Cực và đối cực

C c và ñ i c c<br /> C C VÀ ð I C C<br /> Dương B u L c-Trư ng THPT chuyên Tr n ð i Nghĩa<br /> A. ðư ng ñ i c c c a m t ñi m ñ i v i 2 ñư ng th ng<br /> 1. ð nh nghĩa: Hai ñi m A, B g i là liên h p ñ i v i 2 ñư ng th ng a, b khi chúng liên h p<br /> v i 2 ñi m C, D là giao ñi m c a AB v i a, b.<br /> ñây khái ni m A, B liên h p v i C, D có nghĩa là A, B, C, D là hàng ñi m ñi u hòa hay<br /> (ABCD) = -1<br /> 2. Bài toán: Cho 2 ñư ng th ng c, d và ñi m A<br /> c a A ñ i v i c, d.<br /> <br /> ngoài. Tìm qu tích nh ng ñi m B liên h p<br /> K m t cát tuy n AC’D’. L y<br /> m t ñi m B’ liên h p c a A ñ i<br /> v i C’D’.<br /> K cát tuy n di ñ ng ACD. N i<br /> OB’ c t ACD t i B. Ta có<br /> (O,AB’C’D’) là m t chùm ñi u<br /> hòa nên (O,ABCD) cũng là m t<br /> chùm ñi u hòa. Do ñó A, B liên<br /> h p v i ñ i v i c, d. V y qu<br /> tích nh ng ñi m liên h p c a A<br /> ñ i v i c, d là ñư ng th ng liên<br /> h p c a OA ñ i v i c, d.<br /> ðư ng th ng này g i là<br /> ñư ng ñ i c c c a A ñ i v i<br /> c, d. ði m A g i là c c.<br /> Chú ý<br /> - khi c // d thì ñư ng ñ i c c<br /> cũng song song v i c,d.<br /> - Trong m t hình 4 c nh ñ<br /> m i ñ
ng chéo ñ
c 2<br /> ñ
ng chéo kia chia ñi u hòa<br /> ñ i v i 2 ñ nh.<br /> <br /> B. ðư ng ñ i c c c a ñi m ñ i v i m t ñư ng tròn<br /> 1. ð nh nghĩa: Hai ñi m A, B g i là liên h p ñ i v i ñư ng tròn (O) khi ñư ng tròn ñư ng<br /> kính AB tr c giao v i (O).<br /> ðư ng tròn (O;R) g i là tr c giao v i ñư ng tròn (O’;R’) khi và ch khi phương tích c a O ñ i<br /> v i (O’) b ng R2. Khi ñó ñư ng tròn (O’) cũng tr c giao v i (O).<br /> 1<br /> <br /> C c và ñ i c c<br /> <br /> 2. Bài toán: Tìm qu tích nh ng ñi m liên h p c a ñi m A ñ i v i ñư ng tròn (O).<br /> L y m t ñi m B b t kỳ liên h p c a A ñ i v i ñư ng tròn (O). Theo ñ nh nghĩa ta có ñư<br /> tròn (O) tr c giao v i ñư ng tròn ñư ng kính AB. AO c t ñư ng tròn (O) t i C, D và ñư<br /> tròn (O’) t i H. Ta có OC2 = OD2 = OH.OA ⇒ (AHCD) = - 1 hay H là liên h p c a A ñ i<br /> C,D. Vì A, C, D c ñ nh nên H c ñ nh. V y qu tích nh ng ñi m liên h p c a A ñ i<br /> ñư ng tròn (O) là m t ñư ng th ng a vuông góc v i OA t i H v i OH.OA = R2 .<br /> <br /> ng<br /> ng<br /> v i<br /> v i<br /> <br /> ðư ng th ng a g i là ñư ng ñ i c c c a A ñ i v i ñư ng tròn (O) và A g i là c c c a<br /> a ñ i v i (O).<br /> Chú ý:<br /> Trong m t t giác n i ti p,<br /> giao ñi m c a 2 ñ
ng chéo<br /> s liên h p v i 2 giao ñi m<br /> c a 2 c p c nh ñ i.<br /> Gi s IJ c t CD, AB l n lư t<br /> t i M, N ta có M,K liên h p v i<br /> C,D và N, K liên h p v i B, A ⇒<br /> IJ là ñư ng ñ i c c c a K ñ i<br /> v i ñư ng tròn.<br /> Tương t IK là ñư ng ñ i c c<br /> c a J và KJ là ñư ng ñ i c c<br /> c a I.<br /> <br /> 2<br /> <br /> C c và ñ i c c<br /> 3. Tính ch t c a ñư ng ñ i c c.<br /> a) ðư ng ñ i c c c a m t ñi m A (khác O) ñ i v i ñư ng tròn (O) là m t ñư ng th ng hoàn<br /> toàn xác ñ nh vì OH.OA = R2<br /> b) Hai ñi m A, B có 2 ñư ng ñ i c c khác nhau ñ i v i m t ñư ng tròn.<br /> c) N u ñư ng ñ i c c c a A ñi qua B thì ñư ng ñ i c c c a B s ñi qua A.<br /> Th t v y n u ñư ng ñ i c c c a A ñi qua B thì B là ñi m liên h p c a A ñ i v i (O) cho nên<br /> A cũng là ñi m liên h p c a B ñ i v i (O) ,v y A n m trên ñư ng ñ i c c c a B.<br /> d) N u m t ñi m A ch y trên ñư ng th ng (d) thì ñư ng ñ i c c c a A luôn ñi qua c c B c a<br /> (d).<br /> e) N u 4 ñi m ABCD l p thành m t hàng ñi m ñi u hòa thì 4 ñư ng ñ i c c c a chúng l p<br /> thành m t chùm ñi u hòa.<br /> Gi s A,B,C,D n m trên ∆. G i I là c c c a ∆ ñ i v i (O). G i d1, d2, d3, d4 l n lư t là các<br /> ñư ng ñ i c c c a A, B, C, D , chúng ñ ng qui t i I và l n lư t vuông góc v i OA, OB, OC,<br /> OD. Vì chùm (O,ABCD) ñi u hòa nên chùm I(d1d2d3d4) cũng là chùm ñi u hòa.<br /> 4. ð nh lý Brianchon. M t hình l c giác ngo i ti p có 3 ñư ng chéo ñ ng qui.<br /> <br /> Các ñi m A,B,C,D,E,F có các ñư ng ñ i c c là SM,MN,NP,PQ,QR,RS. G i α, β, γ là giao<br /> ñi m c a các ñư ng th ng (MN,QR), (NP,RS), (PQ,SM). G i a, b, c là các ñư ng ñ i c c<br /> c a α, β, γ .<br /> Vì MN qua α nên a qua B<br /> Vì QR qua α nên a qua E<br /> V y BE là ñư ng ñ i c c c a α.<br /> Tương t CF là ñư ng ñ i c c c a β , DA là ñư ng ñ i c c c a γ .<br /> Theo ñ nh lý Pascal α, β, γ th ng hàng nên BE, CF, DA ñ ng qui.<br /> 3<br /> <br /> C c và ñ i c c<br /> ð i v i ngũ giác ngo i ti p : AD, BE, CM ñ ng qui.<br /> <br /> ð i v i t giác ABCD ngo i ti p: hai ñư ng chéo AC, BD và hai ñư ng th ng n i các<br /> ti p ñi m các c nh ñ i thì ñ ng qui.<br /> <br /> 4<br /> <br /> C c và ñ i c c<br /> C. M t s bài toán áp d ng:<br /> Bài 1. (Trung Qu c 97) Cho t giác ABCD n i ti p ñư ng tròn(O) . G i P là giao ñi m c a<br /> AD và BC, Q là giao ñi m c a AD và BC. T Q v các ti p tuy n QE, QF v i (O). Ch ng<br /> minh: P, E, F th ng hàng<br /> Gi i<br /> T giác ñ y ñ ABCDPQ cho ta P n m<br /> trên ñư ng ñ i c c c a P mà EF là<br /> ñư ng ñ i c c c a P do ñó P,E,F th ng<br /> hàng.<br /> <br /> Bài 2. (Úc-Balan 98) Cho các ñi m phân bi t A, B, C, D, E, F n m trên cùng m t ñư ng tròn<br /> theo th t ñó. Các ti p tuy n t i A, D và các ñư ng th ng BF, CE ñ ng qui. Ch ng minh<br /> r ng các ñư ng th ng AD, BC, EF ho c cùng song song ho c ñ ng qui.<br /> Gi i<br /> N u BC//EF thì do tính ñ i x ng ta có BC ⊥ IO mà AD<br /> ⊥ IO nên AD//BC.<br /> N u BC c t EF t i K thì K n m trên ñ i c c c a I mà<br /> AD là ñ i c c c a I nên K thu c AD. V y AD,BC,EF<br /> ñ ng qui t i K<br /> <br /> Bài 3. Cho ∆ABC n i ti p ñư ng tròn<br /> (O). Ba ñư ng phân giác c a ∆ABC<br /> c t (O) l n lư t t i A’, B’, C’. Ba c p<br /> ti p tuy n v i (O) t i A,A’, B,B’ và CC’<br /> c t nhau t i A1, B1, C1. Ch ng minh A1,<br /> B1, C1 th ng hàng.<br /> Gi i<br /> A1, B1, C1 có các ñư ng ñ i c c là AA’,<br /> BB’, CC’ mà 3 ñư ng này ñ ng qui t i<br /> tâm ñư ng tròn n i ti p ∆ABC nên A1,<br /> B1, C1 n m trên ñư ng ñ i c c c a<br /> tâm ñư ng tròn n i ti p ñ i v i (O).<br /> 5<br /> <br />