Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.3

BTN_7_3<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC<br /> TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN<br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> ① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng<br /> Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH ,<br /> với H là hình chiếu của M trên đường thẳng a .<br /> Kí hiệu: d (M , a ) = MH .<br /> <br /> M<br /> a<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> M<br /> <br /> ② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.<br /> Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) là MH , với<br /> H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (α) .<br /> <br /> (<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> )<br /> <br /> Kí hiệu: d M , (α) = MH .<br /> ③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.<br /> Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng<br /> cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.<br /> <br /> d (a,b ) = d (M , b ) = MH<br /> <br /> b<br /> a<br /> <br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> (M ∈ a )<br /> <br /> ④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.<br /> <br /> a<br /> <br /> Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với<br /> <br /> M<br /> <br /> nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến<br /> mặt phẳng (α) :<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> d a, (α) = d M , (α) = MH (M ∈ a )<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.<br /> Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ<br /> một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.<br /> α<br /> d (α), (β ) = d a, (β ) = d  A, (β ) = AH a ⊂ (α), A ∈ a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (<br /> <br /> β<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> a<br /> <br /> )<br /> H<br /> <br /> K<br /> <br /> ⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.<br /> - Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là<br /> đường vuông góc chung của a,b . IJ gọi là đoạn vuông góc chung của a,b .<br /> c<br /> a<br /> I<br /> a<br /> I<br /> β<br /> <br /> J<br /> b<br /> α<br /> - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai<br /> đường thẳng đó.<br /> J<br /> <br /> b<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 1|THBTN<br /> <br /> BTN_7_3<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> BẢ<br /> B. KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng<br /> a. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước<br /> Các bước thực hiện:<br /> Bước 1. Trong mặt phẳng (M , d ) hạ MH ⊥ d với H ∈ d .<br /> Bước 2. Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,<br /> đường tròn, …<br /> a<br /> <br /> M<br /> <br /> a<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> d<br /> <br /> d<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> K<br /> <br /> I<br /> <br /> H K<br /> <br /> Chú ý:<br /> • Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì:<br /> <br /> d (M , d ) = d (A, d ) = AK<br /> <br /> (A ∈ d ) .<br /> d (M , d ) MI<br /> =<br /> .<br /> • Nếu MA ∩ d = I , thì:<br /> AI<br /> d (A, d )<br /> b. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)<br /> <br /> β O<br /> ∆<br /> α<br /> <br /> Các bước thực hiện:<br /> <br /> O<br /> <br /> d<br /> <br /> H<br /> <br /> Bước 1. Tìm hình chiếu H của O lên (α) .<br /> <br /> H<br /> <br /> α<br /> <br /> - Tìm mặt phẳng (β ) qua O và vuông góc với (α) .<br /> - Tìm ∆ = (α ) ∩ (β ) .<br /> - Trong mặt phẳng (β ) , kẻ OH ⊥ ∆ tại H.<br /> <br /> ⇒ H là hình chiếu vuông góc của O lên (α) .<br /> <br /> A<br /> <br /> Bước 2. Khi đó OH là khoảng cách từ O đến (α) .<br /> <br /> O<br /> <br /> I<br /> <br /> Chú ý:<br /> <br /> α<br /> <br /> • Chọn mặt phẳng (β ) sao cho dễ tìm giao tuyến với (α) .<br /> <br /> H<br /> <br /> • Nếu đã có đường thẳng d ⊥ (α ) thì kẻ Ox / /d cắt (α) tại H.<br /> O<br /> <br /> ) ( )<br /> d (O, (α )) OI<br /> Nếu OA cắt (α) tại I thì:<br /> =<br /> d (A, (α)) AI<br /> <br /> •<br /> <br /> α<br /> <br /> A<br /> <br /> H<br /> <br /> (<br /> <br /> • Nếu OA// (α ) thì: d O, (α) = d A, (α) .<br /> <br /> K<br /> <br /> K<br /> <br /> 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau<br /> • Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b<br /> <br /> b<br /> <br /> Trường hợp a ⊥ b:<br /> - Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B.<br /> - Trong (α) dựng BA ⊥ a tại A.<br /> <br /> B<br /> <br /> α<br /> <br /> a<br /> <br /> A<br /> <br /> ⇒ AB là đoạn vuông góc chung.<br /> Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.<br /> Cách 1: (Hình a)<br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 2|THBTN<br /> <br /> BTN_7_3<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> - Dựng mp (α) chứa a và song song với b.<br /> - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM′ ⊥ (α) tại M′<br /> <br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> M'<br /> <br /> b<br /> <br /> - Từ M′ dựng b′// b cắt a tại A.<br /> - Từ A dựng AB //MM ′ cắt b tại B.<br /> <br /> a<br /> <br /> b'<br /> <br /> ⇒ AB là đoạn vuông góc chung.<br /> α<br /> <br /> Cách 2: (Hình b)<br /> <br /> (Hình a)<br /> <br /> - Dựng mặt phẳng (α ) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I<br /> - Dựng hình chiếu vuông góc b′ của b lên (α)<br /> - Trong mp (α) , vẽ OH ⊥ b′ tại H.<br /> <br /> a<br /> A<br /> <br /> - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B<br /> - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A.<br /> ⇒ AB là đoạn vuông góc chung.<br /> • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a,b<br /> <br /> b<br /> B<br /> b'<br /> <br /> O<br /> H<br /> <br /> I<br /> <br /> α<br /> <br /> Cách 1. Dùng đường vuông góc chung:<br /> - Tìm đoạn vuông góc chung AB của a,b .<br /> <br /> (Hình b)<br /> <br /> - d (a,b ) = AB<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: d (a, b ) = d ((α), (β ))<br /> <br /> Cách 2. Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b. Khi đó: d (a, b ) = d b, (α)<br /> Cách 3.<br /> <br /> 3. Phương pháp tọa độ trong không gian<br /> a) Phương trình mặt phẳng (MNP ) đi qua 3 điểm M (x M ; yM ; z M ), N (x N ; yN ; z N ), P (x P ; y P ; z P ) :<br /> + Mặt phẳng (MNP ) đi qua điểm M (x M ; y M ; z M ) có vtpt n = MN ∧ MP = (A; B;C) có dạng:<br /> A (x − x M ) + B (y − yM ) + C (z − z M ) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0<br /> <br /> + Khoảng cách từ một điểm I (x I ; y I ; z I ) đến mặt phẳng (MNP ) :<br /> IH = d (I ,(MNP )) =<br /> <br /> Ax I + ByI + Cz I + D<br /> A2 + B 2 + C 2<br /> <br /> (MN ∧ MP ).MI<br /> Công thức tính nhanh: d I ,(MNP ) =<br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> MN ∧ MP<br /> <br /> b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AB,CD là: d (AB,CD ) =<br /> <br /> c) Góc giữa hai đường thẳng AB,CD theo công thức: cos (AB,CD ) =<br /> <br /> (AB ∧ CD ).AC<br /> AB ∧ CD<br /> <br /> AB.CD<br /> AB . CD<br /> <br /> d) Góc giữa hai mặt phẳng (ABC ) và (MNP ) :<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 3|THBTN<br /> <br /> BTN_7_3<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> (ABC ) có vecto pháp tuyến n<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> cos (ABC ), (MNP ) =<br /> <br /> 1<br /> <br /> = AB ∧ AC ; (MNP ) có vtpt n 2 = MN ∧ MP , khi đó:<br /> n1.n 2<br /> <br /> =<br /> <br /> n1 . n2<br /> <br /> A1A2 + B1B2 + C 1C 2<br /> 2<br /> A12 + B12 + C 12 . A2 + B22 + C 22<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ⇒ (ABC ), (MNP ) ≃<br /> <br /> e) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (MNP ) :<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> Tính u = AB và (MNP ) có vtpt n = MN ∧ MP , thì: sin AB, (MNP ) =<br /> <br /> u.n<br /> u .n<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ⇒ AB, (MNP ) ≃<br /> <br /> TẬ TRẮ NGHIỆ<br /> C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM<br /> KHỐI CHÓP ĐỀU<br /> Câu 1.<br /> <br /> Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600<br /> Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:<br /> a<br /> a<br /> 3a<br /> 3a<br /> A .<br /> B. .<br /> C.<br /> .<br /> D.<br /> .<br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc<br /> giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và<br /> SA bằng:<br /> A.<br /> <br /> Câu 3.<br /> <br /> a 5<br /> 5<br /> <br /> a 5<br /> .<br /> 10<br /> <br /> D.<br /> <br /> a 2<br /> .<br /> 5<br /> <br /> 85<br /> .<br /> 17<br /> <br /> B. arctan<br /> <br /> 10<br /> .<br /> 17<br /> <br /> C. arcsin<br /> <br /> 85<br /> .<br /> 17<br /> <br /> D. arccos<br /> <br /> 85<br /> .<br /> 17<br /> <br /> 330<br /> .<br /> 110<br /> <br /> B. arccos<br /> <br /> 33<br /> 11<br /> <br /> C. arccos<br /> <br /> 3<br /> .<br /> 11<br /> <br /> D. arccos<br /> <br /> 33<br /> 22<br /> <br /> Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SA = a 3 . M là trung điểm của cạnh<br /> BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:<br /> A. arctan<br /> <br /> Câu 6.<br /> <br /> C.<br /> <br /> Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.<br /> Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:<br /> A. arccos<br /> <br /> Câu 5.<br /> <br /> a<br /> .<br /> 5<br /> <br /> Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD.<br /> Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:<br /> A. arctan<br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> B.<br /> <br /> 2 11<br /> .<br /> 110<br /> <br /> B. arctan<br /> <br /> 110<br /> .<br /> 11<br /> <br /> C. arctan<br /> <br /> 2 110<br /> .<br /> 33<br /> <br /> D. arctan<br /> <br /> 2 110<br /> .<br /> 11<br /> <br /> Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, AB = a, AC = a 2 và diện tích tam<br /> giác SBC bằng<br /> A.<br /> <br /> a 330<br /> .<br /> 33<br /> <br /> a 2 33<br /> . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:<br /> 6<br /> B.<br /> <br /> a 330<br /> .<br /> 11<br /> <br /> C.<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> a 110<br /> .<br /> 33<br /> <br /> D.<br /> <br /> 2a 330<br /> .<br /> 33<br /> <br /> 4|THBTN<br /> <br /> BTN_7_3<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> Câu 7.<br /> <br /> Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,<br /> 0<br /> <br /> BA = BC = a , góc giữa mp( SBC ) với mp ( ABC ) bằng 60 . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp<br /> <br /> tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .<br /> A.<br /> Câu 8.<br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 4<br /> <br /> B.<br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> C.<br /> <br /> a 2<br /> .<br /> 3<br /> <br /> D.<br /> <br /> a 6<br /> .<br /> 2<br /> <br /> Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600<br /> và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng<br /> CM và OA.<br /> A. arctan<br /> <br /> Câu 9.<br /> <br /> 93<br /> .<br /> 6<br /> <br /> B. arctan<br /> <br /> 31<br /> .<br /> 3<br /> <br /> B. arctan<br /> <br /> 93<br /> .<br /> 3<br /> <br /> D. arctan<br /> <br /> 31<br /> .<br /> 2<br /> <br /> Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng 300 , góc ABO bằng 600<br /> và AC = a 6 . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng<br /> (OCM) và (ABC).<br /> A. arcsin<br /> <br /> 1<br /> 35<br /> <br /> B. arcsin<br /> <br /> 34<br /> 35<br /> <br /> C. arcsin<br /> <br /> 14<br /> 35<br /> <br /> D. arcsin<br /> <br /> 3<br /> 7<br /> <br /> Câu 10. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC)<br /> <br /> bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA<br /> với mặt phẳng (ACM bằng:<br /> 3<br /> 1<br /> 3<br /> 1<br /> A. arcsin<br /> .<br /> B. arcsin<br /> .<br /> C. arcsin<br /> .<br /> D. arcsin<br /> .<br /> 4 7<br /> 7<br /> 2 7<br /> 2 7<br /> Câu 11. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và<br /> <br /> mp(OBC ) bằng 600 , OB = a , OC = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh OB . Tính góc giữa<br /> hai mặt phẳng ( AMC ) và ( ABC ) bằng:<br /> A. arcsin<br /> <br /> 3<br /> 32<br /> 1<br /> 34<br /> .<br /> B. arcsin<br /> .<br /> C. arcsin<br /> .<br /> D. arcsin<br /> .<br /> 35<br /> 35<br /> 35<br /> 35<br /> KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY<br /> <br /> Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết AD = 2a ,<br /> AB = BC = SA = a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính<br /> <br /> khoảng cách h từ M đến mặt phẳng ( SCD ) .<br /> A. h =<br /> <br /> a 6<br /> .<br /> 6<br /> <br /> B. h =<br /> <br /> a 6<br /> .<br /> 3<br /> <br /> C. h =<br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 6<br /> <br /> D. h =<br /> <br /> a<br /> .<br /> 3<br /> <br /> Câu 13. Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 . Cạnh OA<br /> <br /> vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA = a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h<br /> giữa hai đường thẳng AB và OM.<br /> A. h =<br /> <br /> a 5<br /> .<br /> 5<br /> <br /> B. h =<br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> C. h =<br /> <br /> a 15<br /> .<br /> 5<br /> <br /> D. h =<br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 15<br /> <br /> Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng<br /> ( ABCD ) , SA = 2a . Gọi F là trung điểm SC, tính góc ϕ giữa hai đường thẳng BF và AC.<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 5|THBTN<br /> <br />