ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI CAO HỌC MÔN TOÁN

Chia sẻ: Nguyen Quoc Khanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

914
lượt xem 352
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo đề cương ôn tập thi cao học môn toán giúp các bạn ôn thi cao học tốt hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI CAO HỌC MÔN TOÁN

«n tËp To¸n häc §Ò c¬ng «n tËp thi cao häc M«n to¸n 1
I. «n tËp vÒ hµm mét biÕn sè 1.1.§¹o hµm vµ vi ph©n 1.2. TÝch ph©n bÊt ®Þnh 1.3. TÝch ph©n x¸c ®Þnh II. hµm nhiÒu biÕn 2.I. §¹o hµm riªng 2.2 §¹o hµm cña hµm Èn 2.3. §¹o hµm cÊp cao 2.4. Vi ph©n vµ vi ph©n cÊp cao 2.5. Cùc trÞ cña hµm sè nhiÒu biÕn sè III. TÝch ph©n 2 líp 3.1. TÝnh tÝch ph©n hai líp trong hÖ täa ®é §Ò c¸c 3.2. §æi thø tù lÊy tÝch ph©n 3.3. TÝch ph©n hai líp trong hÖ täa ®é cùc 3.4. øng dông cña tÝch ph©n 2 líp IV. TÝch ph©n ®êng lo¹i 2 4.1. TÝnh trùc tiÕp 4.2. C«ng thøc Green 4.3. §iÒu kiÖn kh«ng phô thuéc ®êng ®i V. Ph¬ng tr×nh vi ph©n 5.1. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 1 1. Ph¬ng tr×nh biÕn sè ph©n li: 2. Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp cÊp 1: 3. Ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp 1 4. Ph¬ng tr×nh Bernoulli 5.Ph¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn 2
5.2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2 1. C¸c lo¹i ph¬ng tr×nh cÊp 2 cã thÓ gi¶m cÊp ®îc 2. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 3. Ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh cÊp 2 hÖ sè lµ h»ng sè a. Ph¬ng tr×nh thu©n nhÊt b. Ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt, vÕ ph¶I cã d¹ng ®Æc biÖt c. Nguyªn lý chång chÊt nghiÖm: VI.Lý thuyÕt chuçi 6.1. Chuçi sè 1. C¸c ®Þnh lý vÒ chuçi héi tô 2. Chuçi sè d¬ng C¸c tiªu chuÈn héi tô a. Tiªu chuÈn so s¸nh b. Tiªu chuÈn Dalambe c. Tiªu chuÈn Cauchy 3. Chuçi ®an dÊu vµ Chuçi cã dÊu bÊt kú a. Chuçi ®an dÊu b. Chuçi sè cã dÊu bÊt kú Sù héi tô tuyÖt ®èi vµ b¸n héi tô 6.2. Chuçi lòy thõa 1. Tiªu chuÈn héi tô 2. C¸ch t×m miÒn héi tô cña chuçi lòy thõa a. Tiªu chuÈn Dalambe b. Tiªu chuÈn C«si 3
Tµi liÖu tham kh¶o 1. G.M.Fichtengon, C¬ së gi¶i tÝch to¸n TËp 1, 2, Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt. 2. Lª Ngäc L¨ng (chñ biªn) vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, ¤n thi häc kú vµ thi vµo giai ®o¹n 2, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1997. 3. Liasko, Boiartruc, Gi¶i tÝch to¸n häc víi c¸c vÝ dô vµ bµi tËp, Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc vµ kü thuËt 1995. 4. NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, To¸n häc cao cÊp TËp 1,2,3, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999. 5. NguyÔn §×nh TrÝ vµ c¸c t¸c gi¶ kh¸c, Bµi tËp to¸n häc cao cÊp, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc 1999. 6. Bïi Minh TrÝ (Chñ biªn) Gi¶i tÝch to¸n häc, Nhµ xuÊt b¶n Thèng kª 2009. 4
Bµi 1 «n tËp vÒ hµm mét biÕn sè I.®¹o hµm vµ vi ph©n 1. B¶ng ®¹o hµm c¸c hµm sè s¬ cÊp y = C y' = 0 ; y= x y' = 1 1 1 y = xα y ' = α xα −1; y= y' = − x x2 1 y= x y' = ; y = sin x y ' = cos x 2 x 1 y = cos x y ' = − sin x; y = tgx y' = cos2 x −1 y = cotgx y' = 2 ; y = ex y ' = ex sin x 1 y = ax y ' = ax ln a; y = ln x y' = x 1 1 1 y = loga x y' = ; y = arcsin x y' = x ln a 1 − x2 −1 1 y = ar cos x y' = ; y = arctgx y' = 1− x 2 1 + x2 1 y = arc cot gx y ' = − 1 + x2 5
2. C¸c quy t¾c tÝnh ®¹o hµm ( u + v + w ) ' x = u '+ v ' + w ' ( u.v) ' = u' v + uv ' '  u  u ' v − uv '  v÷ = v2   3. §¹o hµm cña hµm hîp vµ hµm ngîc a) §¹o hµm cña hµm hîp: y = f ( u) , u = ϕ ( x ) , y ' x = y 'u .u ' x 2 VÝ dô 1: y = ex ⇒ y = eu , u = x2 ( ) ' x2 y 'x = e u u = e .2x = 2x.e , x u u ( ) x3 VÝ dô 2: y = x +1 2 y' ( ln y = x3 ln x2 + 1 ; ) y = 2x 2x4 2 ( = 3x ln x + 1 + x 22 x +1 2 ) = 3x ln x + 1 + 2 2 3 x +1 ( ) x3  2x4  ( ) y ' = x + 1 3x ln x + 1 + 2  2 2 2 x + 1 ( )  b) §¹o hµm cña hµm ngîc: y=y(x) 1 x 'y = y 'x 6
4. Vi ph©n: y= f(x) dy dy = f ' ( x ) dx ⇒ f ' ( x ) = dx II. tÝch ph©n bÊt ®Þnh 1. Kh¸i niÖm Cho hµm sè f ( x ) hµm sè F ( x ) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña f ( x ) nÕu F ' ( x ) = f ( x ) hay dF ( x ) = f ( x ) dx TËp hîp tÊt c¶ c¸c nguyªn hµm cña f ( x ) ®îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña f ( x ) , x ∈ ( a, b) vµ ký hiÖu lµ: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C . 2. B¶ng c¸c tÝch ph©n ®Çy ®ñ xα +1 ∫ 1) x dx = α +C ( α ≠ 1) α +1 xn+1 dx ∫ x dx = n + 1 + C n ∫ x = ln x + C ax 2) ∫ a dx = x +C ( a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ e dx = e +C x x 3) ∫ sinxdx = −cosx+C ∫ 4) cosxdx = sinx+C dx dx 5) ∫ cos2 x = tgx + C 6) ∫ sin2 x = − cotgx+C 7
dx dx 7) ∫ 1 − x2 = arcsinx+C 8) ∫ 1 + x2 = arctgx+C dx x dx 1 x 9) ∫ a2 − x2 = arcsin + C a 10) ∫ a2 + x2 a = arctg + C a dx 1 a+ x 11) ∫ a2 − x2 2a a − x + C = ln dx 12) ∫ x2 ± a2 = ln x + x2 ± a2 + C x 2 a2 x ∫ a − x dx = a − x + arcsin + C 2 2 2 13) 2 2 a dx 1 x−a 14) ∫ x2 − a2 2a x + a + C = ln x 2 a2 ∫ x ± a dx = x ± a ± ln x + x2 ± a2 + C 2 2 2 15) 2 2 dx x dx x π 16) ∫ sin x = ln tg + C 2 17) ∫ cosx = ln tg  + ÷ + C 2 4 18) ∫ tgxdx = − ln cosx + C 19) ∫ cotgxdx = ln sinx + C 1 1 ∫ f ( ax+b) dx = f ( ax+b) d ( ax+b) = F ( ax+b) + C a∫ 20) a 8
f ' ( x) df ( x ) 21) ∫ f ( x) dx = ∫ = ln f ( x ) + C f ( x) f ' ( x) −1 22) ∫ dx = ∫  f ( x )    2 df ( x ) = 2 f ( x ) + C f ( x) 23) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt   (§æi xu«i) 24) ∫ f ψ ( x ) ψ ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt   (§æi ngîc) Muèn tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña mét hµm sè f ( x ) ta thùc hiÖn c¸c biÕn ®æi thÝch hîp ®Ó ®a nã vÒ d¹ng c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n. 3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh TÝnh chÊt 1: ∫ kf ( x ) dx = k∫ f ( x ) dx TÝnh chÊt 2: ∫  f ( x ) ± g( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx   TÝnh chÊt 3: NÕu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C vµ u = u ( x ) th×: ∫ f ( u) du = F ( u) + C 4. C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n bÊt ®Þnh 1) Ph¬ng ph¸p ®æi biÕn a) §æi xu«i: §Æt x = ϕ ( t ) ; dx = ϕ ' ( t ) dt . ∫ f ( x ) dx = ∫ f ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt = ∫ g( t ) dt   9
dx VÝ dô : I = ∫ §Æt x = t2 => dx = 2tdt 2(1 + x ) 2tdt (1 + t − 1)dt I =∫ = ∫ = 2(1 + t ) 1+ t dt ∫ dt - ∫ (1 + t ) = t − ln t + 1 + C => I = x − ln( x + 1) + C b) §æi ngîc: §Æt t = ψ ( x ) ; dt = ψ ' ( x ) dx ∫ f ψ ( x ) ψ ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt   dx VÝ dô: I = ∫ x2 + b §Æt x2 + b + x = t  x   2 + 1÷dx = dt  x +b  x + x2 + b dx = dt x +b 2 tdx dx dt = dt ⇔ = x2 + b x2 + b t dt I =∫ = ln t + C = ln x + x2 + b + C t 2) Ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn ∫ udv = uv − ∫ vdu 10
CÇn chó ý t¸ch biÓu thøc f ( x ) dx thÕ nµo ®Ó tÝch ph©n ∫ vdu ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n ∫ udv . Gäi P ( x ) lµ ®a thøc, c¸c tÝch ph©n tõng phÇn cã thÓ chia lµm 3 nhãm sau: Nhãm 1 P ( x ) a dx ∫ ∫ P ( x ) eα x dx αx ∫ P ( x ) sin axdx ∫ P ( x ) cosaxdx §Æt u = P ( x ) , dv lµ phÇn cßn l¹i; du = P ' ( x ) dx gi¶m bËc vµ v dÔ tÝnh. ∫x e 2 3x VÝ dô 1: dx 1 3x §Æt u = x ⇒ du = 2xdx; dv = e dx ⇒ v = e 2 3x 3 1 2 3x 2 I= x e − ∫ xe3x dx 3 3 1 3x L¹i ®Æt u = x ⇒ du = dx; dv = e dx ⇒ v = 3x e 3 1 2 2 I = x2e3x − xe3x + ∫ e3x dx 3 9 9 1 2 3x 2 3x 2 3x = x e − xe + e + C 3 9 27 e3x =  9 x 2 − 6 x + 2 + C 27   11
Nhãm 2 ∫ P ( x ) loga xdx ∫ P ( x ) ln xdx ∫ P ( x ) arcsin xdx ∫ P ( x ) arctgxdx §Æt dv = P(x)dx, u lµ phÇn cßn l¹i; v tÝnh tuy cã t¨ng bËc, nhng khi t×m du ta l¹i cã hµm lòy thõa cña x ë mÉu sè. ∫ VÝ dô 2: I = xarctgxdx x2 dx dv = xdx ⇒ v = §Æt u = arctgx; du = 2 1 + x2 x2 1 x2dx x2 I = arctgx − ∫ 1 1+ x − 1 = arctgx − ∫ 2 dx ( ) 2 2 1 + x2 2 2 1 + x2 x2 1 1 dx = arctgx − ∫ dx + ∫ 2 2 2 1 + x2 x2 + 1 x = arctgx − + C 2 2 ∫ ∫ aα x cos β xdx αx Nhãm 3: a sin β xdx §Æt tïy ý v× ®Æt thÕ nµo th× v còng dÔ tÝnh. ∫ VÝ dô 3: I = e sin xdx x §Æt u = sin x; du = cos xdx; dv = ex dx ⇒ v = ex I = sin xex − ∫ ex cos xdx 12
§Æt u = cos x; du = − sin xdx; dv = ex dx ⇒ v = ex I = sin xex − ex cos x − ∫ ex sin xdx ⇒ 2I = ex ( sin x − cos x ) + C 1 x I= e ( sin x − cos x ) + C 2 3) TÝch ph©n c¸c ph©n thøc h÷u tû * Ph©n thøc h÷u tû lµ tû sè cña 2 ®a thøc P ( x) m (bË m) c Qn ( x ) (bË n) c • Khi m < n ta cã ph©n thøc thùc sù. • Khi m > n th× b»ng c¸ch chia ®a thøc ta cã thÓ biÓu diÔn nã díi d¹ng tæng cña mét ®a thøc vµ mét ph©n thøc thùc sù. * §èi víi mét ph©n thøc thùc sù ngêi ta l¹i t×m c¸ch ph©n tÝch thµnh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n gi¶n gåm 4 lo¹i sau: A A a) b) ( x − a) k x−a Mx + N ,(® ví i p2 − 4q < 0) k: c) ( x + px + q 2 ) d) Mx + N (x ) k 2 + px + q * ViÖc tÝnh c¸c tÝch ph©n cña 4 lo¹i ph©n thøc ®¬n gi¶n kh«ng khã: 13
A d ( x − a) a) ∫ x−a dx = A∫ x−a = A ln x − a + C A ( x − a) − k +1 A dx = A∫ ( x − a) d ( x − a) = −k b ∫ ( x − a) k −k + 1 +C ( Mx + N ) dx c) ∫(x 2 + px + q ) Lµm xuÊt hiÖn ®¹o hµm cña mÉu sè ë tö sè: ( 2x + p ) +  N −  M MP 2  2 ÷ I =∫   x + px + q 2  p d x + ÷ M d x + px + q  = ∫ ( 2 MP   2 ) x2 + px + q +N − ÷∫ 2 2   p   p  2 2   x + 2 ÷ + q −  2 ÷          p x+ M  MP  2 ( = ln x2 + px + q +  N −  ÷arctg 2  ) 2 +C p2 q− 4 Mx + N d) I = ∫ dx (x ) k 2 + px + q  p d x + ÷ M ( 2x + p) dx  MP   2 2 ∫ x2 + px + q k  2 ÷∫  = +N − ( ) k   2 p  p2    x + ÷ +  q + ÷   2  4   14
M(x ) − k +1 2 + px + q  MP  dt 2 ÷∫ t 2 + a2 = +N − −k + 1 ( ) k 2   dt Gäi I k = ∫ I k−1 ( ) k ta cã thÓ truy håi theo … t 2 + a2 dt 1 t råi ®Õn I 1 víi I 1 = ∫ = arctg + C . t 2 + a2 a a 2xdx VÝ dô: TÝnh ∫ ( 1 + x ) ( x2 + 1) 2 2x A M x + N1 M2 x + N2 = + 12 + ( 1 + x ) ( x2 + 1) 2 1+ x x +1 ( x2 + 1 2 ) ( ) 2x = A ( x2 + 1) + ( M1 x + N1 ) ( 1 + x ) ( x2 + 1) + ( M2 x + N2 ) ( 1 + x ) 2 Khi x = −1 , ta cã: 1 −2 = 4A ⇒ A = − 2 VËy: 1 4 2x = − 2 ( ) ( x + 2x2 + 1 + ( M1 x + N1 ) x3 + x2 + 2 + ( M2 x + N2 ) ( x + 1) )  1  2x =  − + M1 ÷x 4 + ( M1 + N1 ) x3 + ( −1 + M2 + M1 + N1 ) x2 +  2   1  + ( M2 + N2 + M1 + N1 ) x +  − + N2 + N1 ÷  2  15
 1 1 − 2 + M1 = 0 ⇒ M1 = 2  M + N = 0 1 ⇒ N1 = −  1 1 2   M2 + M1 + N1 = 1 ⇒ M2 = 1 M + N + M + N = 2 ⇒ N2 = 1  2 2 1 1  1 − + N2 + N1 = 0  2  2xdx −1 x −1 x +1 ∫ =∫ 2 ( x + 1) +∫ 2 ( x2 + 1) +∫ ( 1 + x ) ( x2 + 1) ( x2 + 1) 2 2 1 1 d x +1 1 = − ln x + 1 + ∫ 2 ( 1 d x +1 − arctgx + ∫ 2 ) +∫ dx ( ) x2 + 1 2 x2 + 1 2 ( ) ( ) 2 2 4 2 x2 + 1 1 1 1 1 1 = ln x +1 4 ( + ln x2 + 1 − arctgx − 2 ) 2 x2 + 1 + I2 =∫ ( x + 1) − x 2 2 dx dx = ∫ 2 1 d x2 + 1 ( ) x + 1 2 ∫ x2 + 1 2 I2 − x ( x + 1) ( ) 2 2 d ( x2 + 1) 1 §Æt u = x vµ dv = ⇒v=− (x + 1) 2 2 2 x +1 1 x 1 dx 1 x  I 2 = arctgx + − ∫ 2 =  artgx + 2 +C 2 x2 + 1 2 x + 1 2  x + 1÷  4) TÝch ph©n c¸c hµm lîng gi¸c a) Ph¬ng ph¸p chung * §æi biÕn chuyÓn vÒ hµm h÷u tû: I = ∫ R( sinx,cosx ) dx trong ®ã R( u, v) lµ mét hµm h÷u tû ®èi víi u, v . 16
x 2dt §æi biÕn v¹n n¨ng: tg = t ⇒ x = 2artgx ⇒ dx = 2 1+ t 2 sin x = 2t ,cos x = ( 1− t 2 ) 1+ t 2 1+ t 2 dx VÝ dô: I = ∫ 4sin x + 3cos x + 5 §Æt x tg = t 2 2dt 1+ t 2 dt dt I= = 2∫ 2 =∫ 2 2t 1− t 2 2t + 8t + 8 t + 4t + 4 4 +3 +5 1+ t 2 1+ t 2 d ( t + 2) 1 1 =∫ =− +C=− +C ( t + 2) t+2 x 2 tg + 2 2 b) C¸c trêng hîp ®Æc biÖt (1) R( − sin x, − cos x ) = R( sin x,cos x ) , hµm ch½n ®èi víi sin x,cos x. §Æt t = tgx . dx VÝ dô: I = ∫ sin2 x + 2sin x cos x − cos2 x dt §Æt t = tgx ⇒ x = arctgt ⇒ dx = ; 1+ t2 1 1 t cos x = = ;sin x = 1 + tg2 x 1+ t 2 1+ t 2 17
dt I =∫ 1+ t2 t2 t 1 1 +2 − 1+ t2 1+ t2 1+ t 2 1+ t2 dt d ( t + 1) 1 t + 1− 2 =∫ =∫ = ln +C t 2 + 2t − 1 ( ) 2 ( t + 1) − 2 2 2 2 t + 1+ 2 1 t + 1− 2 1 tgx + 1 − 2 I= ln +C = ln +c 2 2 t + 1+ 2 2 2 tgx + 1 + 2 (2) R( sin x, − cos x ) = − R( sin x, cos x ) , hµm lÎ ®èi víi cosx , ®Æt t = sin x VÝdô: I =∫ ( cos x + cos x ) dx = 3 5 cos2 x ( 1 + cos2 x ) cos xdx sin2 x + sin4 x ∫ sin2 x + sin4 x §Æt t = sin x ⇒ dt = cos xdx I =∫ ( 1 − t ) ( 1 + 1− t ) dt = ( 1 − t ) ( 2 − t ) dt 2 2 2 2 t +t 2 ∫ t ( 1+ t ) 4 2 2 BiÕn ®æi ( 1 − t ) ( 2 − t ) = t − 3t + 2 2 2 4 2 t ( 1+ t ) 2 2 t ( 1+ t ) 2 2 = ( ) ( t 2 t 2 + 1 + 2 t 2 + 1 − 6t 2 ) 2 = 1+ − 6 ( t2 1+ t2 ) t 1+ t2  2 6  2 I = ∫ 1+ 2 − 2 ÷ dt = t − − 6arctgt + C  t 1+ t  t 18
2 = sin x − − 6arctg ( sin x ) + C sin x (3) R( − sin x,cos x ) = − R( sin x,cos x ) , hµm lÎ ®èi víi sin x , ®Æt t = cos x . ∫ sin m (4) x cosn xdx * NÕu m lÎ th× ®Æt t = cos x * NÕu n lÎ th× ®Æt t = sin x * NÕu m, n ®Òu ch½n vµ Ýt nhÊt mét trong hai sè lµ ©m th× ®Æt t = tgx . *NÕu m, n ®Òu ch½n vµ d¬ng th× h¹ bËc 1 − cos2x 1 + cos2x sin2 x = , cos2 x = , 2 2 ∫ ∫ ( sin x cos x ) 2 VÝ dô: I = sin x cos xdx = 2 4 cos2 xdx 2 1  1 + cos2x = ∫  sin2x ÷ dx  2  2 1 1 1 sin2 2xdx + ∫ sin2 2x d ( sin2x ) 8∫ = 8 2 1 1 ( 1 − cos4x ) dx + ∫ sin2 2xd ( sin2x ) 16 ∫ = 16 1 1 1 = x − sin 4x + sin3 2 x + C 16 64 48 19
4) TÝch ph©n mét sè hµm v« tû x + 1 dx VÝ dô 1: I = ∫ 3 x −1 x +1 x +1 3 t3 + 1 −6t 2dt 2t 3 §Æt x − 1 = t ⇒ x = t 3 − 1 ⇒ dx = 3 ; x +1= 3 t −1 ( ) 2 t −1 t 3 − 1 −6t 2 dt  −1 t+2  I = ∫t 3 dt = −3∫ 3 = ∫ + 2 ÷dt ( ) t −1  t −1 t + t + 1 2 2t t − 1 3  1 dt + ÷ 1 ( 2t + 1) dt 3  2 = − ln t − 1 + ∫ 2 + ∫ 2 t + t + 1 2  1 2  3 2 t + 2÷ +  2 ÷     ÷  1 t+ 1 1 = ln t −1 2 ( + ln t 2 + t + 1 + 3arctg 2 3 ) 2 t2 + t + 1 2t + 1 = ln + 3arctg +C t −1 3 ®Õn ®©y chØ cÇn thay x +1 t= 3 x −1 dx dx I =∫ =∫ VÝ dô 2: (x ) 3 3 2 + 2x + 5 ( x + 1) 2 + 22    π π 2dt §Æt x + 1 = 2tgt ví i − < t < ; dx = 2 2 cos2 t 22 ( x + 1) + 2 = 2 tg t + 2 = 2 1 + tg t = 2 2 2 2 2 coss2t 2 ( 2 ) 20