1
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
TỔ KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Môn : Toán – Khối 11 (2015 – 2016)
A. Cấu trúc đề thi HKII:
1. Tìm giới hạn dãy số, sử dụng tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
2. Tìm giới hạn hàm số.
3. Tính đạo hàm, phương trình tiếp tuyến.
4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, 2mp.
5. Xét tính liên tục hay tìm tham số để liên tục. Chứng minh phương trình có nghiệm.
6. Đạo hàm (giải pt, bpt, …).
B. Bài tập tham khảo:
A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 1: Tính các giới hạn sau
2 2 5
2 2 3 5
3 2 2 2 4
4 2 2
4 2
3n 5n 4 6 3n 4n 3n 7 2n 6n 9
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim
2 n 3n 5 n 7n 5 1 3n
n n sin n 1 1 4n 9n 2n n 4 n 2n 3
5) lim ; 6) lim ; 7) lim ; 8) lim
2n n 7 1 2n 2n 3
2n n 1
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
n 2 n n n n n n 1 n n n n
n n n n 1 n 1 2n n n n n n
1 7 7.2 4 5.2 3 3 4 2 3 3.5 2.3
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ; 5)lim ; 6)lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
2 2 2 2
2 2
3n 1 n 1 2n 1 n 1
1)lim n n n ; 2)lim ; 3)lim ; 4.lim 3n n 3n
n n 1
B. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Giới hạn của hàm số
1-Tìm giới hạn bằmg phương pháp thế trực tiếp
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1) 2
1
lim( 2 1)
xx x
2) 1
lim( 2 1)
xx x
3)
2
3
lim 3 4
x
x
4) 1
1
lim
2 1
x
x
x
; 5)
2
5
1
1
lim ;
2 3

x
x x
x
3 4
2
4 2
x 0 x 0 x 1 x 2
x 3
1
1
1 x x x 3x 1
x
6) lim x 1 ; 7) lim ; 8)lim ; 9) lim x 4 ; 10)lim .
1
x (2x 1)(x 3) 2x 1
1x
2-Tìm giới hạn dạng
0
0
;
;
bằmg phương pháp khử nhân tử chung, nhân lượng liên hợp.
Bài 1: Tính các giới hạn sau
1)
1
23
lim
2
1
x
xx
x 2)
10
3
6
lim 2
2
2
x
x
xx
x 3)
3
4
253
lim 2
23
1
x
x
xx
x
4) 2
3
2
4
8
lim
x
x
x
5)
2
3
6116
lim 2
23
1
x
x
xxx
x 6)
9
8
935
lim 24
23
3
x
x
xxx
x
2
7)
3
3
276
lim 23
24
3
x
x
x
xx
x 8)
2
3
1
lim 3
2
1
x
x
x
x 9)
9
623
lim 2
23
3
x
xxx
x
10)
9
21
lim 2
3
x
x
x 11)
x
xx
x
22
lim
0 12)
1
132
lim 2
1
x
x
x
13) 314
2
lim
2
x
xx
x 14)
1
1
lim
3
1
x
x
x 15) 31
2
lim
3
8
x
x
x
16)
1)1(
)1)(23(
lim 2
3
xx
xx
x 17)
1)1(
)1)(23(
lim 22
3
xx
xx
x 18)
4 2
2
1
lim
( 1) 4 1
x
x x
x x
19)
2
2
2 1
lim
1
x
x x
x x

20)
1
4
3
)12
lim 2
2
x
x
xx
x 21)
6
3
)13
lim 2
23
x
x
xx
x
22)
6
4
)1
lim 3
2
x
x
xx
x 23)
5
3
1
lim
2

x
xx
x 24)
x
xx
x

1
12
lim
25)
xx
x
 1lim 26)
xxx
x

23
lim 27)
3612lim 22
 xxxx
x
2 2 4
2
2 2
x 1 x 3 x 2 x 1
3
2 3
3 2
1
x 1 x 1 x 0 x2
x 1 x 3 x 3x 2 x 1
28) lim ; 29) lim ; 30)lim ; 31) lim ;
x 1 x 2x 15 x 2x 3
x 2
x 2 8
x x 1 3 8x 1
32) lim ; 33) lim ; 34) lim ; 35) lim ;
1 x 1 x x 6x 5x 1
x 1
Bài 2: Tính các giới hạn sau
x 0 x 1
x 4 2 x 3 2
1)lim ; 2)lim ;
x x 1
2
x 7 x 6
2 x 3 x 2 x 4
3)lim ; 4)lim ;
x 49 x 6
2
2 2
x 5 x 2 x x
x 4 x 2 x 5 x 1 4x 1 5x 3 1 x
5)lim ; 6)lim 7) lim ; 8) lim
x 25 x 2 4x 3 1 x
 
2 2
x x x
9) lim x 1 x ; 10) lim 4x x 1 2x ; 11) lim x 1 x 1 ;
  
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1)
1
2
3
lim

x
x
x 2)
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x

3)
1
2
5
lim
2

x
xx
x 4)
2
3 2
lim 3 1
x
x x x
x

5) )32(lim 2xxx
x
6) )342(lim 2
xxx
x 7) )11(lim 22
xxxx
x
8) 3 2
lim ( 1)
xxxx

9) )32(lim 24
xx
x 10 )322(lim 23
 xxx
x
II. Giới hạn một bên
Bài 1: Tìm các giới hạn sau
x 1 x 5 x 3 x 1
x 5 2x 1
a) lim x 1; b) lim 5 x 2x ; c) lim ; d) lim .
x 3 x 1
e) 3
2 1
lim
3
x
x
x
f)
2
33
lim
2
2
x
xx
x g) 2
2
1)1(
35
lim
x
xx
x h)
0
lim
xxx
xx
Bài 2: Cho hàm số
3
2
; 1
2 3 ; 1
x x
f x x x
. Tìm
1 1
lim , lim
x x
f x f x
và
1
lim
x
f x
(nếu có).
C. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm cho trước
3
23 2
; x 2
1) 2
1 ; x=2
x x
f x x
tại x = 2 ;
31
; 1
2) 1
2 ; 1
xx
f x x
x
tại
1;
x
1 1
; 0
3) 1
; 0
2
xx
x
f x
x
tại điểm x = 0 ;
24
; 2
4) 2
4 ; 2
xx
f x x
x
tại x = 2
Bài 2: Tìm a để các hàm số sau liên tục của tại điểm x=1
3 2
2
; 1 2 2
; 1
1) ; 2) .
1
1; 1 3 ; 1
1
x a x x x x x
f x f x x
xxx a x
x
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình: 7 5
3 2 0
x x
có ít nhất một nghiệm .
Bài 4 Chứng minh rằng phương trình: 2
sin 1 0
x x xcox
thuộc
0;
.
Bài 5. Chứng minh rằng phương trình: 3
3 1 0
x x
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 6. Cho phương trình : 4 2
3 7 4 0
x x x
. Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một
nghiệm thuộc khoảng
Bài 7. Chứng minh rằng: phương trình 2sin3x + (m+1)cos5x 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của
m.
D. ĐẠO HÀM
Bài 1 : Cho hàm số
x neáu x
x
f x
neáu x
1 1
0
1
0
2
a. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x0 = 0
b. Tính f’(x0) nếu có .
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số
a) 5 4 3 2
1 2 3
4 5
2 3 2
y x x x x x
; b)
2 4
1 1
0,5
4 3
y x x x
c) 4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
; d)
432
3
432
x x x
y x a
(a là hằng số)
e) 2
3 2
y x x x.
3
x
; f) 4 3
1
y 2x x 2 x 5
3
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 2
y (x 3x)(2 x)
; b) 2 2
( 2 3).(2 3)
y x x x
; c)
2 4
2
x
y
x
d)
2 1
4 3
x
y
x
; e)
6
3
45
2
x
xx
y ; f) 2
x 3x 3
y
x 1
g)
1
y x 1 1
x
; h)
2
2
1 x x
y
1 x x
; i) 2
2
1
x
y
x
; k)
2
1
1
y x
x
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
7 2
( )
yxx
; b)
3 2 2
(2 3 6 1)
y x x x
; c)
2 3
(1 2 )
y x
d)
2 3
( )
y x x
; e)
3
2 4
y
x
; f)
2 4
y (x x 1)
4
g)
2 5
y (1 2x )
; h)
3
2x 1
y
x 1
; i) 2
1
1
y
x x
j)
2 2
1
y
(x 2x 5)
; k)
4
2
y 3 2x ; l) x
x
y
2
1
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) 2
1
y x b)
2
1 2
y x x
c) 1 1
y x x
d)
1
2 1
yx e) 2
3 2
y x x f) 4 6
y x x
g) 1
2 3
yx h) 1
1
x
y
x
j) 152 2 xxy
Bài 6 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) 12
3 xxy
2) xxxy 322 24 3) )35)(( 22 xxxy 4) )1)(2( 3 tty
5)
(2 1)(3 2)
y x x x
6) 32 )3()2)(1( xxxy 7) 32 )5( xy 8) y = (1 2t)
10
9) y = (x
3
+3x2)
20
10)
7 2
y (x x)
11) 2
y x 3x 2
12) 76 24 xxy
13)
2
32
x
x
y 14)
4
2
562 2
x
xx
y 15)
1
2
2
x
x
y 16) 32 )1(
3
xx
y
2
3 2 1
17.
2 3
x x
y
x
18) y = 2
3 2
2
x
x x
19) y= x 2
1x
20) 21 xxy
21) x
x
y6
3 22) 432
6543
x
x
x
x
y 23)
3
2
43
2
2
x
x
xx
y 24)
3
36
1
x
x
xy
25)
1 x
y
1 x
26) xxy 27)
1
y
x x
28) 1)1( 2 xxxy
29) 22
2
ax
x
y
, ( a là hằng số)
Bài 7 Tìm đạo hàm các hàm số sau:
30) y = aaxx 23 2 , ( a là hằng số)
1)y=sin2x– cos2x 2) y = sin5x – 2cos(4x +1) 3) xxy 3cos.2sin2
4) 12sin xy
5) xy 2sin 6) xxy 32 cossin 7) 2
)cot1( xy xxy 2
sin.cos
y= sin(sinx) y = cos( x
3
+ x 2
) 2
y sin (cos3x)
y = x.cotx
x
x
y
sin
2
sin1
3
y cot (2x )
4
x 1
y tan
2
sin x x
y
x sinx
Bài 8: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1) 593 23 xxxy 2) 52 24 xxy 3) 34 34 xxy 4) 2
1xxy
5)
2
155
2
x
xx
y 6)
x
xy 4
7)
4
2
x
x
y 8) 3sin2sin
2
1 xxy
9) xsin x x cosy
10) xxxy cossin3 11) xxxy 4cos155cos123cos20
12)
f (x) 3cosx 4sinx 5x
13)
f (x) cosx 3 sinx 2x 1
14)
3 x
f (x) 1 sin( x) 2cos
2
5
15)
cos4x cos6x
f (x) sinx
4 6
16) 2
f (x) sin x 2cosx
17)
f(x) sin3x 3cos3x 3(cosx 3sinx)
Bài 9: Giải của bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với 3 2
y x 3x 2
2) y’ < 4 với 32
2
1
3
123 xxxy
3) y’ ≥ 0 với
1
2
2
x
xx
y 4) y’>0 với 24 2xxy
5) y’≤ 0 với 2
2xxy 6) y’ > 0 với
2
3 2
f x x x
7) y’ < 0 với
2
8
f x x x
Bài 10: Cho hàm số: 2)1(3)1(
3
223 xmxmxy .
1) Tìm m để phương trình y’ = 0:
a) Có 2 nghiệm. b) Có 2 nghiệm trái dấu.
c) Có 2 nghiệm dương. d) Có 2 nghiệm âm phân biệt.
2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.
E. TIẾP TUYẾN
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y0 )
( C )
Phương pháp : Xác định x0 , y0 , f’( x0 ) và sử dụng công thức y = f’( x0).(x – x0) + y0
Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( xA ; yA )
Phương pháp :
B1 :Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k.(x – xA) + yA = g(x)
B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc :
'
f x g x
f x k
( nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến )
Giải hệ phương trình trên ta tìm được x
k
PTTT
Dạng 3 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
( song song hoặc vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi (x0 , y0 ) là tiếp điểm
f’(x0) = k với x0 là hoành độ tiếp điểm.
Giải phương trình trên ta tìm được x0
y0 .
PTTT y = k.(x – x0) + y0
Chú ý :
1. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
2. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
3. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
4. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng 1 .
Tức là nếu đường thẳng
có hệ số góc a thì
+ Đường thẳng d song song với
y = ax + b
d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vuông góc với
d có hệ số góc k =
1
a
d có hệ số góc k =
1
a
Bài 1: Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3x 1
y f(x)
1 x
.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: 1
y x 100
2
.