

BAC =

Đă ̣t

. Trong ABC∆

x= 2

vuông ta ̣i C có (cid:1) 060

⇒ = AC

x BC x ,

⇒ tam giác ABC là nữa tam giác đều

AB 2

⇒ = BN

Do G là tro ̣ng tâm ABC∆

3 2

a 3 4

Trong BNC∆

vuông ta ̣i C :

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

27 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

a 3 = AC 2 13 a 3 ⇔ = + ⇔ = x x ⇒ = x 3 a 9 16 x 4 a 9 52 2 13 a 3 3 = BC    ⇒    2 13

Vậy,

A ABC

a a 3 a 3 3 3 = = V . . 1 6 2 a 9 208 . 2 13 2 13

. ' ' '

Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng

.Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ tâm O của tam

giác ABC đến mặt phẳng (

) 'A BC bằng

ABC A B C . ' . ' ' a 6

2 2 2 2

A.

B.

C.

D.

33 a 8

33 a 28

33 a 16

33 a 4 Hướng dẫn giải:

theo giao tuyến

)

⊥

∈

OH A M H A M

(

)

Go ̣i M là trung điểm củ a BC , ( ta có ( ⊥ Trong (

) 'A AM kẻ

A AM ' A BC ' 'A M .

(

)

⇒ ⊥ OH A BC '

Suy ra:

)

( ( d O A BC

)

= OH= , ' a 6

ABC

a = S∆

2 3 4 Xét hai tam giác vuông (cid:3)M chung nên chúng đồng dạng.

'A AM và OHM có góc

Suy ra:

a 3 . 3 ⇒ ⇒ = = = OH A A ' OM A M ' a 6 A A ' 1 A A ' 2 + AM 1 3 A A ' a 3 A A ' 2  +       

. Thể tích:

∆= S

ABC

ABC A B C .

a a a 6 6 3 2 = = = A A⇒ V ' . A A ' . 4 a 3 16 4 4 VẬN DỤNG CAO

. Kí

= NS NC .S ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho 2

Câu 44. Cho hình chóp tam giác

hiệu

,V V lần lượt là thể tích của các khối chóp 1

.A BMNC và .S AMN . Tính tỉ số V 1 V 2

A.

B.

C.

D.

2. = 3 2 = 3 1 = 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 Hướng dẫn giải

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

28 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

S AMN

S ABC

S AMN

A BMNC

S ABC

Suy ra,

= = ⋅ = ; SM SN ⋅ SB SC V V 1 2 2 3 1 3

S AMN

= . 2 V A BMNC V

= NC NS .S ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho 2

Câu 45. Cho hình chóp tam giác

. Kí hiệu

điểm trên cạnh SA sao cho

, P là ,V V lần lượt là thể tích của các khối tứ diện BMNP và SABC . 1

Tính tỉ số

= PA PS 2

V 1 V 2

B.

C.

D.

A.

3 = . 4 2 = . 3 1 = . 3 1 = . 9 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 Hướng dẫn giải

BMP

;

C SAB .

SAB

⋅ ⋅ d N SAB S , ( )) ( = V N BMP V ⋅ ⋅ d SAB S (C, ( ))

= = NS CS 1 3 1 3 d N SAB )) , ( ( SAB d )) (C, ( 2 3

BPM

BPS

SAB

Suy ra,

= = ⋅ S S S 1 2 1 1 2 3

C SAB

SAB và ( )

)

= ⋅ = . V N BMP V 2 1 3 6 1 9

ABCD bằng 45° ,

.S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng (

Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều

,M N và P lần lượt là trung điểm các cạnh ,SA SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP .

A.

B.

C.

D.

V = V = V = V = a 6 a 4 a 12 a 2

Hướng dẫn giải

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

29 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Ta có:

SAB

= = S SMN S SM SN ⋅ SA SB 1 4

Tương tự,

SAB

= = , S BNP S S AMP S 1 4 1 4

Suy ra

(có thể khẳng định

SAB

= = S MNP S S MNP S 1 4

đồng dạng với tỉ số

45°

1 4 nhờ hai tam giác MNP và BAS là hai tam giác

1 k = ). 2

Do đó

(1)

D SAB .

= V D MNP V 1 4

. (2)

S DAB

S ABCD

D SAB .

= = V V V 1 2

(3). Từ (1), (2) và (3):

S ABCD

ABCD

DMNP

= = = = = V OP V SO S . ° S .tan 45 . . 1 3 1 3 a 4 3 a 1 1 4 . 3 4 2 a 6

′ =

; cạnh bên

a 2

′ AC

Câu 47. Cho lăng trụ

. Hình chiếu a= 2 ABC là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ

ABC A B C′ . vuông góc của A′ trên mặt phẳng ( ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , )

′ ′ . ABC A B C′ .

A.

B.

C.

D.

31 a= 2

32 a 3

V V = V = V a= a 3

Hướng dẫn giải

Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao của nó, và

a 2

= = = HB HA HC AC a = . 1 2

= − = − ′ A H ′ A A AH a = . a 2

′

ABC

ABC A B C .

′ ′ = ⋅ = = ⋅ ⋅ V A H S A H BH AC a a 1 2

G G G và , 2

,AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi

4G lần lượt là . Tính theo a thể tích khối tứ

= AB , , a= 6 , ABC ABD ACD và BCD . Biết AC AD a a= 9 12

Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh trọng tâm các mặt diện

G G G G . 3

A.

B.

C.

D.

1 34a

3 36a

108a

Hướng dẫn giải

Trong trường hợp tổng quát, ta chứng

minh được

ABCD

G G G G 1 2 3 4

(cid:4)

)

CBA ( )

và

Thật vậy, G G G ( ta có 3 4

△

∼△

CBA

(tỉ số đồng dạng

G G G 3

4 )

= V V 1 27

. Từ đó:

G G G 2 3 4 S

CBA

1 k = ) 3 S = k 1 = và 9

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

30 | T H B T N

BTN_7_2

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

= ( )) d G ABC , ( ( )) d G G G G , ( 4

= = DM d D ABC , ( ( )) (do ) G M 4 1 3 1 3

Suy ra

G G G G 1 2 3 4 V

G G G 2 3 4 S

1 (

ABCD

CBA

V S )) = ⋅ d G G G G , ( ( 4 3 d D ABC , ( )) 1 1 = ⋅ = 3 9 1 27

ABCD

G G G G 1 2 3 4

⇒ = = = V V AB AC AD a . . . 4 1 27 1 1 ⋅ 27 6

= = = = AB CD = BC AD m = BD AC m 20 21 11

Câu 49. Cho tứ diện ABCD có

A.

B.

D.

C.

. Tính thể tích khối tứ diện ABCD . 3 340m

3 770m

360m m 3 720m

Hướng dẫn giải

Dựng tam giác MNP sao cho C, B, D lần lượt là trung điểm các cạnh MN, MP, NP. Do BD là đường trung bình tam giác

MNP

nên

hay

= BD MN 1 2

. Tương

Tam giác AMN vuông tại A (do có trung tuyến bằng một nửa cạnh tương tự, ứng), hay AM AN⊥ AN⊥ và AP AM AP⊥ .

= AC MN 1 2

Ta có

.Suy ra

MBC

MNP

NCD

MNP

BPD

BCD

MNP

S S S S 1 S= 4 1 S= 4 1 S= 4 1 S= 4 2 + = x y 4.20

2 4.21

. Đặt

. Ta có

Từ đó,

ABCD

AMNP

1 V= 4

2 4.11

= = = + = x y z y z , , AN m AM m AP m + = x z     

suy ra

AMNP

ABCD

= x 160 ⇒ ⇒ = = = = y xyz V V m 1440 1440 360 1 4 1 6 = z 324     

)

(AM, AN, AP đôi một vuông góc nên

AMNPV

= AM AN AP . . 1 6

= + − − + − + + V a b c a b c a b c ( )( )( ) 2 12

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

31 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông

)

.S ABCD có đáy là vuông; mặt bên (

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 50. Cho hình chóp tứ giác

góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (

. Tính thể tích V của khối chóp

SCD bằng )

a 3 7 7

A.

B.

C.

D.

32 a= 3

33 a 2

V V V = V a= .S ABCD . 31 a= 3

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là chiều cao khối chóp đã cho. Kí hiệu x là độ dài cạnh đáy.

Ta có

và

S ABCD

∈

⊥

Kẻ

)

;

⊥

∈

Kẻ

)

⊥

SCD

Suy ra

(

)

và

= = SH V x x 3 6 3 2 HK CD K CD (

= d A SCD , ( ( )) d H SCD , ( ( ))

⋅ HS HK = = = HL x 21 7 + HS HK

Theo gt,

. Suy ra

S ABCD

a = = = = x ⇒ = x a V x a a 3 ( 3) 3 2 3 6 3 6 21 7 3 7 7

, (

)α là

= SM= SN NB .S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho 2MA 2

Câu 51. Cho tứ diện

(

)H và

(

)H là các khối đa diện có được khi chia khối tứ

mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu

diện

)α , trong đó,

(

2 )H chứa điểm A ;

)H chứa điểm S ,

1V và

2V lần lượt là thể tích

của

(

)H và

(

)H . Tính tỉ số

.S ABC bởi mặt phẳng (

V 1 V 2

C.

D.

A.

B.

3 4 4 3 4 5 5 4

Hướng dẫn giải

Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của (

)α với các đường thẳng BC , AC .

NP MQ SC . Khi chia khối

(

)H bởi mặt phẳng (

)QNC , ta được hai khối chóp

Ta có

.N SMQC và .N QPC .

;

Ta có:

N SMQC V

SMQC S

B ASC

SAC

V S = ⋅ d N SAC , ( ( SAC d (B, ( )) ))

;

= = NS BS d N SAC ( , ( SAC d (B, ( )) )) 2 3

AMQ S

SMQC S

ASC

S S = =       AM AS 4 = ⇒ 9 5 9

Suy ra

N SMQC V

B ASC

2 5 = ⋅ = 3 9 10 27

QPC

.QP

ABC

S = ⋅ S V N V d N ( d (S, (A C , (QP )) BC ))

S ABC . NB CQ CP SB CA CB

.QP

N SMQC V

B ASC

S ABC

⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = = 1 1 2 3 3 3 2 27 V = + = + = ⇒ = V 5 1 V 4 2 V 1 V V N V 10 27 2 27 4 = ⇒ 9 4 9 V 1 + V V 2 V 4 ⇒ = 1 V 5 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

32 | T H B T N

BTN_7_2

(cid:7)

SAB , ( )

SAC và ( )

SBC )

.S ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 52. Cho hình chóp

cùng tạo với mặt phẳng (

ABC các góc bằng nhau. Biết

)

; đường thẳng SB tạo với

AB = BC = AC = 25 17 26

mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp A.

B.

C.

D.

Gọi J là chân đường cao của hình chóp S.ABC; H, K

và L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh AB, BC và CA . Suy ra, (cid:1)SHJ , (cid:1)SLJ và (cid:1)SKJ lần lượt là ABC với các mặt phẳng góc tạo bởi mặt phẳng (

)

)AB , (

SBC và ( )

SAC . Theo giả thiết, ta có

)

(cid:1) (cid:1) (cid:1) = = SKJ SHJ SLJ và SJH SJL ,

nhau. Từ

bằng

, suy ra các tam giác vuông đó, SJK

y=9

z=17

V = V = V = 680 408 600 .S ABC . V = 578 Hướng dẫn giải