Đáp án thi ĐH Toán khối B 2002

Chia sẻ: Vuong Dinh Hieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

142
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu ' đáp án thi đh toán khối b 2002', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án thi ĐH Toán khối B 2002

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2002 ------------------------- §¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi chÝnh thøc M«n to¸n, khèi b C©u ý Néi dung §H C§ I 1 Víi m = 1 ta cã y = x 4 − 8 x 2 + 10 lµ hµm ch½n ⇒ ®å thÞ ®èi xøng qua Oy . ∑1,0 ® ∑1,5 ®  x=0 ( ) TËp x¸c ®Þnh ∀ x ∈ R , y ' = 4 x 3 − 16 x = 4 x x 2 − 4 , y '= 0 ⇔   x = ±2  4 2 y" = 12 x 2 − 16 = 12 x 2 − , y" = 0 ⇔ x = ± . 0,25 ® 0,5 ®  3 3 B¶ng biÕn thiªn: −2 2 x −∞ −2 0 2 +∞ 3 3 y' − 0 + 0 − 0 + 0,5 ® 0,5 ® y" + 0 − 0 + +∞ 10 +∞ y lâm U C§ U lâm CT låi CT −6 −6 y Hai ®iÓm cùc tiÓu : A1 (− 2;−6 ) vµ A2 (2;−6 ) . Mét ®iÓm cùc ®¹i: B (0;10 ) .  − 2 10   2 10  10 B Hai ®iÓm uèn: U 1   ;  vµ U 2    ; .   3 9  3 9 Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi trôc tung lµ B(0;10 ) . 0,25 ® 0,5 ® §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é: x = ± 4 + 6 vµ x = ± 4 − 6 . U1 U2 -2 2 0 x A1 -6 A2 (ThÝ sinh cã thÓ lËp 2 b¶ng biÕn thiªn) 1
I 2 ( ) ( ) y ' = 4mx 3 + 2 m 2 − 9 x = 2 x 2mx 2 + m 2 − 9 , ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ®  x=0 0,25 ® 0,25 ® y' = 0 ⇔  2mx + m − 9 = 0 2 2 Hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔ ph−¬ng tr×nh y '= 0 cã 3 nghiÖm 0,25 ® 0,25 ® ph©n biÖt (khi ®ã y ' ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm) ⇔ ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0.  m≠0  2mx 2 + m 2 − 9 = 0 ⇔  2 9 − m 2 . Ph−¬ng tr×nh 2mx 2 + m 2 − 9 = 0 0,25 ® 0,25 ® x =   2m  m < −3 0,25 ® 0,25 ® cã 2 nghiÖm kh¸c 0 ⇔  0 < m < 3.  m < −3 VËy hµm sè cã ba ®iÓm cùc trÞ ⇔  0 < m < 3. II 1 ∑ 1,0 ® ∑ 1,0 ® sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x 1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x ⇔ − = − 0,25 ® 0,25 ® 2 2 2 2 ⇔ (cos 12 x + cos 10 x ) − (cos 8 x + cos 6 x ) = 0 ⇔ cos x(cos 11x − cos 7 x ) = 0 0,25 ® 0,25 ® ⇔ cos x sin 9 x sin 2 x = 0  kπ x = 9 0,5 ® 0,5 ® ⇔ sin 9 x sin 2 x = 0 ⇔  k ∈ Z. kπ x =  2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ sö dông c¸c c¸ch biÕn ®æi kh¸c ®Ó ®−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch. 2 ∑1,0 ® ∑1,0 ® ( ) log x log 3 (9 x − 72) ≤ 1 (1).  x > 0, x ≠ 1  0,25 ® 0,25 ® §iÒu kiÖn:  9 x − 72 > 0 ⇔ 9 x − 72 > 1 ⇔ x > log 9 73 (2). log (9 x − 72) > 0  3 ( Do x > log 9 73 > 1 nªn (1) ⇔ log 3 9 x − 72 ≤ x ) ( ) x 2 ⇔ 9 x − 72 ≤ 3 x ⇔ 3 − 3 x − 72 ≤ 0 (3). 0,25 ® 0,25 ® §Æt t = 3 x th× (3) trë thµnh t 2 − t − 72 ≤ 0 ⇔ −8 ≤ t ≤ 9 ⇔ −8 ≤ 3 x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (2) ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: log 9 73 < x ≤ 2 . 0,25 ® 0,25 ® 2
3  3 x − y = x − y (1)  x− y ≥ 0 (3) ∑1,0 ® ∑1,0 ®  §iÒu kiÖn:   x + y = x + y + 2 (2).   x + y ≥ 0. 0,25 ® 0,25 ® ( ) (1) ⇔ 3 x − y 1 − 6 x − y = 0 ⇔   x= y  x = y + 1. 0,25 ® 0,25 ® Thay x = y vµo (2), gi¶i ra ta ®−îc x = y = 1. 3 1 Thay x = y + 1 vµo (2), gi¶i ra ta cã: x = , y = . 0,25 ® 0,25 ® 2 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (3) hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: 3 1 0,25 ® 0,25 ® x = 1, y = 1 vµ x = , y = 2 2 Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ n©ng hai vÕ cña (1) lªn luü thõa bËc 6 ®Ó di ®Õn kÕt qu¶:  x= y  x = y + 1.  III y ∑1,0 ® ∑ 1,5 ® x2 x2 y= 4− y= 4 2 4 2 A1 2 A2 -4 -2 2 0 2 2 4 x x2 x2 T×m giao ®iÓm cña hai ®−êng cong y = 4 − vµ y = : 4 4 2 x2 x2 x4 x2 4− = ⇔ + − 4 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ± 8 . 0,25 ® 0,5 ® 4 4 2 32 4 [ ] Trªn − 8 ; 8 ta cã 4 2 x2 ≤ 4− x2 4 vµ do h×nh ®èi xøng qua trôc tung 8 x2  8 8 x2 1 0,25 ® 0,25 ® nªn S = 2 ∫  4 − − dx = ∫ 16 − x 2 dx − ∫ x dx = S1 − S 2 . 2  0 4 4 2 2 2 0  0 π §Ó tÝnh S1 ta dïng phÐp ®æi biÕn x = 4 sin t , khi 0 ≤ t ≤ th× 0 ≤ x ≤ 8 . 4  π dx = 4 cos tdt vµ cos t > 0 ∀ t ∈ 0;  . Do ®ã  4 3
π π 0,25 ® 0,5 ® 8 4 4 S1 = ∫ 16 − x 2 dx = 16 ∫ cos 2 tdt = 8 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2π + 4 . 0 0 0 8 0,25 ® 0,25 ® 8 1 1 8 4 S2 = ∫x dx = = . VËy S = S1 − S 2 = 2π + . 2 x3 2 2 0 6 2 0 3 3 8 2 2   4 − x − x dx . Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch S = ∫ 4 4 2 − 8  IV 1 y ∑ 1,0 ® ∑ 1,5 ® B H O C x A I D 5 Kho¶ng c¸ch tõ I ®Õn ®−êng th¼ng AB b»ng ⇒ AD = 5 vµ 2 5 0,25 ® 0,25 ® IA = IB = . 2 Do ®ã A, B lµ c¸c giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB víi ®−êng trßn t©m I vµ b¸n 5 kÝnh R = . VËy täa ®é A, B lµ nghiÖm cña hÖ : 2  x − 2y + 2 = 0  2 2  x − 1  + y 2 =  5  0,25 ® 0,5 ®  2    2  Gi¶i hÖ ta ®−îc A(− 2;0 ), B(2;2 ) (v× x A < 0 ) 0,25 ® 0,5 ® ⇒ C (3;0 ), D(− 1;−2 ) . 0,25 ® 0,25 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m täa ®é ®iÓm H lµ h×nh chiÕu cña I trªn ®−êng th¼ng AB . Sau ®ã t×m A, B lµ giao ®iÓm cña ®−êng trßn t©m H b¸n kÝnh HA víi ®−êng th¼ng AB . 4
IV 2a) T×m kho¶ng c¸ch gi÷a A1 B vµ B1 D . ∑ 1,0 ® ∑1,5 ® z A1 D1 B1 C1 G I A yx D 0,25 ® 0,25 ® B C x C¸ch I. Chän hÖ täa ®é §ªcac vu«ng gãc Oxyz sao cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) ⇒ C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a ) 0,25 ® 0,5 ® [ ] ⇒ A1 B = (a;0;− a ), B1 D = (− a; a;− a ), A1 B1 = (a;0;0) vµ A1 B, B1 D = (a 2 ;2a 2 ; a 2 ) . 0,25 ® 0,25 ® [A B, B D].A B a3 a d ( A1 B, B1 D ) = 1 1 1 1 [A B, B D] VËy = 2 = . 0,25 ® 0,5 ® 1 1 a 6 6 A1 B⊥AB1  C¸ch II.  ⇒ A1 B⊥( AB1C1 D ) ⇒ A1 B ⊥B1 D . A1 B⊥AD  T−¬ng tù A1C1 ⊥B1 D ⇒ B1 D⊥( A1 BC1 ) . 0,25 ® 0,25 ® Gäi G = B1 D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C 1 = a nªn GA1 = GB = GC1 ⇒ G lµ t©m tam gi¸c ®Òu A1 BC1 cã c¹nh b»ng a 2 . 0,25 ® 0,5 ® Gäi I lµ trung ®iÓm cña A1 B th× IG lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña A1 B vµ 1 1 3 a B1 D , nªn d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B = . 3 3 2 6 0,25 ® 0,5 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P ) chøa A1 B vµ song song víi B1 D lµ: x + 2 y + z − a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ B1 (hoÆc tõ D ) tíi (P ) , hoÆc viÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q ) chøa B1 D vµ song song víi A1 B lµ: x + 2 y + z − 2a = 0 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ A1 (hoÆc tõ B) tíi (Q ) . 5
2b) ∑1,0 ® C¸ch I.  a a   a  0,25 ® Tõ C¸ch I cña 2a) ta t×m ®−îc M  a;0; , N  ; a;0 , P 0; ; a   2 2   2   a a a  ⇒ MP =  − a; ; , NC1 =  ;0; a  ⇒ MP.NC1 = 0 . 0,5 ®  2 2 2  0,25 ® VËy MP⊥C1 N . z A1 P D1 B1 C1 E M A y 0,25 ® B N C C¸ch II. x Gäi E lµ trung ®iÓm cña CC1 th× ME⊥(CDD1C1 ) ⇒ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña MP trªn (CDD1C1 ) lµ ED1 . Ta cã 0,25 ® ∆C1CN = ∆D1C1 E ⇒ C1 D1 E = CC1 N = 90 0 − D1C1 N ⇒ D1 E⊥C1 N . Tõ ®©y 0,25 ® theo ®Þnh lý ba ®−êng vu«ng gãc ta cã MP⊥C1 N . 0,25 ® V ∑1,0 ® 3 Sè tam gi¸c cã c¸c ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n lµ C 2n . 0,25 ® Gäi ®−êng chÐo cña ®a gi¸c ®Òu A1 A2 L A2 n ®i qua t©m ®−êng trßn (O ) lµ ®−êng chÐo lín th× ®a gi¸c ®· cho cã n ®−êng chÐo lín. Mçi h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 ,L , A2 n cã c¸c ®−êng chÐo lµ hai ®−êng chÐo lín. Ng−îc l¹i, víi mçi cÆp ®−êng chÐo lín ta cã c¸c ®Çu mót cña chóng lµ 4 ®Ønh cña mét h×nh ch÷ nhËt. VËy sè h×nh ch÷ nhËt nãi trªn 2 b»ng sè cÆp ®−êng chÐo lín cña ®a gi¸c A1 A2 L A2 n tøc C n . 0,25 ® Theo gi¶ thiÕt th×: 6
C 2 n = 20C n ⇔ 3 2 (2n )! = 20 n! ⇔ 2n.(2n − 1)(2n − 2) = 20 n(n − 1) 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! 6 2 ⇔ 2n − 1 = 15 ⇔ n = 8 . 0,5 ® Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ t×m sè h×nh ch÷ nhËt b»ng c¸c c¸ch kh¸c. NÕu lý luËn ®óng ®Ó ®i n(n − 1) ®Õn kÕt qu¶ sè h×nh ch÷ nhËt lµ th× cho ®iÓm tèi ®a phÇn nµy. 2 7