S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ K L KỞ Ụ Ạ Ắ Ắ
TR NG THPT NGUY N HUƯỜ Ễ Ệ Đ THI TH Đ I H C Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả (7,0 đi m)ể
Câu I (2,0 đi mể) Cho hàm s ố
33 2 (C )
m
y x mx= − +
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s khi ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
1m=
2. Tìm t t c các giá tr c a ấ ả ị ủ
m
đ hàm s có c c tr và đ ng th ng đi qua c c đ i , c c ti u c aể ố ự ị ườ ẳ ự ạ ự ể ủ
đồ
th hàm s ị ố
( )
m
C
c t đ ng tròn ắ ườ
( ) ( )
2 2
1 2 1x y− + − =
t i hai đi m ạ ể
,A B
phân bi t sao cho ệ
2
5
AB =
Câu II (2,0 đi mể) 1. Gi i ph ng trình : ả ươ
2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3
4
x x x x
π
� �
+ + + − =
� �
� �
2. Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
Câu III (1,0 đi mể) 1. Tính tích phân :
4
2
0
sin sin 2
os
x x x
I dx
c x
π
+
=
Câu IV (1,0 đi mể) Cho hình chóp
.S ABCD
có
SA
vuông góc v i đáy , ớ
ABCD
là hình ch nh t v iữ ậ ớ
3 2, 3AB a BC a= =
. G i ọ
M
là trung đi m ể
CD
và góc gi a ữ
( )ABCD
v i ớ
( )SBC
b ng ằ
0
60
.
Ch ng minh r ng ứ ằ
( ) ( )SBM SAC⊥
và tính th tích t di n ể ứ ệ
SABM
.
Câu V (1,0 đi mể) Cho
,x y
là các s th c không âm tho mãn ố ự ả
1x y+ =
. Tìm GTNN c a bi u th c:ủ ể ứ
2 2
3 1 2 2 40 9P x y= + + +
PH N RIÊNGẦ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a( 2 đi m)ể 1.Trong m t ph ng v i h to đ ặ ẳ ớ ệ ạ ộ
Oxy
cho tam giác
ABC
có c nh ạ
AC
đi qua
(0, 1)M−
. Bi t ế
2AB AM
=
, đ ng phân giác trong ườ
: 0AD x y− =
,đ ng caoườ
: 2 3 0CH x y+ + =
. Tìm to đ các đ nh.ạ ộ ỉ
3. Gi i ph ng trình : ả ươ
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log 4
2 4
x x x+ + − =
Câu VII.a ( 1 đi m)ể
Tìm h s ch a ệ ố ứ
4
x
trong khai tri n ể
2
2
1 3
6
n
nx x
−
� �
+ +
� �
� �
bi t : ế
1
4 3 7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b( 2 đi m)ể 1.Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ
Oxy
cho đ ng tròn ườ
2 2
( ) : ( 1) ( 1) 25C x y− + + =
,
đi m ể
(7;3)M
. Vi t ph ng trình đ ng th ng qua ế ươ ườ ẳ
M
c t ắ
( )C
t i hai đi m phân bi t ạ ể ệ
,A B
sao cho
3MA MB=
2. Gi i ph ng trình: ả ươ
( )
( )
5 4
log 3 3 1 log 3 1
x x
+ + = +
Câu VII.b ( 1 đi m)ểV i ớ
n
là s nguyên d ng , ch ng minh:ố ươ ứ
0 1 2 1
2 3 ... ( 1) ( 2)2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = +
-----------H t---------ế
(Thí sinh không đ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm)ượ ử ụ ệ ộ ả
H và tên thí sinh:………………………….………………………….SBD:………………………..ọ
A
I
B
H
Câu 1: 1, Khi
1m=
ta có hàm s ố
3
3 2y x x= − +
TXĐ: D=R S bi n thiênự ế
Đ o hàm: ạ
( ) ( ) ( )
{ }
2
' 3 3, ' 0 ; 1;0 , 1;4y x y x y= − = = −�
Gi i h n: ớ ạ
lim ; lim
x x
y y
− +
= − = +
B ng bi n thiên:ả ế
x
−
1−
1
+
'y
+
0
−
0
+
4
+
y
−
0
Hàm s đ ng bi n trên ố ồ ế
( ) ( )
; 1 ; 1;− − +
Hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế
( )
1;1−
Hàm s đ t c c đ i t i ố ạ ự ạ ạ
1; 4
CD
x y= − =
Hàm s đ t c c ti u t i ố ạ ự ể ạ
1; 0
CT
x y= =
Đ th :ồ ị
f(x)=x^3-3x+2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Câu 1: 2, + Ta có
2
' 3 3y x m= −
Đ hàm s có c c tr thì ể ố ự ị
' 0y=
có 2 nghi m phân bi t ệ ệ
0m>�
Ph ng trình đ ng th ng đi qua c c đ i, c c ti u làươ ườ ẳ ự ạ ự ể
: 2 2 0mx y∆ + − =
Đi u ki n đ đ ng th ng ề ệ ể ườ ẳ
∆
c t đ ng tròn t i hai đi m phânắ ườ ạ ể bi t là :ệ
( )
2
2
,
2 2 2 1 2 4 1 0 1,
4 1
d I R
mm m m
m
∆ <
+ − < < + < ∀� � �
+
G i ọ
H
là hình chi u c a ế ủ
I
trên
AB
. Ta có
2
22 6
4 5
AB
IH R= − =
. Theo bài ra
2 6
( , ) 5
d I ∆ =
2
2
6
22 6 6
5
4 1 6 (L)
m
mm
mm
=
= =� � �
+= −
V y ậ
6m=
là giá tr c n tìm .ị ầ
Câu 3: 1. GPT :
2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3
4
x x x x
π
� �
+ + + − =
� �
� �
(1)
2
(1) 2sin 2 sin 2 os2 5sin 3cos 3 6sin cos 3cos (2sin 5sin 2) 0
3cos (2sin 1) (2sin 1)(sinx 2) 0 (2sin 1)(3cos sinx 2) 0
1
sinx ,sinx 3cos 2
2
x x c x x x x x x x x
x x x x x
x
+ + + − = − − − + =� �
− − − − = − − + =� �
= − =�
+
1 5
sin 2 , 2 ;
2 6 6
x x k x k k
π π
π π
= = + = +� �ﾡ
2 1 2
sinx 3cos 2 sin( ) ,( os ) arcsin 2
10 10 10
2
arcsin 2 ,
10
x x c x k
x k k
α α α π
π α π
− = − = = = + +� �
= + − + ﾡ
V y pt có 4 h nghi m :ậ ọ ệ
5 2 2
2 , 2 , arcsin 2 , arcsin 2 ;
6 6 10 10
x k x k x k k k
π π
π π α π π α π
= + = + = + + + − + ﾡ
Câu 2: 2. Gi i h : ả ệ
3 3 2
3
7 3 ( ) 12 6 1 (1)( , )
4 1 3 2 4 (2)
x y xy x y x x x y
x y x y
+ + − − + =
+ + + + =
ﾡ
Gi i: ĐK ả
3 2 0x y+
( ) ( )
3 2 3 2 2 3
3 3
(1) 8 12 6 1 3 3
2 1 2 1 1
x x x x x y xy y
x x y x x y y x
− + − = − + −�
− = − − = − = −� � �
+ V i ớ
1y x= −
thay vào
(2)
ta đ c : ượ
33 2 2 4x x+ + + =
Đ t ặ
33 2, 2 (b 0)a x b x= + = +
. Ta có h :ệ
3
3 2
42 3 2 2 2
2
3 4 2 2
a b a x x
b
a b x
+ = = + =
=� � �
� � �
=
= − + =
+
2 1x y= = −�
. V y nghi m c a h là: ậ ệ ủ ệ
2
1
x
y
=
= −
Câu 3: Tính
4
2
0
sin sin 2
os
x x x
I dx
c x
π
+
=
+ Ta có
4 4
2
0 0
sin sinx
2
os cos
x x
I dx dx
c x x
π π
� �
= +
Đ t ặ
4 4
1 2
2
0 0
sin sinx
; 2
os cos
x x
I dx I dx
c x x
π π
� �
= =
+Tính
1
I
: Đ t ặ
2
2
sinx 1
; os (cos )
os cos
u x du dx v dx c xd x
c x x
−
� �
= = = = − =�
4
10
1 1 sinx 2 1 2 2
ln ln
4 4 4
cos cos cos 2 1 sinx 4 2 2 2
0 0 0
x dx x
Ix x x
π
π π π π
+ +
= − = − = −�−−
+ Tính
4
20
(cos ) 2
2 2ln cos 2ln
4
cos 2
0
d x
I x
x
ππ
= − = − = −
V y ậ
1 2
2 1 2 2 2
ln 2ln
4 2 2
2 2
I I I
π
+
= + = − −
−