zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 - Trường ĐH Thương mại

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:153

Báo xấu

24
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 của Trường ĐH Thương mại do Phan Thanh Tùng biên soạn, cung cấp một số nội dung chính như: hàm hai biến; phương trình vi phân; phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 - Trường ĐH Thương mại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA: HTTTKT&TMĐT ---------- ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP Bộ môn: Toán Cao Cấp 2 Lớp HP: 1858FMAT0211 GV: Phan Thanh Tùng Hà Nam, 2018
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Mục lục Mục lục ................................................................................................................. 1 CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN .......................................................................... 4 A. LÝ THUYẾT .........................................................................................................4 1. Các khái niệm ....................................................................................................4 Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số..................................................................4 Dạng 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 ................................................................5 Dạng 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 ................................................................5 Dạng 4. Tính gần đúng ..........................................................................................6 2. Cực trị của hàm 2 biến ......................................................................................7 Dạng 5. Tìm cực trị của hàm số............................................................................7 Dạng 6. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số ......................................................9 B. GIẢI BÀI TẬP ....................................................................................................10 CHƯƠNG 8: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN........................................................ 31 A. LÝ THUYẾT .......................................................................................................31 I. Tích phân bất định ...........................................................................................31 1.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................31 1.2. Các tính chất .............................................................................................31 1.3 Bảng tích phân căn bản .............................................................................31 1.4 Phương pháp giải .......................................................................................32 II. Tích phân xác định .........................................................................................33 2.1 Các khái niệm cơ bản .................................................................................33 2.2. Các tính chất ..............................................................................................33 2.3. Phương pháp giải ......................................................................................34 III. Tích phân suy rộng .......................................................................................34 3.1. Trường hợp khoảng lấy tích phân là vô hạn ...........................................34 3.1.1 Các khái niệm ..........................................................................................34 3.1.2. Các định lí so sánh .................................................................................35 3.1.2 Các định lí so sánh ..................................................................................36 3.2 Trường hợp hàm có điểm gián đoạn vô cực .............................................37 B. BÀI TẬP ..............................................................................................................38 CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ................................................... 67 A. LÝ THUYẾT .......................................................................................................67 I. Một số khái niệm cơ bản .................................................................................67 1.1. Phương trình vi phân ................................................................................67 1.2. Cấp của phương trình vi phân ..................................................................67 1
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 1.3. Nghiệm của phương trình vi phân ...........................................................67 II. Phương trình vi phân cấp 1 ...........................................................................68 2.1. Dạng phương trình ....................................................................................68 2.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng...................................................................................................................68 2.3. Bài toán Cauchy ( Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm) ................68 III. Phương trình vi phân cấp 2 .........................................................................69 3.1. Dạng phương trình ....................................................................................69 3.2. Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng - Tích phân tổng quát và tích phân riêng...................................................................................................................69 B. DẠNG BÀI TẬP..................................................................................................71 I. Phương trình vi phân cấp 1.............................................................................71 1.1. Phương trình biến số phân li: ...................................................................71 1.2. Phương trình đẳng cấp .............................................................................72  a x  b1 y  c1  y'  f  1  1.3. Phương trình  ax  by  c  ...........................................................74 1.4. Phương trình tuyến tính cấp 1 ..................................................................75 1.5. Phương trình Bernoulli .............................................................................76 II. Phương trình vi phân cấp 2 ...........................................................................77 2.1. Phương trình giảm cấp được ....................................................................77 2.1.1. TH vế phải khuyết y, y’: .........................................................................77 2.1.2. TH vế phải khuyết y : .............................................................................77 2.1.3. TH vế phải khuyết x: ..............................................................................78 2.2. Phương trình tuyến tính cấp 2(hệ số hằng) .............................................79 C. BÀI TẬP ..............................................................................................................82 CHƯƠNG 10: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ............................................. 112 A. LÝ THUYẾT .....................................................................................................112 1. Sai phân ..........................................................................................................112 a) Lưới và bước lưới .......................................................................................112 b) Sai phân ......................................................................................................112 2. Phương trình sai phân...................................................................................113 a) Định nghĩa ..................................................................................................113 b) Nghiệm, nghiệm tổng quát và nghiệm riêng.............................................113 3. Phương trình sai phân tuyến tính ................................................................113 a) Định nghĩa ..................................................................................................113 b) Tính chất tập nghiệm của phương trình tuyến tính cấp k .......................114 2
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 B. DẠNG BÀI TẬP................................................................................................115 1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 ......................................................115 1.1. Phương trình hệ số hằng ........................................................................115 1.2. Phương trình hệ số biến thiên ................................................................118 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng ...................................119 C. BÀI TẬP ............................................................................................................122 3
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 CHƯƠNG 7: HÀM HAI BIẾN A. LÝ THUYẾT 1. Các khái niệm Định nghĩa: Cho D là tập trong R2 f : D R  x, y   z  f  x, y  Ghi chú • Nếu M  x, y  , ta có thể viết z  f  M  • Tập D gọi là tập xác định. • Tập f  D  : { f  x, y  :  x, y   D} gọi là tập giá trị. • Tập G  { x, y, f  x, y  :  x, y   D} các điểm trong hệ toạ độ Oxyz gọi là đồ thị của hàm số. Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số sau 2x 1 z  arccos  ln  xy  x Giải: Tập xác định của hàm là những x,y thỏa mãn điều kiện.  2x 1 1   1  2 x  12  x 2 3x 2  4 x  1  0   x  1  x    3  xy  0  xy  0  xy  0  y  0   1   Vậy E   x, y  : x   ;1 , y   0;     3   Định nghĩa 1. Cho hàm z  z  x, y  . • Đạo hàm riêng (cấp 1) theo biến x, kí hiệu z 'x  x, y  : coi y là hằng số và lấy đạo hàm của z  x, y  theo biến x . • Tương tự, z ' y  x, y  : coi x là hằng số và lấy đạo hàm theo biến y . 4
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Dạng 2. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 Ví dụ. Tính đạo hàm riêng cấp 1 của a) z  x 4  2 x 2 y 2 b) z  sin( x 2  y 2 ) Giải: a) Ta có: z 'x  ( x 4  2 x 2 y 2 ) 'x  (? x 4 )x  (2 x 2 y 2 )x  4 x 3  2 y 2 2 x  4 x 3  4 xy 2 . Ta có : zy  ( x4  2 x2 y 2 )y  4 x2 y b) Ta có : z 'x  (sin( x 2  y 2 ))x  cos( x 2  y 2 )( x 2  y 2 )x  cos( x 2  y 2 ).2 x Ta có : zy  (sin( x2  y 2 ))y  cos( x2  y 2 )( x2  y 2 )y  cos( x2  y 2 ).2 y Định nghĩa 2. . Các đạo hàm riêng cấp 2: o z "xx : ( z 'x ) 'x ; z "xy : ( z 'x ) ' y ( các đạo hàm riêng của 𝑧′𝑥 ) o z "yx : ( z ' y ) 'x ; z " yy : ( z ' y ) ' y ( các đạo hàm riêng của 𝑧′𝑦 ) Ghi chú: • Tương tự, ta cũng có các đạo hàm riêng cấp n tùy ý. • Với “ một số điều kiện “ ta luôn có : 𝑧"𝑥𝑦 = 𝑧"𝑦𝑥 ( Đinh lý Schwarz)  z "xx z "xy  • H   gọi là ma trận Hessian.  z "yx z "yy  • Ma trận Hessian có nhiều ứng dụng trong kinh tế & kỹ thuật. Dạng 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 Ví dụ. z  x 4  2 x 2 y 2 Giải: Ta có : z "xx  ( z 'x ) 'x   4 x  4 xy  'x  12 x 2  4 y 2 3 2 z "xy  ( z 'x ) ' y   4 x3  4 xy 2  ' y  8 xy 5
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 z "yy  ( z ' y ) ' y   4 x 2 y  ' y  4 x 2 z "xy  z "yx  8 xy Định nghĩa:Giả sử hàm z  z  x, y  có các đạo hàm riêng liên tục thì đại lượng dz  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y gọi là vi phân toàn phần của hàm số. Ghi chú: Dễ thấy, dx  x, dy  y , do đó: dz  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y Bài toán tính gần đúng. Công thức xấp xỉ z( x0  x, y0  y)  z  x0 , y0  x  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y (với ∆ x , ∆ y nhỏ về trị tuyệt đối). Ghi chú: Ứng dụng trong kinh tế z( x0  1 , y0  1 )  z  x0 , y0   z 'x ( x0 , y0 )  z ' y ( x0 , y0 ) Dạng 4. Tính gần đúng Ví dụ : Tính gần đúng của biểu thức A  ln  8,990  3 8, 050 .  Giải: Xét hàm: z  ln  x3 y  Ta có: = 8,990  x0  x  x0  9; x  0, 01 8,050  y0  y  y0  8, y  0,05 Ta có: z  9; 8  ln( 9  3 8 )  ln1  0 1 1 1 z 'x  ( x  3 y ) 'x   z x  9;8   x y 3 2 x  x3 y  6 1 1 z 'y    z y  9;8    3  x3 y  3 y 2 12 Vậy A  z( x0  x, y0  y)  z  x0 , y0  x  z 'x ( x0 , y0 )x  z ' y ( x0 , y0 )y 1 1  0  (0, 01)  (0, 05)  0, 006 6 12 6
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 2. Cực trị của hàm 2 biến Định nghĩa:Ta nói hàm z  z  x, y  đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M 0  x0 , y0  nếu tồn tại một lân cận của điểm M 0 sao cho trên lân cận đó z ( x, y)  z ( x0 , y0 )( z ( x, y)  z( x0 , y0 )) . Ghi chú. • Giá trị cực đại hoặc cực tiểu được gọi chung là cực trị. • Giá trị cực đại hoặc cực tiểu chỉ mang tính địa phương. Định lí 1:Nếu hàm z  z  x, y  đạt cực trị tại điểm M 0  x0 , y0  và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng thì  x0 , y0  thỏa mãn hệ  z x  x, y   0   z y  x, y   0 Ghi chú: • Mỗi điểm M thỏa mãn hệ trên gọi là điểm dừng hay điểm tới hạn (loại 1) • Kí hiệu A  z "xx  x0 , y0  ; B  z "xy  x0 , y0  ; C  z "yy  x0 , y0  . Định lí 2: Giả sử M 0  x0 , y0  là một điểm tới hạn của hàm z  z  x, y  (hàm số có các đạo hàm riêng liên tục tới cấp hai tại M 0 ). Khi đó: • Nếu B 2  AC  0 thì tại M 0 hàm số không có cực trị. • Nếu B 2  AC  0 thì tại M 0 hàm số có cực trị và là cực đại nếu A  0 , là cực tiểu nếu A  0. • Nếu B 2  AC  0 thì chưa có kết luận. Ghi chú: − Bài toán tìm cực trị chia làm 2 bước: Bước 1: Tìm điểm tới hạn; Bước 2: Xét dấu B 2  AC − Khi B 2  AC  0 thì gọi M 0 là điểm yên ngựa. Dạng 5. Tìm cực trị của hàm số Ví dụ. Tìm cực trị của hàm số z  x3  6 xy  8 y3  1 7
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Giải: Tập xác định: R . 2 Bước 1. Điểm tới hạn:  z 'x  3x 2  6 y  0  x  1 x  0    ; 1  z ' y  6 x  24 y  0  y  0  y   2  2 1 Suy ra hàm số có hai điểm tới hạn là O  0;0 và M 0 (1;  ) . 2 Bước 2. Ta có : z 'xx  6 x ; z 'xy  6 ; z ' yy  48 y . Tại O  0;0 ta có : A  zxx  0;0  0 ; B  zxy  0;0  6 ; C  zyy  0;0  0 Suy ra: B 2  AC  36  0 . Hàm số không có cực trị tại O  0;0 . 1 Tại M 0 (1;  ) ta có : 2 1 1 1 A  z xx (1;  )  6 ; B  z xy (1;  )  6 ; C  z yy (1;  )  24 2 2 2 1 Suy ra B 2  AC  108  0 . Hàm số có cực trị tại M 0 (1;  ) . 2 1 Vì A  6  0 nên do đó là cực đại . zCĐ  z (1;  )  2 2 Bài toán: Tìm cực trị của hàm: z  f  x, y  với ràng buộc: g  x, y   0 (1). Ghi chú. Để đơn giản, ta luôn giả thiết các hàm f , g có đạo hàm riêng đến cấp cần thiết. Phương pháp nhân tử Lagrange: Kí hiệu. Hàm Lagrange L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) (λ gọi là nhân tử Langrange). Định lí 1: (Điều kiện cần) Nếu 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm cực trị của bài toán (1) thì tồn tại số thực λ0 Sao cho ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) thỏa mãn hệ 𝐿′ λ (x, y, λ) = 0 {𝐿′ x (x, y, λ) = 0 𝐿′ y (x, y, λ) = 0 Ghi chú. Mỗi nghiệm của hệ trên gọi là một điểm dừng của hàm Lagrange. 8
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Định lí 2: (Điều kiện đủ) Giả sử ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) là một điểm dừng của hàm Lagrange. Đặt: 0 𝑔′𝑥 𝑔′𝑦 |A| = |𝑔′𝑥 𝐿"𝑥𝑥 𝐿"𝑥𝑦 | 𝑔′𝑦 𝐿"𝑦𝑥 𝐿"𝑦𝑦 Khi đó: • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) > 0 thì 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm cực đại của bài toán (1). • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) < 0 thì 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) là điểm cực tiểu của bài toán (1). • Nếu |A|( 𝑥0,𝑦0,λ0 ) = 0 thì không có kết luận. Ghi chú. • Có thể thay ( 𝑥0 , 𝑦0 , λ0 ) vào A trước khi tính |A| • Nếu từ ràng buộc g(x, y) = 0 có thể rút ra x (hoặc y), ta thay vào hàm f , đưa về tìm cực trị hàm 1 biến (không cần dùng phương pháp nhân tử Lagrange). Dạng 6. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số Ví dụ : Tìm cực trị có điều kiện của hàm số z = f (x, y) = x + y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2. Giải: 2 Tập xác định: 𝑅 . Bước 1. Tìm điểm dừng của hàm Lagrange. Ta có: g(x,y) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2. Hàm Lagrange: L(x, y, λ) = x + y – λ(𝑥 2 + 𝑦 2 − 2). Xét hệ : 𝐿′ λ = 0 − (𝑥 2 + 𝑦 2 − 2) = 0 𝑥=1 𝑥 = −1 ′ {𝐿 x = 0 ⇔ { 1 − λ(2x) = 0 ⇔ { 𝑦 = 1 ; { 𝑦 = −1 ′ 𝐿y =0 1 − λ(2y) = 0 λ = 1/2 λ = −1/2 Bước 2 . 0 𝑔′ 𝑥 𝑔′ 𝑦 0 2𝑥 2𝑦 Ta có : |A| = |𝑔′ 𝑥 𝐿"𝑥𝑥 𝐿"𝑥𝑦 | = |2𝑥 −2𝜆 0 | = 8λ(𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑔′ 𝑦 𝐿"𝑦𝑥 𝐿"𝑦𝑦 2𝑦 0 −2𝜆  1 * Tại 1,1,  ta có |A| = 8 > 0 ⇒ 𝑀1 (1, 1) là điểm cực đại và 𝑧𝐶Đ = 2.  2  1 * Tại  1, 1,   ta có |A| = −8 < 0 ⇒ 𝑀2 (−1, −1) là điểm cực tiểu và 𝑧𝐶𝑇 = −2  2  9
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 B. GIẢI BÀI TẬP Bài 7.1 Tìm tập xác định và minh họa bằng hình học trên hệ tọa độ trực chuẩn Oxy: 1. z  ln  2 x  1  4  y 2  2. z  16  x 2  y 2  lg  x 2  y 2  4  3y  2 3. z  arcsin x 2y 4. z  arcsin  arccos  y  4 x  x 5. z  arcsin  3x  4 y  ; x  2; y  3 Giải: 1. 𝒛 = 𝐥𝐧(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟒 − 𝒚𝟐 ) Điều kiện: (2𝑥 − 1)(4 − 𝑦 2 ) > 0 1 2𝑥 − 1 > 0 𝑥> TH1: { 2 ⇔{ 2 4−𝑦 >0 −2 < 𝑦 < 2 1 2𝑥 − 1 < 0 𝑥< TH2: { 2 ⇔{ 2 4−𝑦 2 Biểu diễn hình học: (Tập xác định là miền gạch chéo không kể các đường biên) 10
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 2. 𝒛 = √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 + 𝐥𝐠(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒) 16 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 16 Điều kiện: { 2 ⇔{ 2 𝑥 + 𝑦2 − 4 > 0 𝑥 + 𝑦2 > 4 ⇨ Tập xác định: 4 < 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 16 Biểu diễn hình học Tập xác định là miền gạch chéo kể cả đường tròn tâm O bán kính 4 (O;4) không kể đường tròn tâm O bán kính 2 (O;2). 𝟑𝒚+𝟐 3. 𝒛 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 𝒙 Hàm số xác định khi: 𝑥−2 𝑥+2 { ≤𝑦≤− 3𝑦 + 2 3𝑦 + 2 3 3 𝑥 < 0 {| 𝑥 | ≤ 1 ⇔ {−1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ⇔ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥+2 𝑥−2 𝑥≠0 𝑥≠0 {− 3 ≤ 𝑦 ≤ 3 𝑥>0 Biểu diễn hình học. 11
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Tập xác định là miền gạch chéo kể cả các điểm nằm trên 𝑥−2 𝑥+2 2 2 đường thẳng 𝑦 = ;𝑦 = − trừ điểm 𝐴(0; ). 3 3 3 𝟐𝒚 4. 𝒛 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 + 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒚 + 𝟒𝒙) 𝒙 Hàm số xác định khi: 𝑥>0 −𝑥 𝑥 𝑥≠0 𝑥≠0 { ≤𝑦≤ 2 2 2𝑦 2𝑦 4𝑥 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 4𝑥 + 1 { | | ≤ 1 ⇔ { −1 ≤ ≤ 1 ⇔ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 𝑥 𝑥
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 5. 𝒛 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏(𝟑𝒙 − 𝟒𝒚) ; 𝒙 ≤ 𝟐; 𝒚 ≥ −𝟑 Hàm z xác định khi: −1 + 3𝑥 3𝑥 + 1 |3𝑥 − 4𝑦| ≤ 1 −1 ≤ 3𝑥 − 4𝑦 ≤ 1
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Giải: 𝒙𝟑 +𝒚𝟑 1. 𝒛 = 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 ′ 𝑥3 + 𝑦3 3𝑥 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2𝑥 (𝑥 3 + 𝑦 3 ) 𝑥 4 + 3𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 3 𝑧𝑥′ =( 2 ) = = 𝑥 + 𝑦2 𝑥 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 ′ 𝑥3 + 𝑦3 3𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2𝑦(𝑥 3 + 𝑦 3 ) 𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 3 𝑦 𝑧𝑦′ =( 2 ) = = 𝑥 + 𝑦2 𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 2. 𝒛 = 𝒍𝒏 (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) 2𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 1+ ′ 2√𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 1 𝑧𝑥′ = (ln (𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )) = = = 𝑥 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 2𝑦 ′ 2√𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 𝑧𝑦′ = (ln (𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )) = = 𝑦 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥√𝑥 2 + 𝑦 2 𝒚 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 3. 𝒛 = 𝒆 𝒙 𝑦 ′ −𝑦 1 𝑦 −𝑦 𝑦 𝑧𝑥′ = (𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 ) = . . 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = . 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑥 𝑥2 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 1+ 𝑥2 1 𝑦 ′ 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧𝑦′ = (𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 ) = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 )′𝑦 . 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 . 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑦 𝑥 𝑦2 1+ 𝑥2 𝑥 𝑦 = . 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥2 + 𝑦2 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 −𝒙 4. 𝒛 = 𝒍𝒏 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒙 ′ √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 𝑧𝑥′ = (𝑙𝑛 )′𝑥 = ( ) . √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 14
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 2𝑥 2𝑥 ( − 1) (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) − ( + 1) (√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥) 2 2√𝑥 + 𝑦 2 2 2√𝑥 + 𝑦 2 = 2 (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 × √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 (𝑥 − √𝑥 2 + 𝑦 2 )(√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) − (𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )(√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥) = 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 × √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − (𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 2 ) √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 = 2 . √𝑥 2 + 𝑦 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 −2𝑦 2 −2𝑦 2 −2 = = = √𝑥 2 + 𝑦 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥)(√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥) 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 ′ √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 𝑧𝑦′ = (𝑙𝑛 )′𝑦 =( ) . √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 2𝑦 2𝑦 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) − (√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥) 2 2√𝑥 + 𝑦 2 2√𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 = 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 𝑦 (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 − √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) 2 √𝑥 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 = 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥) √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥 2𝑥𝑦 2𝑥 = = √𝑥 2 + 𝑦 2 . (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥)(√𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥) 𝑦√𝑥 2 + 𝑦 2 𝟑 5. 𝒛 = 𝒙𝒚 3 ′ 3 −1 𝑧𝑥′ = (𝑥 𝑦 )𝑥 = 𝑦 3 . 𝑥 𝑦 3 ′ 3 3 𝑧𝑦′ = (𝑥 𝑦 )𝑦 = 𝑥 𝑦 . 𝑙𝑛𝑦 3 . (𝑦 3 )′ = 3𝑦 2 𝑥 𝑦 . 𝑙𝑛𝑦 3 √𝒙𝟐 −𝒚𝟐 6. 𝒛 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 ′ √𝑥 2 − 𝑦 2 √𝑥 2 − 𝑦 2 1 𝑧𝑥′ = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 )′𝑥 = ( ) . √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥2 − 𝑦2 𝑥 1+ 2 𝑥 + 𝑦2 15
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 2𝑥𝑦 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑦2 = 2 =. √𝑥 4 − 𝑦 4 . (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2𝑥 𝑥√𝑥 4 − 𝑦 4 ′ √𝑥 2 − 𝑦 2 √𝑥 2 − 𝑦 2 1 𝑧𝑦′ = (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 )′𝑦 = ( ) . √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥2 − 𝑦2 𝑦 1+ 2 𝑥 + 𝑦2 −2𝑦 2𝑦 . √𝑥 2 + 𝑦 2 − . √𝑥 2 − 𝑦 2 2 2 2√𝑥 − 𝑦 2 2 2√𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦2 = . 𝑥2 + 𝑦2 2𝑥 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 − 𝑦 2 −𝑦 ( + ) √𝑥 2 − 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 −𝑦. 2𝑥 2 −𝑦 = = = 2𝑥 2 2𝑥 3 √𝑥 4 − 𝑦 4 √𝑥 4 − 𝑦 4 7. 𝒛 = (𝒙 + 𝒚)𝒔𝒊𝒏𝒙.𝒔𝒊𝒏𝒚 𝑧𝑥′ = ((𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 )′𝑥 𝑧𝑥′ = ((𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 )′𝑥 Ta có: 𝑙𝑛𝑧 = 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦. ln(𝑥 + 𝑦) Đạo hàm 2 vế ta có: 𝑧𝑥′ 𝑠𝑖𝑛𝑦. 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 𝑥+𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑥  𝑧𝑥′ = 𝑠𝑖𝑛𝑦 (𝑐𝑜𝑠𝑥. ln(𝑥 + 𝑦) + ) . (𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑥+𝑦 𝑧𝑦′ = ((𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 )′𝑦 Ta có: 𝑙𝑛𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦. ln(𝑥 + 𝑦) Đạo hàm 2 vế theo y ta có: 𝑧𝑦′ 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦. ln(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 𝑥+𝑦 𝑠𝑖𝑛𝑦  𝑧𝑦′ = 𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑦. ln(𝑥 + 𝑦) + ) (𝑥 + 𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑥+𝑦 Bài 7.3 Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của hàm hai biến 1. z  1 3 x 2  y2  3 2. z  x 2 ln x  y  3. z  x y  4. z  ln xy  x 2 y 2  a 2  Giải: 16
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 1) z  1 3 x 2  y2  3       ' '  2 2   2 2   2  '  2  '  1 3 . x 2  y .2 x   x x 2  y  x x 2  y x 3  xy z "xx   .       3 2 x 2  y 2 3   x 2  y 2 3   x 2  y 2   x 2  y 2            3 x 2  y 2 x 2  y 2  x 3  xy2 x    x2  y2  3x 2  y 2 x 2  y 2  x x 3  xy2      x2  y 2 x2  y 2 x2  y 2   3x 2  y 2  x 2 2x2  y 2   x2  y 2 x2  y 2 2 xy x 2  y 2   x3  xy 2  y '  x3  xy 2  x2  y 2 z "xy   z x'    '   y  x2  y 2  x2  y 2  y 2 xy  x 2  y 2   y  x3  xy 2  2 xy  xy xy    x 2  y 2  x2  y 2 x2  y 2 x2  y 2 x 2  3y2   x2  y 2  x2 y  y3  y      '  1 3 x 2  y 2 2 .2 y   y x 2  y 2 ' x  y2 2 z yy   . "     3 2 x 2  y 2   x 2  y 2 3    y x2  y 2  y  x 2   3 y 2 x2  y 2  y 2 x2  y 2    x2  2 y2 x 2  y2  x2  y 2 x2  y 2 xy z xy ''  z yx ''  x  y2 2 2) z  x 2 ln x  y  '  x2  z   2 x ln  x  y   "  x  y x xx  2x 2x  x  y   x 2  2 ln  x  y    x y  x  y 2 2x 2x  x  y   x 2  2 ln  x  y    x y  x  y 2 '  x2  x2 z   2 x ln x  y   2x "    x  y  y x  y x  y 2 xy  17
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 '  x2   x2 z   "    x  y  y x  y  yy 2 x2 z "xy  z "yx   x  y 2 3) z  x y    y y  1x z "xx  yx y 1 ' x y 2 z "xy  yx   x  yx ln x  z y 1 ' y y 1 y 1 " yx   x ln x   x ln x.ln x  x ln x ' z"yy y y y 2 y 4) z  ln xy  x y  a 2 2 2  '  2 xy 2   y    ' 2 x2 y 2  a2 2 2  2  2  z xx     y x y a xy "   xy  x 2 y 2  a 2   xy x 2 y 2  a 2  x 2 y 2  a 2     x    x '    xy 2  y x 2 y 2  a 2      xy  x y  a 2 2 2 x2 y 2  a2    x xy 2 ' y  y  x2 y 2  a2  xy 3      x2 y 2  a2  x2 y 2  a2 x y2  a2  3  x 2 x2 y ' x2 y 2  a2  y  y  x2 y 2  a2 z  "    x y2  a2 xy 2  x2 y 2  a2  y x2 y 2  a2  x2 y 2 a2   x 2 y 2  a2  x2 y 2  a2 x 2 y2  a2  3 '  2 x2 y   x     ' 2 x2 y 2  a2   x x2 y 2  a2  x2 y  z yy   '  xy  x 2 y 2  a 2         xy  x y  a 2 2 2 x2 y 2  a2    y  y x2 y ' x  x  x2 y 2  a2  x3 y      x2 y 2  a2  x2 y 2  a2 x y2  a2  3  y 2 18
Đề cương ôn tập Toán cao cấp 2 Bài 7.4 Tính gần đúng bằng vi phân toàn phần: 1. A  0,9965,050  2. B  ln 3 27,0200  4 15,9700  4   3. C  arcsin 1,52  100 e ,  biết 3  1,72;   3,14  4. D  arctan 2 2,98  cos 31 , biết  3  1,72;   3,14 Giải : 1) A  0,9965,050 Xét hàm: A  z x, y   x y 0,996  x0  x  x0  1; x  0,004 Ta có: 5,05  y0  y  y0  5; y  0,05 z 1;5  15  1 z x'  yx y 1  z x' 1;5  5.14  5 z 'y  x y . ln x  z 'y 1;5  ln 1  0 Vậy A  z1;5  z x' 1;5.x  z 'y 1;5.y  1  5. 0,004  0,98 2) B  ln  3 27, 0200  4 15,9700  4  Xét hàm: B  zx, y   ln 3 x  4 y  4   27,02  x0  x  x0  27; x  0,02 Ta có: 15,97  y0  y  y0  16; y  0,03 z 27;16  ln  3 27  4 16  4  0  z x'  ln  x 4 y 4  '  1  z x' 27;16  1   3 x 33 x 2 3 x 4 y 4 27  z 'y 27;16  1 1 z 'y  44 y 3  3 x 4 y 4  32 Vậy B  z 27;16  z x' 27;16.x  z 'y 27;16.y  0  .0,02  . 0,03  0,0002 1 1 27 32 3) C  arcsin 1,52  e , biết 100   3  1,72;   3,14  Ta có: C  arcsin 1,52  100 e  arcsin 1,52  e 0,01   Xét hàm: C  zx, y   arcsin x  e y  19

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.